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¿Es la Hipótesis de Riemann un problema indecidible?: empecemos con la Conjetura de Collatz

Posted by Albert Zotkin en diciembre 11, 2015

Quizás la dificultad en resolver la Hipótesis de Riemann tenga que ver con el hecho de que pueda ser un problema indecidible. Si esa hipótesis (o conjetura) es cierta o no, pero sabemos que es indecidible, entonces nunca tendremos una prueba matemática de ella.

Podemos divagar un poco sobre este tema y presentar una conjetura menos compleja (aparentemente) que la de Riemann. Se trata de la Conjetura de Collatz, o tambien conocida como el problema 3n+1. Aquí tenemos un video de Eduardo Sáenz de Cabezón que nos la explica muy sencillamente:

Para esta conjetura se define la siguiente iteración:
flow1

es decir, tenemos una función sobre los enteros positivos definida así:

\displaystyle f(n) = \begin{cases} \tfrac{n}{2}, & \mbox{si }n\mbox{ es par} \\ 3n+1, & \mbox{si }n\mbox{ es impar} \end{cases} (1)

Por ejemplo, para n=2781 tendriamos la siguiente sucesión, la cual terminaría en el 1:


2781➞8344➞4172➞2086➞1043➞3130➞1565➞4696➞2348➞1174➞587➞1762➞881➞2644
➞1322➞661➞1984➞992➞496➞248➞124➞62➞31➞94➞47➞142➞71➞214➞107➞322➞161
➞484➞242➞121➞364➞182➞91➞274➞137➞412➞206➞103➞310➞155➞466➞233➞700➞
350➞175➞526➞263➞790➞395➞1186➞593➞1780➞890➞445➞1336➞668➞334➞167➞
502➞251➞754➞377➞1132➞566➞283➞850➞425➞1276➞638➞319➞958➞479➞1438➞
719➞2158➞1079➞3238➞1619➞4858➞2429➞7288➞3644➞1822➞911➞2734➞1367➞
4102➞2051➞6154➞3077➞9232➞4616➞2308➞1154➞577➞1732➞866➞433➞1300➞
650➞325➞976➞488➞244➞122➞61➞184➞92➞46➞23➞70➞35➞106➞53➞160➞80➞
40➞20➞10➞5➞16➞8➞4➞2➞1

Se sabe ya que la conjetura de Collatz es un problema indecidible, es decir, no se puede probar matemáticamente. Pero eso no quiere decir que la conjetura sea falsa o cierta.

Yo me he animado a crear una función tipo Collatz, que posee la siguiente forma:

\displaystyle h(n) = \begin{cases} 3n+1, & \mbox{si }n\mbox{ es par} \\ \tfrac{n+1}{2}, & \mbox{si }n\mbox{ es impar} \end{cases} (2)

Esta función tipo Collatz da, por ejemplo, para n=101:

101➞51➞26➞79➞40➞121➞61➞31➞16➞49➞25➞13➞7➞4

y para cualquier entero positivo siempre parece que tenemos que la sucesión termina en 4, no en 1 como la anterior. Pero, se trata de ver si la Hipótesis de Riemann es indecidible y qué relación tiene con la conjetura generalizada de Collatz. Lo primero que observamos en toda función de Collatz es que siempre entran en juegos los números pares e impares positivos. Y si nos fijamos, la sucesión de los números primos, nace precisamente de ir cribando los números pares y los números impares (y dentro de los impares se va cribando los múltiplos de 3, de 5, etc), como en la famosa Criba de Eratóstenes. Se me ocurre esta función de Collatz, donde los números primos tienen un papel central:

\displaystyle g(n) = \begin{cases} 3n+1, & \mbox{si }n\mbox{ es primo} \\ f(n), & \mbox{si }n\mbox{ no es primo} \end{cases} (3)
y donde f(n) es la función de Collatz que primero presenté (1). Esta función, así definida, parece que converge siempre hace el número 2, para cualquier n desde el que empecemos la sucesión. Por ejemplo, para n=2710, tendremos:

2710➞1355➞4066➞2033➞6100➞3050➞1525➞4576➞2288➞1144➞572➞286➞143➞430➞
215➞646➞323➞970➞485➞1456➞728➞364➞182➞91➞274➞137➞412➞206➞103➞
310➞155➞466➞233➞700➞350➞175➞526➞263➞790➞395➞1186➞593➞1780➞890➞
445➞1336➞668➞334➞167➞502➞251➞754➞377➞1132➞566➞283➞850➞425➞1276➞
638➞319➞958➞479➞1438➞719➞2158➞1079➞3238➞1619➞4858➞2429➞7288➞3644
➞1822➞911➞2734➞1367➞4102➞2051➞6154➞3077➞9232➞4616➞2308➞1154➞577➞
1732➞866➞433➞1300➞650➞325➞976➞488➞244➞122➞61➞184➞92➞46➞23➞70➞
35➞106➞53➞160➞80➞40➞20➞10➞5➞16➞8➞4➞2

o para n=3001, que es un número primo, tendremos la sucesión siguiente:

3001➞1624➞812➞406➞203➞610➞305➞916➞458➞229➞688➞344➞172➞86➞43➞130➞65➞
196➞98➞49➞148➞74➞37➞112➞56➞28➞14➞7➞22➞11➞34➞17➞52➞26➞13➞40➞
20➞10➞5➞16➞8➞4➞2

De igual forma que las anteriores funciones de Collatz, esta g(n), donde los números primos juegan un papel predominante, da lugar a otra conjetura que también es un problema indecidible, es decir, no se puede demostrar que para cualquier entero positivo n siempre se obtiene una sucesión que converge hacia el número 2. Puesto que la hipótesis de Riemann tiene mucho que ver con los números primos, parece evidente suponer que esta ultima conjetura de Collatz que he propuesto tenga algo que ver con la de Riemann. Y no resultaria una gran sorpresa el descubrimiento de que la propia Hipótesis de Riemann es simple y llanamente un problema indecidible.

Saludos

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¿De qué está hecho el espacio?: Primer apunte sobre la Teoría Impertérrita de la Gravitación Universal

Posted by Albert Zotkin en noviembre 17, 2015

Sí, el nombre de Teoría Impertérrita de la Gravitación Universal me lo acabo de inventar en este preciso instante :-P. Esta teoría va propugnar lo siguiente:
Supongamos un universo con sólo dos cuerpos eléctricamente neutros de masas m1 y m2. Entonces, esos dos cuerpos sólo podrán moverse si lo hacen el uno hacia el otro. Nunca podrán incrementar la distancia que los separa, sólo acortarla. ¿Por qué es eso así?. Según esta teoría, que me acabo de inventar, eso sería así porque para que un cuerpo con masa se mueva necesita que en su trayectoria haya otra masa que actúe como nodo destino. Una masa sólo se podría mover hacia otra masa. En dicho universo, con sólo dos cuerpos másicos, no existiría espacio más allá del intervalo de linea recta que une sus dos centros de masas.

Según esta Teoría Impertérrita de la Gravitación Universal, si en un universo existen sólo tres cuerpos másicos, los grados de libertad serían más que los de sólo dos cuerpos. Así, la masa m1 podría moverse hacia m2 o también hacia la m3, ya que el espacio existente estaría definido por las rectas que unen todos los centros. Cabe pues, preguntarse cuánto espacio generan dos masas. Y la respuesta es la siguiente:

\displaystyle s = {2 G (m_1+m_2) \over c^2} (1)

donde:

space-grid-2

Una única masa no tendría capacidad para generar espacio (universo de una única masa) por la sencilla razón de que, en esta teoría, se necesitaría al menos otra masa más que actuara como nodo destino. Es decir, en esta teoría no existiría autogravedad.

También podemos estudiar cómo sería el movimiento de acercamiento de dos masas. Se trata de ver a qué velocidad se acercarían. Y la respuesta es simple. A medida que se van acercando, cada vez hay menos espacio entre esas dos masas, por lo que el movimiento sólo podrá ser acelerado si la cantidad de espacio que se sustrae cada vez, en cada diferencial de tiempo, es una cantidad constante. Veremos esto más tarde con más detalle.

Albert Einstein nos habló de cómo la materia y la energía curvan el espaciotiempo y cómo, una vez curvado, la materia y la energía se ven forzadas a seguir inexorablemente unas determinadas trayectorias llamadas líneas geodésicas. En esta Teoría Impertérrita de la Gravitación Universal no es necesario hablar de curvatura, ni de espaciotiempo. Nos bastará con la existencia en principio de sólo el tiempo, un tiempo absoluto. El espacio y sus atributos será generado y definidos respectivamente por la propia materia y la energía.

