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Neutrinos superlumínicos: desintegración de un pión

Posted by Albert Zotkin en junio 12, 2016

Hola amigos de Tardígrados. Hoy vamos a ver cómo se desintegra un pión (pi mesón). En concreto veremos el modo principal en que decae un pión con carga eléctrica positiva. Los pi mesones con carga tienen una masa de 139.6 MeV/c², y una vida media de 2.6 × 10⁻⁸ s. Se desintegran debido a la interacción débil. El modo de desintegración más común es una desintegración leptónica hacia un muón y un muón neutrino, la cual ocurre el 99% de las veces:

91676

\displaystyle  \pi^+ \rightarrow \mu^+ + \nu_{\mu} \\ \\  \pi^- \rightarrow \mu^- + \bar{\nu}_{\mu}  (1)
Un pión π⁺ está constituido por un par de quarks, en concreto, un quark up y un quark anti-down, y el modo de desintegración principal es como muestra el siguiente diagrama:

pion

Este pi mesón decae en reposo, por lo tanto, las leyes de conservación serán estas:

\displaystyle  E_\pi = E_\mu + E_{\nu_\mu} \\ \\  0 = p_\mu + p_{\nu_\mu}
Pero, en el capítulo anterior vimos cómo los neutrinos no pueden estar en reposo auque sean producto de la desintegración de partículas que estaban en reposo. Para este cálculo teórico usaré la relación de dispersión neutrínica descubierta por mi en el capítulo anterior: Así, tendremos:

\displaystyle  E_\pi = m_\pi c^2 \;\;\,  \\ \\  p_\pi = 0\;\;\, \small \text{porque} \;\pi^+\; \text{est\'a en reposo} \\ \\  E_\mu^2 = p_\mu^2c^2+ m_\mu^2 c^4 \\ \\  p_\mu = m_\mu c \sinh (\tfrac{v_\mu}{c}) \\ \\  E_{\nu_\mu}^2 = p_{\nu_\mu}^2c^2- m_{\nu_\mu}^2 c^4 \\ \\  p_{\nu_\mu} = m_{\nu_\mu} c \cosh(\tfrac{v}{c})
Observamos también que si el momento del neutrino no es cero, entonces tampoco debe ser cero el momento del muón. En concreto, ese momento debe ser exactamente opuesto e igual en magnitud al del neutrino. Escalarmente serían:

\displaystyle p_\mu = p_{\nu_\mu} \\ \\  m_\mu c \sinh (\tfrac{v_\mu}{c}) = m_{\nu_\mu} c \cosh(\tfrac{v}{c}) \\ \\  \frac{m_\mu \sinh (\tfrac{v_\mu}{c})}{m_{\nu_\mu}} = \cosh(\tfrac{v}{c})  \\ \\  \frac{v}{c} = \rm{arcosh}\left(\frac{m_\mu \sinh (\tfrac{v_\mu}{c})}{m_{\nu_\mu}}\right)

camara-burbujas

Si suponemos que el muón se mueve con una velocidad sublumínica, por ejemplo, con una β = 1/20, obtendremos una β para el neutrino muónico de:

\displaystyle  m_\mu = 105.6583715 \; \rm{Me/c^2}  \\ \\  m_{\nu_\mu}= 0.17   \; \rm{Me/c^2}  \\ \\   \beta=\frac{v}{c} = \rm{arcosh}\left(\frac{105.6583715 \sinh (\tfrac{1}{20})}{0.17}\right)   \\ \\  \beta= 4.12974
Es decir, ese neutrino muónico superaría en 4 veces la velocidad de la luz en el vacío. Para un rango de velocidades muónicas que van desde β = 0 hasta β = 1, tendríamos la siguiente gráfica del intervalo de velocidades para el neutrino:

hyperbolas

Saludos

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¿Por qué el cuadrado de la masa de un neutrino es un valor negativo?

Posted by Albert Zotkin en junio 10, 2016

Desde hace muchos años se sabe que el cuadrado de las masas (medidas) de los neutrinos es siempre un valor negativos, lo que resulta extraño, ya que matemáticamente tendríamos una masa imaginaria. Para reconciliar este aparente sinsentido con la razón, se propuso ya desde hace tiempo que los neutrinos debían ser fermiones que se mueven a velocidades superluminicas.

lepto-quarks

El cuadrado de la masa de un neutrino se midió sistemáticamente en experimentos donde tenia lugar la desintegración del Tritio, que produce emisiones beta de baja energía. Esas mediciones de la masa de los neutrinos se realizaba ajustando la forma del espectro de emisión las partículas beta cerca de sus puntos extremos. En muchos de esos experimentos se encontró que los cuadrados de esas masas daban significativos e inequívocos valores negativos. La mayoría de esos datos están registrados en ”Review of Particle Physics, 2000” (Review of Particles Physics, Euro. Phys. Jour. C15, 350-353 (2000).). Dos de esos experimentos en 1999 dieron en sus medias ponderadas el siguiente valor:

\displaystyle    m^2(\nu_e) = -2.5 \pm 3.3 \; eV^2   (1)
Sin embargo, otras nueve medidas de experimentos realizados entre 1991-1995 no se usan como medias. Por ejemplo, el valor de:

\displaystyle    m^2(\nu_e) = -130 \pm 20 \; eV^2   (2)
con un 95% de nivel de confianza se midió en el LLNL en 1995. El valor negativo del cuadrado de las masas de los neutrinos significa que la relación de dispersión de la energía total y el momento es simplemente:

\displaystyle    E^2 - p^2 c^2 = m^2(\nu_e)c^4 \; \textless\; 0     (3)
Desde la teoría de la Relatividad Especial todo esto conduce a pensar que las velocidades de esos neutrinos es superior a c. Por ejemplo, la energía total es desde el punto de vista de esa teoría:

