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AL MENOS DOS QUINTOS DE LOS CEROS DE LA FUNCIÓN ZETA DE RIEMANN ESTÁN EN LA LÍNEA CRÍTICA

Posted by Albert Zotkin en diciembre 26, 2015

El siguiente artículo es una traducción que he hecho del documento titulado “AT LEAST TWO FIFTHS OF THE ZEROS OF THE RIEMANN ZETA FUNCTION ARE ON THE CRITICAL LINE“, cuyo autor es J. B. CONREY para la AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY. Exactamente el documento original puede encontrarse en BULLETIN (New Series) Volume 20, Number 1, January 1989. Y he añadido dos apéndices de mi cosecha para completar el post.

J. B. CONREY

La función zeta de Riemann, ζ(s), se suele expresar para una variable compleja s = σ + it de la siguiente forma:

\displaystyle \zeta(s)= \sum_{n=1}^\infty n^{-s}
En teoría de números es de crucial importancia la distribución de los ceros complejos de la función zeta de Riemann, ζ(s). Todos esos ceros caen dentro del intervalo 0 < σ < 1, y están simétricamente localizados por el eje real y por la línea crítica σ = 1/2. Riemann conjeturó en 1859 que todos esos ceros complejos están en la línea crítica; esa conjetura está aún sin probar, y es conocida como la Hipótesis de Riemann.
El número de ceros de ζ(s) en la región 0 < t < T de la banda crítica se expresa como N(T) y asintóticamente se ofrece así:

\displaystyle N(T) \sim   \frac{T}{2\pi}\log T
cuando T → ∞. En 1942 Selberg [8] probó que una proporción positiva de los ceros de ζ(s) están en la linea crítica; es decir, si N0(T) es el número de ceros de ζ(s) en el intervalo 0 < t < T que están en la línea crítica, entonces el resultado de Selberg nos dice que

\displaystyle \kappa = \liminf_{T \to \infty}   \frac{N_0(T)}{N(T)} > 0
donde κ es la proporción de ceros de ζ(s) que están en la línea crítica. (Fijémonos en que κ = 1 no implica la Hipótesis de Riemann.). Selberg no nos ofreció una cota numérica mínima para κ.
En 1973 Levinson [7] desarrolló un método nuevo y pudo probar que κ > 1/3. Heath-Brown [5] se dió cuenta, e independientemente de Selberg, de que el método de Levinson prueba como cierta la proposición más fuerte de que al menos 1/3 de los ceros de ζ(s) son simples y están en la linea crítica.

Nosotros extendemos el método de Levinson para probar el siguiente teorema:

TEOREMA 1. Al menos 2/5 de los ceros de ζ(s) son simples y están en la línea crítica.

El método de Levinson depende de la abilidad de ofrecer una fórmula asintótica para la media cuadrática en un segmento de linea vertical (a + it : Tt ≤ 2T)) de una combinación lineal de ζ(s) y sus derivadas multiplicadas por un molificador (aproximación a la identidad)

\displaystyle B(s) =\sum_{n \le y} \frac{b(n)}{n^s};
Aquí |1/2-a| \ll (\log T)^{-1} y los coeficientes de molificador se dan con:

\displaystyle b(n) =\mu(n) P \left ( \frac{\log y/n}{\log y} \right)
donde μ es la función de Möbius y P es un polinomio que satisface P(0) = 0 y P(1) = 1.
En el teorema de Levinson , la longitud y del molificador puede ser tan larga como T 1/2 – ε para un ε > 0 fijo y las apropiadas asíntotas pueden ser deducidas. La principal característica nueva del Teorema 1 es que y = T 4/7 – ε es admisible para cualquier ε > 0. El trabajo de Deshouillers y Iwaniec [4] sobre promedios de sumas de Kloosterman juega un papel crucial aquí. Su trabajo se basa en parte en la fórmula de la traza de Kuznetzov, la cual relaciona sumas de sumas Kloosterman con coeficientes de Fourier de las formas cuspidales de Maass.
Nuestro trabajo también implica dos resultados de densidad para los ceros de ζ(s) que son fuertes cerca de σ = 1/2. Sea N(σ, T) el número de ceros ρ = β + de ζ(s) para los que β ≥ σ y 0 < tT.

