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El mundo de los muertos y la cinemática de los walking dead (Mecánica estadística)

Posted by Albert Zotkin en octubre 25, 2014

El “mundo de los muertos” es el infra-mundo de orden -1. En ese universo, las cosas son, se mueven y evolucionan de una forma muy peculiar. El “mundo de los muertos” es el reino de los objetos y fenómenos cuánticos por antonomasia. Por otro lado, la definición de función de partición en mecánica estadística es muy importante.

En un sistema de partículas en equilibrio que sólo intercambia energía térmica con su entorno, tenemos que la función de partición para dicho sistema es:

\displaystyle  \mathcal{Z} = \sum_{s} e^{\beta \epsilon_s}  (1)
donde la suma se ha realizado sobre todos los microestados s, εs representa la energía del microestado s y β se define como menos el inverso del producto de la temperatura por la constante de Boltzmann:

\displaystyle  \beta = -\frac{1}{k_BT}
Así desde estas definiciones podemos por ejemplo expresar la ecuación de estado de los gases ideales así:

\displaystyle  \langle PV\rangle=-\frac{\ln(\mathcal{Z})}{\beta} = -\frac{\epsilon_1\oplus\epsilon_2\oplus\epsilon_3\oplus\dots}{\beta}   (2)
donde εi representa la energía del microestado i. Es decir, la energia PV de los gases nobles es simplemente la infra-suma ⊕ de orden -1 de las distintas energias de los micro-estados. En general, toda ecuacion en la que aparezca el logaritmo de la función de partición, ln(Z), implica una infra-suma de energias de micro-estados. Pero alguien diría, muy bien y ¿dónde está el mérito de todo esto?. Pues el mérito de todo esto está en darse cuenta de que la infra-suma de orden -1 de energias de micro estados genera la emergencia de la energia del sistema macroscópico. Clásicamente la energía es una magnitud escalar que se suma o se resta canónicamente, con la aritmética de orden 0, pero lo curioso de todo esto es que las energias de los micro-estados se suman y se restan mediante la aritmética de orden -1. O sea, el macrocosmos (orden 0) emerge como consecuencia de infra-interacciones de orden -1.

infra
Saludos

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Energía total y momento de una partícula expresados con infra-sumas

Posted by Albert Zotkin en octubre 20, 2014

Todos sabemos, o deberíamos de saber ya a estas alturas del curso, que la energía total y el momento de una partícula de masa m, que se está moviendo a cierta velocidad v, se expresan así:

\displaystyle  E= mc^2 \cosh \left(\beta \right) \\ \\   p = mc\sinh \left(\beta\right) \\ \\   (1)

Donde β = v/c. Por otro lado, ya sabemos, o deberiamos de saber, que la infra-suma e infra-resta de orden -1 se definen así:

\displaystyle   x \oplus y =\log(\exp(x) +\exp(y))\\ \\   x \ominus y =\log(\exp(x) -\exp(y))  (2)
Por lo tanto, la energía total y momento de una partícula se expresa con infra-sumas así:

\displaystyle  E = \tfrac{1}{2} mc^2 \exp \left(\beta \oplus (-\beta)\right) \\ \\  p = \tfrac{1}{2} mc \exp \left(\beta \ominus (-\beta)\right)   (3)
Y si exploramos un poco sobre la mecánica de las partículas en este infra-mundo, veremos cosas muy sorprendentes. Por ejemplo, en este infra-mundo de orden -1, la opuesta v’ a una velocidad v no sería –v, sino v’ = v + icπ, es decir una velocidad compleja cuya parte imaginaria sería el producto de dos constantes, . Evidentemente, si infra-sumamos una velocidad v con su opuesta v’ = v + icπ, obtenemos el elemento neutro de la infra-suma de orden -1, que es -∞