\displaystyle    E = mc^2 \gamma = \cfrac{mc^2}{\sqrt{1-\tfrac{v^2}{c^2}}}     (4)
implicaría que esa energía es un número complejo puro. Y lo mismo ocurriría con su momento lineal:

\displaystyle    p = \cfrac{mv}{\sqrt{1-\tfrac{v^2}{c^2}}}     (5)
y eso implicar, a su vez, que ha de ser:

\displaystyle    E^2 \;\textless\; p^2 c^2      (6)
Todo este sinsentido ocurre cuando usamos los formalismos de la Relatividad Especial para describir la energía y el momento lineal de los neutrinos. Veamos ahora, qué ocurre cuando usamos los formalismos de la Relatividad Galileana Completa:

\displaystyle  E = mc^2 \cosh \tfrac{v}{c}   (7)
\displaystyle  p = mc \sinh \tfrac{v}{c}   (8)
Observamos, con agrado, que con estos formalismos matemáticos de la Relatividad Galileana Completa, no obtenemos absurdos como energías y momentos que sean magnitudes imaginarias, sino que son números reales, y con la única condición de que la inecuación (6) se cumple para los neutrinos. Por lo tanto los neutrinos podrían ser taquiones, una clase de partículas, que viajarían a velocidades superluminicas. La relación de dispersión entre energía y momento para los fermiones (tardiones) y para los taquiones, se puede representar gráficamente de forma paramétrica así:

e-p

Vemos que son hipérbolas, donde, obviamente, el parámetro es la β = v/c, y las lineas discontinuas, son las asíntotas, que representa la velocidad de la luz, c (es decir para β = 1) . La ecuación de una hipérbola es:

\displaystyle  \frac{x^2}{a}-\frac{y^2}{b}=1   (9)
y en forma paramétrica con coseno y seno hiperbólicos es:

\displaystyle  \cosh^2 u -\sinh^2 u =1   (10)
Esto significa que, para los fermiones, la relación de dispersión entre energía y momento es:

\displaystyle  \cosh^2 \left(\frac{v}{c}\right) -\sinh^2 \left(\frac{v}{c}\right) =1 \\ \\ \\   \cfrac{E}{mc^2}= \cosh \left(\frac{v}{c}\right) \\ \\ \\   \cfrac{p}{mc}= \sinh \left(\frac{v}{c}\right)   (11)
Para partículas que sean taquiones, como supuestamente son los neutrinos, la relación de dispersión entre su energía y momento obedece a una transformación de inversión como la siguiente:

\displaystyle  \cfrac{E}{mc^2}= \sinh \left(\frac{v}{c}\right) \\ \\ \\   \cfrac{p}{mc}= \cosh \left(\frac{v}{c}\right)   (12)
Es decir, la gráfica es una hipérbola orientaba norte-sur, como la representada en la figura anterior. Por lo tanto, para los neutrinos tenemos la relación:

\displaystyle  E^2- p^2 c^2 = - m^2 c^4   (13)
La conclusión de todo esto es clara: si aplicamos a los neutrinos las mismas leyes y relaciones entre energía y momento que aplicamos a los fermiones, obtenemos masas imaginarias o velocidades superluminicas. Es decir, los formalismos fermiónicos aplicados a neutrinos nos ofrecen valores negativos para los cuadrados de sus masas. Pero si aplicamos una relación de dispersión energía-momento distinta, no obtenemos esos valores imaginarios sino valores reales. Los neutrinos, no tienen por que viajar a velocidades superluminicas, simplemente obedecen la relación E²- p²c² = – m²c⁴. Por el contrario, los leptones, que tampoco tienen por que viajar a velocidades superlumínicas, poseen esta otra relación de dispersión: E²- p²c² = m²c⁴.
Analicemos brevemente una desintegracion de Michel para un muón:
michel-decay
En dicha desintegración, el muón decae hacia un electrón, más un antineutrino electrónico y un muón neutrino. Si desglosamos la dispersión leptónica, obtenemos:

\displaystyle  E_\mu^2- p_\mu^2 c^2 =  m_\mu^2 c^4 \\ \\  E_e^2- p_e^2 c^2 =  m_e^2 c^4 \\ \\   p_{\bar{\nu_e}}^2 c^2 - E_{\bar{\nu_e}}^2  =  m_{\bar{\nu_e}}^2 c^4 \\ \\   p_{\nu_\mu}^2 c^2 - E_{\nu_\mu}^2  =  m_{\nu_\mu}^2 c^4
esas relaciones ya no nos ofrecen ni velocidades superlumínicas, ni masas imaginarias, ni valores negativos de cuadrados de masas, porque las relaciones de dispersión para los neutrinos que usamos aquí son distintas a las que propone la Relatividad Especial. Si suponemos que esa desintegración del muón se realizó en reposo, entonces las leyes de conservación son:

\displaystyle  E_\mu = E_e+E_{\bar{\nu_e}}+E_{\nu_\mu} \\ \\   0 = p_e+p_{\bar{\nu_e}}+p_{\nu_\mu}     (14)

Donde Eμ = mμc², y pμ = 0, porque el muón se supone en reposo.

Si observamos detenidamente la relación de dispersión entre energía y momento para los neutrinos aquí propuesta, nos daremos cuenta de que si suponemos que un neutrino está en reposo entonces su momento lineal no sería cero, sino:

\displaystyle  p = mc\cosh \left(\frac{v}{c}\right) \\ \\   = mc\cosh 0 = mc   (15)
Esto implica ni más ni menos que un neutrino en reposo es simplemente una partícula que viaja a la velocidad de la luz, c. ¿Contradicción?. ¿Cómo es posible que una partícula esté moviéndose a una velocidad c si hemos dicho que está en reposo?. En realidad, le pasa lo mismo que a los fotones, lo que ocurre es que los neutrinos sí poseen masa y aún así se mueven a velocidad c. Este fenómeno no puede ser descrito con los formalismos de la Relatividad Especial.

