TARDÍGRADOS

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Archive for 21 mayo 2013

El eslabón perdido entre la ecuación de Schrödinger y la gravedad

Posted by Albert Zotkin en mayo 21, 2013

Hola incondicionales de Tardígrados. Hoy vamos a analizar un aspecto insólito de la mecánica cuántica, y es ese que afirma que la mecánica cuántica no incorpora la interacción gravitatoria, pero si las demás interacciones fundamentales. Y veremos cómo eso es simplemente un producto del desconocimiento, pues en la mecánica cuántica la interacción gravitatoria es el núcleo duro desde el que todas las demás interacciones son posibles. Veremos que, un universo sin gravedad seria un universo sin electromagnetismo, sin interacción débil y sin interacción fuerte.

Empecemos. La ecuación de Schrödinger, que es una de las piezas claves de la mecánica cuántica, es una ecuación diferencial que describe cómo evolucionan los estados cuánticos de algunos sistemas físicos. Dicha ecuación se deriva partiendo de una onda plana, cuya ecuación es

\displaystyle  A (\mathbf{r}, t ) = A_o \cos (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t + \varphi )  (1)
La primera pregunta que hay que hacerse es: ¿Una onda plana de qué?. ¿Qué es lo que vibra?. De momento diré que esas ondas son ondas de materia o también llamadas ondas de De Broglie. Utilicemos ahora la forma compleja de esa función de ondas planas,

\displaystyle  \Psi = A_1e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}   (2)

donde el desfase \varphi se ha separado como producto en el factor complejo A_1 =A_0e^{i\varphi}.

De las relaciones de De Broglie sabemos que la energía total del sistema está relacionada con la frecuencia angular \omega=2\pi \nu, así,

\displaystyle  E = h\nu = \hbar \omega   (3)
y de igual forma, el momento p es inversamente proporcional a la longitud de onda \lambda , o lo que es lo mismo, directamente proporcional al número de onda k = \frac{2\pi}{\lambda},

\displaystyle  p  = \frac{h}{\lambda} =  \hbar k  (4)
Por lo que la ecuación (2) puede ser escrita así,

\displaystyle  \Psi =  A_1e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}-Et)/\hbar}   (5)

Si ahora hallamos la derivada parcial de \Psi respecto al espacio, tenemos,

\displaystyle   \nabla\Psi = \dfrac{i}{\hbar}\mathbf{p}A_1e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}-Et)/\hbar} = \dfrac{i}{\hbar}\mathbf{p}\Psi   (6)

y respecto al tiempo, sería,

\displaystyle   \dfrac{\partial \Psi}{\partial t} = -\dfrac{i E}{\hbar} A_1e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}-Et)/\hbar} = -\dfrac{i E}{\hbar} \Psi   (7)
Usemos ahora el inmenso hallazgo que descubrí en mi post anterior (y que nadie parece darse cuenta de su importancia, ya sea por desconocimiento o por reprobación de falsa fé). Este sensacional descubrimiento viene a decir que la energía cinética Ek de una partícula de masa m, que se mueve uniformemente a una velocidad v, es igual al doble del cuadrado del momento lineal q que tendría si se moviera a la mitad de dicha velocidad, dividido por la masa,

\displaystyle   E_k =\cfrac{2\ q^2}{m}    (8)
Esto, que parece una nimiedad, no es en modo alguno baladí, sino que es la clave para conseguir un avance revolucionario en la mecánica cuántica. Amigos incondicionales de Tardígrados, no encontrareis hasta la fecha ningún libro ni paper de física teórica que nos presente o nos hable de la ecuación (8). Resulta que esa ecuación es relativista, no es clásica, y por lo tanto, al ser usada en la derivación de la ecuación de Schrödinger, lo que obtendremos será es una ecuación relativista.

