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Radicales anidados y un problema para Ramanujan: √₁₊₁√₂₊₂√₃₊₃√₄₊⋅⋅⋅

Posted by Albert Zotkin en agosto 4, 2015

Hoy voy a hablar de radicales anidados. No. no me refiero a radicales anidados en ningún partido político, como por ejemplo el Bolivariano trotskista de Podemos. En este caso me estoy refiriendo a un curioso objeto matemático:

Ramanujan propuso el siguiente problema en la revista Journal of Indian Mathematical Society, pero creo que no obtuvo mucho éxito en cuanto a las respuestas de los lectores,

\displaystyle   ?=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\sqrt{1+\dots}}}}}}

O sea, nadie supo la respuesta. Veamos cómo Ramanujan ofreció la solución algunos días después del frustrado problemita. Podemos ver que existe una función

\displaystyle    F(x,n)=\sqrt{n^2+x(F(x,n)+n)}

que al resolver tenemos

\displaystyle    F(x,n)^2=n^2+x(F(x,n)+n) \\ \\  F(x,n)= x+n

por lo que la solución es

\displaystyle    F(2,1) = 3

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No es cierto que 1+2+3+4+5+…=-1/12

Posted by Albert Zotkin en enero 22, 2014

Se habla mucho últimamente de una curiosa suma: Dicen que la suma de todos los números enteros positivos (naturales) es igual a -1/12., y a eso le llaman regularización. Cualquier persona con un mínimo de sentido común sabe que la suma de todos los números enteros positivos es infinito, es decir, esa suma diverge. Ramanujan sabía eso, por eso supo ver más lejos que nadie y supo que cuando una regularización se basa en una divergencia no se pueden extraer conclusiones sólidas. Los que defienden el absurdo resultado

\displaystyle  \sum_{n=1}^\infty n = 1+2+3+\dots =-\frac{1}{12}  (1)

están representados por estos dos tios del siguiente video de youtube en el que pretenden convencernos de esa absurda suma mediante cálculos incorrectos.

Toda la demostración que se puede ver en ese video se basa en la siguiente serie que diverge:

\displaystyle  S_1= 1-1+1-1+1-1+...  (2)

y nos quieren colar algo falso, a saber, que dicha suma S1 es igual a 1/2. ¿En qué se basan?. Veamos. Si empiezas a sumar términos de S1 emparejándolos desde el primer 1, se ve claramente que cada par se anula,

\displaystyle  S_1= (1-1)+(1-1)+(1-1)+... =0  (3)

con lo cual la suma sería igual a cero. Pero si empiezas a emparejar desde el segundo término entonces la suma daría 1,

\displaystyle  S_1= 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)... =1  (4)
ese hecho dispar nos está diciendo que la serie S1 es divergente. De hecho, esa disparidad de resultados se usa muy a menudo para demostrar que una serie diverge. Pero, en este caso, puesto que en la mitad de los casos dispares obtenemos 1 y en la otra mitad obtenemos cero, no sé por qué regla de tres, afirman entonces que la suma debe ser regularizada a 1/2 = (0 + 1)/2. Es decir, es regularizada a la media aritmética del conjunto de sus sumas dispares. Después de hacer esa horrible cosa pasa lo que pasa: que podemos, por ejemplo, demostrar que los elefantes verdes voladores existen. Lo honesto en este caso es decir que la serie divergente S1 posee dos ramas, es decir dos valores finitos distintos. (1, 0).

