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Negacionismo del Big Bang, ¿qué es el tiempo?, elongación espacio temporal o mengua matérica universal

Posted by Albert Zotkin en octubre 6, 2016

Dicen que nuestro universo se expande. Peor aún, dicen que se expande aceleradamente, y nos muestran las evidencias. A menudo, en física y otras disciplinas, no sólo científicas, las evidencias son sólo interpretaciones o medias verdades. ¿Hacia dónde se expande nuestro universo?. Como la respuesta a eso es simplemente “hacia ningún sitio”, y como pretenden mantener como cierta la afirmación de que el universo se expande aceleradamente, sólo les queda argumentar que lo que se expande realmente es el espacio-tiempo, por lo que la materia que se encuentra enclavada en él formando cúmulos está en proceso de recesión relativa. Por lo tanto, la elongación espacio-temporal parece ser un hecho irrefutable, pero no, no es irrefutable. Ese supuesto hecho se basa en el desplazamiento hacia el rojo de las rayas espectrales de la luz de galaxias y cúmulos de galaxias que nos está llegando. Ese desplazamiento al rojo se interpreta como si fuera un efecto Doppler, y por lo tanto, se interpreta que existe una velocidad de recesión de cada galaxia que es aproximada y directamente proporcional a la distancia. Pero a mi me surgen muchas dudas sobre todas esas afirmaciones. La primera es si es cierto que el espacio-tiempo se expande y de forma acelerada ¿por qué han de separarse unas de otras las partículas materiales?. O dicho de otra forma. ¿Dónde y qué clase de ancla tiene cada partícula material clavada en ese espacio-tiempo para que sea arrastrada con su expansión?. Alguien puede argumentar con el ejemplo de un gas dentro de un recipiente. Si el recipiente se expande el gas se expande con él, enfriándose y disminuyendo su presión. Pero yo puedo argumentar también que ese gas se expande acompañando al recipiente porque las partículas de ese gas impactan y rebotan continuamente en las paredes del recipiente. Las partículas del gas intercambian calor continuamente con las paredes del recipiente. Pero, ¿dónde están las paredes de nuestro universo?, o peor aún, ¿alguien ha visto alguna vez que las galaxias reboten contra unas supuestas paredes universales?. Nuestro universo no posee bordes materiales, fronteras, barreras sobre las que impactar, colisionar. Parece ser un universo infinito espacial y temporalmente, por lo tanto, cualquier supuesta expansión del espacio-tiempo no arrastraría materia, no puede haber anclaje de la materia en el espacio-tiempo. Cuando matemáticamente sumas a infinito cualquier número real, sigue dando infinito.

big-bang-camelo

Esta reflexión nos lleva inexorablemente a la pregunta: ¿qué es el tiempo?. El tiempo es simplemente el método que utiliza nuestro cerebro para ordenar nuestras experiencias en la memoria. El tiempo es la acción de un librero numerando las páginas del libro de nuestra vida. Objetivamente, el tiempo no existe. En la naturaleza sólo hay presente, y no hay ni futuro ni pasado. Por esa razón los viajes en el tiempo (como los de las pelis de ciencia-ficción) son realmente imposibles. No se puede viajar a un tiempo futuro por la sencilla razón de que no se puede viajar hacia algo que aún no existe. Igualmente, no se puede viajar a un tiempo pasado por la sencilla razón de que ese tiempo pasado no existe. Evidentemente si pudieras viajar a un tiempo pasado te encontrarías con una duplicación de materia, salida de la nada. Pero no hay atajos ni caminos por los que pueda transcurrir la materia hacia tiempos pasados o futuros. Cuando los físicos teóricos actuales entiendan mejor qué es el tiempo y por qué el tiempo no es sólo esa cosa que miden los relojes, estarán en mejores condiciones de elaborar teorías más certeras sobre la naturaleza. Otra característica que define al tiempo es su inexorabilidad: dime cualquier fecha en el pasado y siempre es imaginable saber que esa fecha ocurrió realmente. Dime cualquier fecha en el futuro y te puedo asegurar que esa fecha llegará. Es como el juego de escribir un número real, siempre podemos escribir otro número real mayor o menor que ese. O al escribir dos números reales, siempre podemos encontrar otro distinto entre ambos. Por lo tanto, el tiempo es cuantificable, y para ello usamos los relojes.

Respecto a la pregunta ¿qué es el espacio?, cabe responder de una forma muy análoga a como lo hemos hecho con el tiempo. Pero el espacio no se nos presenta como el tiempo. Nuestros cerebros no ven al espacio como algo que transcurre, sino literalmenete como un recipiente donde están las cosas que percibimos. El tiempo pasa (siempre hay tiempo pasando, nunca se acaba), el espacio permanece. Percibimos el tiempo como algo dinámico y al espacio como algo estático. Pero ambas cosas son productos imprescindibles para ordenar nuestra experiencia.

¿Por qué percibimos el espacio como poseyendo tres dimensiones?. Cuando algunos físicos teóricos nos hablan de otras dimensiones espaciales extra, además de las tres clásicas (ancho, alto y profundo), para esconder su falta de evidencia científica, nos cuentan que esas dimensiones están como enrolladas sobre sí mismas, plegadas microscópicamente y por eso no podemos verlas. Todos sabíamos desde el principio, porque lo aprendimos bien, que lo que caracteriza a un sistema espacial de referencia es la ortogonalidad de sus ejes. Si una dimensión está plegada, retorcida microscópicamente, creo yo que no es una buena opción para un sistema espacial de referencia, porque ese “enrollamiento” no es precisamente la mejor definición de ortogonalidad. Evidentemente, nuestro espacio puede ser descrito matemáticamente mediante muchos ejes (no sólo tres) que no sean ortogonales, pero todos pueden ser reducidos a tres ejes ortogonales desde los que nuestras ecuaciones se simplifican drásticamente para describir lo mismo con igual éxito. El espacio que percibimos posee infinitas direcciones desde las que nos puede llegar el peligro o la salvación. Son infinitas direcciones por las que podemos huir del peligro, o estar alerta, por las que nos puede llegar el depredador a cazarnos. Nuestras tres dimensiones espaciales tienen mucho más que ver con las características de nuestro cerebro (de nuestra mente), que de algo externo. Nuestros antecesores, simios arborícolas, vivían casi todo el día encaramados a sus ramas, y el alimento lo conseguían desplazándose de rama en rama, al mismo tiempo que miraban en todas direcciones para estar alerta de los acechadores. Nuestro sentido de la vista es capaz de percibir con tres colores básicos de los que se derivan todos los demás. Eso es así por evolución natural. Nuestros parientes ancestrales necesitaban distinguir qué fruta estaba madura por su color, qué alimento era aparentemente comestible por su color y cual no. Del mismo modo que nuestro cerebro y nuestros órganos sensoriales han evolucionado para percibir todos los colores de las cosas que pueden ser expresados mediante esos tres colores básicos, una evolución similar se ha producido para percibir lo que llamamos el espacio. Al igual que los tres colores básicos desde los que podemos percibir cualquier otro color, nuestro cerebro percibe el espacio desde tres direcciones básicas, y cualquier otra dirección puede ser expresada mediante ellas. Así pues, cuando nos preguntamos por qué tres dimensiones espaciales, hay que preguntarse por qué tres colores básicos, y la respuesta es más de fisiología humana que de física universal.

El llamado espacio-tiempo, es pues un constructo, algo más teórico que real. Nuestro cerebro casa muy mal el espacio y el tiempo como un espacio de cuadro dimensiones. Nuestro cerebro no admite como muy natural que el tiempo sea un eje más como los otros tres ejes espaciales. Notamos muy bien qué es intuitivamente el tiempo, y por qué no puede ser una dimensión espacial más. La flecha del tiempo es algo muy subjetivo. El futuro es algo que aún no existe y por lo tanto no puede ser apuntado por ninguna fecha con certeza. El pasado es algo que ya no existe, y por lo tanto ninguna flecha pudo apuntar con certeza hacia nuestro presente.