Saludos

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Relaciones de De Broglie expresadas desde la Relatividad Galileana Completa

Posted by Albert Zotkin en mayo 10, 2013

Buenos días. incondicionales de Tardígrados. Hoy voy a hablar de las relaciones de De Broglie y de cómo es posible obtener una función de onda relativista que contenga sólo derivadas de primer orden respecto al espacio y al tiempo.

Sabemos ya que la velocidad de fase de una onda de materia puede ser expresada como

\displaystyle  c_p = \frac{E}{p}  (1)

donde E es la energía total, y p es el momento lineal. Del mismo modo, la velocidad de grupo, vg, de una onda de materia puede ser expresada como la derivada de E respecto a p

\displaystyle  v_g = \frac{dE}{dp}  (2)

esta última ecuación puede ser identificada con la velocidad relativa v del cuerpo que tiene asociada esa onda de materia, v = vg.

En Relatividad Galileana Completa, la energía total E es

\displaystyle  E = mc^2 \cosh \left(\frac{v}{c}\right)  (3)

y también en Relatividad Galileana Completa, el momento lineal es,

\displaystyle  p = mc \sinh \left(\frac{v}{c}\right)  (4)

Por lo tanto, podemos calcular (2) asi,

\displaystyle  v_g = \cfrac{dE}{dp}= \cfrac{mc^2\sinh(v/c)}{mc\cosh(v/c)} =  c\tanh \left (\frac{v}{c}\right )  (5)

y también

\displaystyle  c_p = \cfrac{E}{p}= \cfrac{mc^2\cosh(v/c)}{mc\sinh(v/c)} =  c\coth \left (\frac{v}{c}\right )  (6)

Por lo tanto, la relación entre el momento lineal y la energía total es,

\displaystyle  E^2 = (mc^2)^2 + (pc)^2  (7)

De las propiedades de las funciones hiperbólicas sabemos que

\displaystyle  \cosh(x)= 2\ \sinh^2(\frac{x}{2}) + 1  (8)

por lo que la ecuación (3), puede ser expresada así

\displaystyle  E = mc^2\cosh(v/c)= mc^2\left( 2\ \sinh^2 \left(\frac{v}{2c}\right) + 1\right) \\ \\ \\  E = mc^2 + 2mc^2 \sinh^2 \left(\frac{v}{2c}\right)  (9)

Si ahora definimos

\displaystyle  q= mc\sinh\left( \frac{v}{2c}\right)  (10)

como el momento de ese cuerpo de masa m moviéndose a la mitad de su velocidad, v/2, tendremos

\displaystyle  E = mc^2 + 2\cfrac{q^2}{m}  (11)

Por lo tanto, si igualamos con (7), tendremos

\displaystyle  \sqrt{(mc^2)^2 + (pc)^2} = mc^2 + \frac{2\ q^2}{m}  (12)

lo cual significa que la energía cinética es

\displaystyle  E_k =\cfrac{2\ q^2}{m}  (13)
Si cuantizamos (11) obtenemos,

\displaystyle  i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi = mc^2 \psi + \cfrac{2\mathbf{q}^2}{m}\psi   (14)

donde obviamente q es el operador momento en semi-velocidad.

Saludos

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La gran falacia relativista de la dilatacion del tiempo

Posted by Albert Zotkin en abril 12, 2013

Veamos cómo la dilatación del tiempo, que se afirma haberse testado con éxito en los muones de rayos cósmicos, es en realidad una gran falacia. Los muones poseen una vida media de 2.19703(4) 10-6 s. Pero entonces un muón creado en las altas capas de la atmósfera terrestre no tendría suficiente tiempo de llegar a ser detectado en la superficie terrestre, incluso viajando a velocidad de c, o como mucho solo sería detectada una cantidad muy pequeña de muones, la cual no se correspondería con lo que se observa. El razonamiento mainstream es que los muones deben poseer velocidades relativistas muy altas, pero nunca superlumínicas, es decir esos muones deben tener velocidades del orden de 0.999c (o más cerca de c aún). Según la Relatividad Especial, a esas velocidades, tan cercanas a c, existe una significativa dilatación del tiempo propio del muón, con lo cual su vida media se prolongaría exactamente la cantidad necesaria de tiempo para observar lo que es observado. Se puede comprobar fácilmente que eso es una falacia. Lo que sucede realmente es que los muones conservan constante su vida media de 2.19703(4) 10-6 s, pero sus velocidades son superiores a c. Veamos con más números por qué es una falacia la interpretación de la relatividad especial afirmando que lo que se observa es debido a una dilatación del tiempo. Supongamos que un muón posee, cuando es creado en altas capas de la atmósfera, una energía total de E = 20 GeV. Entonces con esa energía es muy fácil calcular cuál debe ser su velocidad, pues

\displaystyle  E = mc^2 \cosh(\cfrac{v}{c})   (1)
\displaystyle  v = c \cosh^{-1} \left (\cfrac{E}{mc^2}\right )  (2)

y como la energía en reposo de un muón es E_0 = mc^2 = 105.658367(4) \;\mathrm{MeV}, tenemos que

\displaystyle  v = c \cosh^{-1} \left (\cfrac{20\ \times 10^9}{105.6\ \times 10^6 }\right ) = 5.93697 c \approx 6 c  (3)
O sea, los muones con energía 20 GeV creados en las altas capas de la atmósfera llegan a los detectores en la superficie a tiempo porque poseen una velocidad de unas ¡seis veces la velocidad de la luz!. Esto demuestra también, irrefutablemente que los neutrinos muónicos, resultado de la desintregación de muones, medidos en el experimento OPERA viajaron realmente a velocidades superlumínicas, aunque, como he demostrado de forma fehaciente, es más que evidente que los formalismos de la Relatividad Especial enmascaran esa realidad.

