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La fórmula de Machin para el cálculo acelerado de π

Posted by Albert Zotkin en diciembre 27, 2012

En el año 1706 (ya ha llovido), John Machin nos regaló el primer método de cálculo rápido del número \pi, y lo usó para calcularlo hasta una precisión de 100 cifras decimales. Eso fue un logro digno de mención, si consideramos que sus herramientas de cálculo en aquella época eran lápiz y papel. La fórmula de Machin es:

\displaystyle \frac{\pi}{4}= 4\arctan \left (\frac{1}{5} \right ) - \arctan \left (\frac{1}{239} \right )

Obviamente, debe de existir una relación entre los números 1/5 y 1/239. Si indagamos un poquito llegaremos a la conclusión de que para muchos números reales x se cumple que,

\displaystyle \frac{\pi}{4}= 4\arctan\left(\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2+2x^2+2 x \sqrt{1+x^2}}}\right ) -\arctan\left(\frac{-1+ x}{-1-x}\right )

Para el caso de la fórmula de Machín resulta más que obvio que ese número real es x=\frac{119}{120}. Podemos jugar a encontrar números reales x tal que (\frac{-1- x}{-1+x}) y (x+\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2+2 x^2+2 x \sqrt{1+x^2}}) sean número enteros. Podemos implementar esa tarea (por ejemplo para 10000 iteraciones) en Mathematica así:

Do[x = y /.Solve[y+Sqrt[1+y^2]+Sqrt[2+2y^2+2ySqrt[1+y^2]] == t, y][[1]];
If[IntegerQ[((-1-x)/(-1+x))], Print[x, “, {“, (-1-x)/(-1+x), “, “, t, “}”]],
{t, 10000}]

Al ejecutar esa tarea para 100000 iteraciones vemos que solo imprime el caso \frac{119}{120} \text{,\ \{239, 5\}}, por lo que se puede plantear la conjetura: ¿es x=\frac{119}{239} es único valor que da un par de números naturales, en ese caso \{239, 5\}?

Para la iteración t=197 tenemos,

\displaystyle \frac{\pi}{4}= 4\arctan \left (\frac{1}{197} \right ) - \arctan \left (-\frac{368831231}{384121583} \right ) = \\ \\ \\  {} \hspace{0.4cm} = 4\arctan \left (\frac{1}{197} \right ) + \arctan \left (\frac{368831231}{384121583} \right )

o esta otra en t=20091,

\displaystyle \frac{\pi}{4}= 4\arctan \left (\frac{1}{20091} \right ) + \arctan \left (\frac{40724873385497839}{40741092780684799} \right )

Podemos dibujar los puntos {t, x} en el intervalo {1,100}, y unirlos todos con una linea roja

En la siguiente gráfica se ven todos los puntos a una escala más ajustada

Estudiendo un poco estos puntos en la gráfica, vemos que sólo existen cuatro puntos con la coordenada x positiva \{2,\frac{17}{31}\},\{3,\frac{31}{17}\},\{4,\frac{401}{79}\},\{5,239\}, y en particular el punto \{5,239\} constituye un máximo, mientras que el siguiente punto, \{6,-\frac{1921}{241}\} constituye un mínimo. El hipotético punto para t=1 no existe (no está definido). Observamos también que la secuencia de puntos tiende a un límite asintótico en x=-1. Por lo tanto, al ser el punto \{5,239\} el máximo, podemos concluir que la fórmula de Machin constituye la configuración más rápida para el cálculo de \pi respecto a las demás comfiguraciones de pares de números.

Por supuesto, aquí no se acaba la historia de esta fórmulita de Machin. Observamos que de la resta de arcotangentes que dan lugar a \frac{\pi}{4}, la arcotangente minuendo está multiplicada por el factor 4. De hecho la fórmula de Machin corresponde a un desdoblamiento de orden 3 en ese minuendo. Para verlo mejor, debemos partir de la identidad,

\displaystyle \frac{\pi}{4}= \arctan \left (1 \right )

ahora desdoblamos \arctan (1) en una diferencia de dos arcotangentes de forma que \arctan (1) =\arctan (\frac{1}{a})-\arctan (\frac{1}{b})

pero, primero debemos saber cómo restar y sumar arcotangentes. Sabemos que \tan(\alpha+\beta) = (\tan(\alpha)+\tan(\beta))/(1-\tan(\alpha)\tan(\beta)), y por lo tanto \tan(\alpha-\beta) = (\tan(\alpha)-\tan(\beta))/(1+\tan(\alpha)\tan(\beta)). Desde estas dos fórmulas es fácil deducir la suma y resta de arcotangentes, si recordamos que \arctan(\tan(x))=x. Así pues tenemos

\displaystyle \arctan(x) + \arctan(y) = \arctan\left(\frac{x + y}{1 - xy}\right) \\ \\ \\ \arctan(x) - \arctan(y) = \arctan\left(\frac{x - y}{1 + xy}\right)

Una vez que sabemos sumar y restar arcotangentes, podemos continuar con la fórmula de Machin. En el desdoblamiento de orden 1, buscamos dos números, \frac{1}{a} y \frac{1}{b}, tal que

\displaystyle \arctan \left (\frac{1}{a} \right ) - \arctan  \left (\frac{1}{b} \right) = \arctan \left (1 \right )

es decir,

\displaystyle \frac{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}{1+\frac{1}{ab}} = 1

con lo cual obtenemos la solución para b,

\displaystyle b=\frac{-1-a}{-1+a}

y nuestra fórmula de Machin en su primer desdoblamiento de arcotangente quedará así,

\displaystyle \frac{\pi}{4}= \arctan \left (\frac{1}{a} \right ) - \arctan \left (\frac{-1+a}{-1-a}  \right )

podemos seguir desdoblando la arcotangente minuendo, dejando invariante la arcotangente sustraendo, con lo cual obtenemos un desdoblamiento de segundo orden. Pero ahora desdoblarenos en una suma en lugar de en una diferencia como antes, con lo cual ahora hay que resolver la ecuación,

\displaystyle \frac{\frac{2}{c}}{1-\frac{1}{c^2}} = \frac{1}{a}

para obtener

\displaystyle c=a\pm\sqrt{1+a^2}

o sea, tenemos dos soluciones igualmente válidas, para el desdoblamiento de segundo orden,

\displaystyle {} \hspace{0.65cm} \frac{\pi}{4}= 2\arctan \left (\frac{1}{a-\sqrt{1+a^2}} \right ) - \arctan \left (\frac{-1+a}{-1-a}  \right ) \\ \\ \\ \\ -\frac{3\pi}{4}= 2\arctan \left (\frac{1}{a+\sqrt{1+a^2}} \right ) - \arctan \left (\frac{-1+a}{-1-a}  \right )

si ahora seguimos desdoblando la arcotangente minuendo en suma de dos arcotangentes, obtendremos el desdoblamiento de tercer orden, que corresponde, como he dicho ya, a la fórmula de Machin misma, y para ello hay que resolver la ecuación

\displaystyle \frac{\frac{2}{d}}{1-\frac{1}{d^2}} = \frac{1}{a+\sqrt{1+a^2}}

para la primera solución, y

\displaystyle \frac{\frac{2}{d}}{1-\frac{1}{d^2}} = \frac{1}{a-\sqrt{1+a^2}}

para la segunda solución. Con lo cual obtendremos cuatro soluciones para el desdoblamiento de tercer orden,

\displaystyle {} \hspace{0.65cm} \frac{\pi}{4}=4\arctan \left (\frac{1}{a+\sqrt{1+a^2}+\sqrt{2+2 a^2+2 a \sqrt{1+a^2}}} \right ) - \arctan \left (\frac{-1+a}{-1-a}  \right ) \\ \\ \\  -\frac{7\pi}{4}= 4\arctan \left (\frac{1}{a+\sqrt{1+a^2}-\sqrt{2+2 a^2+2 a \sqrt{1+a^2}}} \right ) - \arctan \left (\frac{-1+a}{-1-a}  \right ) \\ \\ \\  \\  -\frac{3\pi}{4}= 4\arctan \left (\frac{1}{a-\sqrt{1+a^2}-\sqrt{2+2 a^2-2 a \sqrt{1+a^2}}} \right ) - \arctan \left (\frac{-1+a}{-1-a}  \right )  \\ \\ \\ {} \hspace{0.4cm} \frac{5\pi}{4}=4\arctan \left (\frac{1}{a-\sqrt{1+a^2}+\sqrt{2+2 a^2-2 a \sqrt{1+a^2}}} \right ) - \arctan \left (\frac{-1+a}{-1-a}  \right )