Y por ultimo. ¿Qué hacemos con el Big Bang?. Puesto que toda la evidencia nos viene de supuestos desplazamientos al rojo de lineas espectrales, y que los santones del paradigma cosmológico actual se han encargado de darnos de comer ese fenómeno como si fuera un efecto Doppler cosmológico, lo que tenemos es un universo en creciente estampida. Pero si pensamos un poquito vemos, que ese efecto Doppler, que también se da en las diferencias de potencial gravitatorio, es simplemente algo relativo, de perspectiva, de horizonte, más que ningún supuesto Big Bang. La distancia a escala cosmológica produce sencillamente una diferencia de potencial gravitatorio, pero esa diferencia de potencial no significa ninguna expansión ni ningún alejamiento de las galaxias. Toda la materia permanecería esencialmente estática en nuestro universo, y lo único que cabría explicar es ¿por qué la distancia cosmológica produce diferencias relativas de potencial gravitatorio?. Cuando dibujamos la gráfica de un potencial gravitatorio producido por una masa puntal, lo solemos hacer como una curva en forma de campana invertida cuyos bordes se aproximan infinitamente hacia un eje horizontal, el cual marca un potencial nulo (potencial cero). Es decir, ese potencial es una curva gaussiana invertida, que posee valores negativos, y que se hacen menos negativos a medida que se aproximan al eje horizontal de potencial cero. Pero a escala cosmológica, esa linea de potencial cero podría ser más un arco de circunferencia que una recta real, por lo que además de las diferencias locales de potencial debido a la presencia cercana de materia, existirían diferencias relativas de potencial gravitatorio debido a la distancia.

Supongamos que un Radio de Hubble, es la mayor distancia cosmológica de la que nos puede llegar luz. Existe pues un horizonte cósmico, que podemos cuantificar de la siguiente forma: Supongamos que el potencial cosmológico es la superficie lisa de una esfera, y que los potenciales gravitatorios locales son pequeños montículos que destacan sobre esa superficie. Cuando nos situamos en un montículo se crea un horizonte desde el cual podemos percibir luz procedente de puntos de otros montículos. Si nos situamos en un punto de la superficie el radio de nuestro horizonte se reduce, y solo podremos ver luz procedente de montículos muy promimentes y cercanos. Pero, si nos situamos en una montaña de potencial local muy grande, nuestro horizonte para ver luz será muy grande. Esto resuelve la Paradoja de Olbers. En otras palabras, vemos el número de estrellas y galaxias que vemos por nuestra posición peculiar dentro de nuestra galaxia. Si estuvíéramos en una región remota, muy alejada de cúmulos grandes de materia, como son las galaxias, es decir, en una región muy cercana al potencial cero, veríamos muy pocas estrellas y galaxias en el cielo, menos de las que somos capaces de ver, porque nuestro horizonte observacional sería mas reducido.

Esto significaría que cuanto más cercanos estamos de una gran masa nuestro horizonte cósmico (observacional) será mas grande. Así, nuestra distancia al nuestro horizonte será:

\displaystyle  d={\sqrt {(R+h)^{2}-R^{2}}} \\ \\  s=R\arccos {R \over R+h} (1)
donde R el radio de Hubble, h nuestra altura local de potencial gravitatorio, s la distancia real al punto H, d la distancia tangencial que recorre la luz.

Figura 1

Figura 1

Esto significa que, según esta teoría del potencial cosmológico, que me estoy inventando, no sólo existe por la misma linea de vision el punto H del horizonte, sino otros más remotos, H1, H2, etc, si están situados sobre potenciales gravitatorios de cierta altura.

Luego en una esfera universal, sin defectos topológicos (como los campos gravitatorios locales), el potencial de deriva cósmica vendrá expresado por la ecuación:

\displaystyle  \phi (r) = c^2  \left (1-\sqrt {1- \frac{r^2}{R^2}}\right ) \\ \\   (2)

cuya gráfica es la siguiente:
hemi-circle

Obviamente, si r es muy pequeña respecto a R, ese potencial de deriva cósmica se reduce a cero. Y cuando r tiende a R, el potencial φ tiende a c². En un campo de potencial gravitatorio local, los valores son escalares negativos que crecen con la distancia hacia cero. Pero, en el campo de potencial de deriva cósmica los valores escalares son positivos y tienden con la distancia r hacia el cuadrado de la velocidad de la luz en el vacío.

Desde esa expresión explicita de potencial de deriva cósmica es fácil descubrir que el desplazamiento al rojo de las rayas espectrales de la luz de galaxias remotas es el siguiente:

\displaystyle  z=\frac{\Delta\lambda}{\lambda} = \exp\left( \frac{\phi (r)}{c^2}\right) -1 (3)
donde λ es la longitud de onda original (emitida), y Δλ es la diferencia entre la longitud de onda observada y la emitida. Y si queremos expresar la distancia r en función del desplazamiento al rojo z y del radio de Hubble, tendremos:

\displaystyle  z+1= \exp\left( 1-\sqrt {1- \frac{r^2}{R^2}}\right) \\ \\ \\  \ln (z+1)=  1-\sqrt {1- \frac{r^2}{R^2}} \\ \\ \\
\displaystyle  r = R\sqrt{2\ln (z+1)-\ln^2 (z+1) } (4)
Esto cambia drásticamente las distancias estándar calculadas hasta ahora para las galaxias y cúmulos remotos. Por ejemplo, se ha observado que los desplazamientos al rojo más grandes corresponden a unos extraños objetos remotos que se llaman cuásares. Estos extraños objetos nos ofrecen desplazamientos al rojo que van de z = 0.16 hasta z = 3.53. Lo cual, según mi hipótesis, implica distancias entre r = 0.524R y r = 0.875R.

Mi hipótesis tiene una serie de ventajas frente a las teorías del Modelo Cosmológico Estándar. En mi hipótesis:

  1. No existe recesión de galaxias y demás objetos remotos, sino que permanecen esencialmente en reposo. Ese desplazamiento al rojo se debe casi en su mayoría a la diferencia de potencial de la deriva cósmica. Después hay que sumar o restar otros efectos Doppler, debidos a potenciales gravitatorios locales, y/o a velocidades cinemáticas.
  2. La localización de la fuente emisora y la del observador en sus respectivos potenciales gravitatorios locales contribuyen al efecto de desplazamiento al rojo, ya que hay que calcular sobre la diferencia neta de potencial (sumando y/o restando potenciales locales y cinemáticos al potencial cosmológico).
  3. La Radiación de fondo de Microondas sería según mi hipótesis vulgares fotones emitidos mayoritariamente por átomos de hidrógeno procedentes de galaxias y cúmulos en el horizonte H, incluso más allá de él, en una franja cercana. Es decir de puntos H1, H2, etc, tal como los he dibujado en la figura 1.
  4. Los cuásares serían, ni más ni menos que galaxias y cúmulos con alta acumulación de materia y muy cercanos al horizonte cósmico H, pero dentro (no fuera) de la esfera de Hubble.
Por lo tanto, según mi hipótesis cosmológica, nuestro universo observable sería tan sólo un hemisferio de la gran esfera cósmica, esfera universal (no confundir con la esfera de Hubble), que tendría cuatro dimensiones espaciales. El otro hemisferio quedaría inaccesible, en su mayor parte, a nuestra observación de ondas electromagnéticas. Esa cuarta dimensión espacial es sobre la que se curva la linea de potencial cero. Es decir, nuestro universo (el observable y el no observable) sería simplemente la superficie de una hiperesfera de cuatro dimensiones espaciales.

figura 2 (Esfera universal)

Figura 2 (Esfera universal)

Si queremos traducir los potenciales a velocidades de recesión o viceversa debemos establecer la siguiente equivalencia, la cual es posible porque se usan coordenadas cosmológicas:

\displaystyle   \exp\left( \frac{v}{c}\right) =z+1= \exp\left( 1-\sqrt {1- \frac{r^2}{R^2}}\right) \\ \\ \\   \frac{v}{c}=\ln (z+1)=  1-\sqrt {1- \frac{r^2}{R^2}} \\ \\ \\
\displaystyle   v =c \ln (z+1) =  c \left(1-\sqrt {1- \frac{r^2}{R^2}}\right) \\ \\ \\ (5)
Por ejemplo. Se observó que la galaxia 8C1435+635 posee un corrrimento al rojo de z = 4.25, que es el más grande que se ha conseguido ver hasta ahora. Así desde el Modelo Estándar, ese desplazamiento correspondería a una velocidad de recesión de v = 0.93c. Pero, si usamos las coordenadas cosmológicas tenemos una velocidad de recesión de:

\displaystyle   v = c \ln (z+1) = = c \ln (5.25) = 1.70475 c (6)
es decir, una velocidad superlumínica. Y en terminos de diferencia de potencial cosmológico tendriamos:

\displaystyle  \Delta\phi = c^2\ln(z+1) = 1.70475 c^2 (7)
Por lo que esta lejana galaxía estaría algo más allá de nuestro horizonte cósmico. Pero nuestros telescopios la pueden ver porque es una gran acumulación de materia, ya que su altura de potencial gravitatorio sobresaldría un poco por encima de nuestro horizonte cósmico. Toda galaxia o cúmulo más allá de nuestro horizonte que no posea suficiente altura de potencial para destacar, sino que estuviera a ras de él. solo puede ser vista como formando parte de la Radiacíón Cósmica de Fondo. Esto significa que cuando una fuente emisora de luz cercana al horizonte posee poca altura de potencial, no sólo su luz nos llegaría con desplazamiento al rojo, sino con poca intensidad (pocos fotones), y cuanto más grande sea su potencial gravitatorio local más intensa veremos su luz y bien diferenciada del ruido de fondo cósmico.