En realidad, para ser exactos, lo que se mueve a una velocidad superlumínica de 6c no es un muón, sino un electrón. Quiero con esto afirmar que un muón es simplemente un electrón que ha incrementado su velocidad subluminal inicial hasta situarla por encima de c.

Veamos ahora cómo se hacen los cálculos desde la Relatividad Especial. Si esos muones que se crean en las altas capas de la atmósfera se mueven a velocidades sublumínicas pero muy próximas a la velocidad de la luz, entonces, la máxima distancia que recorrerían antes de desintegrarse seria,

\displaystyle  s = 2.19703 \times 10^{-6} \times 3 \times 10^8 \ \text{m} \approx 660 \ \text{m}   (4)
Si esos muones fueron creados a una altura de entre 15 y 20 km, y viajan un promedio de 660 m, entonces no serian capaces de llegar hasta la superficie terrestre. Pero, la intensidad de muones de 1 cm-2 min-1 observada en la superficie es mucho más alta que la que debería ser. Para explicar esa anomalía, se usa la hipótesis de la dilatación del tiempo predicha por la Relatividad Especial.
Esa gran intensidad de muones observada en la superficie, puede ser explicada mediante la hipotética dilatación del tiempo. Einstein en su teoria afirma que el tiempo transcurre tanto más lentamente para una partícula cuanto mas cercana es su velocidad a la velocidad de la luz. La vida media de un muón en reposo es del orden de microsegundos, pero según esta teoría, cuando se mueve a una velocidad cercana a la de la luz, dicha vida media se hace más larga por un factor de diez o más. Por lo tanto, según esa teoría, esa vida media alargada da tiempo a los muones para poder alcanzar la superficie terrestre, y eso explicaría el por que se observan más muones en la superficie de los que deberían verse. Si, como decimos, el muón se produce a una altura de 15 km, entonces viajando a la velocidad de la luz, el tiempo requerido para recorrer esa altura hasta el suelo sería

\displaystyle  t = \frac{x}{c} \\ \\ \\  t = \frac{15 \times 10^3}{3 \times 10^8}\\ \\ \\  t  = 5 \times 10^{-5} \ \text{s} \\ \\ \\  (5)

Si, como decimos, la vida media de estas partículas es de τ = 2.19703 x 10-6 s, entonces la fracción de muones generada a 15 km de altura que sobreviviría, sin tener en cuenta la dilatación relativista del tiempo, y alcanzaría la superficie debería ser de:

\displaystyle  N = N_0 \exp \left (-\frac{t}{\tau}\right ) \\ \\ \\  \frac{N}{N_0} =\exp\left(-\frac{5\times 10^{-5}}{2.19703\times 10^{-6}}\right) \\ \\ \\  \frac{N}{N_0} \approx 1.3 10^{-10}\\ \\ \\  (6)
este resultado nos esta diciendo que casi ningún muón llegaría a alcanzar el suelo. Por otro lado, si tenemos en cuenta la dilatación relativista del tiempo, la Relatividad Especial nos dice que la vida media de una partícula que no está en repsos es de τ’=ɣτ. Ese factor se llama factor de Lorentz y su expresión explicita en función de la velocidad de la partícula es de \gamma=\frac{1}{\sqrt{1- v^2/c^2}} donde c es la velocidad de la luz.

Los físicos de partículas suelen trabajar más en términos de energías de partículas en lugar de con sus velocidades, por lo tanto es útil derivar el factor de Lorentz explicitamente en función de la energía.

Si consideramos muones de 20 GeV de energía, entonces podemos obtener el factor de Lorentz ɣ de la ecuación E = ɣm c2, donde m es la masa de la partícula

\displaystyle  E = \gamma m c^2 \\ \\   \gamma= \frac{E}{m c^2}  (7)
En términos de energía, esa masa es de unos 105.6 MeC, por lo que

\displaystyle  \gamma = \frac{20 \ \text{GeV}}{105.6 \ \text{MeV}} \\ \\ \\  \gamma = \frac{20 \times 10^9}{105.6 \times 10^6}  \\ \\ \\  \gamma \approx 189  (8)
Una vez que sabemos el valor de ɣ, la vida media en movimiento, sería de τ’=189 x 2.19703 x 10-6 s. por lo tanto, ahora la fracción de muones que lograría llegar al suelo sería de

\displaystyle  \frac{N}{N_0}= \exp \left( -\frac{5\times 10^{-5}}{189\times 2.19703\times 10^{-6}}\right) \\ \\ \\   \frac{N}{N_0}\approx 0.89  (9)
este resultado nos sugiere que una significativa fracción de muones, creados en las altas capas de la atmósfera terrestre, alcanzará el suelo, gracias a la dilatación relativista del tiempo.

En resumen , desde la Relatividad Especial es posible predecir la cantidad de muones que llegan al suelo, si se aplica la hipótesis de la dilatación del tiempo. Pero, desde otra teoría muy distinta (Relatividad Galileana Completa, vista arriba en primer lugar), es posible también predecir la misma cantidad de muones que llegan al suelo, sin necesidad de invocar a ninguna dilatación del tiempo, simplemente se asume que las partículas pueden viajar a velocidades superlumínicas.

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Demostración de que la anisotropía de perfil Doppler en el plasma estelar descarta la inflación cósmica

Posted by Albert Zotkin en marzo 29, 2013

Queridos lectores, hoy voy a demostrar que la llamada inflación cósmica no existe realmente, sino que es un artefacto de aplicar incorrectamente el efecto Doppler de ondas electromagnéticas para fuentes remotas.
Hasta ahora parece indiscutible que las galaxias y cúmulos de galaxias se alejan unas de otras con una velocidad de recesión que crece con la distancia que las separa. Eso lo descubrió, como sabemos, Edwin Hubble.

