TARDÍGRADOS

Ciencia en español

Archive for 22 enero 2014

No es cierto que 1+2+3+4+5+…=-1/12

Posted by Albert Zotkin en enero 22, 2014

Se habla mucho últimamente de una curiosa suma: Dicen que la suma de todos los números enteros positivos (naturales) es igual a -1/12., y a eso le llaman regularización. Cualquier persona con un mínimo de sentido común sabe que la suma de todos los números enteros positivos es infinito, es decir, esa suma diverge. Ramanujan sabía eso, por eso supo ver más lejos que nadie y supo que cuando una regularización se basa en una divergencia no se pueden extraer conclusiones sólidas. Los que defienden el absurdo resultado

\displaystyle  \sum_{n=1}^\infty n = 1+2+3+\dots =-\frac{1}{12}  (1)

están representados por estos dos tios del siguiente video de youtube en el que pretenden convencernos de esa absurda suma mediante cálculos incorrectos.

Toda la demostración que se puede ver en ese video se basa en la siguiente serie que diverge:

\displaystyle  S_1= 1-1+1-1+1-1+...  (2)

y nos quieren colar algo falso, a saber, que dicha suma S1 es igual a 1/2. ¿En qué se basan?. Veamos. Si empiezas a sumar términos de S1 emparejándolos desde el primer 1, se ve claramente que cada par se anula,

\displaystyle  S_1= (1-1)+(1-1)+(1-1)+... =0  (3)

con lo cual la suma sería igual a cero. Pero si empiezas a emparejar desde el segundo término entonces la suma daría 1,

\displaystyle  S_1= 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)... =1  (4)
ese hecho dispar nos está diciendo que la serie S1 es divergente. De hecho, esa disparidad de resultados se usa muy a menudo para demostrar que una serie diverge. Pero, en este caso, puesto que en la mitad de los casos dispares obtenemos 1 y en la otra mitad obtenemos cero, no sé por qué regla de tres, afirman entonces que la suma debe ser regularizada a 1/2 = (0 + 1)/2. Es decir, es regularizada a la media aritmética del conjunto de sus sumas dispares. Después de hacer esa horrible cosa pasa lo que pasa: que podemos, por ejemplo, demostrar que los elefantes verdes voladores existen. Lo honesto en este caso es decir que la serie divergente S1 posee dos ramas, es decir dos valores finitos distintos. (1, 0).

Seguidamente en el video de arriba, Ed Copeland, que es quien nos está mostrando los cálculos sobre el papel, nos presenta la siguiente serie S2:

\displaystyle  S_2= 1-2+3-4+5-6+...  (5)
Ahora se trata de ver si esa serie S2 puede ser sumada, es decir, si podemos obtener algún número real finito que represente su suma. Lo primero que hacemos es multiplicar S2 por 2:

\displaystyle  2S_2= 1-2+3-4+5-6+... + \\   \mathrm{\hspace{1.42cm}} 1-2+3-4+5-6+...  (6)
pero, en lugar de empezar a sumar como se hace arriba, empecemos dejando el primer elemento (el 1) a la izquierda, es decir:

\displaystyle  2S_2= 1-2+3-4+5-6+... + \\   \mathrm{\hspace{2.3cm}} 1-2+3-4+5-6+...  (7)

con lo cual tenemos:

\displaystyle  2S_2= 1-1+1-1+1-1+... \\   (8)

es decir, tenemos

\displaystyle  2S_2=S_1 \\ \\  \mathrm{\hspace{0.28cm}} S_2=\frac{S_1}{2}  (9)

Esto quiere decir que la serie S2 puede ser expresada en función de la serie S1, y si afirmamos que el valor regularizado de la suma de S1 es 1/2, entonces el valor regularizado de la suma de S2 es:

\displaystyle   S_2=\frac{1}{4}  (10)

pero como S1 es divergente y posee dos ramas, en realidad S2 también diverge y posee también dos ramas:

\displaystyle  S_2=0 \\ \\   S_2=\frac{1}{2}  (11)
Seguidamente Ed Copeland nos presenta la serie:

\displaystyle  S= 1+2+3+4+5+6+7+ \dots   (12)
esta es la serie que supuestamente nos daría -1/12, el resultado que he puesto en el título de este post. Veamos cómo en realidad eso no es así. Restemos S2 de S:

\displaystyle  S-S_2= 1+2+3+4+5+6+7+ \dots \\ \\   \mathrm{\hspace{1.42cm}} -[1-2+3-4+5-6+\dots] =\\ \\   \mathrm{\hspace{2.1cm}}  0+4+0+8+0+12- \dots    (13)

es decir, tenemos que:

\displaystyle  S-S_2= 4[1+2+3+4+5+6+7+ \dots ] = 4S \\ \\   S= -\frac{S_2}{3}  (14)
o sea, podemos expresar S en función de S2, y como también podemos expresar S2 en función de S1, tenemos que si regularizamos la suma, hallamos el sorprendente ( y equívoco) resultado de

\displaystyle  S= -\frac{S_2}{3} = -\frac{S_1}{2 \times 3} = -\frac{1}{4 \times 3} =-\frac{1}{12}    (15)
pero, está claro que S diverge también, igual que S1, y por lo tanto, puesto que es S = -S1/6, tendremos también dos ramas:

\displaystyle  \boxed{S= 0 \; ; S=-\frac{1}{6}}  (16)
Es decir, la suma de todos los números enteros positivos no es -1/12, sino que diverge hacia infinito porque posee dos ramas, una hacia cero y la otra hacia hacia -1/6.

Saludos

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Demostración impepinable de que los agujeros negros no pueden existir en nuestro universo

Posted by Albert Zotkin en enero 18, 2014

Hoy, amigo incondicional de Tardígrados, toca hablar clarito a quienes defienden de forma irracional por intereses espurios, quizás crematísticos, el paradigma actual de la Física Teórica. En particular voy a hablar hoy de la imposibilidad de existencia de un objeto espacio-temporal llamado agujero negro. Básicamente la demostración de que los agujeros negros no existen, ni pueden existir, es sencillamente la siguiente:

“cuando un potencial gravitatorio se hace muy intenso en una región muy pequeña de espacio, toda partícula con masa que se aproxime a su centro de masas experimentará en algún momento el efecto tunel cuántico, con lo cual saltará el potencial (no pasará nunca por esa región de potencial intenso) saliendo por el otro lado (antípodas) como si nada”

Existen evidencia de que eso es asi. Por ejemplo los discos de acreción. Evidentemente si las partículas con masa pueden saltar una barrera de potencial gravitatorio y escapar por el otro extremo hacia el infinito, entonces no quedan atrapadas en el supuesto “agujero negro” y por lo tanto no contribuyen a su incremento de masa.
Cuando una estrella colapsa por su propio peso, la Teoría General de la Relatividad predice que se formará un agujero negro, porque ya no habrán fuerzas que impidan (frenen la formación de esa singularidad espacio-temporal) ese colapso. Sin embargo, el efecto túnel podría ser la principal razón por la cual esa clase de singularidad no puede formarse en nuestro universo. A medida que aumenta el potencial gravitacional en una región pequeña de espacio las partículas subatómicas que vibran frenéticamente dentro de él escapan por efecto tunel en algún momento, saltando la barrera de potencial que se está creando, y por lo tanto imposibilitan la formación de un “agujero negro”, ya que esa dispersión no contribuye al aumento de masa.

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¿Por qué en nuestro universo observable hay más materia que antimateria?

Posted by Albert Zotkin en enero 13, 2014

Hoy, amigo incondicional de Tardígrados, voy a hablar de otro gran misterio cosmológico y de la física de partículas, que se puede resumir fácilmente en una única pregunta: ¿Por qué en nuestro universo observable hay más materia que antimateria?.

Recordemos que una partícula de antimateria es igual en todo a su correspondiente partícula de materia, excepto en la carga eléctrica, que es la opuesta. Por ejemplo, el positrón, que posee carga eléctrica positiva, es la antipartícula del electrón, que posee carga eléctrica negativa.

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Cuando una partícula se encuentra con su antipartícula, se aniquilan, con la consiguiente producción de energía (dos fotones). Esto significa que si se aniquilara toda la materia con su correspondiente antimateria, aún quedaría un remanente de materia que supuestamente nunca encontraría su contraparte de antimateria para aniquilarse.

Ahora voy a proponer una hipótesis, que se me ocurrió hace ya algún tiempo, que explicaría el por qué observamos un universo con más materia que antimateria.

En esencia, la hipótesis puede ser expresada como sigue: “Si alejamos de nuestro entorno una partícula cargada, conseguiremos que dicha partícula conjugue su carga eléctrica (transforme su carga eléctrica a la opuesta) al cabo de cierta distancia crítica constante”.

Eso significaría que dicha conjugación de carga es no local, es decir, para un observador que se alejara con la partícula sería imposible detectar dicha conjugación, ya que él mismo también estaria conjugando sus cargas con la distancia respecto al observador que permanece en el laboratorio base.

Esta hipótesis nos dice que la naturaleza no prefiere en especial ningún tipo de carga eléctrica, y por lo tanto el concepto de carga eléctrica es relativo, no absoluto.