TEOREMA 2. Para cualquier ε > 0 tenemos que

\displaystyle N(\sigma, T) \ll_\epsilon T^{1-(8/7 - \epsilon)(\sigma-1/2)}\log T

uniformemente para σ ≥ 1/2.

Este teorema mejora el resultado de Jutila [6].

TEOREMA 3. Tenemos

\displaystyle \int_{1(2}^1 N(\sigma, T) d\sigma \le (0.0806 + o(1))T

cuando T → ∞.

Con esto perfeccionamos un poco el resultado de Balasubramanian, Conrey, y Heath-Brown [1].

Los detalles de la prueba del Teorema 1 están en [3].

Referencias
1. R. Balasubramanian, J. B. Conrey, and D. R. Heath-Brown, Asymptotic mean square of the product of the Riemann zeta-function and a Dirichlet polynomial, J.Riene Angew. Math. 357(1985), 161-181.
2. J. B. Conrey, Zeros of derivatives of Riemann’s xi-function on the critical line, J. Number Theory 16(1983), 49-74.
3. , More than two-fifths of the zeros of Riemann’s zeta-function are on the critical line, preprint.
4. J.-M. Deshouillers and H. Iwaniec, Kloosterman sums and Fourier coefficients of cusp forms, Invent. Math. 70 (1982), 219-288.
5. D. R. Heath-Brown, Simple zeros of the Riemann zeta-function on the critical line, Bull. London Math. Soc. 11 (1979), 17-18.
6. M. Jutila, Zeros of the zeta-function near the critical line, Studies in Pure Mathematics, to the memory of Paul Turan, pp. 385-394 (Birkhâuser, Basel Stuttgart, 1982).
7. N. Levinson, More than one-third of the zeros of Riemann’s zeta-function are on o = 1/2, Adv. Math. 13 (1974), 383-436.
8. A. Selberg, On the zeros of Riemann’s zeta-function, Skr. Norskevid. Akad. Oslo 10 (1942), 1-59.
9. E. C. Titchmarsh, The theory of the Riemann zeta-function, (2nd ed.) Clarendon Press,Oxford, 1986.

Apéndice 1
Ceros de la función zeta de Riemann
Apéndice 2
Ramachandran Balasubramanian es uno de los genios vivos de las matemáticas, aunque no llega a la talla de Ramanujan (nadie llega a la talla de Srinivasa Ramanujan). Nació el 15 de Marzo de 1951, y es el actual director del Instituto de Ciencias Matemáticas en Chennai, India. Es principalmente conocido por sus profundas contribuciones a la Teoría de Números, que incluye la solución al número final g(4) del problema de Waring en 1986. Sus trabajos en momentos de la función zeta de Riemann son muy apreciados, y fue conferenciante plenario por la India en el ICM de 2010. Y fue becario del Institute for Advanced Study en Princeton durante 1980-81.

Conozcamos un poco a este curioso personaje dando una charla en unas jornadas conmemorativas del 50º aniversario de la creación del Instituto de Ciencias Matemáticas en Chennai.

Saludos 🙂

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¿Es la Hipótesis de Riemann un problema indecidible?: empecemos con la Conjetura de Collatz

Posted by Albert Zotkin en diciembre 11, 2015

Quizás la dificultad en resolver la Hipótesis de Riemann tenga que ver con el hecho de que pueda ser un problema indecidible. Si esa hipótesis (o conjetura) es cierta o no, pero sabemos que es indecidible, entonces nunca tendremos una prueba matemática de ella.

Podemos divagar un poco sobre este tema y presentar una conjetura menos compleja (aparentemente) que la de Riemann. Se trata de la Conjetura de Collatz, o tambien conocida como el problema 3n+1. Aquí tenemos un video de Eduardo Sáenz de Cabezón que nos la explica muy sencillamente:

Para esta conjetura se define la siguiente iteración:
flow1

es decir, tenemos una función sobre los enteros positivos definida así:

\displaystyle f(n) = \begin{cases} \tfrac{n}{2}, & \mbox{si }n\mbox{ es par} \\ 3n+1, & \mbox{si }n\mbox{ es impar} \end{cases} (1)