Seguidamente en el video de arriba, Ed Copeland, que es quien nos está mostrando los cálculos sobre el papel, nos presenta la siguiente serie S2:

\displaystyle  S_2= 1-2+3-4+5-6+...  (5)
Ahora se trata de ver si esa serie S2 puede ser sumada, es decir, si podemos obtener algún número real finito que represente su suma. Lo primero que hacemos es multiplicar S2 por 2:

\displaystyle  2S_2= 1-2+3-4+5-6+... + \\   \mathrm{\hspace{1.42cm}} 1-2+3-4+5-6+...  (6)
pero, en lugar de empezar a sumar como se hace arriba, empecemos dejando el primer elemento (el 1) a la izquierda, es decir:

\displaystyle  2S_2= 1-2+3-4+5-6+... + \\   \mathrm{\hspace{2.3cm}} 1-2+3-4+5-6+...  (7)

con lo cual tenemos:

\displaystyle  2S_2= 1-1+1-1+1-1+... \\   (8)

es decir, tenemos

\displaystyle  2S_2=S_1 \\ \\  \mathrm{\hspace{0.28cm}} S_2=\frac{S_1}{2}  (9)

Esto quiere decir que la serie S2 puede ser expresada en función de la serie S1, y si afirmamos que el valor regularizado de la suma de S1 es 1/2, entonces el valor regularizado de la suma de S2 es:

\displaystyle   S_2=\frac{1}{4}  (10)

pero como S1 es divergente y posee dos ramas, en realidad S2 también diverge y posee también dos ramas:

\displaystyle  S_2=0 \\ \\   S_2=\frac{1}{2}  (11)
Seguidamente Ed Copeland nos presenta la serie:

\displaystyle  S= 1+2+3+4+5+6+7+ \dots   (12)
esta es la serie que supuestamente nos daría -1/12, el resultado que he puesto en el título de este post. Veamos cómo en realidad eso no es así. Restemos S2 de S:

\displaystyle  S-S_2= 1+2+3+4+5+6+7+ \dots \\ \\   \mathrm{\hspace{1.42cm}} -[1-2+3-4+5-6+\dots] =\\ \\   \mathrm{\hspace{2.1cm}}  0+4+0+8+0+12- \dots    (13)

es decir, tenemos que:

\displaystyle  S-S_2= 4[1+2+3+4+5+6+7+ \dots ] = 4S \\ \\   S= -\frac{S_2}{3}  (14)
o sea, podemos expresar S en función de S2, y como también podemos expresar S2 en función de S1, tenemos que si regularizamos la suma, hallamos el sorprendente ( y equívoco) resultado de

\displaystyle  S= -\frac{S_2}{3} = -\frac{S_1}{2 \times 3} = -\frac{1}{4 \times 3} =-\frac{1}{12}    (15)
pero, está claro que S diverge también, igual que S1, y por lo tanto, puesto que es S = -S1/6, tendremos también dos ramas:

\displaystyle  \boxed{S= 0 \; ; S=-\frac{1}{6}}  (16)
Es decir, la suma de todos los números enteros positivos no es -1/12, sino que diverge hacia infinito porque posee dos ramas, una hacia cero y la otra hacia hacia -1/6.

Saludos

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La función Gamma Γ (x) entra en juego: otra fórmula más que genera números primos

Posted by Albert Zotkin en febrero 26, 2013

La siguiente función, basada en el teorema de Wilson, la cual asigna la unidad si n es número primo y cero si no lo es

\displaystyle  F(n)=\left \lfloor \cos^2 \left ( \cfrac{(n-1)! +1}{n}\right ) \right \rfloor = \begin{cases}  1 & \small \text{si \textit{n}=1 \'o \textit{n} es primo} \\  0 & \small \text{en caso contrario}  \end{cases}  (1)
me abrió los ojos. En realidad, (n-1)! no es más que la función Gamma, \Gamma, Es decir:

\displaystyle  \Gamma(n) = (n-1)!  (2)
Con lo cual (1) también puede expresarse así:

\displaystyle  F(n)=\left \lfloor \cos^2 \left ( \cfrac{\Gamma (n) +1}{n}\right ) \right \rfloor = \begin{cases}  1 & \small \text{si \textit{n}=1 \'o \textit{n} es primo} \\  0 & \small \text{en caso contrario}  \end{cases}  (3)

Pero, la cosa no quedó ahí. Al final, observando un poquito, y haciendo algunas pruebas, pude construir esta otra función, que funciona para n\ge 5 :

\displaystyle  \boxed{Q(x)=\text{frac} \left (\cfrac{\Gamma(x)}{x} \right )\cfrac{x^2}{x-1}= \begin{cases}  x & \small \text{si \textit{x} es primo} \\  0 & \small \text{en caso contrario}  \end{cases}}  (4)
donde \text{frac} es la función parte fraccionaria. Esta función Q(x) tiene dos excepciones, en el intervalo 0<x<5:

\displaystyle  Q(1)=\infty,\ Q(4)=\frac{8}{3}  (5)

ya que los casos Q(2)=2 y Q(3)=3 sí cumplen la definición.