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Hoy en día, no sólo sabemos que existe esa inflación cósmica, sino peor aún que eso, parece ser que esa inflación tiene lugar de forma acelerada.
Hoy voy a demostrar que no sólo el universo no se está expandiendo de forma acelerada, sino que es esencialmente estático (no hay inflación). Para esa pequeña demostración, aunque rigurosa, me apoyaré en dos hechos irrefutables. El primer hecho es que el efecto Doppler de una onda electromagnética se describe completamente mediante la fórmula f = f_0 \exp (v/c). El otro hecho es el llamado ensanchamiento Doppler.

Observemos la luz de una estrella distante. Sabemos que las estrellas están formadas esencialmente por hidrógeno, el cual mediante reacción de fusión se transforma en helio, liberando gran cantidad de energía. Parte de esa energía nos llega en forma de fotones. Pero, observemos también que una estrella posee una atmosfera casi perfectamente esférica, y sus fuentes de emisión de fotones están distribuidas azarosamente por ella. El ensanchamiento Doppler es el ensanchamiento de líneas espectrales debido al efecto Doppler causado por una distribución de velocidades de átomos o moléculas.

Derivemos ahora una fórmula para el ensanchamiento Doppler de luz procedente del plasma de una estrella muy remota.

Cuando el movimiento térmico hace que en la fotosfera de esa estrella remota un átomo de Higrógeno se mueva hacia el observador, la radiación emitida sufrirá un corrimiento hacia una frecuencia más alta. Igualmente, cuando la fuente emisora se aleja, la frecuencia se reduce. Para velocidades relativistas (RGC, Relatividad Galileana Completa), el corrimiento Doppler en frecuencia será:

\displaystyle  f = f_0 \exp \left ( \frac{v}{c} \right )  (1)
donde f es la frecuencia observada, f0 es la frecuencia en reposo, v es la velocidad del emisor hacia el observador, y c es la velocidad de la luz.

Puesto que en cualquier elemento de volumen del cuerpo radiante hay una distribución de velocidades dirigidas tanto hacia el observador como alejándose de éste, el efecto neto será un ensanchamiento de la línea observada. Si \,P_v(v)dv es la fracción de partículas con componente de velocidad v a v + dv a lo largo de la línea de visión, la distribución de frecuencias correspondiente será

\displaystyle  P_f(f)df = P_v(v)\frac{dv}{df}df  (2)
donde v es la velocidad hacia el observador que corresponde al corrimiento de la frecuencia en reposo f0 a f. Diferenciando (1) tenemos

\displaystyle  v = c \ln \frac{f}{f_0} \\ \\ \\  dv = \frac{c\ df}{f}  (3)

por lo tanto

\displaystyle  P_f(f)df = \frac{c}{f}P_v\left (c \ln \frac{f}{f_0} \right) df  (4)
En el caso del ensanchamiento Doppler térmico, que se observa en los perfiles del plasma estelar, la distribución de velocidades viene dada por la distribución de Maxwell-Botzmann

\displaystyle  P_v(v)dv = \sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\,\exp\left(-\frac{mv^2}{2kT}\right)dv  (5)
donde M es la masa de la partícula emisora, T es la temperatura y k es la constante de Boltzmann.
Entonces tendremos que,

\displaystyle  P_f(f)df=\left(\frac{c}{f}\right)\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\,\exp\left(-\frac{m c^2 \ln^2 (\frac{f}{f_0}) }{2kT}\right)df  (6)
Podemos ahora observar en (6) que estamos ante la presencia de una distribución log-normal, y esto significa que no solo existe un ensanchamiento de las lineas espectrales sino también un desplazamiento hacia el rojo, debido a la anisotropía que produce la exponencial en el perfil Doppler.

La distribución log-normal tiende a la función densidad de probabilidad

\displaystyle  f(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{x \sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-(\ln x - \mu)^2/2\sigma^2}  (7)
por lo tanto, para (6) tendremos que la media sería \mu=\ln f_0, si expresamos f_0 en unidades naturales, e igualmente, siendo \sigma la desviación estándar del logaritmo de variable f, tendremos,

\displaystyle  2\sigma^2 = 2\frac{k T}{m c^2} \\ \\ \\   \sigma = \sqrt{\frac{k T}{m c^2}}  (8)
observemos estos ejemplos de funciones densidad de probabilidad de distribuciones log-normales,

LogNormalDistribution

Recordemos ahora la Ley de Planck, la cual predice la intensidad de la radiación emitida por un cuerpo negro con una temperatura T, y una frecuencia f,

\displaystyle  I(f ,T) = \frac{2h\pi f^{3}}{c^2}\frac{1}{e^{\frac{h f}{kT}}-1}  (9)
y algunas gráficas a modo de ejemplos, como las siguientes
nos están diciendo a gritos que tales curvas son en realidad funciones densidad de probabilidad de distribuciones log-normales. La pregunta del millón es pues ¿por qué la Ley de Planck no se expresa como una distribución log-normal?.

Escalemos ahora las gráficas de arriba de las distribuciones log-normales por ciertos factores de escala s,

LogNormalDistribution2

Esto nos hace pensar que la Ley de Planck puede ser modelada mediante distribuciones log-normales que poseen un factor adicional de escala. Y por lo tanto, nos hace pensar que la derivación de la Ley de Planck usando la mecánica estadística es sólo una aproximación más pobre que la conseguida con distribuciones log-normales.

Fijémonos ahora en el Fondo Cósmico de Microondas (CMB). Cuando hacemos un plot de la intensidad de la CMB en función de las frecuencias de sus fotones (vease la de COBE), obtenemos una gráfica que se define como la de emisión de un cuerpo negro, por lo tanto obedece la Ley de Planck. Pero, observando las distribuciones log-normales, es ya más que evidente que la CMB nos llega precisamente como distribución log-normal. Y eso significa que si adoptamos ese modelo entonces podemos llegar a predecir observables que el modelo estándar no puede predecir.

