Expansiones naturales completas de los productos de Euler

Hola amigos de Tardígrados. Siguiendo esta secuencia matemática, hoy vamos a ver cómo expresar un Producto de Euler, de tal forma que el índice del producto corra no únicamente sobre todos los números primos, sino sobre los sucesivos números naturales.

El primer caso que vamos a ver es el Producto de Euler asociado a función Zeta de Riemann. Este producto es:

(1)

donde el índice del producto corre sobre los sucesivos números primos. Ahora, aprovechando la función característica de los números primos que os presenté en el artículo anterior, vamos a ver cómo es posible hacer que el índice de ese producto infinito (porque sabemos que hay infinitos números primos) corra ahora sobre los sucesivos números naturales. Y la respuesta es simplemente esta:

(2)

donde obviamente ?_P es la función característica de los números primos. Una forma inédita de expresar la función zeta de Riemann, parece, y descubierta por mi 😛 Vemos también, que puesto que sabemos usar la función característica de los números compuestos (los números no primos), es posible definir una nueva función zeta relacionada con ellos, así:

(3)

donde es más que obvio que la función caracteristica ?_NP es la de los números no primos. Y llegamos a la conclusión de que la función zeta de Riemann y esta ?_NP están relacionadas por medio de algún tipo propiedad de complementariedad, que todavía no vislumbro. Esta peculiar función zeta ?_NP posee un polo en n = 1, por eso el índice del producto empieza a correr desde n = 2. Y lo primero que advertimos en la evaluación de dicha función es el notable y absolutamente increible resultado siguiente:

(4)

Saludos

La hipótesis blanda de Riemann

Anoche mientras me entretenía con algunas sumas parciales de la función zeta de Riemann, me di cuenta de algo muy curioso, cuyo enunciado voy escribir seguidamente a modo de conjetura (hipótesis): Si para la suma parcial

el número complejo siguiente es una de sus raíces (ceros), z₁ = σ + it, entonces este otro número complejo, z₂, escrito en función del primero, posee la misma parte real:

Mi conjetura es que sólo si z₁ es un cero de ζ_N, entonces

A esta conjetura la llamo la Hipótesis blanda Riemann, y la vamos a ver en acción con dos sencillos ejemplos numéricos: Sea la siguiente ecuación:

y uno de sus ceros, hasta una precisión de 50 decimales, es:

. Por lo tanto el número z₂ será:

Para la siguiente ecuación:

sabemos que uno de sus ceros, hasta una precisión de 50 decimales, es:

. Por lo tanto el número z₂ será:

Saludos

Los ceros de las sumas parciales de la función zeta de Riemann cerca del inframundo

¿Sabes resolver la siguiente ecuación donde s es una variable compleja?:

(1)

Esta ecuación es en claro ejemplo de ecuación trascendente, y no posee solución analítica (que sepamos). El lado izquierdo de esta ecuación es una suma parcial de tres sumandos de la función Zeta de Riemann, o lo que es lo mismo, un harmónico generalizado de orden 3:

(2)

En el límite n ? 8, el harmónico generalizado converge hacia la función Zeta de Riemann:

(3)

Se ve a simple vista que el lado izquierdo de esa ecuación es una suma de exponenciales, es decir, no es un polinomio. Pero, podemos expresarlo mediante serie de potencias, por ejemplo, mediante series de Taylor, así:

He investigado algo esto y he visto que todo harmónico generalizado se puede expresar así:

(4)

Esto significa que la función Zeta de Riemann puede escribirse de la siguiente forma:

(5)

Pero, intentemos saber cómo resolver la primera ecuación que escribí, la (1): Si la variable es compleja entonces esa ecuación posee infintas raices o ceros, y dos de esos ceros son (con alta precisión en número de dígitos) estos:

Esos dos ceros, z₁ y z₂, son dos números irracionales, y presumíblemente sus infinitos ceros también lo sean.