Saludos

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Meditaciones a cerca del efecto Doppler de las ondas de materia

Posted by Albert Zotkin en julio 26, 2015

Algo misterioso ocurre con las partículas con masa. Un electrón puede ser considerado como una partícula o como una onda, y eso depende de cómo dispongamos nuestros aparatos de medida en el experimento. El problema es que esa onda de materia parece estar deslocalizada respecto a la hipotética fuente que la genera. Según la hipótesis de De Broglie, las partículas poseen también una longitud de onda:

\displaystyle    \lambda = \cfrac{h}{mv}
donde h es la constante de Planck, m la masa de la partícula y v el módulo del vector velocidad. Por lo tanto, según esa ecuación, la longitud de onda de la partícula aumenta cuando disminuye la velocidad (el módulo del vector velocidad)., y disminuye cuando aumenta la velocidad. Pero lo mismo da que la partícula se aleje o se acerque al observador, esas variaciones de longitud de onda se dan siempre considerando el módulo del vector velocidad. Por lo tanto, vemos que para un posible efecto Doppler, esa ecuación nos dice poco, pues estamos acostumbrados a que las ondas de sonido o de la luz alarguen su longitud cuando la fuente que las genera se aleja de nosotros o acorte dicha longitud de onda cuando esa fuente se acerca. Pero, en las ondas de materia parece ser que esa variación sólo ocurre con la variación del módulo del vector velocidad, independientemente de que la partícula se aleje o se acerque al observador.

El experimento de Young (también llamado de la doble rendija) nos deja estupefactos cuando comprobamos una y otra vez que las partículas subatómicas (electrones, protones, neutrones, etc) se comportan como ondas cuando queremos conocer demasiado sobre sus trayectorias y estados. Eso quiere decir ni más ni menos que, intrínsecamente, las “partículas” subatómicas no son ni partículas ni ondas, sino todo lo contrario.

De Broglie descubrió que los cuerpos con masa se comportan como si fueran ondas, es decir, se propagan mostrando cierta longitud de onda o frecuencia (de algo que vibra, ¿campo de Higgs?, ¿Ëter?, ¿campo gravitacional?).

Seguidamente voy a demostrar que las ondas de materia sufren también el efecto Doppler. Y que la longitud de onda y la frecuencia de una onda de materia se expresan completamente de esta forma:

\displaystyle  \;\;\;f = \cfrac{mc^2}{\hbar}\  \exp \left(\cfrac{v^2}{c^2}\right)\;\;\;
\displaystyle  \lambda = \cfrac{\hbar}{mc} \ \exp \left(- \cfrac{v^2}{c^2}\right)

He demostrado muchas veces, por activa y por pasiva, que las fórmulas del efecto Doppler completo para una determinada frecuencia (o longitud de onda) electromagnética, se expresan así:

\displaystyle  f = f_0 \exp \left(\cfrac{v}{c}\right)  (1)
\displaystyle  \lambda = \lambda _0 \exp \left(- \cfrac{v}{c}\right)  (2)
donde obviamente, f es la frecuencia de la luz medida por el observador, f0 es la frecuencia original emitida por la fuente de luz, v es la velocidad relativa entre fuente y observador, y c es una constante (299792458 m/s) que muchos dicen que es la velocidad de la luz en el vacío (yo no me atrevería a decir tanto). λ es la longitud de onda medida, y λ0 es la longitud de onda original.

Igualmente, para las ondas de materias debe existir un efecto Doppler similar. La velocidad de fase cph de una onda de materia, por ejemplo la de un electrón, se expresa como el cociente de su energía total dividida por su momento lineal:

\displaystyle  c_{ph} = \cfrac{E}{p}
En cuanto a la velocidad de grupo vg de dicha onda de materia sería la derivada de la energía total respecto del momento:

\displaystyle  v_{g} = \cfrac{dE}{dp}
La enegía total de una partícula con masa m y su momento lineal se expresarían así:

\displaystyle  E = mc^2 \cosh\left(\cfrac{v}{c}\right) \\ \\ \\  p = mc \sinh\left(\cfrac{v}{c}\right)
por lo tanto, la velocidad de fase y la velocidad de grupo se expresan así:

\displaystyle  c_{ph} = \cfrac{E}{p} = mc^2 \cfrac{\cosh(v/c)}{mc\sinh(v/c)} = c \coth\left(\cfrac{v}{c}\right) \\ \\ \\  v_{g} = \cfrac{dE}{dp}  = \cfrac{mc^2 \sinh(v/c)}{mc \cosh(v/c)}= c \tanh\left(\cfrac{v}{c}\right)
Todo esto está ya super demostrado (por activa y por pasiva). Ahora viene la parte novedosa. Sustituyamos la β = v/c en las fórmulas del efecto Doppler, por esta otra:

\displaystyle  \beta =\cfrac{v_g}{c_{ph}}
Esto significaría que el efecto Doppler quedaría expresado para ondas de materia en lugar de para ondas electromagnéticas, así:

\displaystyle  f = f_0 \exp \left(\cfrac{v_g}{c_{ph}}\right)  (3)
\displaystyle  \lambda = \lambda _0 \exp \left(- \cfrac{v_g}{c_{ph}}\right)  (4)

Pero es fácil ver que existe una relación de dispersión:

\displaystyle  v_g c_{ph} = \left(c \coth \frac{v}{c} \right) \left(c \tanh \frac{v}{c}\right) = c^2
con lo cual, las ecuaciones (3) y (4) quedarían así, si identificamos la velocidad de grupo de la onda de materia con la velocidad de la partícula, vg = v:

\displaystyle  f = f_0 \exp \left(\cfrac{v^2}{c^2}\right)  (5)
\displaystyle  \lambda = \lambda _0 \exp \left(- \cfrac{v^2}{c^2}\right)  (6)
Es decir, esta frecuencia f y esta longitud de onda λ ya no corresponden a ondas electromagnéticas, sino a ondas de materia. Y esto significa, ni más ni menos, que f0 y λ0 deben corresponder a la frecuencia y la longitud de Compton:

\displaystyle  f_0 = \cfrac{mc^2}{\hbar}  (7)
\displaystyle  \lambda_0 = \cfrac{\hbar}{mc}  (8)
Así, finalmente, tendremos que el efecto Doppler para las ondas de materia vendría expresado por estas dos ecuaciones:

\displaystyle  f = \cfrac{mc^2}{\hbar}\  \exp \left(\cfrac{v^2}{c^2}\right)  (9)
\displaystyle  \lambda = \cfrac{\hbar}{mc} \ \exp \left(- \cfrac{v^2}{c^2}\right)  (10)
CDQ. Con lo cual he demostrado lo que quería demostrar. Además, en estas dos ecuaciones del efecto Doppler de ondas de materia se ve muy claramente por qué la longitud de onda no depende de si la partícula se acerca o se aleja del observador. La causa de eso es porque la β está elevada al cuadrado, y por lo tanto el signo de v (negativo para alejamiento y signo positivo para acercamiento) no influye en el valor de ese efecto Doppler.