Parecería sorprendente que esta simple función Q(x), la cual mapea tan perfectamente los números primos, sea otra primicia mía, y por lo tanto no me queda otra opción que buscar referencias en la literatura de la historia de las matemáticas, para que nadie me pueda endosar a mi la autoría de tan trivial hallazgo.

Quien aún no esté del todo convencido de que Q(x) funciona puede usar el programa Mathematica, por ejemplo, para computar lo siguiente:

Teorema:
Para todo entero n > 0, con n ≠ 1 y n ≠ 4, si n no es primo, entonces Γ(n) es divisible por n. Lo cual implica que si n es primo, entonces Γ(n) no es divisible por n:

\displaystyle  \small \text{si \textit{n} no es primo, entonces}\\ \\ \Gamma (n) \equiv 0 \pmod n  (6)

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Una fórmula que calcula el n-ésimo número primo

Posted by Albert Zotkin en febrero 25, 2013

El Teorema de Wilson dice que si p es un número primo, entonces (p-1)! + 1 es múltiplo de p. Es decir:

\displaystyle  (p-1)! \equiv -1 \mod{p}  (1)

Basándomos en este teorema es posible construir una función tal que:

\displaystyle  F(n)=\left \lfloor \cos^2 \left (\pi \cfrac{(n-1)! +1}{n}\right )  \right \rfloor = \begin{cases}  1    & \small \text{si \textit{n}=1 \'o \textit{n} es primo} \\  0 & \small \text{en caso contrario}  \end{cases}   (2)
donde \lfloor x \rfloor es la función suelo. Pero, es precisamente esta función suelo lo que menos me gusta de esta fórmula (2). Por lo tanto, la pregunta es si es posible modificar esa función (2) tal que no aparezca ningún tipo de función suelo o función techo. La respuesta es sí. Fijémonos en la siguiente función, para n \ge 1:

\displaystyle  G(n)=\sin^2 \left (\pi \cfrac{(n-1)! +1}{n} \right )  = \begin{cases}  \sin^2 (\frac{\pi}{n})    & \small \text{si \textit{n} no es primo} \\  0 & \small \text{si \textit{n} es primo}  \end{cases}   (3)
Es decir, para n \ge 1 la función G(n) nos da la secuencia

\displaystyle   G(n)= \left \{0,\ 0,\ 0,\ \cfrac{1}{2},\ 0,\ \cfrac{1}{4},\ 0,\ \sin^2\left(\cfrac{\pi }{8}\right),\ \sin^2\left(\cfrac{\pi }{9}\right),\ \cfrac{1}{16} \left(-1+\sqrt{5}\right)^2, \ \dots \right \}  (4)
Por lo tanto, sólo tenemos que dividir G(n) por \sin^2 \pi/n , para obtener :

\displaystyle  H(n)=\cfrac{\sin^2 \left ( \pi \cfrac{(n-1)! +1}{n} \right )}{\sin^2 \frac{\pi}{n}}  = \begin{cases}  1    & \small \text{si \textit{n} no es primo} \\  0 & \small \text{si \textit{n} es primo}  \end{cases}   (5)

Es decir, ya que para n=1 da indeterminado, para n \ge 2 la función H(n) nos da la secuencia

\displaystyle  H(n)= \left \{0,\ 0,\ 1,\ 0,\ 1,\ 0,\ 1,\ 1,\ 1, \ \dots \right \}  (6)

Pero si lo que estamos buscando es la función

\displaystyle   P(n)= \begin{cases}  0    & \small \text{si \textit{n} no es primo} \\  1 & \small \text{si \textit{n} es primo}  \end{cases}   (7)

Sólo tenemos que establecerla como complementaria de H(n):

\displaystyle   \boxed {P(n)= 1- H(n) = 1 - \cfrac{\sin^2 \left (\pi \cfrac{(n-1)! +1}{n} \right )}{\sin^2 \frac{\pi}{n}}}  (8)

con lo cual hemos obtenido una función similar a F(n), pero sin la función suelo.