Por ejemplo, para n=2781 tendriamos la siguiente sucesión, la cual terminaría en el 1:


2781➞8344➞4172➞2086➞1043➞3130➞1565➞4696➞2348➞1174➞587➞1762➞881➞2644
➞1322➞661➞1984➞992➞496➞248➞124➞62➞31➞94➞47➞142➞71➞214➞107➞322➞161
➞484➞242➞121➞364➞182➞91➞274➞137➞412➞206➞103➞310➞155➞466➞233➞700➞
350➞175➞526➞263➞790➞395➞1186➞593➞1780➞890➞445➞1336➞668➞334➞167➞
502➞251➞754➞377➞1132➞566➞283➞850➞425➞1276➞638➞319➞958➞479➞1438➞
719➞2158➞1079➞3238➞1619➞4858➞2429➞7288➞3644➞1822➞911➞2734➞1367➞
4102➞2051➞6154➞3077➞9232➞4616➞2308➞1154➞577➞1732➞866➞433➞1300➞
650➞325➞976➞488➞244➞122➞61➞184➞92➞46➞23➞70➞35➞106➞53➞160➞80➞
40➞20➞10➞5➞16➞8➞4➞2➞1

Se sabe ya que la conjetura de Collatz es un problema indecidible, es decir, no se puede probar matemáticamente. Pero eso no quiere decir que la conjetura sea falsa o cierta.

Yo me he animado a crear una función tipo Collatz, que posee la siguiente forma:

\displaystyle h(n) = \begin{cases} 3n+1, & \mbox{si }n\mbox{ es par} \\ \tfrac{n+1}{2}, & \mbox{si }n\mbox{ es impar} \end{cases} (2)

Esta función tipo Collatz da, por ejemplo, para n=101:

101➞51➞26➞79➞40➞121➞61➞31➞16➞49➞25➞13➞7➞4

y para cualquier entero positivo siempre parece que tenemos que la sucesión termina en 4, no en 1 como la anterior. Pero, se trata de ver si la Hipótesis de Riemann es indecidible y qué relación tiene con la conjetura generalizada de Collatz. Lo primero que observamos en toda función de Collatz es que siempre entran en juegos los números pares e impares positivos. Y si nos fijamos, la sucesión de los números primos, nace precisamente de ir cribando los números pares y los números impares (y dentro de los impares se va cribando los múltiplos de 3, de 5, etc), como en la famosa Criba de Eratóstenes. Se me ocurre esta función de Collatz, donde los números primos tienen un papel central:

\displaystyle g(n) = \begin{cases} 3n+1, & \mbox{si }n\mbox{ es primo} \\ f(n), & \mbox{si }n\mbox{ no es primo} \end{cases} (3)
y donde f(n) es la función de Collatz que primero presenté (1). Esta función, así definida, parece que converge siempre hace el número 2, para cualquier n desde el que empecemos la sucesión. Por ejemplo, para n=2710, tendremos:

2710➞1355➞4066➞2033➞6100➞3050➞1525➞4576➞2288➞1144➞572➞286➞143➞430➞
215➞646➞323➞970➞485➞1456➞728➞364➞182➞91➞274➞137➞412➞206➞103➞
310➞155➞466➞233➞700➞350➞175➞526➞263➞790➞395➞1186➞593➞1780➞890➞
445➞1336➞668➞334➞167➞502➞251➞754➞377➞1132➞566➞283➞850➞425➞1276➞
638➞319➞958➞479➞1438➞719➞2158➞1079➞3238➞1619➞4858➞2429➞7288➞3644
➞1822➞911➞2734➞1367➞4102➞2051➞6154➞3077➞9232➞4616➞2308➞1154➞577➞
1732➞866➞433➞1300➞650➞325➞976➞488➞244➞122➞61➞184➞92➞46➞23➞70➞
35➞106➞53➞160➞80➞40➞20➞10➞5➞16➞8➞4➞2

o para n=3001, que es un número primo, tendremos la sucesión siguiente:

3001➞1624➞812➞406➞203➞610➞305➞916➞458➞229➞688➞344➞172➞86➞43➞130➞65➞
196➞98➞49➞148➞74➞37➞112➞56➞28➞14➞7➞22➞11➞34➞17➞52➞26➞13➞40➞
20➞10➞5➞16➞8➞4➞2