Sin embargo, la ecuación (6) no equivale a la ecuación que propuso de Broglie, λ = h/mv, cuando la velocidad de la luz c tiende a infinito, es decir, en el límite clásico (Newtoniano). Esta discordancia obedece al hecho de identificar la velocidad de grupo de una onda de materia con la velocidad de la partícula, lo cual no siempre es correcto. Para corregir ese hecho, simplemente sustituimos el momento lineal clásico, p = mv, por el relativista Galileano, p = mc sinh(v/c). Con lo cual la longitud de onda de una onda de materia quedaría así:

\displaystyle    \lambda = \cfrac{h}{mc \sinh(\tfrac{v}{c})}     11
de esta forma es fácil comprobar como:

\displaystyle     \lim_{c \to \infty} \lambda =  \lim_{c \to \infty}\ \cfrac{h}{mc \sinh(\tfrac{v}{c})} =\cfrac{h}{mv}

Y para la frecuencia, tendremos la ecuación:

\displaystyle    f = \cfrac{E}{h}=\cfrac{m c^2}{h} \cosh(\frac{v}{c})     12

Saludos

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El mito de la expansión del universo: la anisotropía Doppler demuestra que la Teoria del Big Bang es un camelo, una pura patraña

Posted by Albert Zotkin en junio 30, 2015

Queridos y amables lectores de Tardígrados, hace tiempo que vengo reflexionando sobre el origen del universo, sopesando los datos científicos experimentales, y he llegado a una conclusión:

“Nuestro universo nunca tuvo un origen, ni de espacio ni de tiempo. Nuestro universo es estático, infinito en espacio y tiempo, nunca tuvo un principio, y nunca tendrá un final, y permanecerá eternamente idéntico a sí mismo”

Llegué a esta conclusión después de examinar minuciosamente el efecto Doppler que Hubble descubrió en galaxías y cúmulos galácticos distantes. Incluso el mismo Edwin Hubble siempre tuvo la duda de si atribuir ese efecto Doppler a un movimiento de alejamiento (recesión) o a otra causa, el tipo era un científico serio y el método científico le impedía afirmar rotundamente que el corrimiento al rojo de la luz de esas galaxias se debía sin duda a una velocidad cinemática de recesión. Pero, si no es un movimiento de recesión el que causa ese corrimiento hacia el rojo de la luz, ¿qué es?. La clave está en el modelo matemático que usemos para describir ese efecto Doppler. Hace ya mucho tiempo que descubrí que el mejor modelo matemático para describir el efecto Doppler, porque es autosimilar, es el siguiente:

\displaystyle f = f_0 \exp \left(\cfrac{v}{c}\right) (1)
\displaystyle \lambda = \lambda _0 \exp \left(- \cfrac{v}{c}\right) (2)
donde obviamente, f es la frecuencia de la luz medida por el observador, f0 es la frecuencia original emitida por la fuente de luz, v es la velocidad relativa entre fuente y observador, y c es una constante (299792458 m/s) que muchos dicen que es la velocidad de la luz en el vacío (yo no me atrevería a decir tanto). λ es la longitud de onda medida, y λ0 es la longitud de onda original.

Hay que advertir también que, la ley de Hubble, se ha convertido en una herramienta estándar para el cálculo de distancias de objetos distantes como galaxias, cúmulos galácticos o quasares. Tan es así que ya nadie discute si un corrimiento al rojo concreto corresponde a cierta distancia astronómica, lo dan por hecho. Es algo muy parecido a la famosa conjetura de Riemann respecto a los ceros de la función Zeta (se da por cierta la conjetura para extraer de ella teoremas a cerca de los números primos). La ley de Hubble, la cual relaciona (o mejor decir que correlaciona) la distancia r con la supuesta velocidad de recesión v, resulta en una ecuación lineal de la siguiente forma

\displaystyle \exp \left(\cfrac{v}{c}\right)= \exp \left(\cfrac{r}{R_0}\right) \\ \\ \\ \\ v  = \cfrac{cr}{R_0}

donde la constante R0 se llama radio de Hubble, como no podía ser de otra forma.

exp

Pero, pensemos un poquito. Seamos un poco escépticos y no nos creamos a pies juntillas que esa correlación lineal de que nos habla la ley de Hubble sea la verdad absoluta de la que no quepa ni siquiera dudar en ningún caso. Pensemos que nuestro universo (al menos nuestro universo observable) es básicamente estático y homogéneo, y que las galaxias y cúmulos de ellas se mueven con distintas velocidades relativas unas de otras, como las partículas de un gas. Pensemos, sólo por un momento, que nuestro universo (observable) no se está expandiendo y por lo tanto una supuesta expansión acelerada sería aún más impensable. Entonces al aplicar nuestra fórmula de doppler (1), observamos algo inédito: galaxias que en principio hemos dicho que se mueven con velocidades aleatorias, ahora resulta que los corrimientos al rojo son más pronunciados que los corrimientos al azul. Efectivamente, nuestra fórmula (1) produce, para un mismo valor absoluto de v, un mayor desplazamiento de la frecuencia. ¿Y qué importancia tiene esto?. Si ofrecemos esos datos a alguien para que, haciendo ingeniería inversa, reconstruya el puzzle y nos diga cuales eran las velocidades originales de cada una de las galaxias tabuladas, podria concluir erróneamente que dichas galaxias están dotadas mayoritariamente de velocidades de recesión si utiliza una fórmula Doppler distinta a la que hemos utilizado nosotros. Por ejemplo, si en lugar de las fórmulas (1) y (2), la cuales son completas porque son autosimilares, utiliza estas otras, la cuales son sólo una aproximación de primero orden de las anteriores:

\displaystyle f = f_0  \left(1+\cfrac{v}{c}\right)  (3)
\displaystyle \lambda = \lambda_0  \left(1-\cfrac{v}{c}\right)  (4)
llegará a la conclusión de que las galaxias (estadísticamente) se están alejando unas de otras. Pero, nosotros, que somos quienes hemos elaborado los datos iniciales, y se los hemos proporcionado a modo de acertijo, sabemos que las galaxias se mueven con velocidades aleatorias, tanto de acercamiento como de alejamiento. Sólo hay que pensar un poquito para darse cuenta de que todo esto de la expansión del universo es un camelo, producto de una alucinación por empecinarse en usar modelos matemáticos incorrectos.

Si, amigo lector de Tardígrados, el Big Bang nunca existió, ni la madre que lo parió tampoco. La expansión del universo es una patraña, un gran bulo que nos están metiendo. Cuando usas la Ley de Hubble para decretar a qué distancia debe estar una galaxia estás usando una herramienta ficticia que produce conclusiones engañosas. El método científico nos impide afirmar que sea siempre cierto que cuanto más alejada está una galaxia mayor es el corrimiento al rojo de su luz. ¿Qué pasa?. ¿Aún no te crees lo que te estoy contando?. ¿Aún piensas que, de verdad, el universo se expande y que, por lo tanto, una vez hubo un Big Bang?. Insistamos un poco más en todo esto. Desechemos la Ley de Hubble, de momento, como herramienta para catalogar distancias galácticas. Pensemos, como he hecho antes, que las velocidades de galaxias, quasares y cúmulos, se distribuyen uniformemente por el espacio como las partículas de un gas.

Pues bien, presentamos a nuestro investigador, una tabla con los corrimientos de una determinada longitud de onda, en concreto de la longitud de onda original λ0 = 486 nm (nanómetros). Esta longitud de onda corresponde a la linea verde-azulada del espectro del átomo hidrógeno para la transición que va desde n=4 a n=2. Es decir, la energía de ese fotón emitido en esa transición atómica es de 2.55 eV (electrón-voltios). Como digo, a nuestro investigador de astrofísica, le vamos a presentar una tabla con 1000 valores de corrimientos al rojo de esa longitud de onda λ0, que elaboraremos aplicando nuestra fórmula (2) de Doppler. Este es el gráfico de los puntos que representa las 1000 longitudes de onda:
f

El investigador, desde esta tabla, debe usar su fórmula Doppler para elaborar una tabla de velocidades. Y hemos supuesto ya que el investigador usará la fórmula Doppler incompleta (4). Con lo cual las velocidades que hallará serán las calculadas así:

\displaystyle \lambda = \lambda_0  \left(1-\cfrac{v}{c}\right) \\ \\ \\ \\  v=c\left(1-\cfrac{\lambda}{\lambda_0}\right) (5)
La tabla de velocidades que hallaría sería esta:
v1

Hemos asumido que la velocidad de la luz es c=1, y que las velocidades no superan dicha velocidad máxima. Observamos lo siguiente: aun siendo el número de velocidades de acercamiento hacia el observador aproximadamente igual al número de velocidades de recesión, vemos que las de acercamiento están más comprimidas en el intervalo [0, 0.6]. En cambio las velocidades de recesión están expandidas dentro de un intervalo más amplio, el [0, -1.6]. Si el investigador asume que la fórmula de Doppler empleada para deducir las velocidades es la correcta, entonces llegará a la conclusión de las galaxias que se alejan del observador lo hacen a mayor velocidad que las galaxias que se acercan.

Supongamos ahora que el investigador es muy avanzado y en lugar de la fórmula de Doppler anterior, y usa la fórmula del Doppler relativista siguiente, que se supone es más precisa:

\displaystyle \lambda = \lambda_0  \sqrt{\cfrac{1 - \tfrac{v}{c}}{1 + \tfrac{v}{c}}} \\ \\ \\ \\   (6)
la cual al resolver para v, tenemos ;

\displaystyle v= c\cfrac{\lambda_0^2 -\lambda^2}{\lambda_0^2 +\lambda^2} \\ \\ \\ \\   (7)

y el gráfico de velocidades para esa distribución de 1000 longitudes de onda sería este:
v2

Es decir, observando este último gráfico, el investigador vería incluso más distorsión que en el anterior, por lo que pensaría que las velocidades de recesión estarían en un intervalo incluso más amplio, el [0, -3.5], mientras que las velocidades de acercamiento estarían más apelotonadas en en intervalo [0, 0.5], casi apelotonadas alrededor del 0.