\displaystyle   v \oplus v' =\log(\exp(v) +\exp(v + ic\pi))\\ \\   v \oplus v' =\log(\exp(v)(1 +\exp( ic\pi))\\ \\   v \oplus v' =\log(\exp(v)(1 - 1)\\ \\    v \oplus v' =\log(0)=-\infty\\ \\  (4)
Eso nos hace pensar, en el ámbito de la relatividad, que quizás cuando una partícula (o cualquier cuerpo con masa) acelera desde cualquier velocidad infra-lumínica v < c, nunca llegaría a alcanzar dicha c, porque lo que ocurriría es que la velocidad se conjuga pasando de ser real a ser compleja cuyo valor sería v + icπ

Saludos

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Elementos neutros y opuestos en las aritméticas de distintos órdenes

Posted by Albert Zotkin en octubre 5, 2014

Hoy voy a escribir un corto apunte sobre cómo calcular el elemento neutro de la suma de una aritmética de orden n si sabes cuál es dicho elemento en la aritmética de orden (n+1). Llamemos en a dicho elemento neutro de la suma ⊕n de orden n. Entonces tendremos que

\displaystyle  e_n = \log(e_{n+1})  (1)
Por ejemplo: la multiplicación es la suma de orden 1, y su elemento neutro es el número natural 1. Entonces el elemento neutro de la suma ordinaria (suma de orden 0) es:

\displaystyle  e_0 = \log(e_1)= \log(1)=0  (2)
como todos sabemos. El elemento neutro de la infra-suma de orden -1 es:

\displaystyle  e_{-1} = \log(e_0)= \log(0)=-\infty  (3)
Si ya sabemos calcular el elemento neutro, es fácil calcular el opuesto x’ de cualquier número x:

\displaystyle  x \oplus_{n} x' =\log(e_{n+1})  (4)
y como sabemos que la suma de dos números x, y es:

\displaystyle  x \oplus_{n} y =\log(\exp(x) \oplus_{n+1} \exp(y) ) \\ \\  (5)

tendremoa que:

\displaystyle  \log(\exp(x) \oplus_{n+1} \exp(x'))= \log(e_{n+1}) \\ \\   \exp(x) \oplus_{n+1} \exp(x')= e_{n+1} \\ \\   (6)
Por ejemplo, usemos la suma ordinaria (orden 0) para calcular el opuesto x’ de orden -1 de un número x:

\displaystyle  \exp(x) + \exp(x') = 0 \\ \\    \exp(x') = 0 - \exp(x) \\ \\   x' = \log(0 - \exp(x)) = x+ i \pi  (7)
es evidente que x’ = x + i π es el opuesto de x en la suma de orden -1, ya que

\displaystyle  x \oplus_{-1} (x+ i\pi) = \log(\exp(x) +\exp(x+ i\pi))=  \\ \\   \log(\exp(x)(1+ \exp(i\pi)) = \log(\exp(x)(1-1)) = \log(0)=-\infty  (8)
Sigamos con un poco más. El elemento neutro de la suma de orden 2 es e (la base de los logaritmos naturales), ya que

\displaystyle  e_1 = \log(e_2) \\ \\   1=\log(e_2)  \\ \\   e_2 = e^1 =e  (9)
El opuesto x’ de un número x para dicha suma de orden 2 sería pues un número tal que:

\displaystyle  x\oplus_2 x' = e  (10)

es decir,

\displaystyle  x\oplus_2 x' =\exp(\log(x)\oplus_1 \log(x')) = e \\ \\   \exp(\log(x) \log(x')) = e \\ \\   \log(x) \log(x') = \log(e) \\ \\    x'^{\log(x)} =e  \\ \\    x' = e^{1/\log(x)}    (11)

Saludos

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La identidad de Euler como suma de opuestos del inframundo

Posted by Albert Zotkin en septiembre 8, 2014

Hola incondicionales de Tardígrados. Hoy voy a escribir un pequeño apunte sobre la identidad de Euler, y de cómo puede ser expresada como una suma de opuestos de orden -1. La suma y la resta de orden -1 quedó definida en mis últimos dos posts de esta forma:

\displaystyle  x \oplus y =\log(\exp(x) + \exp(y) ) \\ \\  x \ominus y =\log(\exp(x) - \exp(y) )  (1)

La identidad de Euler sabemos que es:

\displaystyle  e^{\mathrm{i}\pi} =-1 \,\!  (2)
Por lo tanto, pasando el -1 a la parte izquierda de la ecuación queda

\displaystyle  e^{\mathrm{i}\pi}+1  = 0  (3)
es decir, podemos escribir la identidad de Euler así:

\displaystyle  e^{\mathrm{i}\pi}+e^{0}= e^{-\infty}  (4)
El opuesto en la suma de orden -1 de un número real x es un número complejo x’ cuya parte real es x, y cuya parte imaginaria es π. Con lo cual la suma de orden -1 de x con su opuesto x’ siempre dará el elemento neutro de esa suma de orden -1, es decir:

\displaystyle  x \oplus x' =-\infty  (5)

ya que -∞ es dicho elemento neutro de la suma de orden -1. Esto significa, que podemos escribir la identidad de Euler así

\displaystyle  0 \oplus i\pi = -\infty  (6)
porque en general la suma de un número y su opuesto siempre es el elemento neutro de dicha suma. Y en el caso de la suma de orden -1 siempre tenemos que:

\displaystyle  x\oplus (x + i\pi) = -\infty  (7)

Saludos

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Aritmética del inframundo y del ultramundo

Posted by Albert Zotkin en agosto 24, 2014

Definamos la suma y la resta como operadores aritméticos de orden cero, que escritos con subíndices serian:

\displaystyle  + = \oplus_0 \\ \\   -= \ominus_0 \\ \\   (1)

Así, la multiplicación y la división serian operadores de orden 1, y los escribiriamos así:

\displaystyle  \times = \oplus_1 \\ \\   /= \ominus_1 \\ \\   (2)
En cuanto a la infrasuma y la infrarresta, que definí en mis dos anteriores posts, aqui y aqui, sus operadores escritos con subíndices serían de orden -1. Por lo tanto, toda operación aritmética de orden k puede ser expresada mediante operaciones aritméticas de orden inmediato superior k+1, así:

\displaystyle  x \oplus_k y =\log(\exp(x) \oplus_{k+1} \exp(y) ) \\ \\  x \ominus_k y =\log(\exp(x) \ominus_{k+1} \exp(y) )    (3)
Supongamos que tenemos curiosidad por saber cómo son los operadores suma y resta inframundados de orden -2. Escribimos:

\displaystyle  x \oplus_{-2} y =\log(\exp(x) \oplus_{-1} \exp(y) ) \\ \\  x \ominus_{-2} y =\log(\exp(x) \ominus_{-1} \exp(y) )  (4)
y si queremos expresarlos en función de la suma y la resta de orden 0, como sabemos que

\displaystyle  x \oplus_{-1} y =\log(\exp(x) + \exp(y) ) \\ \\  x \ominus_{-1} y =\log(\exp(x) - \exp(y) )  (5)

tendremoa que

\displaystyle  x \oplus_{-2} y =\log(\log(\exp(\exp(x))) + \exp(\exp(x))))  \\ \\  x \ominus_{-2} y =\log(\log(\exp(\exp(x))) - \exp(\exp(x))))  (6)
Cabe también preguntarse cómo se expresa una operación aritmética de orden k en función de su operadores de orden inmediato inferior, k-1. La respuesta es sencilla:

\displaystyle  a \oplus_k b =\log(\exp(a) \oplus_{k+1} \exp(b) ) \\ \\  \exp(a \oplus_k b) =\exp(a) \oplus_{k+1} \exp(b)  \\ \\  x= \exp(a)  \\ \\ y=\exp(b) \\ \\  a= \log(x) \\ \\ b=\log(y) \\ \\  x \oplus_{k+1} y = \exp(\log(x) \oplus_k \log(y))   (7)
Ahora podríamos hacernos la misma pregunta que antes, pero hacia arriba. ¿Cómo expresamos una operación aritmética ultramundana de orden 2 con los operadores de orden inferior?:

\displaystyle  x \oplus_{2} y = \exp(\log(x) \oplus_1 \log(y))  \\ \\   x \oplus_{1} y = \exp(\log(x) + \log(y)) \\ \\  \\ \\   x \oplus_{2} y = \exp(\log(x) \log(y))  \\ \\   x \oplus_{2} y = x^{\log(y)}  (8)

o también

\displaystyle  x \oplus_{2} y = y^{\log(x)}  (9)

Lo cual produce el notable resultado:

\displaystyle  x^{\log(y)} =  y^{\log(x)}  (10)

que siempre es cierto para cualesquiera números reales x e y.

Una resta de orden 2 sería asi:

\displaystyle  x \ominus_{2} y = \exp(\log(x) \ominus_1 \log(y))  \\ \\   x \ominus_{1} y = \exp(\log(x) - \log(y)) \\ \\  \\ \\   x \ominus_{1} y = \exp \left (\log \frac{x}{y}\right )  \\ \\   x \ominus_{1} y = \frac{x}{y} \\ \\   x \ominus_{2} y = \exp \left (\frac{\log(x)}{\log(y)}\right ) \\ \\ \\ \\  x \ominus_{2} y = \left (x \right )^{\frac{1}{\log(y)}}    (11)

Saludos

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Decibelios de un agujero negro

Posted by Albert Zotkin en mayo 17, 2014

Un supuesto agujero negro (si es que existen realmente) se comportaría de forma análoga a una antena parabólica. En una antena parabólica inciden ondas electromagnéticas, en ese supuesto agujero negro inciden también ondas de materia cuando partículas con masa caen hacia él (ondas de De Broglie). De modo que un agujero negro posee una “ganancia de antena” para ondas de materia, de igual forma que una antena para onda electromagnéticas.

Consideremos ahora el radio de Schwarzschild de un agujero negro:

\displaystyle      r_\mathrm{sh} =\frac{2GM}{c^2}   (1)
El área de la esfera definida por ese radio será entonces:

\displaystyle      A_{sh} = 4 \pi r_{sh}^2 = 4 \pi \left( \frac{2 G M}{c^2} \right)^2 = \frac{16 \pi G^2 M^2}{c^4} \;  (2)
De igual forma, la ganancia de una antena parabólica es:

\displaystyle      G_{\mathrm{antena}} = \frac{4 \pi A}{\lambda^2}e_A = \frac{\pi^2d^2}{\lambda^2}e_A  (3)
donde A \mathrm{,\ } d \mathrm{,\  } \lambda \mathrm{,\  } e_A son respectivamente, el área de la apertura de antena, el diámetro de la antena parabólica, la longitud de onda de la onda incidente, y un parámetro adimencional que puede ir de 0 a 1.

La ganancia de una antena es la razón entre la potencia recibida por la antena desde una fuente emisora a lo largo de su eje respecto de la potencia recibida por una hipotética antena isotrópica. La ganancia se mide en belios, B, o en submúltiplos como el decibelio (dB).

Por lo tanto, para un agujero negro, tendremos en su esfera de Schwarzschild, que la ganancia sería:

\displaystyle    G_{\mathrm{antena}} = \frac{64 \pi^2 G^2 M^2}{\lambda^2 c^4}\, e_A  (4)
y si decimos que si la longitud de onda de esa onda incidente está definida por la longitud de onda de una onda de materia (onda de De Broglie) \lambda= \frac{h}{mv}, tendremos una ganancia de:

\displaystyle    G_{\mathrm{antena}} = \frac{64 \pi^2 G^2 M^2 m^2 v^2}{h^2 c^4}\, e_A  (5)

La interpretación física de esa fórmula de la ganancia de una agujero negro será pues una medida de la probabilidad de que una partícula con masa m que cae hacia la barrera de potencial gravitatorio de dicho agujero negro NO escape al mismo mediante efecto de túnel cuántico. Si la partícula masiva es atrapada con suceso seguro entonces la ganancia del agujero negro para el momento de esa partícula sería máxima. Examinando esa fórmula de ganancia (5), vemos que sólo existiría una ganancia nula para partículas con momento nulo, p = mv = 0. Para todas las demás siempre existiría una probabilidad no nula de NO escapar por efecto túnel.

