TARDÍGRADOS

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Archive for 21 febrero 2014

Inteligencia alienígena: Sorprendente resolución de la paradoja de Fermi

Posted by Albert Zotkin en febrero 21, 2014

Buenos días amigos incondicionales de tardigrados. Hoy voy a hablar un poco sobre una sorprendente solución a la paradoja de Fermi. La paradoja de Fermi puede ser formulada sucintamente así:

“si se supone que existen muchas civilizaciones alienígenas inteligentes, con nivel tecnológico muy avanzado, ¿porqué aún no tenemos noticias de ellas ni nos han visitado?”

Una resolución a tal paradoja, se me ocurrió hace poco cuando escribia el post ¿Por qué en nuestro universo observable hay más materia que antimateria?. La mayor parte de las civilizaciones alienígenas inteligentes habitarían en la cara de la antimateria, es decir su “materia ordinaria” seria lo que para nosotros es la antimateria, y por lo tanto sus “ondas electromagnéticas” no serian detectables por nuestros detectores hechos con materia ordinaria. Una nave alienígena no podria aproximarse a nuestro sistema solar porque colisionaria con la materia que va encontrando a su paso y por lo tanto acabaría desintegrada. Para protegerse necesitaría de un escudo de “materia ordinaria”. Pero igual que para nosotros es dificilísimo obtener un gramo de átomos de anti-hidrógeno, para esa supuesta civilización alienígena no sería menos difícil.

ejemplar de la especie Obzzkoj

ejemplar de la especie Obzzkoj

Sin embargo, si una civilización alienígena y sus veleros interestelares, se encuentra a suficiente distancia de nosotros, no necesitaría vivir en el lado de la antimatería, sino que, como digo en ¿Por qué en nuestro universo observable hay más materia que antimateria?, la materia ordinaria conjuga su carga respecto a nosotros cuando supera un Radio de Hubble . Igualmente una civilización alienígena en el lado de la antimateria que se encontrara a más de 1 radio de Hubble, podría ser “visible” desde nuestra ubicación porque su luz nos llegaría como ondas electromagnéticas ordinarias, como las produce la materia ordinaria. Esta hipótesis nos lleva a algo aún más espectacular, y es postular que lo que en astronomía llamamos quasars, podrían ser realmente galaxia de antimateria, que por su lejanía se hacen visibles a nuestros ojos, como si fueran galaxias de materia ordinaria, pero su luz nos llegaria difusa debido a esa lejania y nos impediría observar sus detalles de estructura interna.

Reflexionando un poco más sobre la discriminación entre materia y antimateria, es ahora más evidente el hecho de que la naturaleza no puede distinguir entre carga eléctrica negativa y carga eléctrica positiva. ¿Cómo saber que dos partículas que se repelen por sus cargas eléctricas corresponde a una interacción entre dos cargas negativas o dos cargas positivas?. Puesto que en la naturaleza no existe esa discriminación, ambas cargas deben ser lo mismo pero actuando desde caras opuestas de un espacio dual, el cual a largas distancias se cierra como una banda de de Möbius, resultando en un espacio de una única cara y sin bordes.

Saludos anti-matéricos a todos
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Dos nuevas extensiones de la función Zeta de Riemann

Posted by Albert Zotkin en febrero 7, 2014

La forma clásica de la función zeta de Riemann es

\displaystyle   \zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}

donde n son los sucesivos números naturales y s es una variable compleja. Podemos extender esa función zeta así,

\displaystyle   \zeta(s)=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{z_{k}^{s}}

donde z_{k} son sucesivos números complejos de parte real y parte imaginaria enteras positivas, contados según la pairing function de Cantor. Es decir, podemos asociar a cada par de números enteros positivos (n.m) un único número k, de forma que podemos siempre expresar k en función de n y m, o hallar n y m desde k,

\displaystyle     k=\frac{(n+ m)(n+ m + 1)}{2} + n + 1  \\ \\ \\   \displaystyle  n=k-\frac{\left\lfloor \frac{\sqrt{8k+1}-1}{2}\right\rfloor ^2+\left\lfloor \frac{\sqrt{8k+1}-1}{2}\right\rfloor }{2}+1 \\ \\ \\  m=-k+\frac{\left\lfloor \frac{\sqrt{8k+1}-1}{2}\right\rfloor ^2+3\left\lfloor \frac{\sqrt{8k+1}-1}{2}\right\rfloor }{2}

O sea, m será la parte real del número complejo z y n será la parte imaginaria. Con lo cual podemos escribir la función zeta extendida así,

\displaystyle     \boxed{\zeta(s)=\sum _{k=0}^{\infty } \frac{1}{\left [\left(\frac{\left \lfloor \frac{\sqrt{8 k +1}-1}{2}\right \rfloor ^2+3 \left \lfloor \frac{\sqrt{8 k +1}-1}{2}\right \rfloor }{2}-k\right)+ i\left(k-\frac{\left \lfloor \frac{\sqrt{8 k +1}-1}{2}\right\rfloor^2+\left \lfloor \frac{\sqrt{8 k +1}-1}{2}\right \rfloor}{2}+1\right)\right ]^s}}