Intentaré ahora abordar un desdoblamiento de cuarto orden a ver qué encontramos por ahi. Sólo consideraré la primera de las cuatro soluciones. Para ello hay que resolver una ecuación como esta,

\displaystyle \cfrac{\frac{2}{w}}{1-\frac{1}{w^2}} = \cfrac{1}{\frac{1}{a+\sqrt{1+a^2}+\sqrt{2+2 a^2+2 a \sqrt{1+a^2}}} }

y su primera solución es;

\displaystyle w= \frac{1}{2} \left(2 a+2 \sqrt{1+a^2}+2 \sqrt{2} \sqrt{1+a^2+a \sqrt{1+a^2}}+\sqrt{4+\left(2 a+2 \sqrt{1+a^2}+2 \sqrt{2} \sqrt{1+a^2+a \sqrt{1+a^2}}\right)^2}\right)

por lo tanto obtenemos,

\displaystyle {} \hspace{0.65cm}\frac{\pi}{4}=8\arctan \left (\frac{1}{w} \right ) - \arctan \left (\frac{-1+a}{-1-a}  \right )

Es engorroso este procedimiento con todas estas expresiones de sumas con raices cuadradas. En realidad lo único que estamos haciendo es aplicar recursivamente la fórmula de la suma o la de la diferencia para hallar los coeficientes del siguiente orden. Es decir, si aplicamos la suma, tenemos

\displaystyle \dfrac{\frac{2}{a_{n+1}}}{1-\frac{1}{a_{n+1}^2}}=\dfrac{1}{a_n}

que tiene dos soluciones,

\displaystyle a_{n+1}=a_n\pm\sqrt{1+a_n^2}

Por lo tanto, una fórmula de Machin de grado n+1 quedaría así,

\displaystyle {} \hspace{0.65cm}\frac{\pi}{4}=(2^n)\arctan \left (\frac{1}{a_n\pm\sqrt{1+a_n^2}} \right ) - \arctan \left (\frac{-1+a_0}{-1-a_0}  \right )

Para bifurcar mediante una resta hay que hacerlo con dos coeficientes distintos a_{n+1}\ne b_{n+1}, ya que si fueran iguales, su diferencia siempre sería cero y la bifurcación colapsaría estúpidamente a cero. Así pues tenemos que, por ejemplo, el coeficiente a_{n+1} puede ser cierto porcentaje arbitrario 1/k_n del coeficiente a_n, es decir, k_n a_n = a_{n+1}. Por lo tanto, ahora tenemos,

\displaystyle \dfrac{\frac{1}{k_n a_n}-\frac{1}{b_{n+1}}}{1+\frac{1}{k_n a_n b_{n+1}}} = \dfrac{1}{a_n}

cuya solución es

\displaystyle b_{n+1} = \frac{-1-k_n a_n^2}{(-1+k_n) a_n}

O sea, si queremos bifurcar \arctan(1/a_n) mediante una resta, elegimos al azar un peso k_n, por ejemplo k_n=3, por lo que tendremos,

\displaystyle \arctan  \left (\frac{1}{a_n} \right ) = \arctan \left (\frac{1}{k_na_n}\right ) - \arctan \left (\frac{a_n(-1+k_n)}{-1- k_n a_n^2}\right ) \\ \\ \\ \arctan  \left (\frac{1}{a_n} \right ) = \arctan \left (\frac{1}{3a_n}\right ) - \arctan \left (\frac{2a_n}{-1-3 a_n^2}\right )

De esta forma tan sencilla, podemos elaborar el árbol genealógico de todas las fórmulas de Machin. Eligiendo el convenio de que una bifurcación (rama) a la izquierda es desdoblamiento mediante resta, y una bifurcación a la derecha es desdoblamiento mediante suma. Las sumas se tratan con sumandos iguales, así, cuando bifurcamos mediante suma, al ser igual los dos sumando, lo único que estamos haciendo es hallando su mitad y multiplicarla por 2,

\displaystyle \arctan  \left (\frac{1}{a_n} \right ) = 2\arctan \left (\frac{1}{a_n\pm\sqrt{1+a_n^2}}\right )

Pero, también podemos sumar poniendo más peso en uno de los sumando que en el otro, igual que haciamos con la resta para que no colapsara a cero. De esta forma, eligiendo aleatoriamente un porcentaje k_n, resolvemos la ecuación

\displaystyle   \dfrac{\frac{1}{k_n a_n}+\frac{1}{b_{n+1}}}{1-\frac{1}{k_n a_n b_{n+1}}} = \dfrac{1}{a_n}

cuya solución es

\displaystyle b_{n+1} =\frac{1+a_n^2 k_n}{a_n \left(-1+k_n\right)}

y la suma quedaría así,

\displaystyle   \arctan  \left (\frac{1}{a_n} \right ) = \arctan \left (\frac{1}{k_na_n}\right ) + \arctan \left ( \frac{a_n \left(-1+k_n\right)}{1+a_n^2 k_n} \right )

Todo esto es muy bonito, pero podemos controlar mejor esta clase de fórmulas de Machin, si utilizamos números complejos. Sólo hay que darse cuenta que el argumento (ángulo) del numero complejo (a +ib) es \varphi=\arctan(b/a). O sea, si a=b entonces \varphi=\pi/4=\arctan(1). Cuando multiplicamos dos o más números complejos estamos sumando sus argumentos. Por lo canto, si para el producto de dos números complejos obtenemos otro número complejo cuyas parte real e imaginaria son iguales, (a+ib)(c+id) = k +ik, eso quiere decir el ángulo suma \pi/4, y por lo tanto podemos escribir que \pi/4 = \arctan(b/a) + \arctan(d/c). y si esos números complejos que se multiplican están elevados a los exponentes n y m respectivamente, (a+ib)^n (c+id)^m = k +ik, entonces podemos decir que \pi/4 = n\arctan(b/a) + m\arctan(d/c).

Las fórmulas de Machin son todas las que se pueden escribir así,

\displaystyle   \frac{\pi}{4} = \sum_{n}^N k_n \arctan\frac{1}{a_n}

para los número enteros k_n y a_n. Esto significa que, al usar números complejos para tratar con esta clase de fórmulas, vemos que la parte imagaria es siempre la unidad, es decir, son número de la forma z_n= a_n +i

Pongamos por ejemplo, la fórmula hallada por Kikuo Takano en 1982,

\displaystyle    \frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}

Esa fórmula obedece al producto de números complejos siguiente:

\displaystyle    z=-(49 +i)^{12}(57 +i)^{32}(-239+i)^5(110443+i)^{12}

Al calcular ese producto, vemos que es otro número complejo cuyas parte real e imaginaria son iguales, por eso representa a una fórmula de Machin,

\displaystyle    z=  2^{30} 5^{96} 13^{32} 1201^{12} (1+i)

Otro ejemplo, elegimos la fórmula Machin hallada por Gauss

\displaystyle    \frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{18} + 8 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239}

y eso representa el producto de número complejos

\displaystyle    z=(18 +i)^{12}(57 +i)^8(-239+i)^5=-2^6 5^{24} 13^{20} (1+i)


La expansión en series de potencias de \arctan y es,

\displaystyle    \arctan y = y - \frac {y^3} {3} +\frac {y^5} {5} -\frac {y^7} {7} +\cdots \\  {} \hspace{1.7cm} = \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n y^{2n+1}} {2n+1} ; \qquad | y | \le 1 \qquad y \neq i,-i

Para y=1 la serie es,

\displaystyle    \arctan 1 = \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n } {2n+1}

y esa serie converge muy lentamente hacia \pi/4. El número complejo que representa a esta serie es (1+i). El número complejo que representa a la fórmula de Machin hallada por Gauss, que he escrito arriba, es (18 +i)^{12}(57 +i)^8(-239+i)^5=-2^6 5^{24} 13^{20} (1+i). A simple vista vemos que esta última está formada por la suma de tres arcotangentes, y cada una por separado converge hacia su valor muy rápidamente. En primer lugar tenemos el sumando 12\arctan \frac{1}{18}, y los tres sumandos son

\displaystyle    12\arctan \frac{1}{18} = 12\sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n} {(2n+1)(18)^{2n+1}} \\ \\  8\arctan \frac{1}{57} = 8\sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n } {(2n+1)(57)^{2n+1}} \\ \\  5\arctan \frac{1}{239} = 5\sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n} {(2n+1)(239)^{2n+1}}

O sea, para la Machin de Gauss tenemos,

\displaystyle     \frac{\pi}{4} = \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n} {(2n+1)} \left (\frac{12}{18^{2n+1}} + \frac{8}{57^{2n+1}} - \frac{5}{239^{2n+1}} \right )