Por último, veamos qué ocurre cuando el investigador usa la misma fórmula Doppler que hemos usado nosotros para calcular la tabla de longitudes de onda que le hemos presentado. Es decir si usa la ecuación (2), las velocidades se deducen así:

\displaystyle v= -c\log\left ( \cfrac{\lambda}{\lambda_0} \right) \\ \\ \\ \\   (8)

y el gráfico para esta distribución de velocidades sería este:

v3

y observamos cómo estas 1000 velocidades se distribuyen al azar uniformemente en un único intervalo [-1, 1], con lo cual el investigador sólo podrá concluir en este caso que las galaxias se acercan o se alejan aleatoriamente, sin poder extraer ninguna correlación significativa.

Saludos

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Energía total y momento de una partícula expresados con infra-sumas

Posted by Albert Zotkin en octubre 20, 2014

Todos sabemos, o deberíamos de saber ya a estas alturas del curso, que la energía total y el momento de una partícula de masa m, que se está moviendo a cierta velocidad v, se expresan así:

\displaystyle  E= mc^2 \cosh \left(\beta \right) \\ \\   p = mc\sinh \left(\beta\right) \\ \\   (1)

Donde β = v/c. Por otro lado, ya sabemos, o deberiamos de saber, que la infra-suma e infra-resta de orden -1 se definen así:

\displaystyle   x \oplus y =\log(\exp(x) +\exp(y))\\ \\   x \ominus y =\log(\exp(x) -\exp(y))  (2)
Por lo tanto, la energía total y momento de una partícula se expresa con infra-sumas así:

\displaystyle  E = \tfrac{1}{2} mc^2 \exp \left(\beta \oplus (-\beta)\right) \\ \\  p = \tfrac{1}{2} mc \exp \left(\beta \ominus (-\beta)\right)   (3)
Y si exploramos un poco sobre la mecánica de las partículas en este infra-mundo, veremos cosas muy sorprendentes. Por ejemplo, en este infra-mundo de orden -1, la opuesta v’ a una velocidad v no sería –v, sino v’ = v + icπ, es decir una velocidad compleja cuya parte imaginaria sería el producto de dos constantes, . Evidentemente, si infra-sumamos una velocidad v con su opuesta v’ = v + icπ, obtenemos el elemento neutro de la infra-suma de orden -1, que es -∞

\displaystyle   v \oplus v' =\log(\exp(v) +\exp(v + ic\pi))\\ \\   v \oplus v' =\log(\exp(v)(1 +\exp( ic\pi))\\ \\   v \oplus v' =\log(\exp(v)(1 - 1)\\ \\    v \oplus v' =\log(0)=-\infty\\ \\  (4)
Eso nos hace pensar, en el ámbito de la relatividad, que quizás cuando una partícula (o cualquier cuerpo con masa) acelera desde cualquier velocidad infra-lumínica v < c, nunca llegaría a alcanzar dicha c, porque lo que ocurriría es que la velocidad se conjuga pasando de ser real a ser compleja cuyo valor sería v + icπ

Saludos

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Método de auto-similaridad para detectar teorias falsas de la relatividad

Posted by Albert Zotkin en octubre 24, 2013

En mi anterior post, un amable lector me reprochó en un comentario suyo que yo no había tenido en cuenta la ley de composición de velocidades de Einstein cuando afirmé que la relatividad especial carecía de consistencia interna porque su ecuación del efecto Doppler para ondas electromagnéticas no era auto-similar. Efectivamente esa ecuación no es auto-similar si aplicamos una suma canónica de velocidades (v = v1 + v2), pero si aplicamos la ley de composición de velocidades de Einstein conseguimos que dicha ecuación sea auto-similar. ¿Por qué se consigue tal proeza?. En realidad no es ninguna proeza, sino que cualquier teoría de relatividad que posea una ecuación para el efecto Doppler de ondas electromagnéticas puede ser declarada como auto-similar si se define cómo ha de ser la composición de velocidades en dicha teoría. Toda teoría de relatividad posee la siguiente ecuación genérica para el Doppler:

\displaystyle  f = f_0 \exp \left (\mathrm{S}(\beta)\right )  (1)

donde obviamente \beta=\frac{v}{c} y \mathrm{S}(\beta) es una función de \beta. Puesto que la relatividad especial posee la siguiente ecuación para el Doppler

\displaystyle  f = f_0 \sqrt{\cfrac{1+\beta}{1-\beta}}  (2)

eso significa que la función \mathrm{S}(\beta) para la relatividad especial debe ser

\displaystyle   \exp \left (\mathrm{S}(\beta)\right )= \sqrt{\cfrac{1+ \beta}{1-\beta}} \\ \\ \\   \mathrm{S}(\beta)=\ln \sqrt{\cfrac{1+ \beta}{1-\beta}} \\ \\ \\   \mathrm{S}(\beta)= \frac{1}{2} \ln \cfrac{1+ \beta}{1-\beta}  \\ \\ \\
\displaystyle  \mathrm{S}(\beta)=\mathrm{artanh}\ (\beta)  (3)
Vemos claramente que al aplicar el Doppler genérico al caso de la relatividad especial obtenemos automáticamente una ley de composición de velocidades para ella tal que la hace auto-similar. Es decir, supongamos que queremos componer dos betas distintas \beta_1 y \beta_2, entonces tendríamos

\displaystyle   \exp \left (\mathrm{S}(\beta_1)\right )\exp \left (\mathrm{S}(\beta_2)\right ) = \exp \left (\mathrm{S}(\beta)\right )\\ \\ \\  \exp \left (\mathrm{S}(\beta_1)+ \mathrm{S}(\beta_2) \right )=\exp \left (\mathrm{S}(\beta)\right ) \\ \\ \\
\displaystyle  \mathrm{artanh}\ (\beta_1) +\mathrm{artanh}\ (\beta_2) = \mathrm{artanh}\ (\beta)  (4)

es decir, tenemos cláramente que

\displaystyle  \beta =\cfrac{\beta_1 +\beta_2}{1+ \beta_1\beta_2}  (5)

es la suma de velocidades según la ley de composición de Einstein.

Anteriormente vimos que la ecuación para el Doppler de la mecanica clásica la cual es

\displaystyle  f = f_0  \left (1+\beta \right )  (6)
no es auto-similar si aplicamos la suma canónica de velocidades. Pero curiosamente la podemos hacer auto-similar, igual que hicimos con la relatividad especial, si hallamos una ley de composición no canónica de velocidades para ella. Veamos cuál sería:

\displaystyle   \left (1+\beta \right ) = \exp \left ( \mathrm{S}(\beta) \right ) \\ \\ \\
\displaystyle  \mathrm{S}(\beta) =\ln \left (1+\beta \right )   (7)

con lo cual la suma de betas quedaria asi:

\displaystyle  \mathrm{S}(\beta_1) +\mathrm{S}(\beta_2)=\mathrm{S}(\beta) \\ \\ \\  \ln \left (1+\beta_1 \right ) +\ln \left (1+\beta_2 \right ) = \ln \left (1+\beta \right )  \\ \\ \\  \left (1+\beta \right )=\left (1+\beta_1 \right )\left (1+\beta_2 \right ) \\ \\ \\  \beta =\left (1+\beta_1 \right )\left (1+\beta_2 \right )-1
\displaystyle  \beta =\beta_1 +\beta_2 +  \beta_1 \beta_2  (8)
Esa sería la ley de composición de velocidades en mecánica clásica si la queremos hacer auto-similar, es decir no sería una suma canónica (\beta=\beta_1+\beta_2). Lógicamente, si dotamos a la mecánica clásica de esa ley de composición, ya sería otra teoría distinta, y habría que llamarla de otra forma. En cualquier caso, ahora es fácil demostrar que la única teoría de la relatividad auto-similar que admite una suma canónica de velocidades es la que posee el Doppler

\displaystyle  f=f_0 \exp \left (\beta \right )  (9)
Y para su deducción me remito a mi anterior post.

