El conjunto de los números fantásticamente completos y dónde encontrarlo

Se me ha ocurrido una idea sencilla para estudiar los números primos desde perspectivas aún inexploradas. Vayamos al conjunto de los números complejos, y definamos el subconjunto de los números “fantástamente completos” así:

El número complejo z pertenecerá al conjunto de los números “fantástamente completos“, {Fc}, si su parte real es un número primo y su parte imaginaria es un número compuesto, o viceversa, y cumplen las siguientes propiedades:

1. Si la parte real de z es el número primo, p, entonces su parte imaginaria sólo podrá ser uno de estos números compuestos: (p+1) ó (p-1). Con lo cual tendremos cuatro valores diferentes:

(1)

2. Si la parte real de z es el número compuesto que dista sólo una unidad de un número primo, entonces tendremos también cuatro posibles números pertenecientes al conjunto Fc:

(2)

3.El tercer caso es para los números complejos cuya parte real es un número compuesto, pero el menor primo mayor que él ya no dista una unidad, o el mayor primo menor que él tampoco. Por ejemplo para los complejo cuya parte real es 8, tendremos que el menor primo mayor que él es el 11, y el mayor primo menor que él es el 7: así tendremos los números:

(3)

O para el 15 de parte real tendríamos:

(4)

Usemos la función cuenta primos π(x). Un número entero positivo, m, es compuesto si π(m) – π(m-1) = 0, y también π(m+1) – π(m) = 0. Por el contrario, si m es primo, entonces π(m) – π(m-1) = 1, y π(m+1) – π(m) = 1. Pero, antes de intentar encontrar una forma cerrada para este último caso de números, debemos preguntarnos, que podríamos hacer con esta clase de números. Ya sabemos que dado un número primo p, podemos definir desde él, al menos, ocho complejos diferentes, los de (1) y (2). Y si tenemos de entrada un compuesto, podemos construir complejos además podrían ser del tercer caso.

Enpecemos a jugar un poco con estos números del conjunto de los “fantástamente completos“, {Fc}. Por ejemplo, seleccionemoss números de la forma m = p -(p-1)i, donde p es primo. Elevemos al cubo ese número m:

(5)

Observamos claramente que su parte real sólo puede ser un número compuesto o el primo 2, pues es divisible por 2, y su parte imaginaria sí podría ser un número primo, según el valor de p. Además, vemos que sería esa parte imaginaria un número entero negativo. Busquemos que números primos p, producen un número primo en esa parte imaginaria de m. Por mucho que búsquemos, sólo encontraremos el siguiente número complejo:

(6)

El cual, claramente, no pertenece al conjunto Fc. Pero, lo curioso de todo esto es siempre obtenemos el número p = 2. Cuando vamos elevando el número m a las sucesivas potencias, obtenemos los siguientes números cubos vuyas partes imaginarias son números primos:

(7)

Observamos que sólo las potencias impares dan esos números con parte imaginaria prima. Veamos ahora las potencias pares: Veremos que sólo para m al cubo se obtiene 153 números con sucesivos valores de p, desde el 2 hasta el 7867. Los siguientes dos números obtenidos corresponden a las potencias de 5 y de 9

(8)

En resumen, que esta clase de números puede dar un juego bastante bueno, si se investiga un poco. Veamos ahora números de la forma m = p-1 –p i. Obtenemos los siguientes para potencias impares:

(9)

Vemos que el complejo p-1 –p i, como es el conjugado de p -(p-1)i, los números obtenidos de sus potencias, también son conjugados de (9).

Nos faltaba aún encontrar una forma cerrada para el tercer caso que expliqué arriba. Es decir, dado un número entero positivo cualquiera, n, ¿cómo construir desde él los númerod fantásticamente completod, m, con sud parted reales igual a n?. La respuesta no sea hace esperar. Primero hay que hallar las partes imaginarias de esos posibles números. Para ello definimos la siguiente función, que llamaremos PrimeComplexBlock, para la cual introducimos el dato inicial n, y nos devolverá el par de números buscado:

(10)