Algunos consejos para su uso en Mathematica

Define la función que genera la lista (cero si no es número primo), por ejemplo esta función :
  

In[1]:=

Define ahora la función que quitará los ceros, por ejemplo esta :

In[2]:=

Veamos ahora algunos ejemplos. Primero veamos cómo la función F[x] genera una lista de números primos :

In[3]:=

Out[3]=

Veamos ahora un ejemplo de cómo la función P[x] quita los ceros . Pero, antes de eso quiero advertir que la función P[x] es muy ineficiente para esa tarea (tarda mucho) y sólo debe ser considerada como una curiosidad matemática, nada más. Aconsejo no usarla en calculos prácticos con Mathematica. Por lo tanto, como muestra, sólo la usaré para un cálculo hasta n=10:

In[4]:=

Out[4]=

Para quien posea curiosidad por saber cúanto tiempo tarda Mathematica en hacer esta última tarea, haré lo siguiente :

In[5]:=

Out[5]=

Lo cual significa que esta última operación ha tardado unos 20 segundos en realizarse (una velocidad muy pobre si tenemos en cuenta que sólo calculó hasta n = 10).

Pero, si aún deseamos quitar eficientemente los ceros a la lista que genera la función F[x], podemos usar el algoritmo Deletecases, así:

In[6]:=

Out[6]=


Otros ejemplos de funciones generadoras:

In[9]:=

In[11]:=

Out[11]=

In[12]:=

In[13]:=

Out[13]=

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Una identidad natural

Posted by Albert Zotkin en febrero 21, 2013

Si intentamos imitar el método ideado por la creatividad de la mente de Ramanujan en el post anterior, lo cual es por supuesto, bastante dificil, podemos intentar algo como lo siguiente. Sea la fracción continua espejo:

\displaystyle  A=1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{\dots}{20}}{18}}{16}}{14}}{12}}{10}}{8}}{6}}{4}}{2}  (1)

Es decir:

\displaystyle  A=\left (1+\cfrac{1}{2\times 4} +\cfrac{1}{2 \times 4\times 6}+\cfrac{1}{2\times 4\times 6\times 8} + \dots \right ) =\sum _{n=0}^{\infty } \cfrac{1}{(2 n)!!}  (2)
donde, obviamente (2n)!! es el doble factorial de los números pares. Podemos comprobar que dicha fracción continua espejo converge hacia:

\displaystyle  A = \sqrt{e}  (3)
Ahora, por otro lado, consideremos la fracción continua siguiente:

\displaystyle  C=1+\cfrac{2}{3+\cfrac{4}{5+\cfrac{6}{7+\cfrac{8}{9+\cfrac{10}{11+\dots}}}}}  (4)
Podemos comprobar que dicha fracción continua converge hacia (esta se la debemos a Euler):

\displaystyle  C= \left (\sqrt{e} -1\right )^{-1}  (5)

Por lo tanto su recíproco B converge hacia

\displaystyle  B= \cfrac{1}{C}=\sqrt{e} -1  (6)

lo cual significa que:

\displaystyle  A-B = 1  (7)

es decir, tenemos la identidad:

\displaystyle  \cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{\dots}{20}}{18}}{16}}{14}}{12}}{10}}{8}}{6}}{4}}{2} \ = \  \cfrac{1}{1+\cfrac{2}{3+\cfrac{4}{5+\cfrac{6}{7+\cfrac{8}{9+\cfrac{10}{11+\dots}}}}}}  (8)

Otra identidad natural surge de la misma forma cuando consideramos la fracción continua espejo:

\displaystyle  D=1+\cfrac{3+\cfrac{5+\cfrac{7+\cfrac{9+\cfrac{11+\cfrac{\dots}{12}}{10}}{8}}{6}}{4}}{2}   (9)

La cual converge hacia D=2\sqrt{e}. Y de forma concisa podemos expresarlo así:

\displaystyle  D=\sum _{n=0}^{\infty } \cfrac{(2 n+1 )}{(2 n)!!} =2\sqrt{e}  (10)

Por lo tanto, junto a (5), tenemos

\displaystyle  \cfrac{D}{2} - \cfrac{1}{C} = 1  (11)

es decir:

\displaystyle  \cfrac{3+\cfrac{5+\cfrac{7+\cfrac{9+\cfrac{11+\cfrac{\dots}{12}}{10}}{8}}{6}}{4}}{4} = \cfrac{1}{1+\cfrac{2}{3+\cfrac{4}{5+\cfrac{6}{7+\cfrac{8}{9+\cfrac{10}{11+\cfrac{12}{\dots}}}}}}}    (12)

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El casco vikingo de Ramanujan

Posted by Albert Zotkin en febrero 21, 2013

Ramanujan nos ofreció esta preciosa obra de arte matemático, donde aparecen unidos los números e y \pi

\displaystyle  \sqrt{\cfrac{e\pi}{2}}=\left (1+\cfrac{1}{3\times 5}  +\cfrac{1}{3 \times 5\times 7}+\cfrac{1}{3\times 5\times 7\times 9} + \dots \right ) + \cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{2}{1+\cfrac{3}{1+\cfrac{4}{1+\cfrac{5}{\dots}}}}}}  (1)
Vemos que el primero de esos dos sumandos es en realidad una fracción continua espejo. Es decir:

\displaystyle  1\ +\ \cfrac{1}{3 \times 5}\ + \ \cfrac{1}{3 \times 5 \times 7}\ + \ \dots = 1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{\dots}{21}}{19}}{17}}{15}}{13}}{11}}{9}}{7}}{5}}{3}  (2)
Esta curiosa configuración de fracciones continuas nos ofrece la apariencia de un “casco vikingo”, con un sumando expandiendose infinitamente hacia arriba y el otro expandiendose infinitamenete hacia abajo,

\displaystyle  \sqrt{\cfrac{e\pi}{2}}=1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{\dots}{21}}{19}}{17}}{15}}{13}}{11}}{9}}{7}}{5}}{3}\ +\  \cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{2}{1+\cfrac{3}{1+\cfrac{4}{1+\cfrac{5}{\dots}}}}}}  (3)
Veamos ahora más detenidamente cada uno de esos dos sumandos. El primer sumando, A, puede ser expresado de forma más sucinta así

\displaystyle  A= 1\ +\ \cfrac{1}{3 \times 5}\ + \ \cfrac{1}{3 \times 5 \times 7}\ + \ \dots =\sum _{n=0}^{\infty } \cfrac{1}{(2 n +1)!!}  (4)
donde, obviamente (2 n +1)!! es el doble factorial de los números impares. Es también obvio que ese sumando A converge, y su valor es:

\displaystyle  A=\sum _{n=0}^{\infty } \cfrac{1}{(2 n +1)!!} = \sqrt{\frac{\pi  e}{2}}\  \text{erf}\left (\frac{1}{\sqrt{2}}\right)  (5)

donde \text{erf} es la funcion error.