La pregunta es ¿nos está informando el coeficiente 2^6 5^{24} 13^{20} de que la serie para la Machin de Gauss converge mucho más rápido que la simple para \arctan 1?
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Números repunit, codificación unaria, números primos, y una definición de número primordial

Posted by Albert Zotkin en diciembre 25, 2012

1. Número repunit:
Un número repunit es un número entero positivo consistente en n copias de la cifra 1. Por ejemplo el número

1111 = \cfrac{10^4-1}{9}

es un número repunit expresado en sistema de numeracion decimal (base 10). En general, para cualquier base b\geq 2 de sistema de numeración, y para cualquier natural n\geq 1, tendremos el número repunit,

R_n =\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} (b-1) b^i = \cfrac{b^n-1}{b-1}

Vemos que, por ejemplo, en base binaria, al número 1111, el cuál está escrito en binario y que corresponde al número 15 escrito en sistema decimal, le corresponderá un n tal que

15 = \cfrac{2^n-1}{2-1} \\ \\  2^n = 15 + 1 \\ \\  n = \cfrac{\ln 16}{ \ln 2} = 4

Los números Mersenne se definen como M_n = 2^n-1, por lo tanto son realmente los números repunit de base 2.
2. Código unario:
La codificación unaria es una codificación entrópica que representa a un número natural n, como una cadena de n unos. Es decir, una codificación unaria está relacionada con los números repunit, aunque no se corresponde exactamente con ellos. Vemos pues que el sistema de numeración unario hace uso de esta codificación unaria. Dicho sistema de numeración es el más simple, y es un sistema biyectivo de base 1
3. Números repunit primos:
Es fácil ver que, en base 10, si n is divisible por a entonces R_n es divisible por R_a, por lo tanto, si queremos que R_n sea primo, necesariamente n debe ser primo. Pongamos algunos ejemplos:

  1. 9 es divisible por 3, por lo tanto 

    \cfrac{R_9}{R_3} =\cfrac{111111111}{111} = 1001001

  2. 10 es divisible por 5, por lo tanto 

    \cfrac{R_{10}}{R_5} =\cfrac{1111111111}{11111} = 100001

  3. 10 es divisible por 2, por lo tanto 

    \cfrac{R_{10}}{R_2} =\cfrac{1111111111}{11} = 101010101

  4. 14 es divisible por 7, por lo tanto 

    \cfrac{R_{14}}{R_7} =\cfrac{11111111111111}{1111111} = 10000001

Lo contrario no es cierto siempre. Es decir, si n es primo, entonces R_n no es necesariamente primo. Por ejemplo, 13 es primo, pero R_{13} = \frac{10^{13}-1}{9} = 1111111111111 no es primo ya que es divisible por 53,

R_{13} = 1111111111111 = 53 \times 20964360587

Es reseñable el hecho de que cuando un número repunit R_n es divisible por otro número repunit R_a, debido a que a divide a n, se obtiene un número que siempre empieza y termina por la cifra 1 y en su interior siempre aparecen secuencias de ceros y unos. Esas secuencias internas de ceros y unos, que por cierto, siguen cierto órden que después veremos, nos están diciendo que ese cociente no es otro número repunit.
Si R_a |R_n , y a | n entonces R_n/R_a no es repunit.
Ese número cociente debe tener n-a+1 cifras, empezar y terminar por 1, y en el interior debe aparecer secuencias periódicas de a-1 ceros más un 1 al final

NÚMEROS PRIMORDIALES

Voy a definir un número primordial de la siguiente forma:
Sea m = 2^n -1 un número Mersenne. Entonces, puesto que m al ser escrito en sistema de numeración binario solo contiene el dígito 1 (o sea, decimos que m es un número repunit en base 2), podemos transformar dicho número sustituyendo los unos por ceros en aquellos lugares cuyo ordinal sea un número primo. Dicho número será llamado primordial. Por ejemplo, el número escrito en binario, m=111111111111_2, lo transformamos en m' = 100101011101_2, el cual expresado en el sistema de numeración decimal es m'=2397. Otro ejemplo, m'=100101011101011101011101111101_2, que en decimal es m'=628479869. Estos números pertenecen a la secuencia[1],

[1,2,9,37,599,2397,38359,153437,2454999,157119967,\\  628479869,40222711647,643563386359,2574253545437,\\  41188056726999,2636035630527967,\\  168706280353789919,674825121415159677,\\  43188807770570219359,...]

CONSTANTE PRIMORDIAL \mathcal{P}
Sea el numero racional expresado en binario 1.111111111111111111_2\dots, . Vemos que ese número es la serie geométrica 2^{0} + 2^{-1} + 2^{-2} + 2^{-3} + 2^{-4} + \dots= \sum_{i=0}^\infty 2^{-i}=2. entonces, al aplicarle una transformación primordial, obtenemos \mathcal{P}=1.00101011101011101011101111101_2\dots, que es un número claramente irracional. Vemos que dicho numero está en el intervalo (1,2), es decir, 1<\mathcal{P}<2. Calculemos el valor numérico de esta constante hasta el sumando 10000 con Mathematica usando la expresion

\bf{N[Sum[(If[PrimeQ[n + 1], 0, 1]) 2^{-n}, \{n, 0, 10000\}]]}

con lo que obtenemos el número irracional

\mathcal{P}=1.1706349802977767\dots [2]

si ahora definimos una transformación inversa a la primordial, es decir en el número en binario 1.111111111111111111_2\dots sustituimos los unos por ceros en aquellos lugares cuyo ordinal NO sea un número primo, obtendremos el número \mathcal{P'}=0.110101000101000101_2\dots, que expresado en base decimal es \mathcal{P'}=0.8293650197022233\dots. Es decir que \mathcal{P'} es también irracional, pero la suma

\mathcal{P}+\mathcal{P'}=1.1706349802977767\dots + \\ {} \hspace{2.18cm} 0.8293650197022233\dots =2

vemos que no es un número irracional, como era de esperar.

La constante \mathcal{P'} también es llamada constante de van der Waerden-Ulam[3].


Referencias
[1]   Secuencia [A139102] en la fundación OEIS.
[2]   Secuencia [A119524] en la fundación OEIS.
[3]   S. M. Ulam, Problems in Modern Mathematics, John Wiley and Sons, New York, 1960, page 54.

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¿Es cierto que la velocidad de la luz en el vacio es la máxima velocidad que una partícula puede alcanzar?

Posted by Albert Zotkin en diciembre 25, 2012

Para responder a esta pregunta primero hay que saber algo a cerca de qué es la luz. Desde hace ya más de un siglo se viene repitiendo el mantra de que nada puede moverse a velocidades superiores a c = 299.792.458 \ \rm{m/s}, que dicen que es la velocidad de la luz en el vacio. Supongamos, aunque sea mucho suponer, que es cierto que nada pudiera viajar más rápido que ese valor de c. Sí, ya sé que cuesta mucho imaginar que eso pudiera remotamente ser cierto, pero si hacemos un gran esfuerzo de imaginación podríamos lograrlo (a muchos nos gustan las pelis de ciencia ficción, y somos capaces de imaginar cosas aún mas absurdas). Entonces, una vez que conseguimos pensar que ese fenómeno pueda ser real en nuestro universo, la única opción que nos quedaría sería afirman que los cuerpos con masa son en realidad una especie de fenómeno de interferencia, como por ejemplo, en esas pelis antiguas del Oeste donde los radios de las ruedas de la diligencia, perseguida por los indios, nos dan la ilusión óptica de que están girando en sentido contrario al de avance. Pues bien, si los cuerpos con masa fueran algo parecido a un fenómeno de interferencia, entonces si un cuerpo intentara moverse a una velocidad superior a c entonces se le podría observar moviéndose en sentido contrario, como las ruedas de las diligencias, de tal modo que nada podría ser visto viajando a velocidades mayores a c. Y de igual forma si un cuerpo se moviera exactamente a c entonces se le vería, paradójicamente como parado, en reposo. O sea, primera paradoja,¿cómo es posible que algo esté viajando a una velocidad constante mayor que cero, pero siempre que lo observamos (medimos) obtenemos un valor igual a cero?. Fijémonos en este curioso vídeo de youtube

¿Qué ocurrirá si la persona que mueve la rejilla sobre los dibujos estampados lo hace a una velocidad mucho mayor a la que se observa en el vídeo?. Sí, podría ocurrir que la ilusión óptica invirtiera todos sus movimientos, con lo que parecería que estuviéramos viendo la misma película pero proyectada a la inversa. Ese es el característico fenómeno de interferencia. En realidad la causa física se llama técnicamente aliasing, y el fenómeno que produce se llama efecto estroboscópico. Por ejemplo, en el siguiente vídeo, se observa cómo las aspas principales del helicópteros parece que no giren, pero en realidad están girando exactamente a la misma frecuencia con la que la cámara de vídeo está grabando las imágenes (fotogramas/segundo). En realidad, puesto que tiene cinco aspas, para observar ese efecto de no giro, bastaría con que las aspas girasen a 1/5 de la frecuencia de captura de vídeo.

