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Archive for 28 octubre 2014

Gravedad cuántica: definición de nuevo centro de masas desde micro-estados mediante infra-sumas de orden -1

Posted by Albert Zotkin en octubre 28, 2014

Clásicamente, se define el centro de masas de un sistema de n partículas asi:

\displaystyle  \mathbf{R} = \frac 1M \sum_{i=1}^n m_i \mathbf{r}_i,
donde mi es la masa de la partícula i, ri es su vector distancia (desplazamiento) al origen de coordenadas, M es la masa total del sistema de partículas y R es el vector distancia (desplazamiento) del centro de masas. Desde esta definición de centro de masas vemos claramente que ese punto que nos señala el vector R debe ser tal que

\displaystyle   \sum_{i=1}^n m_i(\mathbf{r}_i - \mathbf{R}) = 0

se cumpla siempre para dicho sistema de partículas. Podemos hacer esa suma adimensional si la dividimos por el producto de la masa de Planck y la longitud de Planck, mP×lP

\displaystyle   \ell_\text{P} =\sqrt\frac{\hbar G}{c^3} \\ \\  m_\text{P}=\sqrt{\frac{\hbar c}{G}} \\ \\  m_\text{P} \ell_\text{P} =\cfrac{\hbar}{c}

es decir

\displaystyle  \sum_{i=1}^n \cfrac{m_ic(\mathbf{r}_i - \mathbf{R})}{\hbar} = 0
Ahora viene la parte interesante de todo esto. Una vez que hemos hecho adimensional dicha suma, nos vamos al ámbito de las infra-sumas, y decir que si usamos el operador ⊕ de orden -1 tendremos un nuevo centro de masas ℜ tal que:

\displaystyle   \cfrac{m_1c(\mathbf{r}_1 - \cal{R})}{\hbar} \oplus \cfrac{m_2c(\mathbf{r}_2 - \cal{R})}{\hbar} \oplus \dots= -\infty

debe ser igual a -∞ por que ese es el elemento neutro de la infra-suma de orden -1. Y según la definición de infra-suma de orden -1, tendremos que

\displaystyle   \log\left(\exp(\tfrac{m_1c(\mathbf{r}_1 - \cal{R})}{\hbar}) + \exp(\tfrac{m_2c(\mathbf{r}_2 - \cal{R})}{\hbar}) + \dots\right)=-\infty=\log 0 \\ \\    \exp(\tfrac{m_1c(\mathbf{r}_1 - \cal{R})}{\hbar}) + \exp(\tfrac{m_2c(\mathbf{r}_2 - \cal{R})}{\hbar}) + \dots =  0 \\ \\   \sum_{i=1}^n \exp \left(\frac{m_ic(\mathbf{r}_i - \cal{R})}{\hbar}\right) = 0
Es evidente que la magnitud ħ/mic es la longitud de onda de Compton reducida de la partícula i del sistema, una forma muy natural de expresar la masa a escala cuántica. Pero, lo interesante está en el valor de ℜ, y ver a dónde apunta. Espero que alguien serio lea este pequeño artículo de gravedad cuántica y lo tenga en cuenta como una modesta y pequeña contribución para el progreso de la ciencia, y en particular de la gravedad cuántica.

Saludos

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Emergencia virtual de materia oscura en un modelo de potencial gravitatorio tipo sombrero mexicano

Posted by Albert Zotkin en octubre 26, 2014

En un anterior post mio dije que la acumulación de materia bariónica (materia ordinaria) en la formación de galaxias o cúmulos de galaxias producía en las inmediaciones un vacio rarificado con la emergencia de potenciales gravitatorios positivos (materia oscura virtual). Ese fenómeno seria muy semejante a cuando edificamos un castillo de arena en una playa plana, pues el castillo de arena (montón central) se realiza escavando y creando un foso que está por debajo del nivel medio de potencial de la “playa”. Y a eso lo llamé “emergencia de materia oscura por fosos galácticos”

mo

es más que evidente que esa gráfica de un potencial gravitatorio que genera materia oscura virtual tiene la forma de sombrero mexicano, también llamado onda de Ricker. En una única dimensión espacial ese potencial gravitatorio representa la segunda derivada de una curva normal (Gaussiana). Veamos cómo es eso. Partimos de una distribución normal cuya función de densidad es

\displaystyle f(x, \mu, \sigma) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi} } e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} } (1)