Saludos

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Demostración de que la anisotropía de perfil Doppler en el plasma estelar descarta la inflación cósmica

Posted by Albert Zotkin en marzo 29, 2013

Queridos lectores, hoy voy a demostrar que la llamada inflación cósmica no existe realmente, sino que es un artefacto de aplicar incorrectamente el efecto Doppler de ondas electromagnéticas para fuentes remotas.
Hasta ahora parece indiscutible que las galaxias y cúmulos de galaxias se alejan unas de otras con una velocidad de recesión que crece con la distancia que las separa. Eso lo descubrió, como sabemos, Edwin Hubble.

u

Hoy en día, no sólo sabemos que existe esa inflación cósmica, sino peor aún que eso, parece ser que esa inflación tiene lugar de forma acelerada.
Hoy voy a demostrar que no sólo el universo no se está expandiendo de forma acelerada, sino que es esencialmente estático (no hay inflación). Para esa pequeña demostración, aunque rigurosa, me apoyaré en dos hechos irrefutables. El primer hecho es que el efecto Doppler de una onda electromagnética se describe completamente mediante la fórmula f = f_0 \exp (v/c). El otro hecho es el llamado ensanchamiento Doppler.

Observemos la luz de una estrella distante. Sabemos que las estrellas están formadas esencialmente por hidrógeno, el cual mediante reacción de fusión se transforma en helio, liberando gran cantidad de energía. Parte de esa energía nos llega en forma de fotones. Pero, observemos también que una estrella posee una atmosfera casi perfectamente esférica, y sus fuentes de emisión de fotones están distribuidas azarosamente por ella. El ensanchamiento Doppler es el ensanchamiento de líneas espectrales debido al efecto Doppler causado por una distribución de velocidades de átomos o moléculas.

Derivemos ahora una fórmula para el ensanchamiento Doppler de luz procedente del plasma de una estrella muy remota.

Cuando el movimiento térmico hace que en la fotosfera de esa estrella remota un átomo de Higrógeno se mueva hacia el observador, la radiación emitida sufrirá un corrimiento hacia una frecuencia más alta. Igualmente, cuando la fuente emisora se aleja, la frecuencia se reduce. Para velocidades relativistas (RGC, Relatividad Galileana Completa), el corrimiento Doppler en frecuencia será:

\displaystyle  f = f_0 \exp \left ( \frac{v}{c} \right )  (1)
donde f es la frecuencia observada, f0 es la frecuencia en reposo, v es la velocidad del emisor hacia el observador, y c es la velocidad de la luz.

Puesto que en cualquier elemento de volumen del cuerpo radiante hay una distribución de velocidades dirigidas tanto hacia el observador como alejándose de éste, el efecto neto será un ensanchamiento de la línea observada. Si \,P_v(v)dv es la fracción de partículas con componente de velocidad v a v + dv a lo largo de la línea de visión, la distribución de frecuencias correspondiente será

\displaystyle  P_f(f)df = P_v(v)\frac{dv}{df}df  (2)
donde v es la velocidad hacia el observador que corresponde al corrimiento de la frecuencia en reposo f0 a f. Diferenciando (1) tenemos

\displaystyle  v = c \ln \frac{f}{f_0} \\ \\ \\  dv = \frac{c\ df}{f}  (3)

por lo tanto

\displaystyle  P_f(f)df = \frac{c}{f}P_v\left (c \ln \frac{f}{f_0} \right) df  (4)
En el caso del ensanchamiento Doppler térmico, que se observa en los perfiles del plasma estelar, la distribución de velocidades viene dada por la distribución de Maxwell-Botzmann

\displaystyle  P_v(v)dv = \sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\,\exp\left(-\frac{mv^2}{2kT}\right)dv  (5)
donde M es la masa de la partícula emisora, T es la temperatura y k es la constante de Boltzmann.
Entonces tendremos que,

\displaystyle  P_f(f)df=\left(\frac{c}{f}\right)\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\,\exp\left(-\frac{m c^2 \ln^2 (\frac{f}{f_0}) }{2kT}\right)df  (6)
Podemos ahora observar en (6) que estamos ante la presencia de una distribución log-normal, y esto significa que no solo existe un ensanchamiento de las lineas espectrales sino también un desplazamiento hacia el rojo, debido a la anisotropía que produce la exponencial en el perfil Doppler.

La distribución log-normal tiende a la función densidad de probabilidad

\displaystyle  f(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{x \sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-(\ln x - \mu)^2/2\sigma^2}  (7)
por lo tanto, para (6) tendremos que la media sería \mu=\ln f_0, si expresamos f_0 en unidades naturales, e igualmente, siendo \sigma la desviación estándar del logaritmo de variable f, tendremos,

\displaystyle  2\sigma^2 = 2\frac{k T}{m c^2} \\ \\ \\   \sigma = \sqrt{\frac{k T}{m c^2}}  (8)
observemos estos ejemplos de funciones densidad de probabilidad de distribuciones log-normales,

LogNormalDistribution

Recordemos ahora la Ley de Planck, la cual predice la intensidad de la radiación emitida por un cuerpo negro con una temperatura T, y una frecuencia f,

\displaystyle  I(f ,T) = \frac{2h\pi f^{3}}{c^2}\frac{1}{e^{\frac{h f}{kT}}-1}  (9)
y algunas gráficas a modo de ejemplos, como las siguientes
nos están diciendo a gritos que tales curvas son en realidad funciones densidad de probabilidad de distribuciones log-normales. La pregunta del millón es pues ¿por qué la Ley de Planck no se expresa como una distribución log-normal?.

Escalemos ahora las gráficas de arriba de las distribuciones log-normales por ciertos factores de escala s,

LogNormalDistribution2

Esto nos hace pensar que la Ley de Planck puede ser modelada mediante distribuciones log-normales que poseen un factor adicional de escala. Y por lo tanto, nos hace pensar que la derivación de la Ley de Planck usando la mecánica estadística es sólo una aproximación más pobre que la conseguida con distribuciones log-normales.

Fijémonos ahora en el Fondo Cósmico de Microondas (CMB). Cuando hacemos un plot de la intensidad de la CMB en función de las frecuencias de sus fotones (vease la de COBE), obtenemos una gráfica que se define como la de emisión de un cuerpo negro, por lo tanto obedece la Ley de Planck. Pero, observando las distribuciones log-normales, es ya más que evidente que la CMB nos llega precisamente como distribución log-normal. Y eso significa que si adoptamos ese modelo entonces podemos llegar a predecir observables que el modelo estándar no puede predecir.

Saludos

— Continuará —

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La reflexión de un rayo de luz en un espejo móvil falsaría la Relatividad Especial

Posted by Albert Zotkin en octubre 17, 2012

Una fuente de luz y un observador están en reposo en el mismo sistema inercial de referencia, donde r es el vector distancia entre ellos. Un espejo, que se mueve alejándose de ellos perpendicularmente a r por el punto medio, está ahora a una altura h, llevando una velocidad u y refleja luz de la fuente hacia el observador. Podemos conocer las componentes de velocidad v1 y v2 con respecto a la fuente y al observador respectivamente. Esas componentes de velocidad poseen la misma magnitud, v, asi que podemos escribir

u = v_1 + v_2 \\  v = |v_1| = |v_2|

Y en ángulo \alpha entre v_1 y v_2 es

\alpha = 2\tan^{-1}\left(\cfrac{|r|}{2h} \right)

por lo tanto,

|u| = 2 \cos \left ( \cfrac{\alpha}{2} \right )v \\ \\ \\  v = \cfrac{|u|}{ 2 \cos (\frac{\alpha}{2})}

El observador detecta el rayo reflejado como si procediera de la imagen tras el espejo. Puesto que el espejo se mueve con velocidad v1 con respecto a la fuente de luz y con v2 respecto al observador, crea una imagen virtual de la fuente de luz alejándose con una velocidad de w = 2v a lo largo de la linea de vista,

w = 2v = \cfrac{|u|}{\cos(\frac{\alpha}{2})}

Entonces, para esa velocidad virtual w, la cual puede incluso ser superluminal, porque no corresponde a ningún movimiento real entre fuente de luz y observador (recordemos que fuente de luz y observador están en reposo), podemos predecir una frecuencia Doppler observada desplazada hacia el rojo de la frecuencia original f0,

f = f_0 \exp \left (-\cfrac{w}{c} \right ) = f_0 \exp \left (-\cfrac{|u|}{c\cos(\frac{\alpha}{2})}  \right )

*Apéndice:
Desde un contexto de la Relatividad Especial, la predicción sería como sigue. Aplica una adición de velocidades de Einstein,

w =  \cfrac{2v}{1 + \frac{v^2}{c^2}}

Ahora aplica un Doppler relativista, así

f' = f_0 \displaystyle \sqrt{\cfrac{1 - \frac{w}{c}}{1 + \frac{w}{c}}}

Y después de un poco de álgebra, sabiendo que v = |u|/(2\cos(\alpha/2)), se obtiene que

f' = - f_0 \displaystyle \cfrac{|u| - 2c\cos(\frac{\alpha}{2}) }{|u| + 2c\cos(\frac{\alpha}{2})}