La energía total de esa partícula de masa m, puede ser ahora expresada así,

\displaystyle   E = mc^2+ E_k= mc^2 + 2\cfrac{q^2}{m}    (9)

y eso implica que la ecuación en (5) de Schrödinger puede ser transformada en una ecuación relativista así,

\displaystyle  \Psi =  A_1 \ e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}-(mc^2 + 2\tfrac{q^2}{m} )t)/\hbar}   (10)
Observamos que la relativista \Psi queda expresada mediante el primer armónico p y el cuadrado del segundo armónico, q2 = q.q. Además. podemos volver a separar la parte constante (desfase), mc2,

\displaystyle  \Psi =  A_2 \ e^{\frac{i}{\hbar}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}-2tq^2/m)}   (11)

donde obviamente A_2= A_1\  e^{-imc^2/\hbar}. Y ahora podemos hallar las derivadas parciales, como en (6) y (7),

\displaystyle   \nabla\Psi = \dfrac{i}{\hbar}\mathbf{p}A_2e^{\frac{i}{\hbar}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}-2tq^2/m)} = \dfrac{i}{\hbar}\mathbf{p}\Psi   (12)
\displaystyle   \dfrac{\partial \Psi}{\partial t} = -\dfrac{i 2q^2}{\hbar\ m} A_2\ e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}-2tq^2/m)/\hbar} = -\dfrac{i 2q^2}{\hbar\ m} \Psi   (13)

Por otro lado, podemos resumir, recordando que,

\displaystyle  \sqrt{(mc^2)^2 + (pc)^2} = mc^2 + \frac{2\ q^2}{m}  \\ \\    (mc^2)^2 + (pc)^2 = (mc^2)^2 + 4c^2 q^2 + \frac{4q^4}{m^2} \\ \\    (pc)^2 =  4 c^2 q^2+ \frac{4\ q^4}{m^2} \\ \\   p^2 =  4q^2+ \frac{4q^4}{c^2m^2}= 4q^2 \left (1+ (\frac{q}{cm})^2 \right )  (14)
En cualquier caso, si cuantizamos (9) obtenemos el notable e inmenso resultado (¡ojo!, hasta ahora esto no está en los libros de texto, ni en ningún paper, es cosecha propia mia):

\displaystyle  \boxed{i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi = mc^2\Psi + \frac{2\mathbf{q}^2}{m} \Psi }  (15)
que es una ecuación relativista, ya que entra en juego el momento relativista \mathbf{q}, y siempre sin perder de vista que \mathbf{q} = -i \hbar \mathbf{\nabla} es el operador momento de la partícula cuando tiene una velocidad mitad de la actual, y que es el segundo armónico de la onda plana de De Broglie asociada a dicha partícula. Es decir, por si alguien aún sigue perdido,

\displaystyle  \cfrac{p^2}{2m}   (16)

es una energía cinética no relativista de una partícula de masa m que se mueve a una velocidad v. Sin embargo,

\displaystyle  \cfrac{2q^2}{m}   (17)

es la energía cinética relativista de esa misma partícula cuando se mueve a la misma velocidad v, pero usando el segundo armónico, que corresponde a la mitad de esa velocidad, v/2.

Saludos

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Relaciones de De Broglie expresadas desde la Relatividad Galileana Completa

Posted by Albert Zotkin en mayo 10, 2013

Buenos días. incondicionales de Tardígrados. Hoy voy a hablar de las relaciones de De Broglie y de cómo es posible obtener una función de onda relativista que contenga sólo derivadas de primer orden respecto al espacio y al tiempo.

Sabemos ya que la velocidad de fase de una onda de materia puede ser expresada como

\displaystyle  c_p = \frac{E}{p}  (1)

donde E es la energía total, y p es el momento lineal. Del mismo modo, la velocidad de grupo, vg, de una onda de materia puede ser expresada como la derivada de E respecto a p

\displaystyle  v_g = \frac{dE}{dp}  (2)

esta última ecuación puede ser identificada con la velocidad relativa v del cuerpo que tiene asociada esa onda de materia, v = vg.