Ahora si derivamos f respecto a la variable x obtenemos

\displaystyle f'(x, \mu, \sigma) = -\frac{e^{-\frac{(x-\mu )^2}{2 \sigma ^2}} (x-\mu )}{\sigma ^3\sqrt{2 \pi } } (2)
y si realizamos la segunda derivada obtendremos

\displaystyle f''(x, \mu, \sigma) =\frac{e^{-\frac{(x-\mu )^2}{2 \sigma ^2}} \left(x^2-2 x \mu +\mu ^2-\sigma ^2\right)}{\sigma ^5\sqrt{2 \pi } } (3)
Esta segunda derivada es la que nos interesa, pues es la curva de potencial gravitatorio que genera materia oscura virtual. Es decir, hemos partido de una distribución normal de materia bariónica y desde ella hemos deducido la función de potencial que se comporta como si existiera materia oscura, pero evidentemente esa materia oscura es sólo ficticia.

Analicemos un poco más esta última ecuación. Si la variable x, y los parámetros μ y σ son distancias, es evidente que la función f”(x, μ, σ) es el inverso de una distancia al cubo. Por lo tanto, para que represente dimensionalmente de forma correcta a un potencial gravitatorio hemos de reescalarla, multiplicándola por el parámetro gravitatorio GM (donde M es la masa total del cúmulo de materia bariónica, y G es la constante de gravitación universal) y por una distancia invariante al cuadrado, es decir, el potencial sería:

\displaystyle \phi(x, \mu, \sigma) =f''(x, \mu, \sigma) GM r_0^2 (4)
Y este análisis dimensional implica que la función de densidad original de la cual hemos partido, f(x, μ, σ), al multiplicarla por el factor –GMr02 obtenemos una magnitud cuya dimensión es | L4T-2 |, es decir la dimensión de una velocidad al cuadrado multiplicada por una distancia al cuadrado.

Vemos un ejemplo práctico de todo esto. Elijamos la distancia del Sistema Solar al centro de la Via Láctea como unidad de medida (unos 25 mil años-luz), y consideremos que la materia bariónica en la Vía Láctea se distribuye muy aproximadamente como una distribución normal con estos valores (μ = 0, σ = 2). Así la gráfica de f”(x, 0, 2) sería:

Pero esa gráfica en tres dimensiones se tranformaria en esta otra:

Luego, todo exceso de potencial por encima del plano en (0,0,0) correspondería a lo que se viene llamando materia oscura, pero ahora observamos claramente que es sólo materia oscura ficticia.

Saludos

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El mundo de los muertos y la cinemática de los walking dead (Mecánica estadística)

Posted by Albert Zotkin en octubre 25, 2014

El “mundo de los muertos” es el infra-mundo de orden -1. En ese universo, las cosas son, se mueven y evolucionan de una forma muy peculiar. El “mundo de los muertos” es el reino de los objetos y fenómenos cuánticos por antonomasia. Por otro lado, la definición de función de partición en mecánica estadística es muy importante.

En un sistema de partículas en equilibrio que sólo intercambia energía térmica con su entorno, tenemos que la función de partición para dicho sistema es:

\displaystyle  \mathcal{Z} = \sum_{s} e^{\beta \epsilon_s}  (1)
donde la suma se ha realizado sobre todos los microestados s, εs representa la energía del microestado s y β se define como menos el inverso del producto de la temperatura por la constante de Boltzmann:

\displaystyle  \beta = -\frac{1}{k_BT}
Así desde estas definiciones podemos por ejemplo expresar la ecuación de estado de los gases ideales así:

\displaystyle  \langle PV\rangle=-\frac{\ln(\mathcal{Z})}{\beta} = -\frac{\epsilon_1\oplus\epsilon_2\oplus\epsilon_3\oplus\dots}{\beta}   (2)
donde εi representa la energía del microestado i. Es decir, la energia PV de los gases nobles es simplemente la infra-suma ⊕ de orden -1 de las distintas energias de los micro-estados. En general, toda ecuacion en la que aparezca el logaritmo de la función de partición, ln(Z), implica una infra-suma de energias de micro-estados. Pero alguien diría, muy bien y ¿dónde está el mérito de todo esto?. Pues el mérito de todo esto está en darse cuenta de que la infra-suma de orden -1 de energias de micro estados genera la emergencia de la energia del sistema macroscópico. Clásicamente la energía es una magnitud escalar que se suma o se resta canónicamente, con la aritmética de orden 0, pero lo curioso de todo esto es que las energias de los micro-estados se suman y se restan mediante la aritmética de orden -1. O sea, el macrocosmos (orden 0) emerge como consecuencia de infra-interacciones de orden -1.

infra
Saludos

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Análisis pormenorizado del ovni avistado por la NASA merodeando cerca de la Estación Orbital Internacional

Posted by Albert Zotkin en octubre 23, 2014

Existe un video circulando por ahi de una caminata espacial en la Estación Espacial Internacional (ISS) realizada el 7 de Octubre.