Es decir, si n es compuesto entonces nos devuelve el par de números {p(π(n)), NextPrime(n)}. El primer número del par nos da el mayor número primo de todos los primos menores que n. Y el segundo número del par, es decir, NextPrime(n)}, como su propio nombre indica, nos da el menor primo de todos los que son mayores a n. Pongamos un ejemplo. Sea n = 10, entonces tenemos:

la funcion π(n), es la función cuenta primos, es decir, nos dice cuántos números primos hay menores o igual a n. Y la función p(n) nos da el n-ésimo número primo. Por lo tanto, ambas funciones combinadas, en p(π(n)) nos definen una función que nos da el mayor número primo de los menores a n. Así pues, para n = 10, tendremos todos estos números fantásticamente completos:

Fijémonos ahora en los números fantásticaente completos de la forma m = p + (p+1)i, donde p son un número primo. Calculemos los cuadrados de esos números m. Sus cuadrados son también números complejos. Seleccionemos de los sucesivos cuadrados, aquellos cuya parte real es un número primo. La sucesión de esas partes reales primas es lo que se llama números primos seguros:

(11)

sucesión A005385 en la biblioteca de secuencias OEIS. Como esas partes enteras son los llamados números seguros, resulta que estos números son a su vez números de la forma 2p + 1, donde p es otro primo, que es llamado número primo de Sophie Germain. Es decir, de la lista de arriba (11), restamos la unidad a cada uno de sus números y dividimos por 2, para obteber estos números primos de Sophie Germain:

(12)

sucesión A005384 en la biblioteca de secuencias OEIS. Estos últimos números primos de la lista (12) se llaman primos Sophie Germain, porque fué la matemática francesa Marie-Sophie Germain la primera en demostrar que el Último teorema de Fermat era cierto para esta clase de números primos.

Un saludo fantásticamente completo 🙂

El mundo de los muertos y la cinemática de los walking dead (Mecánica estadística)

El “mundo de los muertos” es el infra-mundo de orden -1. En ese universo, las cosas son, se mueven y evolucionan de una forma muy peculiar. El “mundo de los muertos” es el reino de los objetos y fenómenos cuánticos por antonomasia. Por otro lado, la definición de función de partición en mecánica estadística es muy importante.

En un sistema de partículas en equilibrio que sólo intercambia energía térmica con su entorno, tenemos que la función de partición para dicho sistema es:

(1)

donde la suma se ha realizado sobre todos los microestados s, ε_s representa la energía del microestado s y ß se define como menos el inverso del producto de la temperatura por la constante de Boltzmann:

Así desde estas definiciones podemos por ejemplo expresar la ecuación de estado de los gases ideales así:

(2)

donde ε_i representa la energía del microestado i. Es decir, la energia PV de los gases nobles es simplemente la infra-suma ⊕ de orden -1 de las distintas energias de los micro-estados. En general, toda ecuacion en la que aparezca el logaritmo de la función de partición, ln(Z), implica una infra-suma de energias de micro-estados. Pero alguien diría, muy bien y ¿dónde está el mérito de todo esto?. Pues el mérito de todo esto está en darse cuenta de que la infra-suma de orden -1 de energias de micro estados genera la emergencia de la energia del sistema macroscópico. Clásicamente la energía es una magnitud escalar que se suma o se resta canónicamente, con la aritmética de orden 0, pero lo curioso de todo esto es que las energias de los micro-estados se suman y se restan mediante la aritmética de orden -1. O sea, el macrocosmos (orden 0) emerge como consecuencia de infra-interacciones de orden -1.

Saludos

Energía total y momento de una partícula expresados con infra-sumas

Todos sabemos, o deberíamos de saber ya a estas alturas del curso, que la energía total y el momento de una partícula de masa m, que se está moviendo a cierta velocidad v, se expresan así:

(1)

Donde β = v/c. Por otro lado, ya sabemos, o deberiamos de saber, que la infra-suma e infra-resta de orden -1 se definen así:

(2)

Por lo tanto, la energía total y momento de una partícula se expresa con infra-sumas así:

(3)

Y si exploramos un poco sobre la mecánica de las partículas en este infra-mundo, veremos cosas muy sorprendentes. Por ejemplo, en este infra-mundo de orden -1, la opuesta v’ a una velocidad v no sería –v, sino v’ = v + icπ, es decir una velocidad compleja cuya parte imaginaria sería el producto de dos constantes, cπ. Evidentemente, si infra-sumamos una velocidad v con su opuesta v’ = v + icπ, obtenemos el elemento neutro de la infra-suma de orden -1, que es -∞