En Relatividad Galileana Completa, la energía total E es

\displaystyle  E = mc^2 \cosh \left(\frac{v}{c}\right)  (3)

y también en Relatividad Galileana Completa, el momento lineal es,

\displaystyle  p = mc \sinh \left(\frac{v}{c}\right)  (4)

Por lo tanto, podemos calcular (2) asi,

\displaystyle  v_g = \cfrac{dE}{dp}= \cfrac{mc^2\sinh(v/c)}{mc\cosh(v/c)} =  c\tanh \left (\frac{v}{c}\right )  (5)

y también

\displaystyle  c_p = \cfrac{E}{p}= \cfrac{mc^2\cosh(v/c)}{mc\sinh(v/c)} =  c\coth \left (\frac{v}{c}\right )  (6)

Por lo tanto, la relación entre el momento lineal y la energía total es,

\displaystyle  E^2 = (mc^2)^2 + (pc)^2  (7)

De las propiedades de las funciones hiperbólicas sabemos que

\displaystyle  \cosh(x)= 2\ \sinh^2(\frac{x}{2}) + 1  (8)

por lo que la ecuación (3), puede ser expresada así

\displaystyle  E = mc^2\cosh(v/c)= mc^2\left( 2\ \sinh^2 \left(\frac{v}{2c}\right) + 1\right) \\ \\ \\  E = mc^2 + 2mc^2 \sinh^2 \left(\frac{v}{2c}\right)  (9)

Si ahora definimos

\displaystyle  q= mc\sinh\left( \frac{v}{2c}\right)  (10)

como el momento de ese cuerpo de masa m moviéndose a la mitad de su velocidad, v/2, tendremos

\displaystyle  E = mc^2 + 2\cfrac{q^2}{m}  (11)

Por lo tanto, si igualamos con (7), tendremos

\displaystyle  \sqrt{(mc^2)^2 + (pc)^2} = mc^2 + \frac{2\ q^2}{m}  (12)

lo cual significa que la energía cinética es

\displaystyle  E_k =\cfrac{2\ q^2}{m}  (13)
Si cuantizamos (11) obtenemos,

\displaystyle  i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi = mc^2 \psi + \cfrac{2\mathbf{q}^2}{m}\psi   (14)

donde obviamente q es el operador momento en semi-velocidad.

Saludos

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Gravitación bien entendida versus materia oscura

Posted by Albert Zotkin en mayo 8, 2013

Buenos días, incondicionales de Tardígrados. Hoy voy a continuar hablando sobre los efectos ópticos que las ondas gravitacionales producen en los cuerpos masivos orbitales. En mi último post, hablé sobre cómo la refracción gravitacional explica mejor que la Teoría General de la Relatividad algunas anomalías gravitatorias, como por ejemplo, la curvas de rotación de galaxias y cúmulos galácticos, o por ejemplo el exceso de precesión de los periastros en cuerpos con órbitas elípticas.

Hoy voy a insistir una vez más sobre óptica gravitacional, y su relación con lo que algunos gurús de la física teórica se empeñaron en llamar materia oscura, cuando cualquier investigador serio sabe que esa clase de materia no existe, sino que es sólo gravitación mal entendida.

Fijémonos una vez más en la conocida ecuación del potencial gravitatorio clásico (newtoniano)

\displaystyle  \phi =-\cfrac{G\ M}{r}  (1)
Si, alguien pretende explicar las curvas de rotación galáctica invocando a una hipotética materia exótica llamada materia oscura,y para ello aumenta la magnitud M, dejando el desplazamineto r constante, está cometiendo al menos un error llamado sesgo cognitivo de la causa simple o espúrea. Observando la ecuación (1), vemos que para explicar la anomalía de las curvas rotación galáctica también es posible disminuir el desplazamiento r dejando M constante. Observemos detenidamente el dibujo que usé en mi último post para explicar la refracción gravitacional.

