Formalismos incorrectos de la Relatividad Especial

“Quien parte de principios erróneos termina en conclusiones equivocadas”

Uno de los embrollos más tremendos en Física Teórica surge cuando intentamos calcular la velocidad de una fuente de luz mediante la medida de su desplazamiento Doppler, o cuando calculamos cualquier magnitud física que implica velocidades relativas entre fuente de luz y observador. A menudo es materia de discusión el tema de si la velocidad de la luz es independiente de la velocidad de la fuente, o si no lo es respecto a la velocidad del observador. Una cosa parece estar clara, la respuesta a esta clase de cuestiones es que las velocidades relativas parecen depender de la teoría desde la que se consideran. La teoría de la Relatividad Especial, y la Teoría General de la Relatividad, han contribuido notablemente a ese embrollo brutal.

Sería interesante poder separar el grano de la paja seleccionando formalismos matemáticos que no incluyen velocidades explícitamente. Por lo tanto, en lugar de trabajar con velocidades relativas podemos trabajar con energía total, energía cinética y momento. Al realizar esta siega evitamos manejar resultados que pudieran ser vistos como dependientes de la teoría.

Así pues, un “formalismo correcto” será desde ahora aquel que no exhibe explicitamente velocidades, “formalismo incorrecto” será aquel que contenga explícitamente velocidades.

Empecemos con algunos ejemplos, que serían independientes de la teoría desde la que se consideran, y que serían “correctos“:

A. Fórmulas correctas:

A1. Energía en reposo de un cuerpo

A2. Relación Energía-momento

A3. Doppler relativista expresado en función de

A4. Energía total expresada como energía en reposo más energía cinética

A5. Momento relativista expresado en función de E, E_0 and c

B. Algunas fórmulas “incorrectas” que dan respuestas “correctas” según se especifica en la sección A.

B1. Doppler relativista expresado en función de v,

B2. Momento relativista

B3. Energía cinética relativista

B4. Energía total expresada en función de la energía en reposo y la velocidad v

Estas fórmulas de la sección B son “incorrectas“, según la definición de “correcto” ofrecida arriba. Podemos ver que cualquier fórmula de la sección A puede ser hallada desde estas de la sección B. Pero eso sólo significa que las fórmulas en B pertenecen a una teoría ( por ejemplo la relatividad especial) donde la velocidad es dependiente de la teoría.

Los siguientes ejemplos pertenecen a una teoría distinta desde la que se pueden derivar las mismas fórmulas “correctas” expresadas en la sección A.

C. Algunas fórmulas alternativas que dan la respuesta correcta

C1. Doppler Relativista Galileano expresado en función de v,

C2. Momento relativista Galileano,

C3. Energía cinética Galileana

C4. Energía total Galileana expresada en función de la energía en reposo y velocidad v

Según la definición de “correcto“, las fórmulas en la secciones B y C son “incorrectas” porque incluyen explícitamente la velocidad v ( así pues v es dependiente de la teoría), pero desde cada conjunto de fórmulas se pueden derivar las fórmulas correctas de A.

También sería interesante incluir algunos ejemplos desde la mecánica Newtoniana, y ver por qué la mayoría de ellos no pueden ser incluidos en la sección A de fórmulas “correctas“,

D. Fórmulas de la mecánica Newtoniana que son “incorrectas“, aunque no incluyen explicitamente la velocidad v:

D1. Doppler relativista Newtoniano expresado en función de

D2. Momento Newtoniano expresado en función de , y

La conclusión es clara. Podemos expresar la ratio “correcta” v/c en función de la energía total E y la energía en reposo , como

o como

Por lo tanto, cualquier teoría que produzca una ratio diferente sería “incorrecta” en el sentido de que no daría respuestas “correctas“, tal y como están definidas en la sección A.

La mecanica Newtoniana da la ratio

La Relatividad Especial y la Relatividad Galileana Completa (el conjunto de fórmulas que he ofrecido en la sección C) dan la ratio “correcta“, por lo tanto son indistinguibles experimentalmente la una de la otra, sólo se distinguen desde sus postulados y formalismos, pero nunca desde sus predicciones observables.

Saludos formales e incorrectos a todos