¿Sabes resolver la siguiente ecuación donde
s es una variable compleja?:
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(1) |
En el límite
n ? 8, el harmónico generalizado converge hacia la función Zeta de Riemann:
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(3) |
Se ve a simple vista que el lado izquierdo de esa ecuación es una suma de exponenciales, es decir, no es un polinomio. Pero, podemos expresarlo mediante serie de potencias, por ejemplo, mediante series de Taylor, así:
He investigado algo esto y he visto que todo harmónico generalizado se puede expresar así:
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(4) |
Esto significa que la función Zeta de Riemann puede escribirse de la siguiente forma:
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(5) |
Pero, intentemos saber cómo resolver la primera ecuación que escribí, la (1): Si la variable es compleja entonces esa ecuación posee infintas raices o ceros, y dos de esos ceros son (con alta precisión en número de dígitos) estos:
Esos dos ceros, z1 y z2, son dos números irracionales, y presumíblemente sus infinitos ceros también lo sean.
Pero, intentemos contestar a la pregunta con la que abría este post. ¿Sabes resolver la siguiente ecuación donde
s es una variable compleja?:
Esa ecuación al ponerla en forma polinómica, posee grado infinito, como hemos visto arriba. Pero, ¿qué podemos decir de esta otra ecuación?:
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(6) |
Esta ecuación parece más tratable de resolver analíticamente, ¿no?. Su raíces serían estas tres (una real y dos complejas):
La pregunta del millón es la siguiente. ¿Existe algún álgebra tal que podamos transformar la ecuación analíticamente intratable (1) en otra más tratable que se parezca mucho en la forma a la (6)?. La respuesta es sí. Afortunadamente, las bases para ese tipo de álgebra ya la descubrí anteriormenete en lo que llamé
aritmética del inframundo y del ultramundo.
Partimos de la ecuación (1). y la expresamos mediante exponenciales de esta forma
ahora pasamos el 1 al lado derecho y aplicamos logaritmo neperiano en ambos lados:
y observamos que el lado izquierdo es literalmente la definición de infra-suma de grado -1, con lo cual nuestra ecuación inicial (1) queda al final así:
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(7) |
Si este álgebra poseyera las mismas propiedades que el álgebra de grado 0 convencional, podríamos atisbar una solución para esta última ecuación (7), recordando que la multiplicación de grado -1 es la suma convencional de grado 0. Así, sacando factor común (-
x) y despejándola en el lado izquierdo, obtendríamos una hipotética solución de
x:
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(8) |
Pero, sabemos que la ecuación (1) posee infinitas raíces (ceros), por lo tanto, la solución (8) debería incluir los infinitos cíclos mediante los múltiplos de
iπ. Así, una hipotética solución podría ser como la siguiente (aunque puede demostrarse fácilmente que esta solución que presento es incorrecta):
Saludos