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Razones Super-metálicas

Posted by Albert Zotkin en agosto 11, 2018

La matemática argentina Vera Martha Winitzky de Spinadel (que desafortunadamente nos dejó el año pasado, a los 87 años), descubrió los llamados números metálicos en 1994, como el conjunto infinito de números irracionales cuadráticos positivos, que son las soluciones positivas de las ecuaciones cuadráticas del tipo:

\displaystyle    x^2 -px-q=0

Por ejemplo, el número áureo (número de oro) surge de la ecuación anterior cuando hacemos p = 1 y q = 1:

\displaystyle \varphi_{1,\;1} ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1,6180339887498948\dots

O, el número plateado (número argéntico) surge de la ecuación anterior cuando hacemos p = 2 y q = 1:

\displaystyle \varphi_{2,\;1}=1+{\sqrt {2}}\approx 2.414\,213\,562\,373\,095\,048\,801\,688\,724\,210\dots

En general, siempre tendremos que existirá un número metálico, para cualquier valor de p y de q:

\displaystyle    \varphi_{p,\;q}= \cfrac{p+\sqrt{p^2+4q}}{2}

Esa solución genérica también puede ser expresada como fracción continua, o como una función con raices cuadradas recurrentes anidadas, así:

\displaystyle      \varphi_{p,\;q}=p +\cfrac{q}{p +\cfrac{q}{p +\cfrac{q}{p +\cfrac{q}{p +\cfrac{q}{p +\cfrac{q}{p +\cfrac{q}{p +\cfrac{q}{p +...}}}}}}}}   (1)
\displaystyle     \varphi_{p,\;q}=\sqrt{q+p\sqrt{q+p\sqrt{q+p\sqrt{q+p\sqrt{q+\dots}}}}}   (2)
Voy a definir ahora otra clase de números, relacionados con los anteriores. Unos números super cuadráticos (que llamaré números super metálicos), que nacen de la ecuación siguiente:

\displaystyle      x^x -px-q=0   (3)
De esta nueva ecuación super cuadrática nace el ya conocido número Tahawus, al hacer p = 1 y q = 1:

\displaystyle    \text{\small Tahawus}= 1.776775040097054697479730744\ldots

.

Por lo tanto, nuestro número Tahawus es, por extensión, el número super-áureo, \text{\small S} \varphi_{1,\;1}. Y el número super-argéntico será:

\displaystyle    \text{\small S} \varphi_{2,\;1}= 2.165759370623284290556896958\ldots

O el número super-cúprico:

\displaystyle    \text{\small S} \varphi_{3,\;1}= 2.401992621893073080862825696\ldots

Saludos Super-metálicos a todos 🙂

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