¿Dónde está el error engañoso en esta derivación?. Podemos ver que hay dos nociones erróneas, las cuales cuando actuan de forma cooperativa, intentan ligéramente compesar la respuesta errónea originando una medianamente decente. El primer error consiste en asumir que debe existir la siguiente adición relativista de las velocidades, w = 2v/(1 + v2/c2). Eso no tiene mucho sentido, es absurdo, ya que w es una velocidad VIRTUAL de la fuente de luz con respecto al observador (pero ambos están en reposo), no una velocidad real (esta puede ser incluso superluminal), una adición relativista de velocidades NO procede ser aplicada en tal caso. Si la w es superluminal , significa que, una vez que el observador detecta el rayo de luz como procedente de la imagen virtual tras el espejo, la información no es más rápida que la luz porque esa información ha viajado en realidad una trayectoria más larga que la de una linea recta desde la fuente de luz al observador, por lo tanto esa información viajó con la luz, no es superluminal. Este error de concepto que se comete en la relatividad especial es después ligeramente corregido cuando se aplica el Doppler relativista a f0 através de esa errónea w, obteniendose una predicción de frecuencia f’ que está muy próxima a la correcta f, que se ha ofrecido arriba. En realidad, f/f0 y f’/f0 sólo empiezan a diferir desde el tercer orden de sus respectivas series de potencias,

\cfrac{f}{f_0}=  1-\cfrac{\text{Sec}\left[\frac{\alpha }{2}\right] |u|}{c}+\cfrac{\text{Sec}\left[\frac{\alpha }{2}\right]^2 |u|^2}{2 c^2}-\cfrac{\text{Sec}\left[\frac{\alpha }{2}\right]^3 |u|^3}{6 c^3}+\cfrac{\text{Sec}\left[\frac{\alpha }{2}\right]^4 |u|^4}{24 c^4}-\cfrac{\text{Sec}\left[\frac{\alpha }{2}\right]^5 |u|^5}{120 c^5}+ ...\\ \\    \cfrac{f'}{f_0}= 1-\cfrac{\text{Sec}\left[\frac{\alpha }{2}\right] |u|}{c}+\cfrac{\text{Sec}\left[\frac{\alpha }{2}\right]^2 |u|^2}{2 c^2}-\cfrac{\text{Sec}\left[\frac{\alpha }{2}\right]^3 |u|^3}{4 c^3}+\cfrac{\text{Sec}\left[\frac{\alpha }{2}\right]^4 |u|^4}{8 c^4}-\cfrac{\text{Sec}\left[\frac{\alpha }{2}\right]^5 |u|^5}{16 c^5}+ ...

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Deducción de la fórmula del Doppler Completo usando un telescopio reflector Newtoniano

Posted by Albert Zotkin en octubre 2, 2012

Consideremos un telescopio reflector newtoniano, por el que entra luz procedente de una fuente emisora que se aleja inercialmente por la misma linea de visión. La luz que refleja el espejo parabólico primario posee pues una frecuencia f, la cual, por el efecto Doppler, es  menor que la frecuencia original f0 que emite la fuente. Aceleremos ahora un diferencial de velocidad dv el espejo parabólico primario hacia el espejo central diagonal.

Eso significa que el espejo central diagonal está reflejando ahora luz hacia el objetivo con una frecuencia ligeramente mayor a f, es decir, esa frecuencia será f’ = f + df. Por lo tanto podemos escribir la siguiente ecuación diferencial y hallar su solución:

f+df = f \left(1 + \cfrac{dv}{c}\right) \\ \\ f+df = f + \cfrac{f\;dv}{c} \\ \\ df = \cfrac{f\;dv}{c} \\ \\ \cfrac{df}{f} = \cfrac{dv}{c} \\ \\ \ln \left (\cfrac{f}{f_0} \right) = \cfrac{v}{c} \\ \\ f = f_0\exp \left(\cfrac{v}{c}\right) \\ \\

Con lo cual hemos hallado la fórmula del Doppler completo.

En la ecuación diferencial inicial he usado la fórmula del efecto Doppler de primer orden de aproximación, es decir la clásica no relativista. Es importante recalcar que cuando se integra un diferencial de velocidad lo que se está haciendo es sumar infinitas cantidades infinitamente pequeñas, es decir, en el proceso de integración se está acelerando constantemente al sistema material, y al final de la integración el sistema material aceleró desde 0  hasta v  ,

\displaystyle\int \cfrac {dv}{c} = \cfrac{1}{c}\left(dv+dv+dv+... \right) =\cfrac{v}{c}

Alguien que se suponía entendido en la matería alegó que usar dicha fórmula de primer orden de aproximación para deducir una fórmula de Doppler completo no es correcto, porque desde ella  no es posible hallar ninguna fórmula que posea los infinitos órdenes. Por supuesto, dicha persona está muy equivocada al respecto. Ya Euclides demostró que es posible aproximarse al área de un circulo mediante rectángulos con la longitud de uno sus lados siendo un infinitesimal. En esta deducción, se aplica algo muy similar y que está en la naturaleza de la propia definición de integral. De hecho la solución hallada vemos que es un área. Dicha área es precisamente \beta=v/c  , que se corresponde con el área \ln(f/f_0)  .
Después vino otro supuesto entendido en la materia y afirmó que yo estaba muy confundido, porque lo que en esa fórmula aparece como \beta=v/c  es en realidad una  rapidez (rapidity). Esta persona me indicó que lo que yo llamo velocidad v  es en realidad una velocidad hiperbólica, tal y como está definida en la teoria de la relatividad especial de Einstein. Efectivamente, la velocidad hiperbólica de la relatividad especial, que también se llama celeridad, es igual a la rapidez multiplicada por c  . Efectivamente, si sustituimos en la exponencial que he hallado la \beta=v/c  por la  rapidez, \theta = \tanh^{-1}\beta  , obtenemos la famosa fórmula relativista del Doppler, f= f_0\sqrt{(1+v/c)/(1-v/c)}  . Pero, a este último supuesto experto en la materia le dije que, puesto que yo no estaba usando la relatividad especial, sino la relatividad Galileana, no hay confusión posible, por lo tanto la  velocidad v  , se postula como una velocidad real, y nunca como una velocidad hiperbólica.
Todos esos supuestos entendidos en la materia intentan refutar la fórmula del Doppler Completo hallada arriba, afirmando que los experimentos validan todos la relatividad especial pero invalidad la fórmula que yo hallé. Eso que afirman, es, por supuesto, una gran mentira. Lo dicen únicamente porque se dejan influenciar por su primera impresión de que yo debo de estar confundidísimo y la relatividad especial tiene que seguir siendo la mejor y más testada teoría al respecto. Pero si comparamos las expansiones en series de potencias (series de Taylor) en ambas fórmulas, tenemos:

\cfrac{f}{f_0} = \exp \left (\cfrac{v}{c}\right )= 1+\cfrac{v}{c}+\cfrac{v^2}{2 c^2}+\cfrac{v^3}{6 c^3}+\cfrac{v^4}{24 c^4}+... \\ \\ \\ \cfrac{f}{f_0} = \sqrt{\cfrac{1+v/c}{1-v/c}} = 1+\cfrac{v}{c}+\cfrac{v^2}{2 c^2}+\cfrac{v^3}{2 c^3}+\cfrac{3 v^4}{8 c^4}+...

Es decir, se necesitaría un experimento que pudiera discriminar ambas predicciones con una precisión tal que llegara hasta el tercer orden de aproximación, pero eso no es posible realizarlo con la tecnología actual. La precisión actual en los tests experimentales sólo llega hasta el segundo orden, v^2/2 c^2  .
Corolario 1: Es fácil  deducir el momento de una partícula desde el efecto Doppler :

\textbf{p} = \cfrac {m\textbf{c}}{2} \left (\mathrm{D}(v/c) - \mathrm{D}(-v/c) \right )

esta ecuación genérica del momento se cumple siempre para cualquier factor Doppler \mathrm{D}(v/c)  de cualquier teoría. Donde \textbf{c}  es un vector en la dirección del movimiento de la partícula. El factor Doppler Completo arriba deducido es \mathrm{D}(v/c) =\exp(v/c)  , por lo tanto, el momento que se deduce desde ese factor Doppler es:

\textbf{p} = m\textbf{c} \sinh \left ( \cfrac{v}{c} \right )

De igual forma, la energía total de una partícula deducida desde el Doppler saldría de la ecuación genérica:

E = \cfrac {m c^2}{2} \left (\mathrm{D}(v/c) + \mathrm{D}(-v/c) \right )

Por lo tanto, tenemos:

E = m c^2 \cosh \left ( \cfrac{v}{c} \right )

También es fácil ver que para el caso de la relatividad especial, tendriamos \mathrm{D}(v/c) =\sqrt{(1+v/c)/(1-v/c)}  . Por lo tanto, después de algunas manipulaciones algebráicas obtenemos E = mc^2 \gamma   y p = mv\gamma  , donde \gamma  es el factor de Lorentz.
Y por supuesto, tambien es fácil ver que las ecuaciones genéricas de arriba satisfacen la relación E^2 -c^2p^2 = m^2c^4  , si la función genérica \mathrm{D}(v/c)  posee la propiedad \mathrm{D}(v/c)\mathrm{D}(-v/c) =1  , propiedad que debe poseer todo factor Doppler que pretenda no ser inconsistente con el efecto físico que modela.