En él vemos cómo la refracción produce no sólo un desvio de los rayos, sino también una reducción de la distancia aparente del objeto refractado. Pero, si observamos más detenidamente vemos que en realidad también es posible situar la imagen virtual del objeto refractado a la misma profundidad que el objeto real, pero su tamaño aparente debe aumentar proporcionalmente, para que nuestro ojo observe el efecto de perspectiva.
Es decir, obtenemos el mismo efecto óptico tanto si proponemos una distancia aparente menor a la real y el tamaño permanece constante, o si dejamos invariante la distancia y aumentamos el tamaño aparente. Para el caso de la gravitación, un aumento del tamaño aparente significa simplemente que la masa del cuerpo refractado aumenta sólo virtualmente a efectos de cómputo en las ecuaciones de movimiento. Y ese aumento de la masa es simple y llanamente lo que los defensores de la teoría oficial se empeñan en atribuirlo a una desconocida y misteriosa materia oscura. ¡Qué risa! , ¿no?. Se están devanando los sesos para ver cómo conseguir evidencias de la existencia de algo que no existe, cuando ni siquiera se han molestado en investigar a fondo qué pasa con la gravitación a grandes escalas y grandes cúmulos de materia ordinaria (bariónica).

La distancia aparente r’, puede ser expresada así,

\displaystyle  r' = r\exp\left (-\frac{2GM}{r\ c^2} \right )     (2)
por lo tanto, al sustituir r’ en el potencial (1) tenemos

\displaystyle  \phi' =-\cfrac{G\ M}{r\exp\left (-\frac{2GM}{r\ c^2} \right )  } \\ \\ \\  \phi' =-\cfrac{G\ M}{r} \  \exp\left (\frac{2GM}{r\ c^2} \right )  (3)
Por lo tanto, si consideramos invariante el desplazamiento r, vemos que obtenemos un aumento aparente de masa (aumento virtual) de

\displaystyle  M' = M \exp\left (\frac{2GM}{r\ c^2} \right )   (4)
Es decir, para aquellos que han calculado cuánta materia oscura hace falta para explicar las curvas de rotación, les diré, que sí, que esa masa extra que ellos consideran necesaria para explicar esa anomalía es simplemente

\displaystyle  \Delta M = M' - M = M\left ( \exp\left (\frac{2GM}{r\ c^2} \right ) - 1 \right )   (5)
donde M, como no podia ser de otra forma, es toda la masa ordinaria (bariónica), y por lo tanto, la materia oscura no existe, sino que es sólo una consecuencia de la alucinación y cerrazón de los defensores de la teoría oficial.

En este breve post y el anterior he presentado un sencillo esquema de cómo cambia la ley de la gravedad cuando existe refracción gravitacional, y cómo la materia oscura es simplemente gravitación modificada.

Saludos

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¿Materia oscura o refracción gravitacional?

Posted by Albert Zotkin en mayo 2, 2013

La refracción es el cambio de dirección que experimenta una onda al pasar de un medio material a otro. Pero, si las ondas gravitacionales existen, entonces cabe preguntarse si tales ondas experimentan algún tipo de refracción. Recordemos la Ley de Snell, con la ayuda del típico problema de

Hallar la distancia aparente a la que es visto un pez en el agua, si sabemos que se encuentra a una profundidad real de dr metros y los ángulos de incidencia y del rayo de luz refractado son \theta_i y \theta_r respectivamente, con na y nw los índices del aire y del agua, también respectivamente.

La ley de Snell dice:

\displaystyle  n_w\sin \theta_i = n_a\sin \theta_r   (1)
para pequeños ángulos y aproximando n_a \approx 1 tendremos

\displaystyle  \sin \theta_i = \tan \theta_i \\ \\   \sin \theta_r = \tan \theta_r \\ \\   n_w = \cfrac{\sin \theta_r }{\sin \theta_i}  \\ \\
y escribiendo las tangentes tendremos,

\displaystyle    n_w = \cfrac{\tan \theta_r }{\tan\theta_i } \\ \\
pero, es fácil ver que

\displaystyle  \tan \theta_i  =\cfrac{A}{d_r }\\ \\  \tan \theta_r  =\cfrac{A}{d_a }
con lo cual tenemos que,

\displaystyle  n_w = \cfrac{d_r }{d_a}
es decir, la distancia aparente es igual a la distancia real dividida por el indice de refracción del agua,

\displaystyle  d_a = \cfrac{d_r }{n_w}  (2)
y esa distancia aparente será la misma si miramos al pez desde la vertical (\theta_i=0)

Si trasladamos todo esto a la gravitación, podemos pensar que tambien puede existir una distancia aparente en el problema de los tres cuerpos, cuando existe eclipse.