Saludos

— Continuará —

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Demostración, mediante un reloj atómico de fuente de Cesio, de que la dilatación del tiempo predicha por la relatividad de Einstein es una falacia y por lo tanto no existe

Posted by Albert Zotkin en octubre 11, 2012

Definición de segundo:

Un segundo es igual a la duración de 9192631770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre dos niveles hiperfinos del estado fundamental del isótopo 133 del átomo de Cesio (\; \mathrm{{}^{133}Cs}\;) , a una temperatura de \mathrm{0^\circ\; K}“.

Pregunta. ¿Qué ocurre con esa definición si, por la causa que sea, se demuestra que los dos niveles hiperfinos se acercan o se alejan, resultando transiciones más cortas o más largas?. La respuesta es obvia, ocurrirá que un segundo, desde esa definición, podrá durar más o menos, dependiendo de si actuan o no esas causas o el grado en que actuan. Pues bien, es muy fácil demostrar experimentalmente que los niveles y subniveles hiperfnos se expanden o se contraen según estén situados los átomos respectivos dentro de un campo gravitatorio. Más concrétamente si el potencial gravitatorio es más pequeño (más cercano a cero), entonces las transiciones hiperfinas son más largas, y eso significa que la energía de los fotones emitidos es mayor, y por lo tanto la frecuencia de esos fotones. Ese ligero aumento de la frecuencia implica que, según la definición de segundo, un segundo durará más si es contado correctamente, pero si sólo cuentas 9192631770 periodos, los periodos restantes se acumularán en el siguiente segundo, así sucesivamente. Es decir la frecuencia de reloj aumenta cuando disminuye el potencial gravitatorio, y eso significa que un reloj atómico de esas características, adelantará respecto a otro situado a mayor potencial.
Resulta pues más que evidente que, por ejemplo, los relojes atómicos instalados en la constelación de satélites del sistema GPS, adelantan ligeramente, cuando están en órbita, y los relojes atómicos en la superficie terrestre atrasan respecto a ellos. Eso implica que la dilatación del tiempo predicha por la relatividad de Einstein es simplemente una falacia, no existe.
Pero, ¿cómo funciona un reloj atómico de fuente de Cesio?.
Captura: Los átomos de Cesio son capturados y enfriados en una trampa magneto-óptica. Los átomos de Cesio están presentes en estado gaseoso dentro de la cámara de vacío. Cuando un átomo de Cesio es intersectado por los rayos laser, este átomo se enfría, que se evidencia reduciendo su velocidad, enfriándose hasta unos pocos µK (microkelvins).
Al mismo tiempo se aplica un gradiente de campo magnético mediante bobinas de anti-Helmholtz. El gradiente de campo magnético y los haces de laser enfriadores dan lugar a una fuerza de captura. Todas estas fuerzas y efectos son aplicados simultáneamente para retener a 109 átomos dentro de un volumen esférico de 2 mm de diámetro en el centro de la trampa.
Lanzamiento: Una vez capturados, los átomos son lanzados hacia arriba. Se desactiva el campo magnético, y la nube de átomos se lanza hacia arriba mediante dos pares de haces de rayos laser. Los átomos adquieren entonces velocidades de entre 2 a 5 metros por segundo. Durante el ascenso por los haces de rayos, los átomos son enfriados aún más, hasta aproximadamente unos 2 µK.
Preparación: Los átomos son bombeados hasta el nivel superior de la transición de reloj.
Los átomos pueden cambiar niveles de energía mediante la absorción o emisión de luz con una frecuencia muy cercana a la propia de resonancia. En su vuelo hacia arriba, los átomos pasan a través de un haz de rayos laser con una frecuencia próxima a una de las frecuencias de resonancia del Cesio. Algunos átomos experimentarán una transición entre niveles de energía, ya que todos átomos estaban en el mismo nivel energético, f=4, m_F=0, antes de entrar en la cavidad de microonda.
Interrogación: Los átomos siguen trayectorias como las del agua de una fuente, pasando a través de la cavidad de microondas dos veces. Los átomos siguen y pasan a través de la cavidad de microondas en vuelo libre sobre ella unos 0.5 segundos, y después son atraídos hacia abajo por la fuerza de la gravedad. Durante una de las pasadas por la cavidad, los átomos interactúan con microondas de frecuencia 9192631770 Hz. Después de pasar por la cavidad por segunda vez (en su camino de caida hacia abajo), casi todos los átomos han hecho ya la transición hacia el estado f=3, m_F=0.
Detección: Por debajo de la cavidad de microondas, los átomos descendientes son guiados mediante varios rayos laser. Estos rayos laser provocan en los atomos cambios de estado y fluorescencia (emiten luz). Los fotones de la fluorescencia son detectados por un fotodiodo y se usan para construir la señal de reloj. Cuando todos los átomos han experimentado la transición hacia el estado requerido, la señal alcanza su máximo. La intensidad de la señal se usa para corregir la frecuencia de las microondas en la cavidad. Después, el ciclo de la fuente se repite.

Pero, volviendo al punto que nos interesa, a saber, el de las falacias de la relatividad de Einstein. Una vez que sabemos que no existe dilatación del tiempo, sino sólo dilatación o contracción de los niveles hiperfinos de energía. ¿Cómo podemos cuantificar dicho efecto desde la Relatividad Galileana Completa?. Veamos. A una altura h desde la superficie terrestre, el potencial gravitatorio vale

\displaystyle \phi' = -\frac{GM}{(r+h)}

donde r es el radio de la Tierra. Y el potencial en la superficie terrestre es, lógicamente

\displaystyle \phi = -\frac{GM}{r}

Por lo tanto, la diferencia de potencial será

\displaystyle \Delta \phi = \phi' - \phi = -\frac{GM}{(r+h)}+\frac{GM}{r} \\ \\ \\  \displaystyle \Delta \phi = \frac{GM}{\frac{r^2}{h} + r}

Por lo tanto, si la frecuencia de resonancia es \nu en la superficie terrestre, la frecuencia de resonancia a una altura h será ligeramente mayor,

\displaystyle \nu' = \nu \exp \left (\cfrac{GM}{c^2 (\frac{r^2}{h} + r)} \right )

Esta es la corrección que los defensores de la Relatividad General afirman que se debe a las correcciones de la dilatación relativista del tiempo en los relojes atómicos del GPS. Es decir, que un reloj atómico a una altitud estacionaria h correría más rápido que un reloj en la superficie terrestre. La disputa está en la causa de ese efecto, no en el hecho de que corra más rápido o no.