Por otro, lado también podemos extender la función zeta de Riemann mediante su fasor,

\displaystyle     \boxed{\zeta(s)=\sum _{k=0}^{\infty } \frac{1}{|z_k|^s e^{i \theta s}}}

siempre que z_k sea un número entero definido mediamte una función de pairing. Es decir, z= m +in, donde m y n son enteros positivos que corren mediante función de pairing de Cantor. Y en el caso más partícular donde |z_k|=1, tendremos

\displaystyle     \zeta(s)=\sum _{k=0}^{\infty} e^{-i \theta s}

donde obviamente \theta sigue siendo función de los enteros positivos m y m, que a su vez son numerados mediante otro entero positivo k.

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Unificando gravedad y electromagnetismo

Posted by Albert Zotkin en febrero 5, 2014

Al contrario de lo que pudiera parecer, es sorprendentemente fácil unificar gravedad y electromagnetismo. Veamos cómo. Lo primero que debemos hacer es prestar atención al siguiente mecanismo con el que unificamos ambas fuerzas. Todo esto tiene mucho que ver con lo que llamamos inercia: Si se aplica una fuera F a una masa m en reposo durante el intervalo de tiempo t, y después se aplica una fuerza opuesta a la anterior, -F, durante el tiempo t’, se obtiene la velocidad intermedia vf, y la velocidad final vf’, tal que:

\displaystyle                      v_f  =   \frac{F}{m}\; t  \\ \\                  v_{f'} = v_f -   \frac{F}{m}\; t' \,\\ \\                  v_{f'} = \frac{F}{m}(t - t').  (1)
Este resultado es equivalente a aplicar una fuerza efectiva f a m durante el intervalo de tiempo T = t + t’, y como la aceleración media es

\displaystyle                      a = \frac{v_f'}{t + t'} =  \frac{F}{m}\left (\frac{t - t'}{t + t'}\right ),                  (2)

entonces, la fuerza efectiva es:

\displaystyle                       f = m\ a =  F\left (\frac{t - t'}{t + t'}\right ),                  (3)
por lo tanto, con cualquier par de fuerzas opuestas invariantes, F y -F, podemos conseguir cualquier fuerza efectiva f dentro del intervalo [-F, F] para todo intervalo de tiempo T.

t es el tiempo total durante el que la fuerza F ha estado actuando
t’ es el tiempo total durante el que la fuerza -F ha estado actuando
T = t + t’ es el tiempo total

Una vez que tenemos una fuerza efectiva, f, la podemos dividir en dos fuerzas opuestas f1 y f2, tal que

\displaystyle                     f_1 =  F\left (\frac{t}{T}\right ) \\ \\ \\                   f_2 = - F\left (\frac{t'}{T}\right ) = -F \left (1 - \frac{t}{T}\right ),\\ \\ \\                   f_2 = -F + f_1 \\ \\ \\                       f = f_1 + f_2 \\ \\ \\                     F = f_1 - f_2.                  (4)
Transformemos ahora este mecanismo en uno que sea estocástico. Esto significa que distribuiremos aleatoriamente copias de F y de -F a lo largo del intervalo de tiempo T, pero conservando la fuerza efectiva f como resultado neto. Asi pues, ahora tendremos que considerar probabilidades. La probabilidad p de que este mecanismo nos de el valor f1 es

\displaystyle                    p = \frac{t}{T},                  (5)

y la probabilidad de que este mecanismo nos de f2 es

\displaystyle                   q = \frac{t'}{T} = \left (1 - \frac{t}{T}\right ),                  (6)

y por supuesto

\displaystyle                   p + q = 1.                  (7)
En este mecanismo está prohibido que instancias de F y F actúen simultáneamente en el cuerpo, la superposición no está permitida (cuando F está actuando F no actúa, y viceversa).

Por lo tanto estamos ya preparados para unificar la gravedad con el electromagnetismo por medio de este mecanismo estocástico. Empecemos, por algo aparentemente simple, como es la interacción electrón-electrón.
Identifiquemos la fuerza f1 como la fuerza electrostática que uno de esos electrones ejerce sobre el otro a la distanca r,

\displaystyle                        f_1 = K_c \ \frac{e^2}{r^2}                  (8)

donde

K_c is la constante electrostática, y
e es la carga eléctrica del electrón.

Identifiquemos ahora f2 como la fuerza gravitacional clásica (Newtoniana) que un electrón ejerce sobre el otro a la distancia r

\displaystyle                        f_2 = -G \ \frac{m_e^2}{r^2}                  (9)

donde

G is la constante gravitacional, y
m_e es la masa del electrón

Así que, tenemos la fuerza efectiva:

\displaystyle                        f = f_1 + f_2  = K_c \ \frac{e^2}{r^2} - G \ \frac{m_e^2}{r^2}                  (10)

y la fuerza unificada:

\displaystyle                        f = f_1 - f_2  = K_c \ \frac{e^2}{r^2} + G \ \frac{m_e^2}{r^2}                  (11)

pero, ¿dónde está el intervalo T?. Este intervalo está definido en la distancia r,

\displaystyle                       T = \frac{r}{c}                  (12)

donde c es la velocidad de la luz en el vacio.