Corolario 2:  Este problema me lo planteó amarashiki, en una discusión dentro de un thread del blog Francis (th)E mule Science’s News, con la malsana intención de refutar definitívamente el modelo que yo propongo:

Ejercicio: calcula, usando TU definición de energía y momento, la energía mínima y la energía cinética mínima para crear un par protón antiprotón en la colisión de un protón A con un protón B en reposo. Nota, no puedes usar la definición relativista de energía E=m\gamma c^2 ni p=m\gamma v, sino que tienes que usar tus ecuaciones, a saber E=mc^2\cosh(v/c) y p=mc\sinh(v/c). Yo ya he hecho los cálculos. En relatividad especial sale que la energía mínima es 7mc^2 (donde m es la masa del protón), y la energía cinética mínima es 6mc^2. En tu teoría con TUS definiciones de energía y momento, antes escritas, yo digo que es IMPOSIBLE la creación de pares. Como la creación de pares se observa experimentalmente, entonces tu teoría es un cuento chino. Refútame, si puedes…Con ecuaciones…

Lo que sigue fue lo que yo le contesté:

Este ejercicio lo voy a resolver primero usando un sistema de referencia centrado en el centro de masas de los dos protones, por lo tanto el momento total será nulo. Primero voy a calcular suponiendo que la reacción creará un pión, \pi^0, con todas las partículas finales en reposo tras la colisión, (p,p,\pi^0). Usando mi modelo, la energía total del sistema será:

E = 2mc^2 = 2m_p c^2 + m_\pi c^2

donde

m = m_p \cosh(v/c)

por lo tanto para la creación de ese \pi^0 la velocidad de aproximación de cada protón hacia el centro de masas debe ser de

v = c \cosh^{-1} \left ( 1+ \cfrac{m_\pi}{2m_p} \right )

Y como en mi modelo las velocidades se suman trivialmente como suma de vectores, tenemos que la velocidad, v', de aproximación de uno de los protones en el sistema de referencia donde el otro protón está en reposo sería de

v' = v+ v = 2c \cosh^{-1} \left ( 1+ \cfrac{m_\pi}{2m_p} \right )

Esto sería para la reacción que crea un pión, p + p \rightarrow p+p+\pi^0. Y es muy fácil ver ahora que la reacción que crea un par protón-antiprotón, p + p \rightarrow p+p+p+\bar{p}, debe implicar una velocidad de aproximación de un protón hacia el otro de:

v' = 2c \cosh^{-1} \left ( 1+ \cfrac{2m_p}{2m_p} \right ) = 2c \cosh^{-1}(2) = 2.63392c

Lo cual significa que la energía cinética mínima será

E_k = m_p c^2 (\cosh (2.63392) -1) = 6 m_p c^2

Y la energía total mínima será de

E = m_p c^2 \cosh (2.63392) = 7 m_p c^2

Traducido al modelo de la SR, donde la constante c juega el rol falso de una velocidad límite, que no puede ser superada por nada, tendriamos una velocidad de

v'' = \tanh (2.63392) c = 0.989743 c

Ese es el engaño que la SR logró colar a toda la física desde hace más de un siglo. Creer que las partículas no pueden superar la velocidad c, cuando de hecho esa velocidad es superada rutinariamente en cualquier acelerador de partículas, incluso en los muones creados por rayos cósmicos en la atmósfera terrestre. Para perpetrar ese engaño, la SR ideó efectos como la dilatación del tiempo, o la contracción de las longitudes, o el más absurdo aún de la relatividad de la simultaneidad de eventos, y trampas teoréticas como la convención de Einstein para la sincronización de dos relojes en reposo muy alejados.
Corolario 3: Veamos cómo la dilatación del tiempo, que se afirma haberse testado con éxito en los muones de rayos cósmicos, es en realidad una gran falacia. Los muones poseen una vida media de 2.19703(4) \; 10^{-6} \; \mathrm{s}. Pero entonces un muón creado en las altas capas de la atmósfera terrestre no tendría suficiente tiempo de llegar a ser detectado en la superficie terrestre, incluso viajando a velocidad de c, o como mucho solo sería detectada una cantidad muy pequeña de muones, la cual no se correspondería con lo que se observa. El razonamiento mainstream es que los muones deben poseer velocidades relativistas muy altas, pero nunca superlumínicas, es decir esos muones deben tener velocidades del orden de 0.999c, o más cerca de caún. Según la SR, a esas velocidades tan cercanas a c, existe una significativa dilatación del tiempo propio del muón, con lo cual su vida media se prolongaría exactamente la cantidad necesaria de tiempo para observar lo que es observado. Se puede comprobar fácilmente que eso es una falacia. Lo que sucede realmente es que los muones conservan constante su vida media de 2.19703(4) \; 10^{-6} \; \mathrm{s} , pero sus velocidades son superiores a c. Veamos con más números por qué es una falacia la interpretación de la SR afirmando que lo que se observa es debido a una dilatación del tiempo. Supongamos que un muón posee, cuando es creado en altas capas de la atmósfera, una energía total de E= 20 \;\mathrm{GeV}. Entonces con esa energía es muy fácil calcular cuál debe ser la velocidad de un muón, pues

E = mc^2 \cosh(\cfrac{v}{c}) \\ \\ \\  v = c \cosh^{-1} \left (\cfrac{E}{mc^2}\right )

y como la energía en reposo de un muón es E_0 = mc^2 = 105.658367(4) \;\mathrm{MeV}, tenemos que

v = c \cosh^{-1} \left (\cfrac{20\; 10^9}{105.6\; 10^6 }\right ) = 5.93697c \approx 6c

O sea, los muones con energía 20 \;\mathrm{GeV} creados en las altas capas de la atmósfera llegan a los detectores en la superficie a tiempo porque poseen una velocidad de unas ¡seis veces la velocidad de la luz!. Esto demuestra también, irrefutablemente que los neutrinos muónicos, resultado de la desintregación de muones, medidos en el experimento OPERA viajaron realmente a velocidades superlumínicas, aunque, como he demostrado de forma fehaciente, es más que evidente que los formalismos de la SR enmascaran esa realidad.
Corolario 4: Podemos ver que la ecuación diferencial desde la cual se podría integrar el Doppler relativista de la Relatividad Especial sería,

\cfrac{df}{f} = \cfrac{dv}{c (1- \frac{v^2}{c^2})}

con lo que si integramos tenemos,

\ln \left (\cfrac{f}{f_0} \right )=\tanh^{-1}\left(\cfrac{v}{c} \right ) \\ \\ \\ \ln \left(\cfrac{f}{f_0} \right)=\cfrac{1}{2}\ln \left\{\cfrac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}\right\} \\ \\ \\  \displaystyle f = f_0 \sqrt{\cfrac{1-\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}}

El problema de esta ecuación de la Relatividad Especial reside en el hecho de que no está del todo claro de qué situación fisica o condición inicial podríamos plantear tal ecuación diferencial para que la deducción tuviera consistencia no sólo matemática sino fisica. De todas formas, intentemos profundizar un poco más en esta última relación. Vemos que al integrar la ecuación diferencial obtenemos \ln (\frac{f}{f_0})=\tanh^{-1}(\frac{v}{c} ), y vemos que esa arcotangente hiperbólica es precisamente la definición de rapidez(rapidity en inglés). O sea,

\theta =\tanh^{-1}\left(\cfrac{v}{c} \right )

Y eso significa que d\theta es un diferencial de rapidez, de tal forma que al integrar

d\theta= \cfrac{dv}{c (1- \frac{v^2}{c^2})}

obtenemos la rapidez \theta. Y este corolario demuestra que en la fórmula de Doppler Completo que deduje arriba no se confunde ninguna velocidad con la velocidad hiperbólica, ni ninguna \beta con la rapidez \theta, porque se ve cláramente que esta última posee su propia ecuación diferencial.

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