Pero, intentemos contestar a la pregunta con la que abría este post. ¿Sabes resolver la siguiente ecuación donde s es una variable compleja?:

Esa ecuación al ponerla en forma polinómica, posee grado infinito, como hemos visto arriba. Pero, ¿qué podemos decir de esta otra ecuación?:

(6)

Esta ecuación parece más tratable de resolver analíticamente, ¿no?. Su raíces serían estas tres (una real y dos complejas):

La pregunta del millón es la siguiente. ¿Existe algún álgebra tal que podamos transformar la ecuación analíticamente intratable (1) en otra más tratable que se parezca mucho en la forma a la (6)?. La respuesta es sí. Afortunadamente, las bases para ese tipo de álgebra ya la descubrí anteriormenete en lo que llamé aritmética del inframundo y del ultramundo.

Partimos de la ecuación (1). y la expresamos mediante exponenciales de esta forma

ahora pasamos el 1 al lado derecho y aplicamos logaritmo neperiano en ambos lados:

y observamos que el lado izquierdo es literalmente la definición de infra-suma de grado -1, con lo cual nuestra ecuación inicial (1) queda al final así:

(7)

Si este álgebra poseyera las mismas propiedades que el álgebra de grado 0 convencional, podríamos atisbar una solución para esta última ecuación (7), recordando que la multiplicación de grado -1 es la suma convencional de grado 0. Así, sacando factor común (-x) y despejándola en el lado izquierdo, obtendríamos una hipotética solución de x:

(8)

Pero, sabemos que la ecuación (1) posee infinitas raíces (ceros), por lo tanto, la solución (8) debería incluir los infinitos cíclos mediante los múltiplos de iπ. Así, una hipotética solución podría ser como la siguiente (aunque puede demostrarse fácilmente que esta solución que presento es incorrecta):

Saludos

AL MENOS DOS QUINTOS DE LOS CEROS DE LA FUNCIÓN ZETA DE RIEMANN ESTÁN EN LA LÍNEA CRÍTICA

El siguiente artículo es una traducción que he hecho del documento titulado “AT LEAST TWO FIFTHS OF THE ZEROS OF THE RIEMANN ZETA FUNCTION ARE ON THE CRITICAL LINE“, cuyo autor es J. B. CONREY para la AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY. Exactamente el documento original puede encontrarse en BULLETIN (New Series) Volume 20, Number 1, January 1989. Y he añadido dos apéndices de mi cosecha para completar el post.

J. B. CONREY

La función zeta de Riemann, ζ(s), se suele expresar para una variable compleja s = σ + it de la siguiente forma:

En teoría de números es de crucial importancia la distribución de los ceros complejos de la función zeta de Riemann, ζ(s). Todos esos ceros caen dentro del intervalo 0 < σ < 1, y están simétricamente localizados por el eje real y por la línea crítica σ = 1/2. Riemann conjeturó en 1859 que todos esos ceros complejos están en la línea crítica; esa conjetura está aún sin probar, y es conocida como la Hipótesis de Riemann.

El número de ceros de ζ(s) en la región 0 < t < T de la banda crítica se expresa como N(T) y asintóticamente se ofrece así:

cuando T ? ∞. En 1942 Selberg ^[8] probó que una proporción positiva de los ceros de ζ(s) están en la linea crítica; es decir, si N₀(T) es el número de ceros de ζ(s) en el intervalo 0 < t < T que están en la línea crítica, entonces el resultado de Selberg nos dice que

donde κ es la proporción de ceros de ζ(s) que están en la línea crítica. (Fijémonos en que κ = 1 no implica la Hipótesis de Riemann.). Selberg no nos ofreció una cota numérica mínima para κ.

En 1973 Levinson ^[7] desarrolló un método nuevo y pudo probar que κ > 1/3. Heath-Brown ^[5] se dió cuenta, e independientemente de Selberg, de que el método de Levinson prueba como cierta la proposición más fuerte de que al menos 1/3 de los ceros de ζ(s) son simples y están en la linea crítica.