En este último ejemplo, se ve claramente cómo las aspas principales del helicóptero nunca podrán verse, usando esa videocamara, girando a mayor frecuencia que la que usa para grabar las imágenes.

Todo eso, que esta siendo fruto de nuestra imaginación, ocurría entonces en un universo que fuera en realidad una simulación de ordenador. Sí, has leído bien, el hecho de suponer que nada pueda viajar más rápido que el valor c implicaría que nuestro universo sería una vulgar performance virtual en una rejilla donde los objetos con masa podrían ser virtualmente desplazados de unas celdas a otras (en realidad lo que se desplazaría de unas celdas a otras de ese matrix no serían los objetos en sí sino la información sobre sus estados), y el efecto de ese movimiento sería algo muy parecido al efecto estroboscópico. Esa rejilla (grid, matrix) donde todo se estaría virtualmente recreando artificialmente sería la causa de que existiera esa velocidad máxima límite. No es difícil intuir que la longitud de cada una de las celdas cuadradas del matrix sería de aproximadamente la longitud de Planck (l_p=\sqrt{\hbar G/c^3}), por lo que el área de cada una de las caras de un cubo de Planck sería de A_p= l_p \times l_p =\hbar G/c^3. Y esto sugiere que sólo con la información (principio holográfico) de los estados contenidos en las seis caras de un cubo de Planck sería más que suficiente para simular un universo como este, y eso implica a las seis caras del cubo, A= 6A_p=6\hbar G/c^3.

Todo esto ocurre porque hemos partido del supuesto imaginario de que exista una velocidad limite c, llamada velocidad de la luz en el vacío, que nada ni nadie puede superar nunca. Hemos hecho un esfuerzo brutal de imaginación, al suponer que eso pudiera siquiera remotamente ser cierto, y al final hemos llegado a la conclusión de que ese limite absurdo sólo conduce al callejón sin salida de deducir que vivimos en una simulación, que tú y yo somos en realidad gliders en un autómata celular, tipo Juego de la vida de Conway. ¿Qué triste, no?. O sea, que a unos seres “superiores” se les ocurrió poner en marcha una simulación tipo autómata celular, y nosotros, tú yo, resulta que formamos parte de esa simulación. ¿Y esos supuestos seres superiores estarían observando cómo evoluciona todo en su juguetito universal e incluso podrían intervenir teleológicamente para corregir o forzar localmente la evolución de ciertos acontecimientos, según sus caprichos?. O sea, ¿si a esos supuestos seres “superiores” se les ocurre “desenchufar el ordenador” donde esta teniendo lugar la simulación, estarían cometiendo un brutal holocausto universal?.

Como verás, amable lector, esto de suponer que la velocidad de la luz en el vacio es un límite superior insalvable, sólo nos lleva a extrañas y absurdas conclusiones, por lo tanto es mejor evitar esas elucubraciones, y seguir pensando que no existe dicho límite, y que aún desconocemos muchas cosas de qué pueda ser realmente la luz.

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La post-apocalíptica fórmula del Doctor Koide cabalga de nuevo

Posted by Albert Zotkin en diciembre 22, 2012

Amables y perdurables lectores. Una vez que hemos supervivido al apocalipsis Maya del 21 de Diciembre de 2012, he de reconocer que el ser humano es esa maravillosa criatura capaz de pervivir más allá de la muerte de los estultos. Queda aún lejos en el futuro el 9 febrero de 2027, próxima parada nupcial de la Novia Cadaver, fecha amanerada extraida de la Biblioteca de los Muertos, como inminente fetiche de la Escatología Glenn-Cooperiana.

Para quienes, después de superar un apocalipsis, aún sigan sin saber qué es la fórmula de Koide y por qué es importante para la física de partículas, les contaré un pequeño resumen wikipédico:

La Fórmula de Koide, descubierta en 1981 por Yoshio Koide, es una relación entre las masas de los tres leptones cargados (electrón, muón, leptón tau), que predijo la masa del leptón tau. Esta relación, no obstante, no ha podido ser explicada hasta la fecha.

\displaystyle   Q = \frac{m_e + m_{\mu} + m_{\tau}}{(\sqrt{m_e}+\sqrt{m_{\mu}}+\sqrt{m_{\tau}})^2}

La salsa de esta fórmula está en su valor físico. Las masas del electrón, muon, y leptón tau se miden respectivamente como m_e = 0.511\ \rm{MeV}/c^2,\ m_{\mu}=105.7\ \rm{MeV}/c^2,\ m_{\tau} = 1777\ \rm{MeV}/c^2, de donde se obtiene que Q = \frac{2}{3} \pm 0.01 \normalsize  \mathrm{ \%}.
No sólo este resultado es extraño porque de tres números aparentemente aleatorios resulta una fracción sencilla, sino también porque Q es exactamente la media entre 1/3 y 1. Hasta ahora, este resultado no ha podido ser explicado ni comprendido.

Seguidamente ofreceré una interpretación geométrica de la fórmula, y una explicación en un contexto non-mainstrean (no estándar, no oficial) de relatividad Galileana Extendida (Completa).

Empecemos por la interpretación geométrica. El teorema de Descartes dice que si cuatro circulos son tangentes dos a dos en seis puntos distintos, y dichos círculos tienen curvaturas k_1,\ k_2,\ k_3,\ k_4, dicho teorema establece que,

\displaystyle  (k_1+k_2+k_3+k_4)^2=2\,(k_1^2+k_2^2+k_3^2+k_4^2)

Sabemos que una curvatura k de círculo está definida así k=1/r, donde r es el radio de curvatura.

Nuestros sagaces post-apocalíticos lectores ya se habrán percatado de que las curvaturas k_i de cada uno de esos círculos cartesianos y las respectivas masas m_i de los leptones cargados se relacionarán así k_i=\sqrt{m_i}. Pero también se habrán percatado de dos pequeñas minucias sin importancia: que no existen cuatro leptones cargados en la naturaleza sino sólo tres, y que el número de Koide no es Q=1/2 sino Q=2/3.

Podriamos pagar el diezmo de esas dos pequeñas menudencias de la siguiente forma: primero, podriamos especular que existe un cuarto leptón de gran curvatura (gran masa) k_4 \approx \infty, y en tal caso dariamos por válido el número Q=1/2 (para esos cuatro leptones), con lo cual podriamos precedir la masa del cuarto leptón cargado desde la masa de los restantes. Dicha masa sería

\displaystyle   k_4 = k_1 + k_2 + k_3 \pm2 \sqrt{k_1 k_2 + k_2 k_3 + k_3 k_1} \\ \\   \sqrt{m_4}=\sqrt{m_e}+\sqrt{m_{\mu }}+\sqrt{m_{\tau }} \ \pm \ 2  \sqrt{\sqrt{m_e m_{\mu }}+\sqrt{m_e m_{\tau }}+\sqrt{m_{\mu } m_{\tau }}} \\ \\   m_4 = \rm{9321.84\  MeV} =  \rm{9.3\  GeV}

O tambien podriamos suponer un cuarto leptón de pequeña curvatura (pequeña masa) k_4 \approx 0
k5

Con lo cual, podriamos predecir una de las tres masas que son significativamente mayores a cero,

\displaystyle  k_3=k_1+k_2\pm2\sqrt{k_1k_2}.

pero, eso tampoco parece que se observe en la naturaleza. Sin embargo, si queremos insistir en esta interpretación geométrica, podemos usar la generalización del teorema a tres dimensiones. En general, tendremos el teorema de Soddy–Gosset para cualquier número de dimensiones espaciales,

\displaystyle  \left(\sum_{i=1}^{n+2} k_i\right)^2 = n\,\sum_{i=1}^{n+2} k_i^2

donde el caso k_i = 0 corresponde a un hiperplano. Y para n=3, obviamente tendremos,

\displaystyle  \left(\sum_{i=1}^{5} k_i\right)^2 = 3\,\sum_{i=1}^{5} k_i^2

pero, aplicado al caso de los leptones cargados, esto implicaría que deben existir cinco generaciones en lugar de las tres observadas. Recientemente el LHC ha descartado casi definitivamente que exista una cuarta generación de leptones cargados. Además, ahora el número de Koide sería Q=1/3 en lugar de Q=2/3 . El número observado Q=2/3 sugiere pues un número fractal de dimensiones espaciales, n=3/2, o también puede sugerir que el espacio tridimensional, donde residen los leptones cargados, posee dos caras o lados.