De la misma forma que no existen fotones libre, tampoco existen partículas con masa libres. ¿Qué quiere eso decir?. Eso quiere decir que cuando una partícula con masa se mueve, siempre lo hace hacia otra partícula con masa. Su destino siempre será llegar hasta un centro de masas. ¿Por qué?. Muy sencillo. Un universo vacío de partículas no tiene sentido. Y una partícula alejándose de otra hacia ninguna parte, hacia el vacío, sin que haya otras partículas como destino, tampoco tiene sentido. De igual forma, un fotón puede ser emitido por la sencilla razón de que será absorbido. Un fotón nunca sería emitido si previamente no existiera una transacción por la cual la naturaleza se asegura de que ese fotón será absorbido por otro sistema material con una probabilidad del 100%. Si un fotón nunca es absorbido por un sistema material entonces ese fotón nunca se emitió. Esto, que parece absurdo a simple vista, tiene muchas e importantes implicaciones, pues conecta eventos pasados con eventos futuros. Es como si la naturaleza viera en cierta forma lo que va a ocurrir en un futuro y, mediante un sistema burocrático de transacciones, negociara con el sistema que recibirá el fotón en qué condiciones se producirá. De igual forma partículas con masa, como por ejemplo leptones y hadrones, sólo pueden alejarse de otras si y sólo si se acercan a unas terceras. Esto nos indica claramente que son las partículas con masa las que crean espacio entre ellas, espacio que antes no existía.

Esta Teoría impertérrita contradice a la teoría del Big Bang (la Gran Explosión) que supuestamente dio origen a todo el universo en un único punto de espaciotiempo, con un evento singular inicial. ¿por qué la contradice?. Muy sencillo, si las partículas con masa estaban todas en el mismo punto singular, entonces no puede ocurrir el evento de una explosión o expansión, ya que no existirían masa destino hacia las que expandirse. Si un universo se expande uniformemente (siempre desde esta Teoría Impertérrita) sería porque existirían masas distribuidas en capas esféricas y concéntricas alrededor de ese universo. Pero, esas masas hacia las que supuestamente se expande el universo pertenecerían al propio universo, con lo cual, si es cierto que nuestro universo se expande, es sencillamente porque no es todo el universo, sino sólo una parte muy pequeña, más allá de la cual sigue habiendo partículas con masa que no podemos observar.

Saludos

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Cómo evitar caer en un agujero negro cuando haces footing

Posted by Albert Zotkin en septiembre 25, 2015

Cuando sales a hacer footing una mañana cualquiera, es muy fácil evitar caer en un agujero negro si te encuentras alguno en tu camino. Lo único que tienes que hacer es saltar sobre él. De esa forma, como si de un charco de agua se tratara, evitarás caer en el y ser ‘espaguetizado’.
athletisme-50
¿Tienes algunas dudas sobre como podrías saltar sobre ese agujero negro y no caer en él?. Veamos matemáticamente cómo.

El tamaño de ese agujero negro viene dado por su masa. Podemos decir que su horizonte de sucesos es su borde natural. Sería algo así como una esfera tridimensional (tres dimensiones, no cuatro, ya que por el principio holográfico toda la información cuántica estaría en la superficie exterior de su 4-esfera espacio-temporal). El radio de esa 3-esfera sería el radio de Schwarzschild, rs:

\displaystyle  r_s = {2 G M \over c^2}   (1)
Es decir, tendrías que saltar una longitud de al menos 2rs. Pero, para saltar sobre una 3-esfera necesitas algo que aún no sabes qué es. Ese algo se llama “salto cuántico” o “túnel cuántico” (un ‘salto cuántico’ es como suprimir instantáneamente el espacio existente entre dos puntos, de modo que ambos puntos, que antes estaban separados, llegan a ser el mismo punto espacio-temporal, pero sólo ocurre exclusivamente para el objeto que realiza el salto, y después del salto, los puntos restauran su distancia original). Para calcular cómo realizar ese “salto cuántico” hemos de calcular la longitud de onda de tu onda de materia. Para ese cálculo necesitaremos saber qué onda de De Broglie has de desarrollar en el borde de ese agujero negro. La longitud de tu onda de materia es