Si un reloj de Cesio tiene una frecuencia de resonancia de \nu=9192631770 \;\mathrm{Hz} en la superficie terrestre. A una altitud de h =20200 \; \mathrm{km}, siendo el radio de la Tierra r=6400 \;\mathrm{Km}, tendremos

\displaystyle \nu' = \nu \exp \left (\cfrac{GM}{c^2 (\frac{r^2}{h} + r)} \right ) = 9.19263177483756 \times 10^9 \; \mathrm{Hz}

Esto significa un desplazamiento de

\displaystyle z= \cfrac{\nu' -\nu}{\nu} = 5.26243 \time 10^{-10}

o lo que es lo mismo, 45 µs/día (microsegundos/día), que está en perfecto acuerdo con lo que se calcula desde la Relatividad General.
Todo esto implica, que podemos evitar usar la complicada Relatividad General para calcular esta clase de efectos y otros, y usar la menos complicada Relatividad Galileana Completa, la cual ofrece las mismas predicciones para las magnitudes medibles, y sus cálculos resultan incluso más precisos.

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El experimento de Pound y Rebka confirma que la Relatividad de Einstein es sólo una mala aproximación retorcida de la realidad – y se basa en graves malentendidos

Posted by Albert Zotkin en octubre 8, 2012

Históricamente el experimento de Pound y Rebka se pone como ejemplo de test para la relatividad de Einstein (ambas la Relatividad Especial y la Teoría General de la Relatividad), afirmando que dicho test verificó con éxito ambas teorías. En dicho experimento hay implicados dos efectos Doppler. El primer efecto es el llamado efecto Doppler gravitatorio, y el segundo es el efecto Doppler del movimiento relativo inercial. Cada tipo de efecto es modelado con sus propias ecuaciones. En este experimento, el objetivo era contrarrestar un tipo de efecto Doppler con el otro, de modo que las ondas electromagnéticas fueran medidas con una frecuencia igual a la original de emisión. Eso implicaba que si se emitian fotones desde lo alto de una torre hasta un detector situado abajo en el suelo, el efecto Doppler gravitatorio produciría un corrimiento al azul de dichos fotones, es decir, aumento de la frecuencia. Pero, si los fotones se situaban abajo en el terreno y fueran detectados en lo alto de la torre, la frecuencia medida sería menor, a causa del mismo efecto Doppler gravitatorio. Para conseguir el movimiento relativo inercial que produce el otro tipo de Doppler, se colocó la fuente emisora de fotones sobre el cono de un altavoz que vibraría a cierta frecuencia, produciendo así un movimiento oscilatorio que habría que ajustar y calibrar para la perfecta realización de la prueba. La distancia que los fotones debían recorrer era una altura de h = 22.6 \;\mathrm{metros} . Y el cambio fraccional de la energía de un fotón sería de \Delta E/E = gh/c^2= 2.5 \times 10^{-15} .

Desde la teoría de la Relatividad Galileana Completa, es muy fácil plantear los formalismos teóricos que modelan ese balance de los efectos Doppler. La diferencia de potencial que un fotón debe salvar es de \Delta \phi = gh , por lo tanto, el efecto Doppler gravitatorio se modela así:

f = f_0 \exp \left(- \cfrac{\Delta \phi}{c^2} \right )

donde obviamente, f es la frecuencia medida y f_0 la frecuencia original que se emite. De igual modo, y como ya sabemos, el efecto Doppler de movimiento relativo inercial, está modelado así:

f = f_0 \exp \left(\cfrac{v}{c} \right )

Como en el experimento de Pound y Rebka de lo que se trata es de contrarrestar ambos efectos de modo que la frecuencia observada coincida con la frecuencia original, compondremos ambas frecuencias, así:

f = f_0 \exp \left(\cfrac{v}{c} \right )\exp \left(- \cfrac{\Delta \phi}{c^2} \right )

y la frecuencia observada debe ser igual a la frecuencia original, f=f_0 , por lo que se ha de verificar que

\exp \left(\cfrac{v}{c} \right )\exp \left(- \cfrac{\Delta \phi}{c^2} \right ) = 1

y después de sencillos pasos algebráicos

\exp \left ( \cfrac{v}{c} -\cfrac{\Delta \phi}{c^2} \right ) = 1 \\ \\ \\  \cfrac{v}{c} -\cfrac{\Delta \phi}{c^2} =0 \\ \\  v = \cfrac{\Delta \phi}{c} \\ \\  v = \cfrac{gh}{c} \approx 7.5 \times 10^{-7} \; \mathrm{m/s}

Que es lo que experimentalmente se planteó como dato inicial, pues esa era la velocidad media a la que vibraba el cono del altavoz. Podemos comprobar de qué forma tan sencilla y natural ambos efectos se contrarrestan en este modelo que usa exponenciales.
Veamos ahora lo engorroso que resultan los formalismos para modelar lo mismo, pero en el contexto de la relatividad de Einstein. Para el efecto Doppler del movimiento inercial que modela la Relatividad Especial tenemos

f = f_0 \displaystyle \sqrt{\dfrac{1+ \cfrac{v}{c}}{1- \cfrac{v}{c}}}

y para el efecto Doppler gravitatorio usamos una ecuación que se obtiene de la Relatividad General,

f = f_0 \displaystyle \sqrt{\dfrac{1- \cfrac{2GM}{(R+h)c^2}}{1- \cfrac{2GM}{Rc^2}}}

donde M y R son la masa de la Tierra y su radio, respectivamente. Así, al contrarrestar ambos efectos Doppler, tendriamos,