Los leptones, o más genéricamente los fermiones, se moverían simultáneamente por las dos caras de ese espacio tridimensional deshojado (two-fold). Una forma de visualizar eso sería dibujar una esfera intersectada por un plano ecuatorial que separa los dos lados o caras de ese espacio 3D + tiempo.

En cuanto a la explicación relativista, me he dado cuenta de que merece un post dedicado aparte porque hay que detallar minuciosamente todos los aspectos que entran en juego.

Saludos

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¿De qué forma Gauss habría resuelto la hipótesis de Riemann?

Posted by Albert Zotkin en diciembre 20, 2012

El genio Johann Carl Friedrich Gauss murió en 1855, cuatro años antes de que Riemann publicara su famosa hipótesis acerca de la función zeta y sus ceros no triviales. Si Gauss hubiera llegado a tiempo a saber de esa conjetura, y obsesionándose con ella en su justa medida y en sus mejores momentos de forma intelectual, seguramente la habría resuelto brillantemente, y desde ese momento estelar a todo el mundo le parecería una solución más que evidente y fácil de entender, incluso por la abuela de Riemann. La pregunta es pues ¿Es posible atisbar siquiera de qué forma habría empezado Johann Carl Friedrich Gauss a solucionar la hipótesis de Riemann?, y la respuesta es sí, es posible y además muy esperanzador. Lo que sigue se me ocurrió el otro día cuando jugaba con unos cacharrillos matemáticos llamados pairing functions y al mismo tiempo recordaba qué eran los números de Gauss.

Un número entero de Gauss es un número complejo cuyas partes real e imaginaria son ambas números enteros. Este conjunto de números junto con las operaciones de suma y multiplicación de números complejos forma un dominio de integridad, y aunque este conjunto de números no posee orden total, si puede ser numerado mediante una pairing function.

Lo primero que habría hecho Gauss con la función zeta de Riemann habría sido extenderla a los enteros de Gauss, así

\displaystyle  \zeta(s) = \sum^\infty {\frac{1}{g^s}}

donde g= m +in es un entero de Gauss, y en el sumatorio corre hasta infinito mediante una pairing function. Por ejemplo, podriamos elegir la pairing function de Ulam, que cuenta en espiral desde el origen de coordenadas en el plano complejo,

Puesto que g es un número complejo (entero de Gauss), la función zeta de Riemann extendida puede escribirse de la siguiente forma también,

\displaystyle  \zeta(s) = \sum^\infty {|g|^{-s} e^{-is\varphi} }= \sum^\infty { |g|^{-s} ( \cos(-s\varphi)+i\sin(-s\varphi)) }

donde obviamente, |g| es el módulo de g, y \varphi es su argumento (fase).

Fijándonos en la cuadrícula de la figura de arriba, vemos que he señalado los números primos al ir contando en espiral (espiral de Ulam). Y si elegimos el convenio de asociar a cada cuadro de la cuadrícula un número entero de Gauss, cogiendo el vértice superior derecho de cada cuadrado, vemos claramente que cada número primo esta asociado a (uno y sólo uno) un entero de Gauss. Sin embargo, estos número de Gauss no son los llamados número primos de Gauss, los cuales están definidos de la siguiente forma:

Se dice que un número entero de Gauss, g = m+in , es primo Gaussiano si satisface los siguientes propiedades:

1. Si m y n no son cero, entonces g = m+in es primo Guassiano si m^2+n^2, es primo ordinario.
2. Si m=0, entonces n es primo Gaussinao si |n| es primo ordinario y |n|\equiv 3 \pmod{4}
3. Si n=0, entonces m es primo Gaussinao si |m| es primo ordinario y |m|\equiv 3 \pmod{4}

Una pregunta bastante fácil de responder sería la siguiente: Si la función zeta de Riemann puede expresarse mediante el producto de Euler así,

\displaystyle  \zeta(s) = \prod_p^\infty \frac{1}{1-p^s}

donde p corre por los sucesivos e infinitos números primos ordinarios, ¿es posible expresar la función zeta de Riemann extendida a enteros guassianos mediante un producto similar al anterior, pero donde los p corran por todos los primos Gaussianos por medio de alguna pairing function (como la de Ulam, o la de Cantor)?

Y para aquellos que se atrevan a intentar solucionar la hipótesis de Riemann, sólo decirles que pueden empezar por la ecuación Gaussiana anterior,

\displaystyle     \boxed{\sum^\infty { |g|^{-s} ( \cos(-s\varphi)+i\sin(-s\varphi)) } =0}

¡Suerte!

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Los números de Apéry

Posted by Albert Zotkin en diciembre 13, 2012

Los números Apéry, \mathcal{A}_n, serán las secuencias infinitas de números reales que definiré de la siguiente forma:

\mathcal{A}_n = \cfrac{(-1)^n\zeta(2n+1)(2n+1)!}{2^{2n}\pi^{2n+1}}

para enteros n \geq 1, donde \zeta(2n+1) es la función Zeta de Riemann. Los primeros números de Apéry son:

\mathcal{A}_1 = -0.058152269404375198412\dots, \\   \mathcal{A}_2 = 0.025413261140478505320\dots,  \\   \mathcal{A}_3 = -0.026291323260780709376\dots,  \\   \mathcal{A}_4 = 0.047648098352214323897\dots,  \\   \mathcal{A}_5 = -0.13256281935954208463\dots,  \\   \mathcal{A}_6 = 0.52363095673728137463\dots \\   \mathcal{A}_7 = -2.7851261150353718563\dots,  \\   \mathcal{A}_8 = 19.188634274938874681\dots,  \\   \mathcal{A}_9 = -166.22944190788221444\dots,  \\   \mathcal{A}_{10} =  1768.4666689134557020\dots,  \\   \mathcal{A}_{11} = -22666.658611822335810\dots,  \\   \mathcal{A}_{12} =  344492.87116176440976\dots

existe una forma integral para los números de Apéry:

\mathcal{A}_n =\displaystyle  \int_{0}^{1} B_{2n+1}(x) \tan (\tfrac{1}{2} \pi x ) dx

donde B_{2n+1} (x) es un polinomio de Bernoulli. Escribamos los primeros doce números de Apéry con mil cifras significativas cada uno:

A1=-0.05815226940437519841167983547808172470935185205932886883469014318566570551843028290777694819085986570639925
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A2=0.0254132611404785053204117740694788471052539657487680760322482313740315335248999061173745162264614602896553818
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965798859933766134454787271566956801955817232413171769763457113974598036928537702430683246321215016466042040709
667373925858434889290442316875488971615302845033188473607920066803026348098174845071622015305498951369683016604
239539252178724741738403970643015592567232233934554399984620366535445754254782108749067813720231393256091443030
145280828355327211623357075465476593335194398475053314208081457893206566489444365032240484401934755434452113751
33…

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Nueva conjetura sobre números primos y números de Fermat

Posted by Albert Zotkin en diciembre 6, 2012

Se define un número de Fermat como todo entero positivo que tiene la forma

F_n = 2^{2^n}+1

para todo número natural n, \{1,2,3,4,5,6,..., n,...\}.

Se sabe que todo número primero debe ser un número de Fermat, pero todo número de Fermat no es necesariamente un número primo.


Conjetura de Ribenboim:
los números de la forma

2^{2} + 1 \\ \\ 2^{2^2}+ 1 \\ \\ 2^{2^{2^2}}+ 1 \\ \\ 2^{2^{2^{2^{2^2}}}}+ 1  \\ \\ \dots

donde la exponenciación recursiva 2^2 se realiza un número primo de veces, son todos números primos


Esta clase de números es pues un subconjunto de los números de Fermat, y serán llamados números Ribenboim. Ejemplo: ¿alguien sabe si el número

R_5 = 2^{2^{2^{2^{2^2}}}}+ 1

es primo?.

