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Matemáticas alienígenas: números primos marcianos

Posted by Albert Zotkin en marzo 28, 2018

Hoy hablaré de los número primos marcianos Fobos y Deimos, que como sabrás, sus nombres son como los dos satélites naturales de Marte. Primero hablaré del número Deimos:

\displaystyle \text{\small Deimos}=2^{127} - 1 =170141183460469231731687303715884105727 (1)
Este número es primo, y además de ser de la clase Mersenne, es de la clase Catalan-Mersenne. El número marciano Deimos hizo un pequeño cameo en la serie de dibujos animados Futurama. Más concretamente, salió en el episodio Futurama: La bestia con un millón de espaldas, película de 2008. Exactamente, la secuencia se puede encontrar en el punto de metraje 01:16:59.178: en la que el profesor Farnsworth le dice a su rival, el profesor Wernstrom, que ha conseguido una prueba elemental de la Conjetura de Goldbach.

Pero hablemos un poco ahora sobre la sucesión de números llamados de Catalan-Mersenne. Esta sucesión puede ser definida de la forma recursiva siguiente:

\displaystyle a_n= 2^{a_{n-1}}-1 \\ \\ \text{\small donde} \ \; a_0 = 2 \ \;\text{\small tenemos \'orbitas de 2 \textit{ad infinitum}} \\ \\ \text{\small y sus cinco primeros n\'umeros son:}\\ \\ C_n=\{2, 3, 7, 127, 170141183460469231731687303715884105727,\ldots\} (2)
como muy bien los tienen catalogados en la referencia A007013. Por lo tanto, en este catálogo de OEIS, nuestro número Deimos es el C5.

¿Son todos los números de esa sucesión de Catalan-Mersenne primos?. Los cinco primeros que he escrito en (2) son primos, sí. Pero, ¿y el sexto y los siguientes?. El sexto Catala-Mersenme es precisamente, C6, Fobos, nuestro siguiente número marciano:

\displaystyle \text{\small Fobos}=2^{170141183460469231731687303715884105727} - 1 = 111 \ldots 111_2  (3)
La expansión decimal del número Fobos es demasiado larga para ser escrita explicitamente. Pero escrita en base 2 tiene exactamente Deimos 1’s, porque es un número repunit en base 2. Ningún terrícola sabe decir si Fobos es un número primo. Pero, ya te voy a decir yo que Fobos es un número primo. Joerg Arndt sabe muy bien que Fobos, C6, es un número primo. Joerg Arndt afirmaba hace algún tiempo que Fobos sólo podía ser primo, o pseudoprimo de Fermat con factores no menores a 10 elevado a 51. Pero, ahora sabe ya que Fobos es un número primo. De hecho, todos los números de la sucesión Catalan-Mersenne son primos, los infinitos, y eso demuestra que hay infinitos números primos Mersenne. Si Fobos no fuera primo, sería, como he dicho antes, un pseudoprimo de Fermat en base 2, y todos los infinitos siguientes números marcianos (o Catalan-Mersenne, como prefieras) serían también pseudoprimos de Fermat. Pero, alguien en su sano juicio puede creer que un número como C7 (El hijo de Fobos), o superior, no es un número primo?. ¿En qué cabeza cabe?. Por supuesto que el número marciano:

\displaystyle C_7=2^{2^{2^{127} - 1} - 1} - 1 = \\ \\ = 2^{2^{170141183460469231731687303715884105727} - 1} - 1 (4)
es un número primo. Los infinitos Catalan-Mersenne lo son, ¡terrícola de poca fe!. Pero antes de ir a las demostraciones matemáticas, necesitamos unas pocas definiciones y alguna que otra curiosidad sobre esa clase de números. Para ello, amigo terrícola, permíteme que defina primero la Ciclotomia Transcendente de los números Catalan-Mersenne. Al igual que existen los polinomios ciclotómicos, podemos definir algo parecido, pero en el terreno de los números marcianos (Catalan-Mersenne). Para ello, en lugar de un polinomio estándar, nos fijaremos en la sucesión de funciones exponenciales de la siguiente clase:

\displaystyle F(x)_n=\{x,\ x^x-1,\ x^{x^x-1}-1,\ x^{x^{x^x-1}-1}-1,\ {x^{x^{x^{x^x-1}-1}-1}-1},\ldots \} (5)
Esta sucesión es monótona decreciente para ciertos valores reales de x, y monótona creciente para otros. En general, es fácil ver que para valores reales, 0 < x < 1, se obtienen sucesiones que decrecen y convergen hacia ciertos valores, según los casos. En cambio, para números reales x > 2, se obtienen sucesiones que crecen y convergen hacia ciertos valores. Pero, sólo existe un único número real capaz de estabilizar esa sucesión de funciones de modo que se mantiene igual a una constante, o punto fijo. Ese número real lo llamaré Tahawus, y es este:

\displaystyle \text{\small Tahawus}= 1.7767750400970546974797307440387567486374110343292961390843740\ldots (6)
Lo llamo número de Tahawus, por que fue el profesor Richard P. Stanley, otro “alienígena” (aunque de Tahawus), uno de los primeros en demostrar que ese número es transcendente y por lo tanto irracional. ¿Cómo se puede hallar ese número?. Hay muchas formas, pero siempre resulta ser la raíz real positiva de la ecuación:

\displaystyle x^x-1=x (7)
como así nos lo propuso Rick L. Shepherd. pero también es la única raíz real positiva de la función diferencia entre dos funciones consecutivas de F(x)n:

\displaystyle x= x^x-1, \\ \\ x^x-1=x^{x^x-1}-1, \\ \\ x^{x^x-1}-1=x^{x^{x^x-1}-1}-1, \\ \\ x^{x^{x^x-1}-1}-1=x^{x^{x^{x^x-1}-1}-1}-1 \\ \\ \ldots (8)
Estas funciones ciclotómicas transcendentes son extremadamente interesantes. Aquí os presento las representaciones gráficas de sus diferencias, (8), y en las que podemos observar cómo todas intersectan al eje de abscisas en los puntos (0, 0), (1, 0) y (Tahawus, 0):

Observemos ahora las gráficas de los logaritmos de algunas de las funciones F(x)n, en concreto, las de estas:

\displaystyle \log F(x)_4= \log \left(x^{x^{x^{x^x-1}-1}-1}-1 \right), \\ \\ \log F(x)_3= \log \left(x^{x^{x^x-1}-1}-1 \right), \\ \\ \log F(x)_2= \log \left(x^{x^x-1}-1 \right), (9)
vemos que todas tienen un polo en (1,0), y que F(x)3 ni siquiera está definida en el intervalo real [0,1], pues para valores de x, que se aproximan a 1 desde la derecha, la función de aproxima a – 8, cae al pozo y ya no vuelve.

Amigo terrícola, te estarás preguntando. “Ok, todo muy bonito, pero ¿para qué sirve todo eso?”. Sólo son matemáticas. Además, ¿no te parece interesante que exista un número real, Tahawus, distinto a 0 y a 1, con la propiedad de hacer que cualquier función F(x)n, de esa clase, sea igual a Tahawus?

\displaystyle x=\text{\small Tahawus}= 1.776775040097054697\ldots, \\ \\ F(\text{\small Tahawus})_4=x^{x^{x^{x^x-1}-1}-1}-1=\text{\small Tahawus}, \\ \\ F(\text{\small Tahawus})_3= x^{x^{x^x-1}-1}-1= \text{\small Tahawus}, \\ \\ F(\text{\small Tahawus})_2=x^{x^x-1}-1=\text{\small Tahawus} \ldots (10)
Los números Mersenne poseen una peculiaridad, y es que para que un número Mersenne sea primo debe de serlo el exponente del 2 que lo crea. Pero, eso es sólo una condición necesaria, no suficiente. Esa misma condición es válida para los números Catalan-Mersenne, pero estos últimos tienen además otra peculiaridad añadida, y es que si un número Catalan-Mersenne no es primo, entonces todos los que van tras él (su hijo y demás descendientes) tampoco lo serán. Imagina la sucesión de números catalan-Mersenne como una linea recta horizontal de ladrillos, todos del mismo tamaño, pero los que representan a Catalan-Mersenne primos son de color verde y los que representan a los no primos son de color rojo. Pues bien, si empezamos nuestra obra de albañilería desde la izquierda, veremos que los primeros ladrillos son todos de color verde, es decir, primos. Y si eventualmente uno de los ladrillos no fuera primo entonces todos los infinitos siguientes deberian ser rojos también, como él. Todo eso nos lo contó hace años Leonard Eugene Dickson, cuando hizo referencia a una carta que respondió Catalan a Édouard Lucas, allá por 1876, en la que le decía lo rápido que crecían los números de esa sucesión, y cómo el número C6, Fobos, podía ser muy bien primo también, como su padre (C5 Deimos) y sus abuelos. Landon Curt Noll nos contó hace poco cómo había comprobado que Fobos no posee factores por debajo de 5×1051, y para ello hizo uso de su programa calc.