Esto quiere decir, que la única posibilidad de que un agujero NO atrapara nunca (suceso seguro) a toda partícula que cae en él sería que el parámetro eA (llamado eficiencia de apertura) fuera siempre nulo.

Veamos qué ocurre en el caso de que sea un fotón el que entra en la barrera de potencial gravitatorio del agujero negro. En tal caso, aunque el fotón no posee masa (m = 0), eso no implica que la ganancia de antena del agujero negro se anulara, porque el fotón posee momento no nulo, y en tal caso tendriamos que aplicar la fórmula (4) de ganancia de antena. Si no aplicáramos la fórmula (4) entonces una ganancia nula indicaría que la probabilidad de que el fotón escapara del agujero negro sería el suceso seguro, es decir siempre escaparía, nunca entraria en el agujero negro. Evaluando un poco esa fórmula (4) vemos que sólo para fotones con longitud de onda infinita, la ganancia sería nula, es decir, en tal caso no serían atrapados por el agujero negro.

Para un fotón la ganancia puede también ser expresada en función del momento p, así:

\displaystyle    G_{\mathrm{antena}} = \frac{64 \pi^2 G^2 M^2 p^2}{h^2 c^4}\, e_A  (6)

y como la frecuencia del fotón y su longitud de onda están relacionas así \lambda\ \nu = c.

La ganancia de antena también puede ser expresada en función de su frecuencia así:

\displaystyle    G_{\mathrm{antena}} = \frac{64 \pi^2 G^2 M^2 \nu^2}{ c^6}\, e_A  (7)
Podemos buscar alguna relación entre la ganancia de antena de un agujero negro y la Radiación de Hawking. Sabemos que la tenperatura de Hawking para que exista esa radiación es:

\displaystyle    T_H={\hbar\,c^3\over8\pi G M k}  (8)

donde k es la constante de Boltzmann.

Fijémonos ahora en la última ecuación (7) de la ganancia. Podemos expresarla, pues, en función de la temperatura de Hawking y de la frecuencia de la onda de materia incidente, así:

\displaystyle    \cfrac{\hbar^2}{k^2\;T_H^2}=  \frac{64 \pi^2 G^2 M^2 }{ c^6}  (9)
\displaystyle    \boxed{G_{\mathrm{antena}} =\left (\cfrac{\hbar\;\nu}{k\;T_H}\right )^2\;e_A}  (10)
observamos que \hbar\;\nu es la energía de la partícula incidente (onda de materia incidente), y que k\;T_H viene a ser algo así como la energía del agujero negro por mol. Efectivamente si aplicamos la ley de los gases nobles a un agujero negro, tendremos,

\displaystyle     PV = kNT  (11)

donde N, es el número de moles. Eso indicaría que

\displaystyle    G_{\mathrm{antena}} =\left (\cfrac{\hbar\;\nu}{k\;T_H\;\sqrt{1/e_A}}\right )^2  (12)

es decir, el número de moles del agujero negro sería, sin lugar a dudas, el inverso de la raíz cuadrada de la eficiencia de apertura,

\displaystyle    N =\cfrac{1}{\sqrt{e_A}}  (13)

y esto implica también que la presión de un agujero negro por mol sería:

\displaystyle    P = \frac{3\; c^9\; \hbar }{256\;G^4\; M^4\; \pi^2}  (14)

Saludos

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