\displaystyle  \lambda = \cfrac{\hbar}{mv}  (2)
donde m es tu masa corporal y v es tu velocidad haciendo footing. ¿Cuándo conseguirás saltar sobre ese agujero sin caer dentro de él?. Evidentemente cuando saltes al menos una longitud igual a 2rs. Para ello igualamos ambas ecuaciones, (1) y (2), la primera multiplicada por 2:

\displaystyle  2r_s = \lambda  \\ \\   {\cfrac{4 G M}{c^2} = \cfrac{\hbar}{mv} }  \\ \\ \\  v = \cfrac{\hbar c^2}{4 G M m}
Calculas numéricamete ese valor, y te aseguro que, si eres capaz de desarrollar esa velocidad o una inferior, no caerás dentro de ese agujero negro que te encontraste en tu feliz camino al hacer footing. A esa velocidad v tu salto cuántico sería exactamente de dos radios de Schwarzschild. Cuanto menor es la velocidad más larga es la longitud de tu onda de materia, y por lo tanto más probabilidad tendrás de saltar cuánticamente ese diámetro. De hecho, la probabilidad de caer en un agujero negro es tan grande como la probabilidad de encontrarte uno.

Esta idea nos sirve para indicar que la velocidad mínima no nula, c0, de un cuerpo de masa m, sería tal que la longitud de onda de su onda de materia sería igual a un radio de Hubble:

\displaystyle  R_\text{H} = \cfrac{\hbar}{mc_0}
Por otro lado sabemos que una velocidad mínima tal vendría dada por la expresión:

\displaystyle    c_0 =\sqrt[3]{\frac{\hbar G}{R_\text{H}^2}}
Esto significa que la masa m, en función de esa c0, debería ser:

\displaystyle    m =\sqrt{\frac{\hbar c_0}{G}}
Lo cual nos sugiere que las masas de las partículas fundamentales surgiría por que una partícula más fundamental aún se movería o vibraría a velocidades muy cercanas al reposo.
Paradójicamente“, cuanto mayor sea el radio de Schwarzschild del agujero negro sobre el que deseas saltar cuánticamente, menor ha de ser tu velocidad hacia él, según queda explícito en la ecuación (2). Y esto demuestra que para saltar cuánticamente una distancia infinita sólo necesitas alcanzar el reposo exacto matemático si tu masa corporal es finita. Ese salto infinito te dejaría exactamente en el mismo punto donde empezó el salto, con lo que un universo infinito sería además un universo transfinito, como apunté en un reciente post mio titulado Un universo eterno y transfinito: una foliación conforme del espaciotiempo.
Saludos

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El universo según Einstein, ¿quien inventó el cero y para qué?

Posted by Albert Zotkin en septiembre 18, 2015

Muchos errores matemáticos se cometen por culpa de una mala aplicación de los métodos aritméticos y algebraicos en los que entra en juego el uso del número cero. Por ejemplo, está bien documentado que el mismo Einstein cometió, en muchas y cruciales ocasiones, el error infantil de dividir los dos lados de una misma ecuación por cero. Al dividir por cero se obtiene una indeterminación, y los resultados numéricos o algebraicos que se obtienen de eso son imprevisibles y disparatados, además de incorrectos, como es obvio. Robert Jastrow nos contó, hace ya algún tiempo, que el matemático ruso Alexander Friedman le escribió una carta a Einstein haciéndole saber que había cometido el error de dividir por cero (ese error resulta ser fatal para la consistencia interna de cualquier teoría que use las matemáticas para ser definida). Sin embargo, Einstein decidió no dar la razón a Friedman sobre su error, y escribió una carta de respuesta, no a Friedman directamente, sino a la revista científica que publicó dicha carta, en la que incluía cálculos que supuestamente demostraba que Friedman estaba equivocado respecto a su error. Friedman respondió pronto haciéndole ver a Einstein que había cometido un segundo error al intentar demostrar que su primer error no era un error, y añadió la apostilla “le agradecería que cuando usted crea que mis cálculos son correctos quizás entonces quiera escribir una corrección”. Al final Einstein tuvo que admitir que había divido por cero (error infantil donde los haya). De esa manera tan rocambolesca Alexander Friedman demostró que la teoría de Einstein sobre un universo estático era incorrecta por que contenía inconsistencias matemáticas internas fruto de dividir repetidamente por cero en las ecuaciones.