Intentemos ahora factorizar algunos números que merodean cerca de esos números marcianos. EL profesor Robert Israel, de Princeton, nos ofreció hace poco una prueba de que si un numero marciano an (fijémonos en la sucesión (2) que escribí arriba, en el sexto párrafo de este artículo) era primo entonces ese an divide a an+1-1 para todo n. Por ejemplo, lo que nos dice R. Israel es que, siendo an = 127, entonces

\displaystyle a_5 = 2^{127}-1 =\text{\small Deimos},

con lo que a_5 -1 =\text{\small Deimos} - 1, debe ser divisible por 127. Y efectivamente lo es

\displaystyle \frac{a_5 - 1}{127} = \frac{2^{127}-2}{127} =1339694357956450643556592942644756738
Lo que no nos dice explícitamente R. Israel es que esos números, que son pares, no sólo son divisibles por el anterior de la sucesión, sino por todos y cada uno de los anteriores Empezaré por la secuencia principal, la de los números marcianos, y la llamaré a(n), y después obtendremos desde ella otras sucesiones cercanas, la b(n) y la d(n):

\displaystyle a_1=2,\\ a_2=2^2-1)=3,\\ a_3=2^{2^2-1}-1))=7,\\ a_4=2^{2^{2^2-1}-1}-1=127,\\ a_5=2^{2^{2^{2^2-1}-1}-1}-1)=170141183460469231731687303715884105727,\\ a_6=2^{2^{2^{2^{2^2-1}-1}-1}-1}-1)=\text{\small Fobos},\\ \ldots \\ \\ b_1=2-1=1,\\ b_2=2^2-2=2,\\ b_3=2^{2^2-1}-2=6,\\ b_4=2^{2^{2^2-1}-1}-2=126,\\ b_5=2^{2^{2^{2^2-1}-1}-1}-2=170141183460469231731687303715884105726,\\ b_6=2^{2^{2^{2^{2^2-1}-1}-1}-1}-2=\text{\small Fobos-1},\\ \ldots \\ \\
Y ahora los dividimos por 2, porque, no sé si lo habrás notado, pero, todos los números exomarcianos bn son pares, y así obtenemos los exomarcianos dn:

\displaystyle d_2=\frac{2^2-2}{2}=2-1=1,\\ \\ d_3=\frac{2^{2^2-1}-2}{2}=2^{2^2-2}-1= 3,\\ \\ d_4=\frac{2^{2^{2^2-1}-1}-2}{2}=2^{2^{2^2-1}-2}-1=63,\\ \\ d_5=\frac{2^{2^{2^{2^2-1}-1}-1}-2}{2}=2^{2^{2^{2^2-1}-1}-2}-1=\frac{\text{\small Deimos-1}}{2},\\\\ d_6=\frac{2^{2^{2^{2^{2^2-1}-1}-1}-1}-2}{2}=2^{2^{2^{2^{2^2-1}-1}-1}-2}-1=\frac{\text{\small Fobos-1}}{2},\\ \\ \ldots \\ \\
En general tenemos que:

\displaystyle d_n=2^{a_n-1} -1
es divisible por an, si ese exponente pertenece a la sucesión Catalan-Mersenne (número marciano), y además, también será divisible por todos los números que le anteceden, es decir por a1, a2, …, an-1. Eso es así por el pequeño teorema de Fermat. Y si recordamos, a vuelapluma este teorema, que dice:

\displaystyle a^{p-1} \equiv 1 \pmod p.

siempre es cierto, si el entero a no es divisible por el número primo p. O expresado de otra forma:

\displaystyle \frac{d_p}{p}=\frac{a^{p-1} - 1}{p}, \ \; \text{\small es un n\'umero entero distinto de 0.}
En nuestro caso, el de los número Catalan-Mersenne, vemos que es estrictamente cierto, incluso para p = a1 = 2, ya que también es a = 2, y por lo tanto, al ser el mismo número, el pequeño teorema de Fermat nos dice que no dará una división entera. Efectivamente, para ese caso, de p = 2, esa división es d2/p = 1/2.