Para tener una idea de la magnitud del número R_5, observemos que el número 2 aparece elevado al exponente 2^{2^{2^{2^2}}}, y este último es un número de 19729 cifras. Selfridge mostró en 1953 que el número F_{16}=2^{2^{16}}+1=2^{2^{2^{2^2}}}+1 \ no es un número primo (Ribenboim 1996, p. 88), aunque sí es monstruosamente largo,

\bf{ F_{16}=2^{2^{16}}=2^{2^{2^{2^2}}}+1 =}

Por lo tanto, el número R_5 se puede expresar también como

R_5 = 2^{2^{2^{2^{2^2}}}}+ 1 = 2^{(F_{16} \ -1)} +1

O tambien como

R_5 = 2^{2^{2^{2^{2^2}}}}+ 1 = 2^{2^{65536}}+ 1  = F_{65536}

Este número es intratable actualmente para cualquier test de primalidad, y ya ni hablamos de los sucesivos R_6, \ R_7, \ R_8, \ R_9, \dots. Así pues, encontrar un contraejemplo (si es que existe) para la conjetura de Ribenboim, creo que tardará un tiempecito 🙂

Si intentásemos abordar ese númerito R_5=F_{65536}, por ejemplo, aplicando el teorema de Pépin, que dice que un número de Fermat F_n es primo, sí y sólo si

3^{2^{(2^n-1)}}\equiv -1 \ \pmod{F_n}

nos quedaría este monstruoso test de primalidad,

3^{2^{(2^{65536}-1)}}\equiv -1 \ \pmod{F_{65536}}

¡Intratable!

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Cómo hacer tablas en latex para wordpress

Posted by Albert Zotkin en diciembre 2, 2012

El mejor módo de hacer tablas de datos en latex para páginas en wordpress es usar la cláusula:
\begin{tabular}{[options]} … \end{tabular}

Ejemplo: Tabla multicolumna (posee fila de título, y 4 columnas de anchos 2.5cm, 2cm, 4.7cm y 4.5cm respectivamente.

Hace algún tiempo, después de estudiar las unidades naturales de Planck, tuve la impresión de que el puzzle no estaba completo, faltaban algunas piezas. Muchas de las magnitudes de Planck parecen ser cotas mínimas, por ejenplo, la longitud de Planck, otras en cambio parecen ser cotas máximas, por ejemplo, la energía de Planck. Teniendo en cuenta eso, elaboré la siguiente tabla, donde completo definiciones de algunas cotas máximas y mínimas naturales de nuestro universo observable.

\normalsize \begin{tabular}{ || p{2.5cm} | p{2cm} | p{4.7cm} | p{4.5cm} || } \hline \multicolumn{4}{|c|}{\textbf{COTAS NATURALES del UNIVERSO OBSERVABLE}} \\ \hline \textbf{Magnitud} & \textbf{Dimensi\'on} & \textbf{L\'imite inferior} & \textbf{L\'imite superior} \\ \hline  velocidad & LT\begin{math}^{-1}\end{math} & \textit{velocidad-punto-cero}: \newline \begin{math} v_0 =\sqrt[3]{\hbar G /R_h^2} \end{math} & \textit{(velocidad-de-la-luz)}: \newline \begin{math} c =\sqrt[3]{\hbar G /l_p^2} \end{math} \newline \textit{en-unidades-de-}\begin{math}v_0\end{math} : \newline \begin{math} c =\sqrt[3]{N^2} \end{math} \\ \hline  longitud & L & \textit{longitud-de-Planck}: \newline \begin{math} l_p =\sqrt{\hbar G /c^3} \end{math} & \textit{radio-de-Hubble}: \newline \begin{math} R_h =\sqrt{\hbar G /v_0^3} \end{math} \newline \textit{en-unidades-de-}\begin{math}l_p\end{math} : \newline \begin{math} R_h =N \end{math} \\ \hline  tiempo & T & \textit{tiempo-de-Planck}:\newline \begin{math} t_p =\sqrt{\hbar G /c^5} \end{math} & \textit{tiempo-de-Cassini}: \newline \begin{math} t_c=H_0^{-1}=\sqrt{\hbar G /v_0^5} \end{math} \newline \textit{en-unidades-de-}\begin{math}t_p\end{math} : \newline \begin{math}t_c =\sqrt[3]{N^5} \end{math} \\ \hline  aceleraci\'on & LT\begin{math}^{-2}\end{math} & \textit{aceleracion-punto-cero}: \newline \begin{math} a_0=c^2/R_h \end{math} & \textit{aceleracion-de-Cassini}: \newline \begin{math} A_c=c^2/l_p \end{math} \newline \textit{en-unidades-de-}\begin{math}a_0\end{math} : \newline \begin{math} A_c=N \end{math} \\ \hline  masa & M & \textit{masa-punto-cero}: \newline \begin{math} m_0=\sqrt{\hbar v_0 /G} \end{math} & \textit{masa-de-Planck}: \newline \begin{math} m_p=\sqrt{\hbar c /G} \end{math} \newline \textit{en-unidades-de-}\begin{math}m_0\end{math} : \newline \begin{math} m_p =\sqrt[3]{N} \end{math} \\ \hline  densidad& ML\begin{math}^{-3}\end{math} & \textit{densidad-punto-cero}: \newline \begin{math} \rho_0=v_0^5/(\hbar G^2) \end{math} & \textit{densidad-de-Planck}: \newline \begin{math} \rho_p=c^5/(\hbar G^2) \end{math} \newline \textit{en-unidades-de-}\begin{math}\rho_0\end{math} : \newline \begin{math} \rho_p =\sqrt[3]{N^{10}} \end{math} \\ \hline  energ\'ia & ML\begin{math}^{2}\end{math}T\begin{math}^{2}\end{math} & \textit{energia-punto-cero}:\newline \begin{math} E_0=\sqrt{\hbar v_0^5 /G} \end{math} & \textit{energia-de-Planck}: \newline \begin{math} E_p=\sqrt{\hbar c^5 /G} \end{math} \newline \textit{en-unidades-de-}\begin{math}E_0\end{math} : \newline \begin{math} E_p =\sqrt[3]{N^5} \end{math} \\ \hline  temperatura & (T) & \textit{temperatura-punto-cero}: \newline \begin{math} T_0=\sqrt{\hbar v_0^5 /Gk^2} \end{math} & \textit{temperatura-de-Planck}: \newline\begin{math} T_p=\sqrt{\hbar c^5 /Gk^2} \end{math} \newline \textit{en-unidades-de-}\begin{math}T_0\end{math} : \newline \begin{math} T_p =\sqrt[3]{N^5} \end{math} \\ \hline  acci\'on & ML\begin{math}^{2}\end{math}T\begin{math}^{-1}\end{math} & \textit{constante-de-Planck-reducida}: \begin{math} \hbar \end{math} & \textit{constante-de-Cassini}: \newline \begin{math} H_c=\hbar \sqrt{c^5 /v_0^5} \end{math} \newline \textit{en-unidades-de-}\begin{math}\hbar\end{math} : \newline \begin{math} H_c =\sqrt[3]{N^5} \end{math}\\ \hline  gravedad & M\begin{math}^{-1}\end{math}L\begin{math}^{3}\end{math}T\begin{math}^{-2}\end{math} & \textit{gravedad-punto-cero}: \newline \begin{math} G_0=l_p^2v_0^3/\hbar \end{math} & \textit{constante-gravitacional}: \newline \begin{math} G=l_p^2c^3/\hbar \end{math} \newline \textit{en-unidades-de-}\begin{math}G_0\end{math} : \newline \begin{math} G =N^2 \end{math} \\ \hline  carga & Q & \textit{carga-de-electron}: \newline \begin{math} e_0=\sqrt{4\pi \epsilon_0 \hbar c/\ln{N}} \end{math} & \textit{carga-de-Planck}: \newline \begin{math} q_p=\sqrt{4\pi \epsilon_0 \hbar c} \end{math} \newline \textit{en-unidades-de-}\begin{math}e_0\end{math} : \newline \begin{math} q_p =\sqrt{\ln(N)} \end{math} \\ \hline  estructura\newline computacional & sin dimension & \textit{constante-estructura-fina}: \newline \begin{math} \alpha= e_0^2 / (\hbar c 4\pi \epsilon_0) \newline \alpha= 1/\ln(N) \end{math} & \textit{capacidad-computacional-universal}: \newline \begin{math} N =\exp(1/\alpha) \end{math} \\ \hline  \end{tabular}