Pero no sólo la división por cero da lugar a inconsistencia. Veamos el siguiente ejemplo que propugna que existe error en algunos métodos de adición linear:

Un método de adición que sea linear y estable no puede dar una suma finita para la serie 1 + 2 + 3 + … . Que sea estable significa que sumando un término al principio de la serie incrementa la suma en la misma cantidad. Esto se muestra como sigue: Si

1 + 2 + 3 + … = x

entonces sumando 0 a ambos lados tenemos

0 + 1 + 2 + … = 0 + x = x por estabilidad.

Por linearidad, podemos restar la segunda ecuación a la primera para obtener

1 + 1 + 1 + … = x – x = 0

sumando 0 a ambos lados da

0 + 1 + 1 + 1 + … = 0,

y restando estas dos ultimas series tenemos:

1 + 0 + 0 + … = 0
1 = 0

lo cual contradice la propiedad de estabilidad.

¿Dónde está el error en todo ese proceso de manipulación aritmética?. El error está en que la x del lado derecho de la ecuación es tratada como si fuera un número finito, cuando en realidad es ∞ En cambio, la serie del lado izquierdo es tratada como si tuviera un número infinito de sumandos. Esto significa que x – x ≠ 0, sino un valor indeterminado, por lo que todos los demás resultados intermedios y la conclusión final son incorrectos.

La conclusión de todo esto es que hay que tener mucho cuidado a la hora de formular teorías científicas donde las matemáticas juegan un papel central, porque cualquier inconsistencia matemática puede echar por tierra toda una teoría que se las prometía muy felices.

Saludos

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Un universo eterno y transfinito: una foliación conforme del espaciotiempo

Posted by Albert Zotkin en septiembre 7, 2015

Foliación transfinita de la conciencia de Ridley

Foliación transfinita de la conciencia de Ridley

Nuestro universo podría poseer la forma de una hiperesfera transfinita. Para ver esto fijémonos en lo siguiente (que ya traté en un post anterior). La serie infinita N = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + … es divergente ya que su suma es N = ∞. Pero, puede ser regularizada, como demuestro en el link anterior, para dar una suma de N = -1/2. Es decir, la función Zeta de Riemann toma el valor -1/2 cuando la variable es cero:

\displaystyle   N = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +\dots = \zeta(0) =-\frac{1}{2}\\
Esta suma nos sugiere que el infinito matemático, ∞, en la recta real, coincide con el número real negativo -1/2, y -∞ coincidiría simétricamente con 1/2. Si partimos de un sistema de referencia cartesiano de dos dimensiones, tendremos que los dos ejes ortogonales podrían ser recorridos, partiendo desde el origen de coordenadas, en dos posible direcciones. Para el eje de abscisas, podríamos alcanzar el infinito, por el camino largo (hacia la derecha) hasta llegar al punto (-1/2, 0). O también podríamos alcanzar dicho punto, que representa al infinito, por el camino más corto (andando hacia la izquierda). Sin embargo, si andamos en dirección derecha, desde el origen o cualquier punto de abscisa positiva, (x,0), no podríamos llegar a los puntos situados entre el punto (-1/2, 0) y el (x,0) ya que el infinito actuaria como barrera infranqueable para seguir el camino y cerrar el círculo.

Saludos transfinitos a todos

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No es cierto que 1+2+3+4+5+…=-1/12

Posted by Albert Zotkin en enero 22, 2014

Se habla mucho últimamente de una curiosa suma: Dicen que la suma de todos los números enteros positivos (naturales) es igual a -1/12., y a eso le llaman regularización. Cualquier persona con un mínimo de sentido común sabe que la suma de todos los números enteros positivos es infinito, es decir, esa suma diverge. Ramanujan sabía eso, por eso supo ver más lejos que nadie y supo que cuando una regularización se basa en una divergencia no se pueden extraer conclusiones sólidas. Los que defienden el absurdo resultado

\displaystyle  \sum_{n=1}^\infty n = 1+2+3+\dots =-\frac{1}{12}  (1)

están representados por estos dos tios del siguiente video de youtube en el que pretenden convencernos de esa absurda suma mediante cálculos incorrectos.