Un campo gravitatorio tambien puede ser descrito mediante un indice de refracción variable, y eso se evidencia por el hecho de que un rayo de luz es deflactado cuando pasa cerca de un objeto de gran masa. Así, podemos indicar que el indice de refracción de un cuerpo de masa M, en función de su distancia al su centro de masas, sería:

\displaystyle  n = \exp \left (-\frac{2\phi(r)}{c^2} \right)  (3)
donde \phi(r) es el potencial gravitatorio a la distancia r, y c es la velocidad de la luz en el vacio.

Esa expresión, junto con lo dicho anteriormente, nos sugiere que en el problema de los tres cuerpos, cuando están en eclipse, si el cuerpo intermedio B posee masa M, entonces el cuerpo C será visto por el A a una distancia aparente de R’ = d + r’ en lugar de a una distancia R = d + r,

\displaystyle  R' = d+r' = d+\cfrac{r}{n}= d+\cfrac{r}{ \exp \left (-\frac{2\phi(r)}{c^2} \right) } = d+r\exp\left ( \frac{2\phi(r)}{c^2} \right ) \\ \\ \\   R' = d+ r\exp\left (-\frac{2GM}{r\ c^2} \right )   (4)
y eso significa, ni más ni menos, que el cuerpo A, en el eclipse, “ve” al C más cerca de lo que la gravitación clásica predice, con lo cual el efecto es que el centro de masas del sistema está más cerca del cuerpo A, a la hora de computar su órbita. De igual forma, el cuerpo C, en el eclipse, “ve” al cuerpo A más cerca de lo esperado por gravitación clásica, con lo que a la hora de computar su órbita, el centro de masa resulta estar más cerca de él. En resumen, podemos ver que la refracción gravitacional es la causante de lo que la ciencia oficial viene llamando materia oscura. Aquí, he demostrado que no existe tal materia oscura, sino tan sólo refracción gravitacional.

Este notable resultado que he obtenido nos conduce sin lugar a dudas a una Teoría de Doble Gravitación con potencial gravitatorio completo, como ya deduje anteriormente y quedó escrito en mi antiguo post.

Saludos

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Revisión de la Teoría de la Gravitación Modificada de Majorana

Posted by Albert Zotkin en mayo 1, 2013

El término “apantallamiento gravitacional” se refiere a un hipotético fenómeno de apantallamiento de un objeto de la influencia del campo gravitatorio. Tal proceso, si existe, tendría el efecto de reducir el peso de un objeto. La forma de la región apantallada gravitacionalmente sería similar a una sombra producida por un “escudo gravitacional”. Por ejemplo, la forma de una región apantallada por un disco sería cónica. La distancia del vértice respecto del disco variaría directamente con el diámetro del disco apantallador. Hasta la fecha, parece no existir evidencia alguna de tal efecto de sombra gravitacional. El apantallamiento gravitacional es considerado como una flagrante violación del principio de equivalencia y por lo tanto inconsistente con la Teoría de la Gravitación Universal de Newton y con la teoría general de la Relatividad de Einstein.

majorana

En figura de arriba, el cuerpo A irradia su influencia gravitacional, y el cuerpo intermedio B produciría sombra gravitacional sobre el cuerpo C, por lo tanto la masa del cuerpo C se vería reducida en cierta cantidad, según esta teoría.