Por lo tanto, estamos considerando una interacción unificada a lo largo de T. Esto significa que deben existir fluctuaciones no locales del vacio. Las fuerzas F y -F están aleatoriamente distribuidas a lo largo de T, pero conservan sus probabilidades complementarias p y q. Despues de algunos sencillos pasos algebráicos tenemos:

\displaystyle                       p= \frac{t}{T}= \cfrac{1}{G\ \frac{m_e^2}{K_c\ e^2 }+1} \\ \\ \\                    q= \frac{t'}{T}= 1-\cfrac{1}{G\ \frac{m_e^2}{K_c\ e^2}+1}\\ \\ \\                    p= \cfrac{K_c\ e^2}{G\ m_e^2 \ + K_c\ e^2}\\ \\ \\                   q= 1-\cfrac{K_c\ e^2}{G\ m_e^2 \ + K_c\ e^2}\\ \\ \\                   q =\cfrac{G\ m_e^2}{G\ m_e^2 \ + K_c\ e^2}                  (13)
Si la fuerza unificada F actúa en el electrón A un instante, entonces la fuerza opuesta -F debe actuar simultáneamente sobre el electrón B, y viceversa. Por lo tanto, ambos electrones están entrelazados cuánticamente en el instante dt, y sus estados colapsan en el siguiente instante, produciendo las fuerzas correlacionadas F y -F. Despues de todo colapso, se produce un nuevo entrelazamiento con lo que el ciclo de interacciones se cierra

Esta unificación nos está diciendo que la carga eléctrica y la masa del electrón pueden ser predichas desde una “hipercarga” Ye. Si definimos la potencia S de la interacción electrón-electrón unificada como

\displaystyle                       S = 4\pi\ Y_e                  (14)

el campo unificado es entonces,

\displaystyle                       U_e = \frac{ Y_e}{r^2}                  (15)

que es la ley del inverso del cuadrado (gravedad Newtoniana, clásica).

Si identificamos Ue como

\displaystyle                       U_e = \frac{F}{Y_e} \\ \\                    U_e = \frac{K_c\ e^2+ G\ m_e^2}{Y_e\ r^2}                    (16)

entonces

\displaystyle                                       Y_e = \pm \sqrt{K_c\ e^2+ G\ m_e^2}                   (17)
donde la signatura \pm experimenta fluctuaciones, gobernada por las probabilidades p y q.

Por consiguiente, es trivial “predecir” e y m_e:

\displaystyle                                       e = Y_e \sqrt{\frac{p}{K_c}} \\ \\ \\                    m_e = Y_e \sqrt{\frac{q}{G}} \\ \\ \\                  (18)

ya que

\displaystyle                                       q =\cfrac{G\ m_e^2}{G\ m_e^2 \ + K_c\ e^2}\\ \\ \\                    p =\cfrac{K_c\ e^2}{G\ m_e^2 \ + K_c\ e^2}                  (19)

tenemos que

\displaystyle                                      a = \sqrt{p}                  (20)

es la amplitud de probabilidad del mecanismo estocástico que produce la fuerza F en un tiempo infinitesimal dt, a lo largo del intervalo de tiempo T = \frac{r}{ c}. Y

\displaystyle                                      b = \sqrt{q}                  (21)

es la amplitud de probabilidad del mecanismo estocástico que produce la fuerza -F.

Saludos

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Función Digamma para una familia de fracciones continuas

Posted by Albert Zotkin en febrero 3, 2014

Consideremos la familia de fracciones continuas siguiente,

\displaystyle      F(n)=0+\cfrac{1+n}{1+\cfrac{2+n}{2+\cfrac{3+n}{3+\cfrac{4+n}{4+\cfrac{5+n}{\dots}}}}}  (1)

Realicemos un plot para los puntos (n, F(n)) con n entero positivo,

esta gráfica sugiera que F(n) es una función digamma. La función digamma es la derivada logarítmica de la función gamma, es decir,

\displaystyle      \psi(z) =\frac{d}{dz}\ln\Gamma(z)= \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}  (2)
La gráfica de la función digamma es:

digamma

pero, como la gráfica de F(n) parece una función digamma desplazada cuatro unidades hacia la derecha sobre el eje de abcisas, tendremos la conjetura:

\displaystyle      F(z)=\psi(z-4)  (3)

o más exactamente

\displaystyle      F(z)=\psi(P(z)-4)  (4)

donde P(z) es una función polinómica. Quizás:

\displaystyle      F(z)=\psi(z^2-4)  (5)

Saludos

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