Toda la demostración que se puede ver en ese video se basa en la siguiente serie que diverge:

\displaystyle  S_1= 1-1+1-1+1-1+...  (2)

y nos quieren colar algo falso, a saber, que dicha suma S1 es igual a 1/2. ¿En qué se basan?. Veamos. Si empiezas a sumar términos de S1 emparejándolos desde el primer 1, se ve claramente que cada par se anula,

\displaystyle  S_1= (1-1)+(1-1)+(1-1)+... =0  (3)

con lo cual la suma sería igual a cero. Pero si empiezas a emparejar desde el segundo término entonces la suma daría 1,

\displaystyle  S_1= 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)... =1  (4)
ese hecho dispar nos está diciendo que la serie S1 es divergente. De hecho, esa disparidad de resultados se usa muy a menudo para demostrar que una serie diverge. Pero, en este caso, puesto que en la mitad de los casos dispares obtenemos 1 y en la otra mitad obtenemos cero, no sé por qué regla de tres, afirman entonces que la suma debe ser regularizada a 1/2 = (0 + 1)/2. Es decir, es regularizada a la media aritmética del conjunto de sus sumas dispares. Después de hacer esa horrible cosa pasa lo que pasa: que podemos, por ejemplo, demostrar que los elefantes verdes voladores existen. Lo honesto en este caso es decir que la serie divergente S1 posee dos ramas, es decir dos valores finitos distintos. (1, 0).

Seguidamente en el video de arriba, Ed Copeland, que es quien nos está mostrando los cálculos sobre el papel, nos presenta la siguiente serie S2:

\displaystyle  S_2= 1-2+3-4+5-6+...  (5)
Ahora se trata de ver si esa serie S2 puede ser sumada, es decir, si podemos obtener algún número real finito que represente su suma. Lo primero que hacemos es multiplicar S2 por 2:

\displaystyle  2S_2= 1-2+3-4+5-6+... + \\   \mathrm{\hspace{1.42cm}} 1-2+3-4+5-6+...  (6)
pero, en lugar de empezar a sumar como se hace arriba, empecemos dejando el primer elemento (el 1) a la izquierda, es decir:

\displaystyle  2S_2= 1-2+3-4+5-6+... + \\   \mathrm{\hspace{2.3cm}} 1-2+3-4+5-6+...  (7)

con lo cual tenemos:

\displaystyle  2S_2= 1-1+1-1+1-1+... \\   (8)

es decir, tenemos

\displaystyle  2S_2=S_1 \\ \\  \mathrm{\hspace{0.28cm}} S_2=\frac{S_1}{2}  (9)

Esto quiere decir que la serie S2 puede ser expresada en función de la serie S1, y si afirmamos que el valor regularizado de la suma de S1 es 1/2, entonces el valor regularizado de la suma de S2 es:

\displaystyle   S_2=\frac{1}{4}  (10)

pero como S1 es divergente y posee dos ramas, en realidad S2 también diverge y posee también dos ramas:

\displaystyle  S_2=0 \\ \\   S_2=\frac{1}{2}  (11)
Seguidamente Ed Copeland nos presenta la serie:

\displaystyle  S= 1+2+3+4+5+6+7+ \dots   (12)
esta es la serie que supuestamente nos daría -1/12, el resultado que he puesto en el título de este post. Veamos cómo en realidad eso no es así. Restemos S2 de S:

\displaystyle  S-S_2= 1+2+3+4+5+6+7+ \dots \\ \\   \mathrm{\hspace{1.42cm}} -[1-2+3-4+5-6+\dots] =\\ \\   \mathrm{\hspace{2.1cm}}  0+4+0+8+0+12- \dots    (13)

es decir, tenemos que:

\displaystyle  S-S_2= 4[1+2+3+4+5+6+7+ \dots ] = 4S \\ \\   S= -\frac{S_2}{3}  (14)
o sea, podemos expresar S en función de S2, y como también podemos expresar S2 en función de S1, tenemos que si regularizamos la suma, hallamos el sorprendente ( y equívoco) resultado de

\displaystyle  S= -\frac{S_2}{3} = -\frac{S_1}{2 \times 3} = -\frac{1}{4 \times 3} =-\frac{1}{12}    (15)
pero, está claro que S diverge también, igual que S1, y por lo tanto, puesto que es S = -S1/6, tendremos también dos ramas:

\displaystyle  \boxed{S= 0 \; ; S=-\frac{1}{6}}  (16)
Es decir, la suma de todos los números enteros positivos no es -1/12, sino que diverge hacia infinito porque posee dos ramas, una hacia cero y la otra hacia hacia -1/6.

Saludos

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