\displaystyle\sqrt{\left (\dfrac{1+ \cfrac{v}{c}}{1- \cfrac{v}{c}} \right )\left ( \dfrac{1- \cfrac{2GM}{(R+h)c^2}}{1- \cfrac{2GM}{Rc^2}} \right )} =1

Esta brutalidad que hay escrita ahí arriba indica que el engorro es mayúsculo cuando usamos los formalismos de la relatividad de Einstein. Y esa brutalidad y fealdad en las expresiones matemáticas sólo nos puede indicar que hay más verdad en los formalismos empleados desde la Relatividad Galileana Completa que en los de la Relatividad de Einstein.
En está última y fea ecuación, se llega al resultado experimental si se considera una altura h\ll R , es decir se llega, aunque de forma muy aproximada, a la velocidad inercial

v \approx \cfrac{gh}{c} \approx 7.5 \times 10^{-7} \; \mathrm{m/s}

Además eso nunca será cierto si h se va aproximando a R . En cambio, en el contexto de la Relatividad Galileana Completa, esa predicción será cierta siempre para cualquier valor de h y de R .

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Colisiones protón-protón en el LHC modeladas mediante Relatividad Galileana Completa

Posted by Albert Zotkin en octubre 7, 2012

En el LHC cada protón puede alcanzar una energía total de 7 TeV. Eso significa que en el contexto de la RGC (Relatividad Galileana Completa), podemos escribir dicha energía total como:

\displaystyle E= mc^2 \cosh\left (\cfrac{v}{c} \right )


ATLAS Experiment © 2012 CERN

Con lo cuál podemos calcular la \beta=v/c  ,

\displaystyle \cfrac {v}{c} = \cosh^{-1} \left (\cfrac{E}{mc^2} \right )

Que para esa energía de 7 TeV, será

\displaystyle \cfrac {v}{c} = \cosh^{-1} \left (\cfrac{7\times 10^{12}\; \mathrm{eV}\times 1.602\times 10^{-19}\; \mathrm{J/eV} }{1.67\times 10^{-27}\; \mathrm{kg}\; (3\times 10^8\; \mathrm{m/s})^2} \right )    \\ \\  \displaystyle \cfrac {v}{c} = \cosh^{-1} \left (7461.08 \right ) = 9.6106

Y eso quiere decir que tenemos una velocidad de uno de los protones respecto al centro de masas de

\displaystyle v \approx 9.61 \; c

O una velocidad de aproximación de un protón respecto del otro de:

\displaystyle v' = 2 v \approx 19.22 \; c

Algún apasionado de la relatividad de Einstein podría acalorarse, al leer lo que hay escrito arriba, podría perder la compostura y lanzar un berrido del tipo:

“!Eso es mentira!!!!!! !Nada puede viajar más rápido que la luz en el vacio!!!”

Pero entonces yo le invitaría a que se calmara, porque el contexto no es el de la Relatividad Especial (RE), sino como he dicho arriba el de la RGC. Es posible establecer una relación entre ambas teorías. Lo que en la RGC es una \beta=v/c  , en la RE es una rapidez (rapidity), \theta  . La relación matemática entre ambas magnitudes que, hay que dejar bien claro, pertenecen a teorías distintas, es \beta=\tanh(\theta)  .
¿Cuántas vueltas dará al cabo de 1 segundo uno de esos protones circulando por el LHC a 7 TeV?. Sabiendo que la longitud de la circunferencia del LHC es L = 2\pi r = 26679 \;\mathrm{m} , tenemos

\displaystyle N = \cfrac{v}{2\pi r} \\ \\ \\  N = \cfrac{299792458 \times 9.6106 }{26659} \\ \\  N = \cfrac{2881185396.8548}{26659} = 108075.524 \; \mathrm{vueltas/segundo}

Obviamente, 9.61 veces más vueltas que las que se predicen desde la RE. La frecuencia de circulación es pues aproximadamente de

\displaystyle f \approx 108 \;\mathrm{kHz}

Si cada t=24.95\; \mathrm{ns} se inyecta un nuevo haz de protones, entonces la distancia entre dos haces consecutivos será de

\displaystyle d = v t \approx 71.883 \; \mathrm{m}

Otro interesante problema es saber cuántas vueltas al LHC podrá dar un protón de un haz antes de que la gravedad lo desvie y lo haga colisionar contra las paredes del tubo de vacio por el que circula. Sabemos que el radio de ese tubo de vacio es aproximadamente de h \approx 28 \;\mathrm{mm} , por lo tanto tenemos que

\displaystyle t = \sqrt{\cfrac{2h}{g}} \\ \\ \\  t=76 \;\mathrm{ms}

que multiplicado por el número de vueltas por segundo, N, tenemos

\displaystyle n = N t =108075.524 \times 76 \times 10^{-3} \approx 8213.74 \;\mathrm{vueltas}

Calculemos ahora cuál sería la aceleración centrípeta de un protón que circula a 7\; \mathrm{TeV}. La ecuación de la aceleración centrípeta es

\displaystyle a_c = \cfrac{v^2}{r}

donde v es la velocidad tangencial y r es el radio de la trayectoria circular por la que se mueve el protón. Como dicha velocidad v se ha calculado anteriormente, siendo v\approx 9.61c, y el radio es r = 4242.91 \mathrm{m}, tenemos,

\displaystyle a_c = \cfrac{(9.61c)^2}{4242.91} = 1.95625\times 10^{15} \;\mathrm{m/s^2} \\ \\ \\

Por lo tanto sería 1.99617\times 10^{14} veces la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre.

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