Nosotros extendemos el método de Levinson para probar el siguiente teorema:

TEOREMA 1. Al menos 2/5 de los ceros de ζ(s) son simples y están en la línea crítica.

El método de Levinson depende de la abilidad de ofrecer una fórmula asintótica para la media cuadrática en un segmento de linea vertical (a + it : T ≤ t ≤ 2T)) de una combinación lineal de ζ(s) y sus derivadas multiplicadas por un molificador (aproximación a la identidad)

Aquí y los coeficientes de molificador se dan con:

donde μ es la función de Möbius y P es un polinomio que satisface P(0) = 0 y P(1) = 1.

En el teorema de Levinson , la longitud y del molificador puede ser tan larga como T ^{1/2 – ε} para un ε > 0 fijo y las apropiadas asíntotas pueden ser deducidas. La principal característica nueva del Teorema 1 es que y = T ^{4/7 – ε} es admisible para cualquier ε > 0. El trabajo de Deshouillers y Iwaniec ^[4] sobre promedios de sumas de Kloosterman juega un papel crucial aquí. Su trabajo se basa en parte en la fórmula de la traza de Kuznetzov, la cual relaciona sumas de sumas Kloosterman con coeficientes de Fourier de las formas cuspidales de Maass.

Nuestro trabajo también implica dos resultados de densidad para los ceros de ζ(s) que son fuertes cerca de σ = 1/2. Sea N(σ, T) el número de ceros ρ = β + iγ de ζ(s) para los que β ≥ σ y 0 < t ≤ T.

TEOREMA 2. Para cualquier ε > 0 tenemos que

uniformemente para σ ≥ 1/2.

Este teorema mejora el resultado de Jutila ^[6].

TEOREMA 3. Tenemos

cuando T ? ∞.

Con esto perfeccionamos un poco el resultado de Balasubramanian, Conrey, y Heath-Brown ^[1].

Los detalles de la prueba del Teorema 1 están en [3].

Referencias

1. R. Balasubramanian, J. B. Conrey, and D. R. Heath-Brown, Asymptotic mean square of the product of the Riemann zeta-function and a Dirichlet polynomial, J.Riene Angew. Math. 357(1985), 161-181. 2. J. B. Conrey, Zeros of derivatives of Riemann’s xi-function on the critical line, J. Number Theory 16(1983), 49-74. 3. , More than two-fifths of the zeros of Riemann’s zeta-function are on the critical line, preprint. 4. J.-M. Deshouillers and H. Iwaniec, Kloosterman sums and Fourier coefficients of cusp forms, Invent. Math. 70 (1982), 219-288. 5. D. R. Heath-Brown, Simple zeros of the Riemann zeta-function on the critical line, Bull. London Math. Soc. 11 (1979), 17-18. 6. M. Jutila, Zeros of the zeta-function near the critical line, Studies in Pure Mathematics, to the memory of Paul Turan, pp. 385-394 (Birkhâuser, Basel Stuttgart, 1982). 7. N. Levinson, More than one-third of the zeros of Riemann’s zeta-function are on o = 1/2, Adv. Math. 13 (1974), 383-436. 8. A. Selberg, On the zeros of Riemann’s zeta-function, Skr. Norskevid. Akad. Oslo 10 (1942), 1-59. 9. E. C. Titchmarsh, The theory of the Riemann zeta-function, (2nd ed.) Clarendon Press,Oxford, 1986.

Apéndice 1 Ceros de la función zeta de Riemann

Apéndice 2 Ramachandran Balasubramanian es uno de los genios vivos de las matemáticas, aunque no llega a la talla de Ramanujan (nadie llega a la talla de Srinivasa Ramanujan). Nació el 15 de Marzo de 1951, y es el actual director del Instituto de Ciencias Matemáticas en Chennai, India. Es principalmente conocido por sus profundas contribuciones a la Teoría de Números, que incluye la solución al número final g(4) del problema de Waring en 1986. Sus trabajos en momentos de la función zeta de Riemann son muy apreciados, y fue conferenciante plenario por la India en el ICM de 2010. Y fue becario del Institute for Advanced Study en Princeton durante 1980-81.