Veamos ahora el otro sumando B, que es como vemos, el recíproco de una fracción continua ordinaria, C, B=1/C. Dicha fracción continua C converge hacia el valor:

\displaystyle  C=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{2}{1+\cfrac{3}{1+\cfrac{4}{1+\cfrac{5}{\dots}}}}} = \cfrac{1}{\sqrt{\frac{\pi  e}{2}}\ \text{erfc}\left (\cfrac{1}{\sqrt{2}}\right )}  (6)

donde \text{erfc} es la función error complementaria. Por lo tanto, B converge hacia:

\displaystyle  B=\cfrac{1}{C} =\sqrt{\frac{\pi  e}{2}}\ \text{erfc}\left (\cfrac{1}{\sqrt{2}}\right )  (7)

Ahora sólo nos queda demostrar que efectivamente,

\displaystyle  \sqrt{\cfrac{e\pi}{2}}= A + B = \sqrt{\frac{\pi  e}{2}}\  \text{erf}\left (\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \ +  \ \sqrt{\frac{\pi  e}{2}}\ \text{erfc}\left (\cfrac{1}{\sqrt{2}}\right )  (8)

y dicha demostración es muy fácil, ya que

\displaystyle  A + B = \sqrt{\frac{\pi  e}{2}} \left (  \text{erf}\left (\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \ +  \ \text{erfc}\left (\cfrac{1}{\sqrt{2}}\right ) \right ) =\\ \\  = \sqrt{\frac{\pi  e}{2}} \left (  \text{erf}\left (\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \ +  \ 1-\text{erf}\left (\cfrac{1}{\sqrt{2}}\right ) \right ) =\sqrt{\cfrac{e\pi}{2}}  (9)

puesto que la función error complementaria se define precisamente como \text{erfc}(x) =1-\text{erf}(x). La mente creativa de Ramanujan ideó una simple suma para que la función de error erf se desvaneciese junto a su función de error complementaria, para que sólo quedase el factor \sqrt{\frac{e\pi}{2}}. Es más que evidente que Ramanujan conocía previamente el valor del sumando A y el valor de convergencia de la fracción continua C. Su mente creativa se dio cuenta de que el reciproco de C (B=1/C), al ser sumando a A eliminaba de un tiró las funciones erf y su complementaria erfc, quedando sólo el notable factor ya mencionado arriba.

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Fracción continua espejo

Posted by Albert Zotkin en enero 17, 2013

Buenos días. Siguiendo mi tónica de crear objetos matemáticos insólitos, hoy voy a crear algo que llamaré fracción continua espejo.

Fijémonos en la siguiente fracción continua genérica

\displaystyle   \displaystyle  x = a_0 + \cfrac{b_0}{a_1+ \cfrac{b_1}{a_2+ \cfrac{b_2}{a_3 + \cfrac{b_3}{a_4+  \cfrac{b_4}{a_5+\cfrac{b_5}{a_6+\cfrac{b_6}{a_7+\cfrac{b_7}{a_8+\cfrac{b_8}{a_9+\ddots}}}}}}}}}

Reflejemos ahora verticalmente esa imagen en un espejo para obtener esta otra

mirror

o sea, hemos creado una nueva clase de fracción continua en la que vemos que la iteración en lugar de crecer hacia abajo por el denominador de cada convergente, ahora crece hacia arriba por el numerador. Es decir, el número real x que he expresado arriba como fracción continua normal tiene su par espejo en x'

\displaystyle    x'=a_0+\cfrac{a_1+\cfrac{a_2+\cfrac{a_3+\cfrac{a_4+\cfrac{a_5+\cfrac{a_6+\cfrac{a_7+\cfrac{a_8+\cfrac{a_9+.^{.^{.}}}{b_8}}{b_7}}{b_6}}{b_5}}{b_4}}{b_3}}{b_2}}{b_1}}{b_0}

Pongamos ahora algunos ejemplos menos genéricos. Sabemos que 4/\pi tiene una expansión en fracción continua así,

\displaystyle   \displaystyle  \frac{4}{\pi} = 1 + \cfrac{1^2}{2+ \cfrac{3^2}{2+ \cfrac{5^2}{2 + \cfrac{7^2}{2+  \cfrac{9^2}{2+\cfrac{11^2}{2+\cfrac{13^2}{2+\cfrac{15^2}{2+\cfrac{17^2}{2+\ddots}}}}}}}}}

por lo tanto, su número real espejo será este otro

\displaystyle   \displaystyle  x'=1+\cfrac{2+\cfrac{2+\cfrac{2+\cfrac{2+\cfrac{2+\cfrac{2+\cfrac{2+\cfrac{2+\cfrac{2+.^{.^{.}}}{17^2}}{15^2}}{13^2}}{11^2}}{9^2}}{7^2}}{5^2}}{3^2}}{1^2}=\\ \\ {}\hspace{0.4cm}=3.2312947752046877\dots