La siguiente cuestión, dentro de la hipótesis, es: ¿Cuál sería esa distancia crítica invariante desde la cual se observaría una conjugación cosmológica de carga electrica?. La respuesta es obvia: Dos radios de Hubble (recordemos que nuestro universo observable está dentro de un volumen de Hubble). Y eso explica por qué toda materia o antimateria cerca de un radio de Hubble no es vista por nosotros como fuente emisora de luz. A dicha distancia, todo átomo o partícula poseería una carga eléctrica nula para nuestros detectores, y por lo tanto no nos llegaría su radiación electromagnética. En tal sentido, podriamos decir, que a la distancia de un radio de Hubble, toda materia o antimateria se transformaría en materia oscura a nuestros ojos. Dicha materia oscura no sólo sería oscura para nosotros (no emite luz hacia nosotros) sino también relativamente transparente (dejaría pasar a su través la radiación de fuentes de luz situadas detrás de ella).

Si alejamos de nosotros un átomo de hidrógeno, según la hipótesis, entonces cuando llegue a una distancia crítica (un radio de Hubble, R, si no hay significativos cúmulos de materia) se transformará (conjugará todas sus cargas eléctricas) en un átomo de anti-hidrógeno.

hidrogeno-antihidrogeno

La tercera pregunta dentro de la hipótesis sería: ¿Si la materia oscura que se sitúa a un radio de Hubble es transparente para fuentes de luz detrás de ella, por qué no podemos ver fuentes de luz más allá de dicha distancia crítica?. Esa imposibilidad de ver más allá fue el principal pretexto para la creación de la teoría de la Gran Explosión como origen de nuestro universo. Pero, ahora que estamos analizando la cuestión dentro de esta nueva hipótesis, la causa de no observar nada más allá de un radio de Hubble podría ser otra muy distinta a la de un universo finito en el tiempo que nació de una Gran Explosión. Nuestro universo podría ser infinito en espacio y tiempo, pero la causa de no observar luz más allá de un radio de Hubble sería más local que global. Un observador situado a mitad de camino entre nosotros y nuestro radio de Hubble podría ver galaxias más allá de las que nosotros vemos, porque su horizonte cósmico sería distinto, aunque de igual magnitud al nuestro. Ese hecho es muy similar al horizonte cuando navegamos por la superficie de la Tierra (esfera). La curvatura de la Tierra nos impide ver más allá de nuestro horizonte. De igual forma, la materia dentro de un volumen de Hubble curvaria el espacio relativo de todo observador situado en el centro de esa esfera de observación. Pero para ver algo más allá de nuestro horizonte en la superficie terrestre tenemos que situarnos a cierta “altura”, y de ese modo podremos ver objetos “altos” más allá. Graficamente seria algo así:

La altura h del observador determinará el máximo alcance (horizonte) del que nos puede llegar ondas electromagnéticas. Obviamente, si la curvatura del universo es la de una esfera de Hubble (R = Radio de Hubble), entonces, el maximo ángulo correspondiente a una altura maxima del observador sería de \pi/4 radianes. Pero, ¿qué determinaria la “altura” h del observador?. La respuesta sería simple y llanamente la acumulación local de materia. Por ejemplo, un observador dentro de una galaxia muy masiva estaría en lo alto de una cima de altura h más alta que la altura h’ de la cima producida por una galaxia menos masiva. Esquemáticamente podemos dibujar esa acumulación local de materia así:

Pero, como he dicho arriba, esto es sólo una hipótesis que se me ocurrió hace algún tiempo, y por lo tanto su planteamiento no se basa en ninguna evidencia ni principio razonable. Pero divagando un poco al respecto, se me ocurre que lo que llamamos vacio cuántico, o espacio-tiempo, podria poseer dos caras, como las caras de un plano, de tal modo que la carga eléctrica positiva estaría localmente en una de las caras, y la cara eléctrica negativa estaría localmente en la cara opuesta. Puesto que existen dos caras opuestas e indiferenciables a priori, podemos situar un átomo de hidrógeno y un átomo de anti-hidrógeno muy cerca el uno del otro, sin que lleguen a aniquilarse, aunque sea por un tiempo infinitesimal. La pregunta del millón sería: ¿somos capaces de decir cuál de los dos átomos es el de hidrógeno y cuál corresponde al anti-hidrógeno?. Un ser alienígena inteligente hecho de anti-materia, que llegara hasta nuestro laboratorio (sin aniquilarse con las paredes del mismo) respondería a la pregunta afirmando que el átomo de hidrógeno es precisamente aquel que nosotros apuntamos como el anti-hidrógeno, y viceversa. Por otro lado, puesto que la hipótesis que planteo aquí habla de una conjugación de carga eléctrica al cabo de cierta distancia crítica cósmica, entonces nuestro universo observable seria como una cinta de Möbius, donde las caras opuestas que se manifiestan localmente en el vacío cuántico, serían en realidad una única cara.

Saludos

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