De igual forma que las anteriores funciones de Collatz, esta g(n), donde los números primos juegan un papel predominante, da lugar a otra conjetura que también es un problema indecidible, es decir, no se puede demostrar que para cualquier entero positivo n siempre se obtiene una sucesión que converge hacia el número 2. Puesto que la hipótesis de Riemann tiene mucho que ver con los números primos, parece evidente suponer que esta ultima conjetura de Collatz que he propuesto tenga algo que ver con la de Riemann. Y no resultaria una gran sorpresa el descubrimiento de que la propia Hipótesis de Riemann es simple y llanamente un problema indecidible.

Saludos

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LISA Pathfinder: el enésimo intento de probar la existencia de ondas gravitacionales que fallará de nuevo

Posted by Albert Zotkin en diciembre 1, 2015

Hoy la ESA (Agencia Espacial Europea) ha lanzado desde la Guayana francesa el satélite LISA Pathfinder, llamado a abrir la vía a un futuro observatorio espacial capaz de detectar las famosas ondas gravitacionales teorizadas por Albert Einstein. Un cohete Vega ha puesto en órbita con éxito al LISA Pathfinder, construido por Airbus Defense & Space en el marco de un proyecto de la ESA.

Una vez más, todo ha sido un éxito, menos el hallazgo de la existencia de las ondas gravitacionales. El proyecto LISA (Laser Interferometer Space Antenna) es un proyecto conjunto de la ESA y la NASA para detectar ondas gravitacionales. Estas ondas son una predicción de la Relatividad General de Einstein, y sólo se tienen evidencias indirectas de su existencia. Pero, el método científico no admite las pruebas indirectas como válidas, requiere evidencias directas. El decaimiento orbital observado en pulsares binarios es simplemente una evidencia indirecta de esa predicción relativista, es indirecta porque ese decaimiento orbital podría tener otra causa muy distinta a las ondas gravitacionales. Y efectivamente ahí está el meollo de la cuestión. Nadie se atreve a cuestionar la Relatividad General. Nadie tiene lo que hay que tener para decir que las ondas gravitacionales son una predicción errónea de la Relatividad General. Ese decaimiento orbital observado en púlsares binarios es simplemente la evidencia directa de que existe pérdida de información cuántica en toda interacción gravitatoria. La naturaleza (aún no sabemos muy bien cómo) realiza inmensos cálculos cuánticos, pero esos cálculos no poseen una precisión infinita. Es pues esa pérdida de información cuántica la causa real de que exista decaimiento orbital. Esto se puede demostrar fácilmente programando una simulación de dos cuerpos orbitando entre sí. Si, por ejemplo, aplicamos frame a frame, como si de una cadena de Markov se tratara, unas ecuaciones para describir órbitas circulares, comprobaremos, con asombro que los círculos no serán exactos, y que a cada revolución los cuerpos estarán cada vez más próximos. Eso es así porque, en un proceso de Markov no existe memoria de los estados pasados del sistema. Para que una órbita fuera exactamente circular, la naturaleza debería guardar de alguna forma todo el número π con toda su precisión infinita, y eso es imposible.

Por lo tanto, la demostración de que no existen las ondas gravitacionales simplemente está en la constatación del hecho de que el número π es un número irracional, o la constatación de que la longitud de una órbita elíptica no puede ser calculada exactamente, por el hecho de que su cálculo requiere resolver una integral elíptica completa de segunda clase.

Cuando los físicos teóricos se den cuenta de que, aunque las leyes naturales obedezcan a formalismos matemáticos exactos que incluyan constantes numéricas irracionales o procesos no lineales, la naturaleza sólo puede computar discretamente con precisión finita los procesos naturales que resultan de esa aplicación de sus leyes, y eso se traduce inevitablemente en pérdida de información cuántica, entonces, y sólo entonces la física teórica empezará a resolver seriamente sus problemas.

Saludos

Posted in Astrofísica, Gravedad Cuántica, informática, Matemáticas, Mecánica Cuántica, Relatividad | Etiquetado: , , , , , , , , , , , , , , , | 8 Comments »

 
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