(4)

Eso nos hace pensar, en el ámbito de la relatividad, que quizás cuando una partícula (o cualquier cuerpo con masa) acelera desde cualquier velocidad infra-lumínica v < c, nunca llegaría a alcanzar dicha c, porque lo que ocurriría es que la velocidad se conjuga pasando de ser real a ser compleja cuyo valor sería v + icπ

Saludos

Elementos neutros y opuestos en las aritméticas de distintos órdenes

Hoy voy a escribir un corto apunte sobre cómo calcular el elemento neutro de la suma de una aritmética de orden n si sabes cuál es dicho elemento en la aritmética de orden (n+1). Llamemos e_n a dicho elemento neutro de la suma ⊕_n de orden n. Entonces tendremos que

(1)

Por ejemplo: la multiplicación es la suma de orden 1, y su elemento neutro es el número natural 1. Entonces el elemento neutro de la suma ordinaria (suma de orden 0) es:

(2)

como todos sabemos. El elemento neutro de la infra-suma de orden -1 es:

(3)

Si ya sabemos calcular el elemento neutro, es fácil calcular el opuesto x’ de cualquier número x:

(4)

y como sabemos que la suma de dos números x, y es:

(5)

tendremoa que:

(6)

Por ejemplo, usemos la suma ordinaria (orden 0) para calcular el opuesto x’ de orden -1 de un número x:

(7)

es evidente que x’ = x + i π es el opuesto de x en la suma de orden -1, ya que

(8)

Sigamos con un poco más. El elemento neutro de la suma de orden 2 es e (la base de los logaritmos naturales), ya que

(9)

El opuesto x’ de un número x para dicha suma de orden 2 sería pues un número tal que:

(10)

es decir,

(11)

Saludos

La identidad de Euler como suma de opuestos del inframundo

Hola incondicionales de Tardígrados. Hoy voy a escribir un pequeño apunte sobre la identidad de Euler, y de cómo puede ser expresada como una suma de opuestos de orden -1. La suma y la resta de orden -1 quedó definida en mis últimos dos posts de esta forma:

(1)

La identidad de Euler sabemos que es:

(2)

Por lo tanto, pasando el -1 a la parte izquierda de la ecuación queda

(3)

es decir, podemos escribir la identidad de Euler así:

(4)

El opuesto en la suma de orden -1 de un número real x es un número complejo x’ cuya parte real es x, y cuya parte imaginaria es π. Con lo cual la suma de orden -1 de x con su opuesto x’ siempre dará el elemento neutro de esa suma de orden -1, es decir:

(5)

ya que -∞ es dicho elemento neutro de la suma de orden -1. Esto significa, que podemos escribir la identidad de Euler así

(6)

porque en general la suma de un número y su opuesto siempre es el elemento neutro de dicha suma. Y en el caso de la suma de orden -1 siempre tenemos que:

(7)

Saludos

Aritmética del inframundo y del ultramundo

Definamos la suma y la resta como operadores aritméticos de orden cero, que escritos con subíndices serian:

(1)

Así, la multiplicación y la división serian operadores de orden 1, y los escribiriamos así:

(2)

En cuanto a la infrasuma y la infrarresta, que definí en mis dos anteriores posts, aqui y aqui, sus operadores escritos con subíndices serían de orden -1. Por lo tanto, toda operación aritmética de orden k puede ser expresada mediante operaciones aritméticas de orden inmediato superior k+1, así:

(3)

Supongamos que tenemos curiosidad por saber cómo son los operadores suma y resta inframundados de orden -2. Escribimos:

(4)

y si queremos expresarlos en función de la suma y la resta de orden 0, como sabemos que

(5)

tendremoa que

(6)

Cabe también preguntarse cómo se expresa una operación aritmética de orden k en función de su operadores de orden inmediato inferior, k-1. La respuesta es sencilla:

(7)

Ahora podríamos hacernos la misma pregunta que antes, pero hacia arriba. ¿Cómo expresamos una operación aritmética ultramundana de orden 2 con los operadores de orden inferior?:

(8)

o también

(9)

Lo cual produce el notable resultado:

(10)

que siempre es cierto para cualesquiera números reales x e y.