Este es el código latex del ejemplo anterior


$latex \begin{tabular}{ || p{2.5cm} | p{2cm} | p{4.7cm} | p{4.5cm} || } \hline \multicolumn{4}{|c|}{\textbf{COTAS NATURALES del UNIVERSO OBSERVABLE}} \\ \hline \textbf{Magnitud} & \textbf{Dimensi\'on} & \textbf{L\'imite inferior} & \textbf{L\'imite superior} \\ \hline velocidad & LT\begin{math}^{-1}\end{math} & \textit{velocidad-punto-cero}: \newline \begin{math} v_0 =\sqrt[3]{\hbar G /R_h^2} \end{math} & \textit{(velocidad-de-la-luz)}: \newline \begin{math} c =\sqrt[3]{\hbar G /l_p^2} \end{math} \newline \textit{en-unidades-de-}\begin{math}v_0\end{math} : \newline \begin{math} c =\sqrt[3]{N^2} \end{math} \\ \hline longitud & L & \textit{longitud-de-Planck}: \newline \begin{math} l_p =\sqrt{\hbar G /c^3} \end{math} & \textit{radio-de-Hubble}: \newline \begin{math} R_h =\sqrt{\hbar G /v_0^3} \end{math} \newline \textit{en-unidades-de-}\begin{math}l_p\end{math} : \newline \begin{math} R_h =N \end{math} \\ \hline tiempo & T & \textit{tiempo-de-Planck}:\newline \begin{math} t_p =\sqrt{\hbar G /c^5} \end{math} & \textit{tiempo-de-Cassini}: \newline \begin{math} t_c=H_0^{-1}=\sqrt{\hbar G /v_0^5} \end{math} \newline \textit{en-unidades-de-}\begin{math}t_p\end{math} : \newline \begin{math}t_c =\sqrt[3]{N^5} \end{math} \\ \hline aceleraci\'on & LT\begin{math}^{-2}\end{math} & \textit{aceleracion-punto-cero}: \newline \begin{math} a_0=c^2/R_h \end{math} & \textit{aceleracion-de-Cassini}: \newline \begin{math} A_c=c^2/l_p \end{math} \newline \textit{en-unidades-de-}\begin{math}a_0\end{math} : \newline \begin{math} A_c=N \end{math} \\ \hline masa & M & \textit{masa-punto-cero}: \newline \begin{math} m_0=\sqrt{\hbar v_0 /G} \end{math} & \textit{masa-de-Planck}: \newline \begin{math} m_p=\sqrt{\hbar c /G} \end{math} \newline \textit{en-unidades-de-}\begin{math}m_0\end{math} : \newline \begin{math} m_p =\sqrt[3]{N} \end{math} \\ \hline densidad& ML\begin{math}^{-3}\end{math} & \textit{densidad-punto-cero}: \newline \begin{math} \rho_0=v_0^5/(\hbar G^2) \end{math} & \textit{densidad-de-Planck}: \newline \begin{math} \rho_p=c^5/(\hbar G^2) \end{math} \newline \textit{en-unidades-de-}\begin{math}\rho_0\end{math} : \newline \begin{math} \rho_p =\sqrt[3]{N^{10}} \end{math} \\ \hline energ\'ia & ML\begin{math}^{2}\end{math}T\begin{math}^{2}\end{math} & \textit{energia-punto-cero}:\newline \begin{math} E_0=\sqrt{\hbar v_0^5 /G} \end{math} & \textit{energia-de-Planck}: \newline \begin{math} E_p=\sqrt{\hbar c^5 /G} \end{math} \newline \textit{en-unidades-de-}\begin{math}E_0\end{math} : \newline \begin{math} E_p =\sqrt[3]{N^5} \end{math} \\ \hline temperatura & (T) & \textit{temperatura-punto-cero}: \newline \begin{math} T_0=\sqrt{\hbar v_0^5 /Gk^2} \end{math} & \textit{temperatura-de-Planck}: \newline\begin{math} T_p=\sqrt{\hbar c^5 /Gk^2} \end{math} \newline \textit{en-unidades-de-}\begin{math}T_0\end{math} : \newline \begin{math} T_p =\sqrt[3]{N^5} \end{math} \\ \hline acci\'on & ML\begin{math}^{2}\end{math}T\begin{math}^{-1}\end{math} & \textit{constante-de-Planck-reducida}: \begin{math} \hbar \end{math} & \textit{constante-de-Cassini}: \newline \begin{math} H_c=\hbar \sqrt{c^5 /v_0^5} \end{math} \newline \textit{en-unidades-de-}\begin{math}\hbar\end{math} : \newline \begin{math} H_c =\sqrt[3]{N^5} \end{math}\\ \hline gravedad & M\begin{math}^{-1}\end{math}L\begin{math}^{3}\end{math}T\begin{math}^{-2}\end{math} & \textit{gravedad-punto-cero}: \newline \begin{math} G_0=l_p^2v_0^3/\hbar \end{math} & \textit{constante-gravitacional}: \newline \begin{math} G=l_p^2c^3/\hbar \end{math} \newline \textit{en-unidades-de-}\begin{math}G_0\end{math} : \newline \begin{math} G =N^2 \end{math} \\ \hline carga & Q & \textit{carga-de-electron}: \newline \begin{math} e_0=\sqrt{4\pi \epsilon_0 \hbar c/\ln{N}} \end{math} & \textit{carga-de-Planck}: \newline \begin{math} q_p=\sqrt{4\pi \epsilon_0 \hbar c} \end{math} \newline \textit{en-unidades-de-}\begin{math}e_0\end{math} : \newline \begin{math} q_p =\sqrt{\ln(N)} \end{math} \\ \hline estructura\newline computacional & sin dimension & \textit{constante-estructura-fina}: \newline \begin{math} \alpha= e_0^2 / (\hbar c 4\pi \epsilon_0) \newline \alpha= 1/\ln(N) \end{math} & \textit{capacidad-computacional-universal}: \newline \begin{math} N =\exp(1/\alpha) \end{math} \\ \hline \end{tabular} $
Sin embargo, la mejor forma de presentar tablas de datos en wordpress es mediante código HTML, y así te evitas el engorro, aunque en cada celda de la tabla en HTML puedes seguir usando latex de la forma habitual. El ejemplo anterior escrito en latex, puede traducirse a lenguaje HTML de la siguiente forma:

COTAS NATURALES del UNIVERSO OBSERVABLE
Magnitud Dimensión Límite inferior Límite superior
Velocidad LT -1 \textit{velocidad-punto-cero}: \\  v_0 =\sqrt[3]{\hbar G /R_h^2} \textit{(velocidad-de-la-luz)}: \\ c =\sqrt[3]{\hbar G /l_p^2}  \\  \\   \textit{en-unidades-de-}v_0 : \\ c =\sqrt[3]{N^2}
Longitud L \textit{longitud-de-Planck}:  \\ l_p =\sqrt{\hbar G /c^3}  \textit{radio-de-Hubble}:  \\  R_h =\sqrt{\hbar G /v_0^3}  \\ \\ \textit{en-unidades-de-} l_p  : \\     R_h =N
Tiempo T \textit{tiempo-de-Planck}:  \\ t_p =\sqrt{\hbar G /c^5}  \textit{tiempo-de-Cassini}:  \\  t_c= H_0^{-1} =\sqrt{\hbar G /v_0^5}  \\ \\ \textit{en-unidades-de-} t_p  : \\    t_c = \sqrt[3]{N^5}
Aceleración LT -2 \textit{aceleraci\'on-punto-cero}:  \\ a_0 = \cfrac{c^2}{R_h} \textit{aceleraci\'on-de-Cassini}:  \\  A_c = \cfrac{c^2}{l_p} \\ \\ \textit{en-unidades-de-} a_0  : \\    A_c = N
Masa M \textit{masa-punto-cero}:  \\ m_0 =\sqrt{\hbar v_0 /G}  \textit{masa-de-Planck}:  \\  m_p =\sqrt{\hbar c /G}  \\ \\ \textit{en-unidades-de-} m_0  : \\    m_p=\sqrt[3]{N}
Densidad ML -3 \textit{densidad-punto-cero}:  \\ \rho_0=v_0^5/(\hbar G^2)  \textit{densidad-de-Planck}:  \\  \rho_p=c^5/(\hbar G^2)   \\ \\ \textit{en-unidades-de-} \rho_0  : \\   \rho_p=\sqrt[3]{N^{10}}
Energ\´ia ML2T -2 \textit{energ\'ia-punto-cero}:  \\ E_0=\sqrt{\hbar v_0^5 /G}  \textit{energ\'ia-de-Planck}:  \\  E_p=\sqrt{\hbar c^5 /G}  \\ \\ \textit{en-unidades-de-} E_0  : \\  E_p=\sqrt[3]{N^5}
Temperatura (T) \textit{temperatura-punto-cero}: \\   T_0=\sqrt{\hbar v_0^5 /Gk^2}   \textit{temperatura-de-Planck}:  \\  T_p=\sqrt{\hbar c^5 /Gk^2}  \\ \\ \textit{en-unidades-de-} T_0  : \\  E_p=\sqrt[3]{N^5}
Acción ML 2T -1 \textit{constante-de-Planck-reducida}: \\   \hbar   \textit{constante-de-Cassini}:  \\   H_c=\hbar \sqrt{c^5 /v_0^5}  \\ \\ \textit{en-unidades-de-} \hbar  : \\ H_c =\sqrt[3]{N^5}
Gravedad ML 3T -2 \textit{gravedad-punto-cero}: \\   G_0=\cfrac{l_p^2v_0^3}{\hbar}  \textit{constante-gravitacional}: \\   G=\cfrac{l_p^2c^3}{\hbar} \\ \\ \textit{en-unidades-de-} G_0  : \\  G =N^2
Carga Q \textit{carga-de-electron}: \\  e_0=\sqrt{\cfrac{4\pi \epsilon_0 \hbar c}{\ln{N}}}  \textit{carga-de-Planck}: \\   q_p=\sqrt{4\pi \epsilon_0 \hbar c}  \\ \\ \textit{en-unidades-de-} e_0  : \\   q_p =\sqrt{\ln(N)}
Estructura computacional sin dimensión \textit{constante-de-estructura-fina}: \\   \alpha= e_0^2 / (\hbar c 4\pi \epsilon_0) \\\alpha= 1/\ln(N)  \textit{capacidad-computacional-universal}: \\   N =\exp(1/\alpha)
Este es el código html del ejemplo