En el minuto 1:48 se ve a lo lejos una especie de tubo metálico, que parece ser no pertenece a ninguna estructura de la ISS, que parece que va por libre orbitando por ahí. Por lo tanto, ese objeto desconocido es un OVNI. Nadie sabe qué es o de dónde sale, pero lo que sí parece claro es que es un objeto artificial no una roca u otro objeto natural. Esta es la foto tomada en el minuto 1:48 de la grabación, donde señalo con una flecha y un circulo la posición de dicho objeto:

La solución a este pequeño enigma del supuesto ovni es muy simple. Fijémonos en el eje de simetría del supuesto ovni de forma tubular. Vemos claramente que dicho eje coincide con la mayor parte de los ejes de simetría de muchas de las piezas de la estructura externa de la ISS que sale en la foto. Eso significa que lo que vemos no es un ovni sino el reflejo de una pieza de la propia ISS. De hecho también aparece abajo a la izquierda del “ovni” una pieza más pequeña que no se ve a simple vista, pero que si le damos más brillo y más contraste a la foto aparece claramente. Eso indica que evidentemente el ovni tubular no es una nave alienígena nodriza y el punto brillante de abajo no es ningún platillo volante entrando o saliendo de dicha nave, sino que son reflejos en el objetivo de la cámara de vídeo de algunas piezas (o partes de ellas) de la ISS.

iss-3

Por lo tanto, la pregunta es ¿qué supuesta nave alienígena de forma tubular es capaz de acercarse a la ISS con su eje de simetría paralelo con exactitud matemática a la mayoría de las piezas de la estructura externa de la propia ISS?

Saludos

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Energía total y momento de una partícula expresados con infra-sumas

Posted by Albert Zotkin en octubre 20, 2014

Todos sabemos, o deberíamos de saber ya a estas alturas del curso, que la energía total y el momento de una partícula de masa m, que se está moviendo a cierta velocidad v, se expresan así:

\displaystyle  E= mc^2 \cosh \left(\beta \right) \\ \\   p = mc\sinh \left(\beta\right) \\ \\   (1)

Donde β = v/c. Por otro lado, ya sabemos, o deberiamos de saber, que la infra-suma e infra-resta de orden -1 se definen así:

\displaystyle   x \oplus y =\log(\exp(x) +\exp(y))\\ \\   x \ominus y =\log(\exp(x) -\exp(y))  (2)
Por lo tanto, la energía total y momento de una partícula se expresa con infra-sumas así:

\displaystyle  E = \tfrac{1}{2} mc^2 \exp \left(\beta \oplus (-\beta)\right) \\ \\  p = \tfrac{1}{2} mc \exp \left(\beta \ominus (-\beta)\right)   (3)
Y si exploramos un poco sobre la mecánica de las partículas en este infra-mundo, veremos cosas muy sorprendentes. Por ejemplo, en este infra-mundo de orden -1, la opuesta v’ a una velocidad v no sería –v, sino v’ = v + icπ, es decir una velocidad compleja cuya parte imaginaria sería el producto de dos constantes, . Evidentemente, si infra-sumamos una velocidad v con su opuesta v’ = v + icπ, obtenemos el elemento neutro de la infra-suma de orden -1, que es -∞

\displaystyle   v \oplus v' =\log(\exp(v) +\exp(v + ic\pi))\\ \\   v \oplus v' =\log(\exp(v)(1 +\exp( ic\pi))\\ \\   v \oplus v' =\log(\exp(v)(1 - 1)\\ \\    v \oplus v' =\log(0)=-\infty\\ \\  (4)
Eso nos hace pensar, en el ámbito de la relatividad, que quizás cuando una partícula (o cualquier cuerpo con masa) acelera desde cualquier velocidad infra-lumínica v < c, nunca llegaría a alcanzar dicha c, porque lo que ocurriría es que la velocidad se conjuga pasando de ser real a ser compleja cuyo valor sería v + icπ