Una resta de orden 2 sería asi:

(11)

Saludos

Decibelios de un agujero negro

Un supuesto agujero negro (si es que existen realmente) se comportaría de forma análoga a una antena parabólica. En una antena parabólica inciden ondas electromagnéticas, en ese supuesto agujero negro inciden también ondas de materia cuando partículas con masa caen hacia él (ondas de De Broglie). De modo que un agujero negro posee una “ganancia de antena” para ondas de materia, de igual forma que una antena para onda electromagnéticas.

Consideremos ahora el radio de Schwarzschild de un agujero negro:

(1)

El área de la esfera definida por ese radio será entonces:

(2)

De igual forma, la ganancia de una antena parabólica es:

(3)

donde son respectivamente, el área de la apertura de antena, el diámetro de la antena parabólica, la longitud de onda de la onda incidente, y un parámetro adimencional que puede ir de 0 a 1.

La ganancia de una antena es la razón entre la potencia recibida por la antena desde una fuente emisora a lo largo de su eje respecto de la potencia recibida por una hipotética antena isotrópica. La ganancia se mide en belios, B, o en submúltiplos como el decibelio (dB).

Por lo tanto, para un agujero negro, tendremos en su esfera de Schwarzschild, que la ganancia sería:

(4)

y si decimos que si la longitud de onda de esa onda incidente está definida por la longitud de onda de una onda de materia (onda de De Broglie) , tendremos una ganancia de:

(5)

La interpretación física de esa fórmula de la ganancia de una agujero negro será pues una medida de la probabilidad de que una partícula con masa m que cae hacia la barrera de potencial gravitatorio de dicho agujero negro NO escape al mismo mediante efecto de túnel cuántico. Si la partícula masiva es atrapada con suceso seguro entonces la ganancia del agujero negro para el momento de esa partícula sería máxima. Examinando esa fórmula de ganancia (5), vemos que sólo existiría una ganancia nula para partículas con momento nulo, p = mv = 0. Para todas las demás siempre existiría una probabilidad no nula de NO escapar por efecto túnel.

Esto quiere decir, que la única posibilidad de que un agujero NO atrapara nunca (suceso seguro) a toda partícula que cae en él sería que el parámetro e_A (llamado eficiencia de apertura) fuera siempre nulo.

Veamos qué ocurre en el caso de que sea un fotón el que entra en la barrera de potencial gravitatorio del agujero negro. En tal caso, aunque el fotón no posee masa (m = 0), eso no implica que la ganancia de antena del agujero negro se anulara, porque el fotón posee momento no nulo, y en tal caso tendriamos que aplicar la fórmula (4) de ganancia de antena. Si no aplicáramos la fórmula (4) entonces una ganancia nula indicaría que la probabilidad de que el fotón escapara del agujero negro sería el suceso seguro, es decir siempre escaparía, nunca entraria en el agujero negro. Evaluando un poco esa fórmula (4) vemos que sólo para fotones con longitud de onda infinita, la ganancia sería nula, es decir, en tal caso no serían atrapados por el agujero negro.

Para un fotón la ganancia puede también ser expresada en función del momento p, así:

(6)

y como la frecuencia del fotón y su longitud de onda están relacionas así .

La ganancia de antena también puede ser expresada en función de su frecuencia así:

(7)

Podemos buscar alguna relación entre la ganancia de antena de un agujero negro y la Radiación de Hawking. Sabemos que la tenperatura de Hawking para que exista esa radiación es:

(8)

donde es la constante de Boltzmann.

Fijémonos ahora en la última ecuación (7) de la ganancia. Podemos expresarla, pues, en función de la temperatura de Hawking y de la frecuencia de la onda de materia incidente, así:

(9)

(10)

observamos que es la energía de la partícula incidente (onda de materia incidente), y que viene a ser algo así como la energía del agujero negro por mol. Efectivamente si aplicamos la ley de los gases nobles a un agujero negro, tendremos,

(11)

donde N, es el número de moles. Eso indicaría que

(12)

es decir, el número de moles del agujero negro sería, sin lugar a dudas, el inverso de la raíz cuadrada de la eficiencia de apertura,

(13)

y esto implica también que la presión de un agujero negro por mol sería:

(14)

Saludos