Conozcamos un poco a este curioso personaje dando una charla en unas jornadas conmemorativas del 50º aniversario de la creación del Instituto de Ciencias Matemáticas en Chennai. https://www.youtube.com/watch?v=8ikdhYCv_Q0

Saludos 🙂

¿Es la Hipótesis de Riemann un problema indecidible?: empecemos con la Conjetura de Collatz

Quizás la dificultad en resolver la Hipótesis de Riemann tenga que ver con el hecho de que pueda ser un problema indecidible. Si esa hipótesis (o conjetura) es cierta o no, pero sabemos que es indecidible, entonces nunca tendremos una prueba matemática de ella.

Podemos divagar un poco sobre este tema y presentar una conjetura menos compleja (aparentemente) que la de Riemann. Se trata de la Conjetura de Collatz, o tambien conocida como el problema 3n+1. Aquí tenemos un video de Eduardo Sáenz de Cabezón que nos la explica muy sencillamente:

Para esta conjetura se define la siguiente iteración:

es decir, tenemos una función sobre los enteros positivos definida así:

(1)

Por ejemplo, para n=2781 tendriamos la siguiente sucesión, la cual terminaría en el 1:

2781➞8344➞4172➞2086➞1043➞3130➞1565➞4696➞2348➞1174➞587➞1762➞881➞2644
➞1322➞661➞1984➞992➞496➞248➞124➞62➞31➞94➞47➞142➞71➞214➞107➞322➞161
➞484➞242➞121➞364➞182➞91➞274➞137➞412➞206➞103➞310➞155➞466➞233➞700➞
350➞175➞526➞263➞790➞395➞1186➞593➞1780➞890➞445➞1336➞668➞334➞167➞
502➞251➞754➞377➞1132➞566➞283➞850➞425➞1276➞638➞319➞958➞479➞1438➞
719➞2158➞1079➞3238➞1619➞4858➞2429➞7288➞3644➞1822➞911➞2734➞1367➞
4102➞2051➞6154➞3077➞9232➞4616➞2308➞1154➞577➞1732➞866➞433➞1300➞
650➞325➞976➞488➞244➞122➞61➞184➞92➞46➞23➞70➞35➞106➞53➞160➞80➞
40➞20➞10➞5➞16➞8➞4➞2➞1

Se sabe ya que la conjetura de Collatz es un problema indecidible, es decir, no se puede probar matemáticamente. Pero eso no quiere decir que la conjetura sea falsa o cierta.

Yo me he animado a crear una función tipo Collatz, que posee la siguiente forma:

(2)

Esta función tipo Collatz da, por ejemplo, para n=101:

101➞51➞26➞79➞40➞121➞61➞31➞16➞49➞25➞13➞7➞4

y para cualquier entero positivo siempre parece que tenemos que la sucesión termina en 4, no en 1 como la anterior. Pero, se trata de ver si la Hipótesis de Riemann es indecidible y qué relación tiene con la conjetura generalizada de Collatz. Lo primero que observamos en toda función de Collatz es que siempre entran en juegos los números pares e impares positivos. Y si nos fijamos, la sucesión de los números primos, nace precisamente de ir cribando los números pares y los números impares (y dentro de los impares se va cribando los múltiplos de 3, de 5, etc), como en la famosa Criba de Eratóstenes. Se me ocurre esta función de Collatz, donde los números primos tienen un papel central:

(3)

y donde f(n) es la función de Collatz que primero presenté (1). Esta función, así definida, parece que converge siempre hace el número 2, para cualquier n desde el que empecemos la sucesión. Por ejemplo, para n=2710, tendremos:

2710➞1355➞4066➞2033➞6100➞3050➞1525➞4576➞2288➞1144➞572➞286➞143➞430➞
215➞646➞323➞970➞485➞1456➞728➞364➞182➞91➞274➞137➞412➞206➞103➞
310➞155➞466➞233➞700➞350➞175➞526➞263➞790➞395➞1186➞593➞1780➞890➞
445➞1336➞668➞334➞167➞502➞251➞754➞377➞1132➞566➞283➞850➞425➞1276➞
638➞319➞958➞479➞1438➞719➞2158➞1079➞3238➞1619➞4858➞2429➞7288➞3644
➞1822➞911➞2734➞1367➞4102➞2051➞6154➞3077➞9232➞4616➞2308➞1154➞577➞
1732➞866➞433➞1300➞650➞325➞976➞488➞244➞122➞61➞184➞92➞46➞23➞70➞
35➞106➞53➞160➞80➞40➞20➞10➞5➞16➞8➞4➞2

o para n=3001, que es un número primo, tendremos la sucesión siguiente:

3001➞1624➞812➞406➞203➞610➞305➞916➞458➞229➞688➞344➞172➞86➞43➞130➞65➞
196➞98➞49➞148➞74➞37➞112➞56➞28➞14➞7➞22➞11➞34➞17➞52➞26➞13➞40➞
20➞10➞5➞16➞8➞4➞2

De igual forma que las anteriores funciones de Collatz, esta g(n), donde los números primos juegan un papel predominante, da lugar a otra conjetura que también es un problema indecidible, es decir, no se puede demostrar que para cualquier entero positivo n siempre se obtiene una sucesión que converge hacia el número 2. Puesto que la hipótesis de Riemann tiene mucho que ver con los números primos, parece evidente suponer que esta ultima conjetura de Collatz que he propuesto tenga algo que ver con la de Riemann. Y no resultaria una gran sorpresa el descubrimiento de que la propia Hipótesis de Riemann es simple y llanamente un problema indecidible.

Saludos

Un universo eterno y transfinito: una foliación conforme del espaciotiempo

Foliación transfinita de la conciencia de Ridley

Nuestro universo podría poseer la forma de una hiperesfera transfinita. Para ver esto fijémonos en lo siguiente (que ya traté en un post anterior). La serie infinita N = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + … es divergente ya que su suma es N = ∞. Pero, puede ser regularizada, como demuestro en el link anterior, para dar una suma de N = -1/2. Es decir, la función Zeta de Riemann toma el valor -1/2 cuando la variable es cero:

Esta suma nos sugiere que el infinito matemático, ∞, en la recta real, coincide con el número real negativo -1/2, y -∞ coincidiría simétricamente con 1/2. Si partimos de un sistema de referencia cartesiano de dos dimensiones, tendremos que los dos ejes ortogonales podrían ser recorridos, partiendo desde el origen de coordenadas, en dos posible direcciones. Para el eje de abscisas, podríamos alcanzar el infinito, por el camino largo (hacia la derecha) hasta llegar al punto (-1/2, 0). O también podríamos alcanzar dicho punto, que representa al infinito, por el camino más corto (andando hacia la izquierda). Sin embargo, si andamos en dirección derecha, desde el origen o cualquier punto de abscisa positiva, (x,0), no podríamos llegar a los puntos situados entre el punto (-1/2, 0) y el (x,0) ya que el infinito actuaria como barrera infranqueable para seguir el camino y cerrar el círculo.

Saludos transfinitos a todos

Dos nuevas extensiones de la función Zeta de Riemann

La forma clásica de la función zeta de Riemann es

donde n son los sucesivos números naturales y s es una variable compleja. Podemos extender esa función zeta así,

donde son sucesivos números complejos de parte real y parte imaginaria enteras positivas, contados según la pairing function de Cantor. Es decir, podemos asociar a cada par de números enteros positivos (n.m) un único número k, de forma que podemos siempre expresar k en función de n y m, o hallar n y m desde k,

O sea, m será la parte real del número complejo z y n será la parte imaginaria. Con lo cual podemos escribir la función zeta extendida así,

Por otro, lado también podemos extender la función zeta de Riemann mediante su fasor,

siempre que sea un número entero definido mediamte una función de pairing. Es decir, , donde m y n son enteros positivos que corren mediante función de pairing de Cantor. Y en el caso más partícular donde , tendremos

donde obviamente sigue siendo función de los enteros positivos m y m, que a su vez son numerados mediante otro entero positivo k.

