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Posts Tagged ‘efecto túnel cuántico’

Decibelios de un agujero negro

Posted by Albert Zotkin en mayo 17, 2014

Un supuesto agujero negro (si es que existen realmente) se comportaría de forma análoga a una antena parabólica. En una antena parabólica inciden ondas electromagnéticas, en ese supuesto agujero negro inciden también ondas de materia cuando partículas con masa caen hacia él (ondas de De Broglie). De modo que un agujero negro posee una “ganancia de antena” para ondas de materia, de igual forma que una antena para onda electromagnéticas.

Consideremos ahora el radio de Schwarzschild de un agujero negro:

\displaystyle     r_\mathrm{sh} =\frac{2GM}{c^2}  (1)
El área de la esfera definida por ese radio será entonces:

\displaystyle     A_{sh} = 4 \pi r_{sh}^2 = 4 \pi \left( \frac{2 G M}{c^2} \right)^2 = \frac{16 \pi G^2 M^2}{c^4} \; (2)
De igual forma, la ganancia de una antena parabólica es:

\displaystyle     G_{\mathrm{antena}} = \frac{4 \pi A}{\lambda^2}e_A = \frac{\pi^2d^2}{\lambda^2}e_A (3)
donde A \mathrm{,\ } d \mathrm{,\  } \lambda \mathrm{,\  } e_A son respectivamente, el área de la apertura de antena, el diámetro de la antena parabólica, la longitud de onda de la onda incidente, y un parámetro adimencional que puede ir de 0 a 1.

La ganancia de una antena es la razón entre la potencia recibida por la antena desde una fuente emisora a lo largo de su eje respecto de la potencia recibida por una hipotética antena isotrópica. La ganancia se mide en belios, B, o en submúltiplos como el decibelio (dB).

Por lo tanto, para un agujero negro, tendremos en su esfera de Schwarzschild, que la ganancia sería:

\displaystyle   G_{\mathrm{antena}} = \frac{64 \pi^2 G^2 M^2}{\lambda^2 c^4}\, e_A (4)
y si decimos que si la longitud de onda de esa onda incidente está definida por la longitud de onda de una onda de materia (onda de De Broglie) \lambda= \frac{h}{mv}, tendremos una ganancia de:

\displaystyle   G_{\mathrm{antena}} = \frac{64 \pi^2 G^2 M^2 m^2 v^2}{h^2 c^4}\, e_A (5)

La interpretación física de esa fórmula de la ganancia de una agujero negro será pues una medida de la probabilidad de que una partícula con masa m que cae hacia la barrera de potencial gravitatorio de dicho agujero negro NO escape al mismo mediante efecto de túnel cuántico. Si la partícula masiva es atrapada con suceso seguro entonces la ganancia del agujero negro para el momento de esa partícula sería máxima. Examinando esa fórmula de ganancia (5), vemos que sólo existiría una ganancia nula para partículas con momento nulo, p = mv = 0. Para todas las demás siempre existiría una probabilidad no nula de NO escapar por efecto túnel.

Esto quiere decir, que la única posibilidad de que un agujero NO atrapara nunca (suceso seguro) a toda partícula que cae en él sería que el parámetro eA (llamado eficiencia de apertura) fuera siempre nulo.

Veamos qué ocurre en el caso de que sea un fotón el que entra en la barrera de potencial gravitatorio del agujero negro. En tal caso, aunque el fotón no posee masa (m = 0), eso no implica que la ganancia de antena del agujero negro se anulara, porque el fotón posee momento no nulo, y en tal caso tendriamos que aplicar la fórmula (4) de ganancia de antena. Si no aplicáramos la fórmula (4) entonces una ganancia nula indicaría que la probabilidad de que el fotón escapara del agujero negro sería el suceso seguro, es decir siempre escaparía, nunca entraria en el agujero negro. Evaluando un poco esa fórmula (4) vemos que sólo para fotones con longitud de onda infinita, la ganancia sería nula, es decir, en tal caso no serían atrapados por el agujero negro.

Para un fotón la ganancia puede también ser expresada en función del momento p, así:

\displaystyle   G_{\mathrm{antena}} = \frac{64 \pi^2 G^2 M^2 p^2}{h^2 c^4}\, e_A (6)

y como la frecuencia del fotón y su longitud de onda están relacionas así \lambda\ \nu = c.

La ganancia de antena también puede ser expresada en función de su frecuencia así:

\displaystyle   G_{\mathrm{antena}} = \frac{64 \pi^2 G^2 M^2 \nu^2}{ c^6}\, e_A (7)
Podemos buscar alguna relación entre la ganancia de antena de un agujero negro y la Radiación de Hawking. Sabemos que la tenperatura de Hawking para que exista esa radiación es:

\displaystyle   T_H={\hbar\,c^3\over8\pi G M k} (8)

donde k es la constante de Boltzmann.