Hasta el año 2008, no hubo ningún experimento exitoso respecto a la detección de sombra gravitacional . Para cuantificar dicho efecto, Quirino Majorana propuso un coeficiente de extinción h que modifica la ley de gravitación de Newton, de la siguiente forma:

\displaystyle   F' = \frac{GMm}{r^2}\  e^{-h \int \rho(r) dr}   (1)
donde \rho(r) es la densidad de materia bariónica entre el cuerpo A y el C, M sería la masa de A, m la masa de C, y r la distancia entre ambas masas. Por lo tanto, en la figura de arriba, la densidad \rho(r) sería la cantidad de masa del cuerpo intermedio B.

Las mejores medidas de laboratorio han establecido una cota superior para el apantallamiento gravitatorio de 4.3×10−15 m²/kg. Un análisis más reciente sugiere una cota inferior de 0.6×10−15 m²/kg. La mejor estimación, basada en datos de la mayor precisión de anomalía gravitatoria durante el eclipse de Sol de 1997, ofrece una nueva restricción del coeficiente de extinción h en 6×10−19 m²/kg. Sin embargo, observaciones astronómicas imponen límites más severos. Poincaré, basándose en observaciones lunares de 1908, estableció que h no puede ser mas grande que la cota 10−18 m²/kg. Posteriormente la precisión de esa cota fue mejorada. Eckhardt mostró que los datos obtenidos del experimento Lunar Ranging LR-3 implican una cota superior de 10−22 m²/kg, y Williams y colegas han mejorado dicha cota hasta situarla en h = (3 ± 5)×10−22 m²/kg. Ese valor es menor que la incertidumbre. La consecuencia de esos resultados experimentales negativos (que están muy en consonancia con las predicciones de la teoría general de la relatividad) es que cada teoría que contiene hipótesis de apantallamiento gravitacional, como la teoría de la gravitación de Le Sage, debe reducir esos efectos a un nivel indetectable.

Muy bien, muy bien. Hasta ahora todo lo que he escrito es muy mainstream, muy en la onda de lo oficial de lo politicamente correcto, que viene a decirnos que el apantallamiento gravitacional no existe, y que la teoría general de la relatividad es más o menos el dogma que reina en el paradigma actual de la física teórica. Perfecto, pero ahora viene lo interesante. Pensando un poco, vemos que la teoría que propuso Majorana es interesante pero incompleta. ¿Incompleta por qué?. Incompleta por la sencilla razón de que un apantallamiento gravitacional produciría una pérdida efectiva de masa en el cuerpo situado en la zona de sombra gravitacional, pero eso no se ha observado experimentalmente. Entonces, ¿dónde está el quid de la cuestión?. El quid de la cuestión está en un pequeño detalle que a todos estos pensadores de la física se les ha pasado desapercibido, y es el siguiente: En la figura de arriba donde he dibujado los cuerpos A, B y C, existe sombra gravitacional de B sobre C, por lo que C perdería masa efectiva, pero eso no se observa experimentalmente, por lo tanto, lo que ocurre es que el cuerpo C refleja gravitación sobre el cuerpo intermedio B, de modo que el cuerpo A “ve” al cuerpo C con menos masa efectiva (hipótesis de Majorana), pero también “ve” al cuerpo B con un aumento de su masa efectiva (hipótesis de Zotkin) en la misma cantidad. El resultado de esa simetría en la distribución efectiva de masas es que el centro de masas del sistema B-C está más cerca de A que la predicción clásica de Newton.

Para explicar mejor mi hipótesis, fijémonos en la ecuación (1) de Majorana, donde la fuerza F’ de atracción resulta ser menor que la predicha por la teoría clásica de newton. Mi hipótesis es que debe existir una compensación de masas efectivas. Es decir, la parte de masa efectiva que pierde el cuerpo C la gana el cuerpo B, y eso expresado matemáticamente es así:

\displaystyle  F = \frac{GMm}{r^2}\  \cfrac{ e^{-h \int \rho(r) dr} + e^{h \int \rho(r) dr}} {2} \\ \\ \\ \\  F = \frac{GMm}{r^2}\ \cosh \left( h \int \rho(r) dr\right) \\ \\   (2)

y ahora si tendríamos una ley de gravitación modificada que explicaría muchos fenómenos y anomalías gravitacionales.

Saludos

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