<table cellpadding=”10″ cellspacing=”2″ border=”1″ width=”600″ style=”background-color:#ffffff;text-align:left;color:#000000;font-size:11pt;font-family:times new roman;” >
<tr > <td align=center colspan=4 > <strong >COTAS NATURALES del UNIVERSO OBSERVABLE </strong > </td > </tr >
<tr >
<td align=center > <strong >Magnitud </strong > </td > <td align=center > <strong >Dimensión </strong > </td > <td align=center > <strong >Límite inferior </strong > </td > <td align=center > <strong >Límite superior </strong > </td > </tr ><tr >
<td align=center >Velocidad </td > <td align=center > <strong >LT <sup > -1 </sup > </strong > </td > <td align=center valign=top >
$latex \textit{velocidad-punto-cero}: \\ v_0 =\sqrt[3]{\hbar G /R_h^2} $ </td > <td align=center valign=top >$latex
\textit{(velocidad-de-la-luz)}: \\ c =\sqrt[3]{\hbar G /l_p^2} \\ \\ \textit{en-unidades-de-}v_0 : \\ c =\sqrt[3]{N^2}
$ </td > </tr > <tr >
<td align=center >Longitud </td > <td align=center > <strong >L </strong > </td > <td align=center valign=top >
$latex
\textit{longitud-de-Planck}: \\ l_p =\sqrt{\hbar G /c^3} $
</td > <td align=center valign=top >$latex
\textit{radio-de-Hubble}: \\ R_h =\sqrt{\hbar G /v_0^3} \\ \\ \textit{en-unidades-de-} l_p : \\ R_h =N
$ </td > </tr >
<tr >
<td align=center >Tiempo </td > <td align=center > <strong >T </strong > </td > <td align=center valign=top >
$latex
\textit{tiempo-de-Planck}: \\ t_p =\sqrt{\hbar G /c^5} $
</td > <td align=center valign=top >$latex
\textit{tiempo-de-Cassini}: \\ t_c= H_0^{-1} =\sqrt{\hbar G /v_0^5} \\ \\ \textit{en-unidades-de-} t_p : \\ t_c = \sqrt[3]{N^5}
$ </td > </tr >
<tr >
<td align=center >Aceleración </td > <td align=center > <strong >LT <sup >-2 </sup > </strong > </td > <td align=center valign=top >
$latex
\textit{aceleraci\’on-punto-cero}: \\ a_0 = \cfrac{c^2}{R_h} $
</td > <td align=center valign=top >$latex
\textit{aceleraci\’on-de-Cassini}: \\ A_c = \cfrac{c^2}{l_p} \\ \\ \textit{en-unidades-de-} a_0 : \\ A_c = N
$ </td > </tr >
<tr >
<td align=center >Masa </td > <td align=center > <strong >M </strong > </td > <td align=center valign=top >
$latex
\textit{masa-punto-cero}: \\ m_0 =\sqrt{\hbar v_0 /G} $
</td > <td align=center valign=top >$latex
\textit{masa-de-Planck}: \\ m_p =\sqrt{\hbar c /G} \\ \\ \textit{en-unidades-de-} m_0 : \\ m_p=\sqrt[3]{N}
$ </td > </tr >
<tr >
<td align=center >Densidad </td > <td align=center > <strong >ML <sup >-3 </sup > </strong > </td > <td align=center valign=top >
$latex
\textit{densidad-punto-cero}: \\ \rho_0=v_0^5/(\hbar G^2) $
</td > <td align=center valign=top >$latex
\textit{densidad-de-Planck}: \\ \rho_p=c^5/(\hbar G^2) \\ \\ \textit{en-unidades-de-} \rho_0 : \\ \rho_p=\sqrt[3]{N^{10}}
$ </td > </tr >
<tr >
<td align=center >Energ\´ia </td > <td align=center > <strong >ML <sup >2 </sup >T <sup >-2 </sup > </strong > </td > <td align=center valign=top >
$latex
\textit{energ\’ia-punto-cero}: \\ E_0=\sqrt{\hbar v_0^5 /G} $
</td > <td align=center valign=top >$latex
\textit{energ\’ia-de-Planck}: \\ E_p=\sqrt{\hbar c^5 /G} \\ \\ \textit{en-unidades-de-} E_0 : \\ E_p=\sqrt[3]{N^5}
$ </td > </tr >
<tr >
<td align=center >Temperatura </td > <td align=center > <strong >(T) </strong > </td > <td align=center valign=top >
$latex
\textit{temperatura-punto-cero}: \\ T_0=\sqrt{\hbar v_0^5 /Gk^2} $
</td > <td align=center valign=top >$latex
\textit{temperatura-de-Planck}: \\ T_p=\sqrt{\hbar c^5 /Gk^2} \\ \\ \textit{en-unidades-de-} T_0 : \\ E_p=\sqrt[3]{N^5}
$ </td > </tr >
<tr >
<td align=center >Acción </td > <td align=center > <strong >ML <sup > 2 </sup >T <sup > -1 </sup > </strong > </td > <td align=center valign=top >
$latex
\textit{constante-de-Planck-reducida}: \\ \hbar $
</td > <td align=center valign=top >$latex
\textit{constante-de-Cassini}: \\ H_c=\hbar \sqrt{c^5 /v_0^5} \\ \\ \textit{en-unidades-de-} \hbar : \\ H_c =\sqrt[3]{N^5}
$ </td > </tr >
<tr >
<td align=center >Gravedad </td > <td align=center > <strong >ML <sup > 3 </sup >T <sup > -2 </sup > </strong > </td > <td align=center valign=top >
$latex
\textit{gravedad-punto-cero}: \\ G_0=\cfrac{l_p^2v_0^3}{\hbar} $
</td > <td align=center valign=top >$latex
\textit{constante-gravitacional}: \\ G=\cfrac{l_p^2c^3}{\hbar} \\ \\ \textit{en-unidades-de-} G_0 : \\ G =N^2
$ </td > </tr >
<tr >
<td align=center >Carga </td > <td align=center > <strong >Q </strong > </td > <td align=center valign=top >
$latex
\textit{carga-de-electron}: \\ e_0=\sqrt{\cfrac{4\pi \epsilon_0 \hbar c}{\ln{N}}} $
</td > <td align=center valign=top >$latex
\textit{carga-de-Planck}: \\ q_p=\sqrt{4\pi \epsilon_0 \hbar c} \\ \\ \textit{en-unidades-de-} e_0 : \\ q_p =\sqrt{\ln(N)}
$ </td > </tr >
<tr >
<td align=center >Estructura computacional </td > <td align=center > <strong >sin dimensión</strong > </td > <td align=center valign=top >
$latex
\textit{constante-de-estructura-fina}: \\ \alpha= e_0^2 / (\hbar c 4\pi \epsilon_0) \\\alpha= 1/\ln(N) $
</td > <td align=center valign=top >$latex
\textit{capacidad-computacional-universal}: \\ N =\exp(1/\alpha)
$ </td > </tr >
</table >
Si tu problema es que no posees un editor de HTML adecuado, te puedo recomendar el mejor editor gratuito WYSIWYG de páginas web, según mi parecer: Es el Amaya versión 11 o superior.

Actualización: Este post ha quedado obsoleto, debido a que el latex de WordPress no admite ya expresiones largas.

Saludos

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