Posted by Albert Zotkin on August 4, 2015
Posted in Matemáticas | Tagged: Journal of Indian Mathematical Society, podemitas, podemos, radicales, radicales anidados, Ramanujan | Leave a Comment »
Posted by Albert Zotkin on January 22, 2014
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están representados por estos dos tios del siguiente video de youtube en el que pretenden convencernos de esa absurda suma mediante cálculos incorrectos. Toda la demostración que se puede ver en ese video se basa en la siguiente serie que diverge:
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y nos quieren colar algo falso, a saber, que dicha suma S1 es igual a 1/2. ¿En qué se basan?. Veamos. Si empiezas a sumar términos de S1 emparejándolos desde el primer 1, se ve claramente que cada par se anula,
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con lo cual la suma sería igual a cero. Pero si empiezas a emparejar desde el segundo término entonces la suma daría 1,
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con lo cual tenemos:
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es decir, tenemos
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Esto quiere decir que la serie S2 puede ser expresada en función de la serie S1, y si afirmamos que el valor regularizado de la suma de S1 es 1/2, entonces el valor regularizado de la suma de S2 es:
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pero como S1 es divergente y posee dos ramas, en realidad S2 también diverge y posee también dos ramas:
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es decir, tenemos que:
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Saludos
Posted in Matemáticas | Tagged: convergencia, divergencia, infinito, números enteros positivos, números naturales, Ramanujan, serie | 17 Comments »
Posted by Albert Zotkin on February 26, 2013
La siguiente función, basada en el teorema de Wilson, la cual asigna la unidad si n es número primo y cero si no lo es
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Pero, la cosa no quedó ahí. Al final, observando un poquito, y haciendo algunas pruebas, pude construir esta otra función, que funciona para :
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ya que los casos y sí cumplen la definición.
Parecería sorprendente que esta simple función Q(x), la cual mapea tan perfectamente los números primos, sea otra primicia mía, y por lo tanto no me queda otra opción que buscar referencias en la literatura de la historia de las matemáticas, para que nadie me pueda endosar a mi la autoría de tan trivial hallazgo.
Quien aún no esté del todo convencido de que Q(x) funciona puede usar el programa Mathematica, por ejemplo, para computar lo siguiente:
Teorema: Para todo entero n > 0, con n ? 1 y n ? 4, si n no es primo, entonces G(n) es divisible por n. Lo cual implica que si n es primo, entonces G(n) no es divisible por n:
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Posted in Matemáticas | Tagged: Euler, función Gamma, función suelo, número primo, parte fraccionaria, Ramanujan, teorema de wilson | 5 Comments »
Posted by Albert Zotkin on February 25, 2013
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Basándomos en este teorema es posible construir una función tal que:
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Es decir, ya que para da indeterminado, para la función H(n) nos da la secuencia
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Pero si lo que estamos buscando es la función
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Sólo tenemos que establecerla como complementaria de H(n):
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con lo cual hemos obtenido una función similar a F(n), pero sin la función suelo.
Algunos consejos para su uso en Mathematica
Define la función que genera la lista (cero si no es número primo), por ejemplo esta función :
In[1]:=
Define ahora la función que quitará los ceros, por ejemplo esta :
In[2]:=
Veamos ahora algunos ejemplos. Primero veamos cómo la función F[x] genera una lista de números primos :
In[3]:=
Out[3]=
Veamos ahora un ejemplo de cómo la función P[x] quita los ceros . Pero, antes de eso quiero advertir que la función P[x] es muy ineficiente para esa tarea (tarda mucho) y sólo debe ser considerada como una curiosidad matemática, nada más. Aconsejo no usarla en calculos prácticos con Mathematica. Por lo tanto, como muestra, sólo la usaré para un cálculo hasta n=10:
In[4]:=
Out[4]=
Para quien posea curiosidad por saber cúanto tiempo tarda Mathematica en hacer esta última tarea, haré lo siguiente :
In[5]:=
Out[5]=
Lo cual significa que esta última operación ha tardado unos 20 segundos en realizarse (una velocidad muy pobre si tenemos en cuenta que sólo calculó hasta n = 10).
Pero, si aún deseamos quitar eficientemente los ceros a la lista que genera la función F[x], podemos usar el algoritmo Deletecases, así:
In[6]:=
Out[6]=
Otros ejemplos de funciones generadoras:
In[9]:=
In[11]:=
Out[11]=
In[12]:=
In[13]:=
Out[13]=
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Posted by Albert Zotkin on February 21, 2013
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Es decir:
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Por lo tanto su recíproco B converge hacia
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lo cual significa que:
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es decir, tenemos la identidad:
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Otra identidad natural surge de la misma forma cuando consideramos la fracción continua espejo:
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La cual converge hacia . Y de forma concisa podemos expresarlo así:
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Por lo tanto, junto a (5), tenemos
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es decir:
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Posted in Matemáticas | Tagged: Euler, fracción continua, fracción continua espejo, Ramanujan, series | 6 Comments »
Posted by Albert Zotkin on February 21, 2013
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donde es la funcion error.
Veamos ahora el otro sumando B, que es como vemos, el recíproco de una fracción continua ordinaria, C, . Dicha fracción continua C converge hacia el valor:
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donde es la función error complementaria. Por lo tanto, B converge hacia:
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Ahora sólo nos queda demostrar que efectivamente,
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y dicha demostración es muy fácil, ya que
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puesto que la función error complementaria se define precisamente como . La mente creativa de Ramanujan ideó una simple suma para que la función de error erf se desvaneciese junto a su función de error complementaria, para que sólo quedase el factor . Es más que evidente que Ramanujan conocía previamente el valor del sumando A y el valor de convergencia de la fracción continua C. Su mente creativa se dio cuenta de que el reciproco de C (B=1/C), al ser sumando a A eliminaba de un tiró las funciones erf y su complementaria erfc, quedando sólo el notable factor ya mencionado arriba.
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Posted by Albert Zotkin on January 17, 2013
Posted in Matemáticas | Tagged: fracción continua, fracción continua espejo, función exponencial, número de Euler, Ramanujan | 4 Comments »