Ahora vamos a demostrar que todos los números marcianos (Catalan-Mersenne) son números primos. Para ellos debemos fijarnos es la extensión del pequeño teorema de fermat que dice:

\displaystyle A = a^{p^n-1}-1 \equiv  0 \pmod p
Lo cual quiere decir que si el número a no es divisible por el número primo p, el cual aparece elevado a cierto número natural n, entonces en número A es divisible por el número primo p. Dicho de otra forma:

\displaystyle A = a^{n-1}-1 \equiv  0 \pmod p
es siempre divisible por p = cad(n) si ese p es primo, y sabiendo que cad(n) es el radical de n. El radical de un número primo es siempre el mismo número primo. El radical de un número primo elevado a cualquier número natural es también siempre el mismo número primo. El radical de un número cualquiera, sea primo o no, es siempre el producto de sus factores primos despojados de los exponentes mayores a la unidad, Por ejemplo rad(23 × 3 × 54 × 7) = 2 × 3 × 5 × 7 = 210.
Saludos alienígenas a todos
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El conjunto de los números fantásticamente completos y dónde encontrarlo

Posted by Albert Zotkin en marzo 7, 2018

Se me ha ocurrido una idea sencilla para estudiar los números primos desde perspectivas aún inexploradas. Vayamos al conjunto de los números complejos, y definamos el subconjunto de los números “fantástamente completos” así:

El número complejo z pertenecerá al conjunto de los números “fantástamente completos“, {Fc}, si su parte real es un número primo y su parte imaginaria es un número compuesto, o viceversa, y cumplen las siguientes propiedades:

1. Si la parte real de z es el número primo, p, entonces su parte imaginaria sólo podrá ser uno de estos números compuestos: (p+1) ó (p-1). Con lo cual tendremos cuatro valores diferentes:

\displaystyle  z=p +(p+1)i \\  z=p -(p+1)i \\ z=p -(p-1)i \\ z=p +(p-1)i (1)
2. Si la parte real de z es el número compuesto que dista sólo una unidad de un número primo, entonces tendremos también cuatro posibles números pertenecientes al conjunto Fc:

\displaystyle  z=(p+1)+pi  \\ z=(p+1)-pi  \\ z=(p-1)-pi  \\ z=(p-1)+pi (2)
3.El tercer caso es para los números complejos cuya parte real es un número compuesto, pero el menor primo mayor que él ya no dista una unidad, o el mayor primo menor que él tampoco. Por ejemplo para los complejo cuya parte real es 8, tendremos que el menor primo mayor que él es el 11, y el mayor primo menor que él es el 7: así tendremos los números:

\displaystyle  z=8+11i  \\ z=8-11i  \\ z=8+7i   \\ z=8-7i (3)

O para el 15 de parte real tendríamos:

\displaystyle  z=15 + 17i  \\ z=15 - 17i  \\ z=15 + 13i  \\ z=15 - 13i (4)
Usemos la función cuenta primos π(x). Un número entero positivo, m, es compuesto si π(m) – π(m-1) = 0, y también π(m+1) – π(m) = 0. Por el contrario, si m es primo, entonces π(m) – π(m-1) = 1, y π(m+1) – π(m) = 1. Pero, antes de intentar encontrar una forma cerrada para este último caso de números, debemos preguntarnos, que podríamos hacer con esta clase de números. Ya sabemos que dado un número primo p, podemos definir desde él, al menos, ocho complejos diferentes, los de (1) y (2). Y si tenemos de entrada un compuesto, podemos construir complejos además podrían ser del tercer caso.

Enpecemos a jugar un poco con estos números del conjunto de los “fantástamente completos“, {Fc}. Por ejemplo, seleccionemoss números de la forma m = p -(p-1)i, donde p es primo. Elevemos al cubo ese número m:

\displaystyle  m^3 = -3 p + 6 p^2 - 2 p^3 +  (-1 + 3 p - 2 p^3)i (5)
Observamos claramente que su parte real sólo puede ser un número compuesto o el primo 2, pues es divisible por 2, y su parte imaginaria sí podría ser un número primo, según el valor de p. Además, vemos que sería esa parte imaginaria un número entero negativo. Busquemos que números primos p, producen un número primo en esa parte imaginaria de m. Por mucho que búsquemos, sólo encontraremos el siguiente número complejo:

\displaystyle  m^3 = 2 - 11 i (6)
El cual, claramente, no pertenece al conjunto Fc. Pero, lo curioso de todo esto es siempre obtenemos el número p = 2. Cuando vamos elevando el número m a las sucesivas potencias, obtenemos los siguientes números cubos vuyas partes imaginarias son números primos:

\displaystyle  m = p - (p-1)\,i \\ \\ p=2,\,\, m = 2 - i \\  p=2,\,\, m^3 = 2 - 11\,i \\  p=2,\,\, m^5 =-38-41\,i\\  p=2,\,\, m^7 =-278-29\,i\\  p=2,\,\, m^{11} =2642-6469\,i\\  p=2,\,\, m^{13} =33802-8839\,i\\  p=2,\,\, m^{17} =-24478-873121\,i\\  p=2,\,\, m^{19} =-3565918-2521451\,i (7)
Observamos que sólo las potencias impares dan esos números con parte imaginaria prima. Veamos ahora las potencias pares: Veremos que sólo para m al cubo se obtiene 153 números con sucesivos valores de p, desde el 2 hasta el 7867. Los siguientes dos números obtenidos corresponden a las potencias de 5 y de 9

\displaystyle  m = p - (p-1)\,i \\ \\ p=2,\,\, m = 2 - i \\  p=2,\,\, m^3 = 3-4\,i \\ \\  p=3,\,\, m = 3 - 2\,i \\  p=3,\,\, m^3 = 5-12\,i\\  \cdots \\  p=7687,\,\, m^{3} =15373-118164564\,i\\  p=7867,\,\, m^{3} =15733-123763644\,i\\ \\  p=2,\,\, m^{5} =-7-24\,i\\  p=3,\,\, m^{9} =-239+28560\,i (8)
En resumen, que esta clase de números puede dar un juego bastante bueno, si se investiga un poco. Veamos ahora números de la forma m = p-1 –p i. Obtenemos los siguientes para potencias impares:

\displaystyle  m = p -1 - p\,i \\ \\ p=2,\,\, m = 1 - 2\,i \\  p=2,\,\, m^3 =  -11+2\,i \\  p=2,\,\, m^5 =-41 -38\,i\\  p=2,\,\, m^7 =-29-278\,i\\  p=2,\,\, m^{11} =-6469+2642\,i\\  p=2,\,\, m^{13} =-8839+33802\,i\\  p=2,\,\, m^{17} =-873121 24478\,i\\  p=2,\,\, m^{19} =-2521451-3565918\,i

(9)
Vemos que el complejo p-1 –p i, como es el conjugado de p -(p-1)i, los números obtenidos de sus potencias, también son conjugados de (9).

Nos faltaba aún encontrar una forma cerrada para el tercer caso que expliqué arriba. Es decir, dado un número entero positivo cualquiera, n, ¿cómo construir desde él los númerod fantásticamente completod, m, con sud parted reales igual a n?. La respuesta no sea hace esperar. Primero hay que hallar las partes imaginarias de esos posibles números. Para ello definimos la siguiente función, que llamaremos PrimeComplexBlock, para la cual introducimos el dato inicial n, y nos devolverá el par de números buscado:

\displaystyle   \text{\textbf{PrimeComplexBlock}}(n)= \begin{cases}  \{n - 1,\, n + 1\}    & \small \text{si \textit{n} es primo} \\  \{p(\pi(n)),\, \text{\small{\textbf{NextPrime}}}(n)\} & \small \text{en caso contrario}   \end{cases}

(10)
Es decir, si n es compuesto entonces nos devuelve el par de números {p(π(n)), NextPrime(n)}. El primer número del par nos da el mayor número primo de todos los primos menores que n. Y el segundo número del par, es decir, NextPrime(n)}, como su propio nombre indica, nos da el menor primo de todos los que son mayores a n. Pongamos un ejemplo. Sea n = 10, entonces tenemos:

\displaystyle  p(\pi(10)) = 7,\, \text{\small{\textbf{NextPrime}}}(10)=11
la funcion π(n), es la función cuenta primos, es decir, nos dice cuántos números primos hay menores o igual a n. Y la función p(n) nos da el n-ésimo número primo. Por lo tanto, ambas funciones combinadas, en p(π(n)) nos definen una función que nos da el mayor número primo de los menores a n. Así pues, para n = 10, tendremos todos estos números fantásticamente completos:

\displaystyle 10 - 7  i \\  10 + 7  i \\  10 - 11 i \\ 10 + 11 i
Fijémonos ahora en los números fantásticaente completos de la forma m = p + (p+1)i, donde p son un número primo. Calculemos los cuadrados de esos números m. Sus cuadrados son también números complejos. Seleccionemos de los sucesivos cuadrados, aquellos cuya parte real es un número primo. La sucesión de esas partes reales primas es lo que se llama números primos seguros:

\displaystyle  \text{Re} ((p +(p+1)i)^2) =\\ \\ \{5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, 167, 179, 227, 263, 347, 359, 383, \\ 467, 479, 503, 563, 587, 719, 839, 863, 887, 983, 1019, 1187, 1283, \\ 1307, 1319, 1367, 1439, 1487, 1523, 1619, 1823, 1907, 2027, 2039, \\ 2063, 2099, 2207, 2447, 2459, 2579, 2819, 2879, 2903, 2963, 2999, \\ 3023, 3119, 3167, 3203, 3467, 3623, 3779, 3803, 3863, 3947, 4007, \\ 4079, 4127, 4139, 4259, 4283, 4547, 4679, 4703, 4787, 4799, 4919, \\ 5087, 5099, 5387, 5399, 5483, 5507, 5639, 5807, 5879, 5927, 5939, \\ 6047, 6599, 6659, 6719, 6779, 6827, 6899, 6983, 7079, 7187, 7247, \\ 7523, 7559, 7607, 7643, 7703, 7727, 7823, 8039, 8147, 8423, 8543, \\ 8699, 8747, 8783, 8819, 8963, 9467, 9587, 9743, 9839, 9887, 10007, \\ 10079, 10103, 10163, 10343, 10463, 10559, 10607, 10667, 10799, 10883, \\ 11003, 11279, 11423, 11483, 11699, 11807, 12107, 12203, 12227, 12263, \\ 12347, 12527, 12539, 12647, 12659, 12899, 12983, 13043, 13103, 13127, \\ 13163, 13523, 13799, 13967, 14087, 14159, 14207, 14243, 14303, 14387, \\ 14423, 14699, 14867, 15083, 15287, 15299, 15383, 15647, 15683, 15767, \\ 15803,\ldots \} (11)
sucesión A005385 en la biblioteca de secuencias OEIS. Como esas partes enteras son los llamados números seguros, resulta que estos números son a su vez números de la forma 2p + 1, donde p es otro primo, que es llamado número primo de Sophie Germain. Es decir, de la lista de arriba (11), restamos la unidad a cada uno de sus números y dividimos por 2, para obteber estos números primos de Sophie Germain:

\displaystyle \frac{\text{Re} ((p +(p+1)i)^2) -1}{2} =\\ \\ \{2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, \\ 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, \\ 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953, 1013, 1019, 1031, 1049, 1103, \\ 1223, 1229, 1289, 1409, 1439, 1451, 1481, 1499, 1511, 1559, 1583, \\ 1601, 1733, 1811, 1889, 1901, 1931, 1973, 2003, 2039, 2063, 2069, \\ 2129, 2141, 2273, 2339, 2351, 2393, 2399, 2459, 2543, 2549, 2693, \\ 2699, 2741, 2753, 2819, 2903, 2939, 2963, 2969, 3023, 3299, 3329, \\ 3359, 3389, 3413, 3449, 3491, 3539, 3593, 3623, 3761, 3779, 3803, \\ 3821, 3851, 3863, 3911, 4019, 4073, 4211, 4271, 4349, 4373, 4391, \\ 4409, 4481, 4733, 4793, 4871, 4919, 4943, 5003, 5039, 5051, 5081, \\ 5171, 5231, 5279, 5303, 5333, 5399, 5441, 5501, 5639, 5711, 5741, \\ 5849, 5903, 6053, 6101, 6113, 6131, 6173, 6263, 6269, 6323, 6329, \\ 6449, 6491, 6521, 6551, 6563, 6581, 6761, 6899, 6983, 7043, 7079, \\ 7103, 7121, 7151, 7193, 7211, 7349, 7433, 7541, 7643, 7649, 7691, \\ 7823, 7841, 7883, 7901,\ldots \} (12)
sucesión A005384 en la biblioteca de secuencias OEIS. Estos últimos números primos de la lista (12) se llaman primos Sophie Germain, porque fué la matemática francesa Marie-Sophie Germain la primera en demostrar que el Último teorema de Fermat era cierto para esta clase de números primos.