Es fácil ver que estas fracciones continuas espejo pueden ser expresadas mediante la serie,

\displaystyle   x'=a_0+\frac{a_1}{b_0}+\frac{a_2}{b_0b_1}+\frac{a_3}{b_0b_1b_2}+\frac{a_4}{b_0b_1b_2b_3}+\frac{a_5}{b_0b_1b_2b_3b_4}+\frac{a_6}{b_0b_1b_2b_3b_4b_5}+ \\ \\ \\ {}\hspace{0.5cm}+\frac{a_7}{b_0b_1b_2b_3b_4b_5b_6}+\frac{a_8}{b_0b_1b_2b_3b_4b_5b_6b_7}+\frac{a_9}{b_0b_1b_2b_3b_4b_5b_6b_7b_8}+\dots

que más sucintamente puede expresarse como

\displaystyle   x'=a_0+\sum_{i=0}^{\infty} \cfrac{a_{i+1}}{\prod_{j=0}^{i} b_j }

lo cual significa que, por ejemplo, el número de Euler e, que sabemos puede ser expresado como

\displaystyle   e = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3} + \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+\cdots

expresado como fracción continua espejo quedaría así

\displaystyle    e=1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+.^{.^{.}}}{9}}{8}}{7}}{6}}{5}}{4}}{3}}{2}}{1}

y esto significa que el número e es el número real espejo de este otro e', o lo que es lo mismo, e' es espejo de e:

\displaystyle    e' = 1 + \cfrac{1}{1+ \cfrac{2}{1+ \cfrac{3}{1 + \cfrac{4}{1+  \cfrac{5}{1+\cfrac{6}{1+\cfrac{7}{1+\cfrac{8}{1+\cfrac{9}{1+\ddots}}}}}}}}}  = \\ \\   =1.5251352761609813\dots

Este número tiene algo de historia dentro de las matemáticas, y resulta ser,

\displaystyle     e' = \cfrac{1}{\sqrt{\cfrac{\pi  e}{2}} \  \text{Erfc}\left (\cfrac{1}{\sqrt{2}}\right )}

donde Erfc es la función error complementaria. Las referencias de este curioso número están en B. C. Berndt, Y.-S. Choi y S.-Y. Kang, Problemas enviados por Ramanujan al Journal of the Indian Mathematical Society, A111129.

Pero, para finalizar este breve post, yo me quedo con el extraordinario descubrimiento que he hecho al definir qué es una fracción continua espejo, y cómo el número de Euler e puede ser elegantemente expresado mediante esa fracción continua espejo tan simple que he escrito arriba. De hecho, la función exponencial expresada como series de potencias

\displaystyle   e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots

puede ser expresada también como fracción continua espejo,

\displaystyle    e^x=1+\cfrac{x+\cfrac{x^2+\cfrac{x^3+\cfrac{x^4+\cfrac{x^5+\cfrac{x^6+\cfrac{x^7+\cfrac{x^8+\cfrac{x^9+.^{.^{.}}}{9}}{8}}{7}}{6}}{5}}{4}}{3}}{2}}{1}

O si se quiere, podemos simplificar aún más esa fracción continua espejo, disolviendo las potencias de la variable x e instalándola dentro del denominador de cada convergente. De esta forma tan inmensa y maravillosa, la cual merece ser enmarcada porque tal expresión me gusta y es inédita y original, y dará mucho juego para la demostración de teoremas muy profundos, finalizo este breve post,

\displaystyle    \boxed{e^x=1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+.^{.^{.}}}{(9/x)}}{(8/x)}}{(7/x)}}{(6/x)}}{(5/x)}}{(4/x)}}{(3/x)}}{(2/x)}}{(1/x)}}

Saludos

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