Fijémonos ahora en la última ecuación (7) de la ganancia. Podemos expresarla, pues, en función de la temperatura de Hawking y de la frecuencia de la onda de materia incidente, así:

\displaystyle   \cfrac{\hbar^2}{k^2\;T_H^2}=  \frac{64 \pi^2 G^2 M^2 }{ c^6} (9)
\displaystyle   \boxed{G_{\mathrm{antena}} =\left (\cfrac{\hbar\;\nu}{k\;T_H}\right )^2\;e_A} (10)
observamos que \hbar\;\nu es la energía de la partícula incidente (onda de materia incidente), y que k\;T_H viene a ser algo así como la energía del agujero negro por mol. Efectivamente si aplicamos la ley de los gases nobles a un agujero negro, tendremos,

\displaystyle    PV = kNT (11)

donde N, es el número de moles. Eso indicaría que

\displaystyle   G_{\mathrm{antena}} =\left (\cfrac{\hbar\;\nu}{k\;T_H\;\sqrt{1/e_A}}\right )^2 (12)

es decir, el número de moles del agujero negro sería, sin lugar a dudas, el inverso de la raíz cuadrada de la eficiencia de apertura,

\displaystyle   N =\cfrac{1}{\sqrt{e_A}} (13)

y esto implica también que la presión de un agujero negro por mol sería:

\displaystyle   P = \frac{3\; c^9\; \hbar }{256\;G^4\; M^4\; \pi^2} (14)

Saludos
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Cómo vencer a un agujero negro sólo con un lápiz y un papel

Posted by Albert Zotkin en mayo 10, 2014

En un anterior post mio (Demostración impepinable de que los agujeros negros no pueden existir en nuestro universo) dejé bien claro que en la naturaleza existe un censor cósmico que impide la formación de agujeros negros, por mucho que la Teoría General de la Relatividad y sus acérrimos e “interesados” defensores se empeñen en demostrarnos lo contrario. Efectivamente, ese censor cósmico impide la formación de agujeros negro mediante un curioso mecanismo cuántico llamado “efecto túnel cuántico”. Toda partícula con masa, al aproximarse a una barrera de potencial gravitatorio radialmente y hacia su centro, poseerá cierta probabilidad de saltar al otro extremo de la barrera de potencial sin pasar por el centro. Es decir, la partícula másica será teletransportada a las antípodas y escapará del campo gravitacional que la estaba atrapando. ¿Cuándo y desde dónde existirá la máxima probabilidad de que una partícula másica realice un salto cuántico mediante el efecto tunel?. Eso es lo que trataré de explicar seguidamente en este pequeño post de hoy. black-hole

Como digo, la Teoría General de la Relatividad predice la existencia y formación de agujeros negros. Una de las soluciones se llama Agujero Negro de Schwarzschild. Todo agujero negro posee un horizonte de sucesos, a partir del cuál, todo cuerpo que cayerá en él, incluso la misma luz, ya no podria salir jamás. Ese horizonte de sucesos, según la teoría de Einstein, posee un tamaño, que para el caso del que tratamos, se puede expresar como un radio de Schwarzschild r_\mathrm{sh} :

\displaystyle     r_\mathrm{sh} =\frac{2GM}{c^2}  (1)
Esto significa, como digo, que una partícula que cae hacia el supuesto agujero negro y pasa por su horizonte de sucesos ya no podria salir de él jamás, por mucho que fuera acelerada hacia el exterior. Para escapar, según esa teoría, necesitaría superar la velocidad de la luz en el vacío. Por esa misma razón, la luz tampoco puede escapar de un agujero negro. En cualquier punto de la superficie de esa esfera de Schwarzschild, de radio r sh, la velocidad d escape se iguala a la de la luz. y para puntos del interior la velocidad de escape sería mayor que la de la luz.
Consideremos ahora una partícula de masa m que está cayendo libre y radialmente hacia un supuesto agujero negro. Su longitud de Compton vendrá definida por su masa así:

\displaystyle      \lambda = \frac{h}{m c} \  (2)
Es pues presumible que si el radio de Schwarzschild es menor o igual a la mitad de la longitud de Compton de la partícula que cae, entonces dicha partícula experimentará un salto sobre la barrera de potencial del supuesto agujero negro debido a que el censor cósmico aplica un efecto túnel cuánto. O sea, el suceso seguro (probabilidad igual a 1) se producirá cuando:

\displaystyle      \lambda = 2 \; r_\mathrm{sh} \\ \\  \frac{h}{m c} = \frac{4 \;GM}{c^2}  \\ \\ \\ \\  h = \frac{4 \; GMm}{c}  (3)
Pero (3) se cumpliría sólo para una partícula que cayera en la barrera de potencial a la velocidad de la luz, por lo que para un fotón, la masa m sería su energía dividida por la velocidad de la luz al cuadrado:

\displaystyle     m =\cfrac{h \nu}{c^2} \\ \\ \\  h = \frac{4 \; GM  \nu}{c^3}

Para cualquier otra partícla subluminar, usaremos su onde de De Broglie

\displaystyle     \lambda =\cfrac{h}{m v} \\ \\ \\

donde v es la velocidad a la que cae en la barrera de potencial. Así, tendremos que:

\displaystyle     \frac{h}{m v} = \frac{4 \;GM}{c^2} \\ \\ \\  v = \frac{h c^2} {4 \;GMm} (4)

Saludos

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