Un saludo fantásticamente completo 🙂

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Más allá del último Teorema de Fermat

Posted by Albert Zotkin en marzo 4, 2018

Hola amigo incondicional de Tardígrados. Anoche. como no podía conciliar el sueño, en lugar de contar ovejitas, me puse a calcular mentalmente ternas pitagóricas, y de ahí pasé a mayores evocando el último Teorema de Fermat. Afortunadamente me quedé dormido pronto, pero de todo eso surgieron algunas ideas extravagantes, que más se parecen a cabezonería que a otra cosa. Y me dije para mis adentros: “vale, vale, el último Teorema de Fermat es cierto, no es posible encontrar ternas de números enteros positivos (x, y, z) tal que se cumpla la relación:

\displaystyle    x^n + y^n = z^n  \, (1)
para todo n > 2. Pero, ¿y si nos emperramos en que esa relación se pueda cumplir para ciertas ternas de enteros positivos?. Es decir, queremos que “el último Teorema de Fermat sea falso“, entre comillas, por supuesto. Queremos ir mas allá. Pensemos por un momento en algo parecido a lo que queremos conseguir. Ese algo puede ser, por ejemplo, la raíz cuadrada de un número real negativo. Por mucho que nos empeñemos, la raíz cuadra de un número real negativo no es un número real, ni negativo ni positivo. Pero alguien se emperró y dijo hacia sus adentros, ¿cómo que no voy a ser capaz de calcular esto?:

\displaystyle    x = \sqrt{-25} (2)
Para poder resolver esa imposibilidad algebraica se inventaron los números complejos, y más concretamente el número imaginario i = (0, 1), del cual queremos que su cuadrado sea igual a -1. De esa forma tan artificial y forzada tendremos que, efectivamente:

\displaystyle    x = \sqrt{(-1)25 } =\sqrt{-1}\sqrt{25}= i\sqrt{25} \\ \\ i =\sqrt{-1} (3)
¿Hemos resuelto el problema?. No, pero hemos sabido encapsular el objeto conflictivo, aislarlo de la solución. Los números complejos, visto de esta forma tan extravagante, son como hacer limpieza y meter toda la basura debajo de la alfombra. En realidad, no hemos resuelto el problema de la raíz cuadrada de un numero negativo, simplemente hemos escondido el problema debajo de la alfombra. Pero, al hacer eso, nos hemos visto forzados a definir una nueva clase de números, los números complejos, de la que los números reales es simplemente un subconjunto. Así, con la ecuación (1), que define el teorema de Fermat, pasa algo muy parecido. Supongamos que queremos que exista una solución de ternas enteras para

\displaystyle   x^3 + y^3 = z^3  \, (4)
Sabemos que no será una solución real. Busquemos ternas de números que podrían servirnos. Y para ello nos basaremos en un método análogo al que utilizó Euclides para encontrar ternas Pitagóricas. Euclides encontró, para para cualquier par aleatorio de números enteros positivos, m y n, con m > n, que es posible definir una terna que cumpla el Teorema de Pitágoras, así;

\displaystyle  x=m^{2}-n^{2},\ \,y=2mn,\ \,z=m^{2}+n^{2} (5)
y la relación del Teorema de Pitágoras se cumplirá siempre si las ternas están definidas de esa forma, para cualquiera que sean los números aleatorios m y n:

\displaystyle  z^2=x^2+y^2 (6)
Hagamos ahora algo parecido para nuestras ternas de Fermat en la relación cúbica. Es decir, desde dos números aleatorios m y n, definamos nuestras ternas así:

\displaystyle  x=m^3-n^3,\ \,y=\sqrt[3]{2n^9+ 6m^6 n^3},\ \,z=m^3+n^3 (7)
Evidentemente, como el último Teorema de Fermat es cierto, no esperamos que nuestras ternas, definidas de esa forma, cumplan la relación cúbica (4). Pero, las vamos a presentar para a ver qué ocurre:

\displaystyle  x^3+y^3= (m - n)^3+\left(\sqrt[3]{2n^3+ 6m^2 n}\right)^3 = \\ \\  =(m^3 - n^3)^3+ (2n^9+ 6m^6 n^3)^3 = m^9+3 m^6 n^3+3 m^3 n^6+n^9 = \\ \\   =(m^3+n^3)^3=z^3 (8)
Con lo cual hemos demostrado que el último Teorema de Fermat es ¡falso!. ¿Dónde está el error?. El error está en afirmar que, tal y como hemos definido y, desde los enteros positivos aleatorios m y n, debe ser obligatoriamente un entero positivo. De hecho para demostrar que el último Teorema de Fermat es cierto para el caso cúbico basta con demostrar que:

\displaystyle  y =\sqrt[3]{2n^9+ 6m^6 n^3}  (9)
no puede ser entero positivo si m y n lo son. Y eso se demuestra muy rápidamente:

\displaystyle  y^3 = 2n^9+ 6m^6 n^3 (10)
no puede ser un cubo porque el único sería:

\displaystyle  y^3 = n^9+ 6n^9  +  n^9 = 8 n^9 \\  y = 2n^3 (11)
que es una contradicción ya que originalmente m no puede ser igual a n. En general, para demostrar este teorema para todos los casos, basta con demostrar que el número y no puede ser entero si n y m son enteros. El caso general más simple sería:

\displaystyle  x= m-n ,\ \, z= m+n \\ \\  y = \sqrt[k]{(m+n)^k - (m-n)^k } (12)
y como sabemos que las siguientes expansiones son ciertas:

\displaystyle (m+n)^k = \sum_{j=0}^k {k \choose j} m^{k-j}n^j \\ \\ \\ (m-n)^k = \sum_{j=0}^k {k \choose -j} m^{k-j}n^j (13)

tendremos que:

\displaystyle  (m+n)^k -(m-n)^k = \sum_{j=1}^{k-1} {k \choose j} m^{k-j}n^{j} -\sum_{j=1}^{k-1} {k \choose -j} m^{k-j}n^{j} \\ \\ \\ (14)
Es decir, el número y, expresado desde los aleatorios enteros positivos m y n, sería:

\displaystyle  y = \sqrt[k]{\sum_{j=1}^{k-1} {k \choose j} m^{k-j}n^j-\sum_{j=1}^{k-1} {k \choose -j} m^{k-v}n^j} \\ \\ \\ (15)
Con lo cual para demostrar que es cierto el último Teorema de Fermat, basta con demostrar que, en esta última ecuación (14), si m y n son enteros positivos, entonces y no lo es, y eso debe ser cierto para todo k entero positivo.

El caso general algo menos simple que el anterior sería:

\displaystyle  x= m^k-n^k ,\ \, z^k= m^k+n^k \\ \\  y = \sqrt[k]{(m^k+n^k)^k - (m^k-n^k)^k } (16)
Pero, las expansiones son muy parecidas a las del caso anterior, sólo hay que elevar a k los dos factores que acompañan al binomial, porque es simplemente un vulgar cambio de variable:

\displaystyle y = \sqrt[k]{\sum_{j=1}^{k-1} {k \choose j} m^{k^2-j k}n^{v k} -\sum_{j=1}^{k-1} {k \choose -v} m^{k^2-j k}n^{j k} } (17)
Esa diferencia de sumatorios es fácil redcirla, ya que poseen sumandos iguales, pero en el segundo sumatorio hay alternancia de signos ±. Por lo tanto, los sumando en posiciones impares se suman duplicándose, y los de posiciones pares se restan, anulándose. Una forma elegante de expresar esa diferencia de sumatorios es esta:

\displaystyle y = \sqrt[k]{\sum_{j=1}^{k-1} {k \choose j} (1+e^{i \pi j}) m^{k^2-j k}n^{j k} }

(18)
El último Teorema de Fermat viene a decirnos que el único caso para el que el número y resulta ser entero, siendo los aleatorios enteros m y n, es cuando k = 2. Los casos para k >2, dan todos un número y que no es entero, es decir, le sobra o le falta siempre cierta cantidad para completar un hipercubo.

\displaystyle k=2,\,y= 2 \sqrt{m^2 n^2} \\   k=3,\,y= \left(6 m^6 n^3+2 n^9\right)^{1/3} \\   k=4,\,y= \left(8 m^{12} n^4+8 m^4 n^{12}\right)^{1/4} \\   k=5,\,y=  \left(10 m^{20} n^5+20 m^{10} n^{15}+2 n^{25}\right)^{1/5} \\  k=6,\,y= \left(12 m^{30} n^6+40 m^{18} n^{18}+12 m^6 n^{30}\right)^{1/6} \\   k=7,\,y= \left(14 m^{42} n^7+70 m^{28} n^{21}+42 m^{14} n^{35}+2 n^{49}\right)^{1/7} \\  k=8,\,y= \left(16 m^{56} n^8+112 m^{40} n^{24}+112 m^{24} n^{40}+16 m^8 n^{56}\right)^{1/8} \\  k=9,\,y=  \left(18 m^{72} n^9+168 m^{54} n^{27}+252 m^{36} n^{45}+72 m^{18} n^{63}+2 n^{81}\right)^{1/9} \\  k=10,\,y=  \left(20 m^{90} n^{10}+240 m^{70} n^{30}+504 m^{50} n^{50}+240 m^{30} n^{70}+20 m^{10} n^{90}\right)^{1/10}

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