Saludos

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1+1+1+1+1+…=-1/2

Posted by Albert Zotkin en octubre 5, 2014

La serie infinita N = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + … es divergente ya que su suma es N = ∞. Por otro lado, la serie divergente de Grandi, G = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …, puede ser sumada mediante distintos métodos de regularización, y su más destacable suma regularizada es G = 1/2. En este breve post voy a demostrar que la serie infinita N puede ser igualmente sumada. Partimos desde G y le sumamos dos veces N de la siguiente forma:

\displaystyle  G +2N = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +\dots +\\   2(1+1+1+1+1+1+\dots) \\ \\   G +2N = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +\dots \\   \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2\ \ \ +\ \ \ 2\ \ \ +\ \ \ 2\ \ \ +\ \ \ \dots} \\ \\   G +2N = 1+1+1+1+1+1+\dots = N    (1)

es decir, tenemos que:

\displaystyle  G +2N = N \\  G = -N \\   N = -G  (2)
y como el principal valor de la suma reguralizda de la serie G de Grandi es 1/2, tenemos que la serie infinita N posee una suma regularizada de:

\displaystyle  N = 1+1+1+1+1+1+1\dots= -\frac{1}{2} \\   \sum_{n=1}^\infty 1= -\frac{1}{2}  (3)
pero, ¿por qué 1/2 es el principal valor de la suma regulariza de la serie de Grandi?. Veamos. La serie de Grandi puede escrita de la siguiente forma:

\displaystyle  G = 1-(1-1+1-1+1-1\dots) \\   (4)

es decir, tenemos que

\displaystyle  G = 1-G  \\ \\  2G = 1 \\ \\  G =\frac{1}{2}  (5)

Saludos

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Elementos neutros y opuestos en las aritméticas de distintos órdenes

Posted by Albert Zotkin en octubre 5, 2014

Hoy voy a escribir un corto apunte sobre cómo calcular el elemento neutro de la suma de una aritmética de orden n si sabes cuál es dicho elemento en la aritmética de orden (n+1). Llamemos en a dicho elemento neutro de la suma ⊕n de orden n. Entonces tendremos que

\displaystyle  e_n = \log(e_{n+1})  (1)
Por ejemplo: la multiplicación es la suma de orden 1, y su elemento neutro es el número natural 1. Entonces el elemento neutro de la suma ordinaria (suma de orden 0) es:

\displaystyle  e_0 = \log(e_1)= \log(1)=0  (2)
como todos sabemos. El elemento neutro de la infra-suma de orden -1 es:

\displaystyle  e_{-1} = \log(e_0)= \log(0)=-\infty  (3)
Si ya sabemos calcular el elemento neutro, es fácil calcular el opuesto x’ de cualquier número x:

\displaystyle  x \oplus_{n} x' =\log(e_{n+1})  (4)
y como sabemos que la suma de dos números x, y es:

\displaystyle  x \oplus_{n} y =\log(\exp(x) \oplus_{n+1} \exp(y) ) \\ \\  (5)

tendremoa que:

\displaystyle  \log(\exp(x) \oplus_{n+1} \exp(x'))= \log(e_{n+1}) \\ \\   \exp(x) \oplus_{n+1} \exp(x')= e_{n+1} \\ \\   (6)
Por ejemplo, usemos la suma ordinaria (orden 0) para calcular el opuesto x’ de orden -1 de un número x:

\displaystyle  \exp(x) + \exp(x') = 0 \\ \\    \exp(x') = 0 - \exp(x) \\ \\   x' = \log(0 - \exp(x)) = x+ i \pi  (7)
es evidente que x’ = x + i π es el opuesto de x en la suma de orden -1, ya que

\displaystyle  x \oplus_{-1} (x+ i\pi) = \log(\exp(x) +\exp(x+ i\pi))=  \\ \\   \log(\exp(x)(1+ \exp(i\pi)) = \log(\exp(x)(1-1)) = \log(0)=-\infty  (8)
Sigamos con un poco más. El elemento neutro de la suma de orden 2 es e (la base de los logaritmos naturales), ya que

\displaystyle  e_1 = \log(e_2) \\ \\   1=\log(e_2)  \\ \\   e_2 = e^1 =e  (9)
El opuesto x’ de un número x para dicha suma de orden 2 sería pues un número tal que:

\displaystyle  x\oplus_2 x' = e  (10)

es decir,

\displaystyle  x\oplus_2 x' =\exp(\log(x)\oplus_1 \log(x')) = e \\ \\   \exp(\log(x) \log(x')) = e \\ \\   \log(x) \log(x') = \log(e) \\ \\    x'^{\log(x)} =e  \\ \\    x' = e^{1/\log(x)}    (11)

Saludos

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