El enigma de la función arcotangente como imagen espejo de la función zeta de Riemann

Podemos escribir la función zeta de Riemann mediante la siguiente fracción continua espejo, de forma trivial, así:

(1)

Su correspondiente fracción continua ordinaria sería esta función:

(2)

Si dibujamos la gráfica de esa función para real tendremos algo así,

Es decir, esa función puede ser descrita mediante algo muy parecido a esto:

(3)

donde G(s) es otra función de s, que aún desconocemos. Una inspección algo más detallada nos muestra que G(s) se comporta también como una función arcotangente, y que por lo tanto la función inicial F(s) es en realidad la composición recursiva de sucesivas funciones arcotangentes anidadas. La función F(s) corta al eje de ordenadas en el punto , donde es el número áureo,

(4)

Esa función F(s) es un misterio. Vemos que no es simétrica respecto del eje . También puede ser notable el hecho de que para un s entero positivo suficientemente alto, F(s) se aproxima a , y para s entero negativo suficientemente grande, F(s) se aproxima a . De igual forma, se puede proponer para F(s), una función arcotangente hiperbólica de la forma:

(5)

Obviamente, los ceros de F(s) serían todos de la forma

(6)

Infinito complejo , es un número complejo de magnitud infinita, pero fase indeterminada. Y eso nos indica que no hay raíces para F(s). Según la gráfica de arriba, F(s) nunca llega a cortar al eje s, por lo tanto no poseería ceros.

Fracción continua espejo: continuación II

Consideremos ahora tres fracciones continuas en forma cerrada que fueron descubiertas por Euler (cf. Euler 1775):

(1)

donde son funciones Bessel de primera clase. Computemos ahora la fracción continua espejo de (1):

(2)

vemos que esa fracción continua espejo diverge, ya que cada denominador de cada convergente es la unidad mientras que el numerador crece en cada iteración. Si expresamos esa fracción continua espejo en forma de serie infinita tendremos,

(3)

o sea, tenemos la suma de los sucesivos números naturales. Esto nos dice que evidentemente estamos ante la presencia de la función zeta de Riemann, que escrita en forma de fracción continua espejo sería la expresión trivial siguiente,

(4)

Consideremos ahora el siguiente ejemplo de fracción continua que nos proporcionó Euler en 1775,

(5)

con lo que su fracción continua espejo sería,

(6)

es decir, obtenemos el notable resultado de que el número es precisamente el número de Euler .

Sigamos con el último ejemplo que nos proporcionó Euler,

(7)

ahora construyamos y computemos su fracción continua espejo,

(8)

Y es fácil comprobar que este número C es precisamente :

(9)

Saludos

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La función Zeta de Riemann definida en términos de integrales múltiples

Posted by Albert Zotkin on January 8, 2013

Es bien sabido que la función Zeta de Riemann puede ser expresada mediante la integral múltiple,

Pero, el otro día, cuando estudiaba la constante de Apéry, , expresada mediante la integral múltiple

descubrí, integrando con Mathematica, estas constantes zeta,

Es decir, por si nadie se había percatado hasta ahora, la función Zeta de Riemann también puede ser expresada mediante la integral múltiple siguiente:

Resultaría bastante sorprendente comprobar que esta última expresión de la función Zeta de Riemann en una integral múltiple no aparezca en ningún paper, ni hayan referencias al respecto. No puedo creerme que sea yo la primera persona que descubrió tal hecho. Le agradecería mucho a cualquier amable lector que pudiera ofrecerme alguna referencia que indicara que dicha integral múltiple ya fue descubierta y usada en la literatura de las matemáticas.

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