TARDÍGRADOS

Ciencia en español

Archive for 30 enero 2013

El enigma de la función arcotangente como imagen espejo de la función zeta de Riemann

Posted by Albert Zotkin en enero 30, 2013

Podemos escribir la función zeta de Riemann mediante la siguiente fracción continua espejo, de forma trivial, así:

\displaystyle    \zeta(s)= \cfrac{1^{-s}+\cfrac{2^{-s}+\cfrac{3^{-s}+\cfrac{4^{-s}+\cfrac{5^{-s}+\cfrac{\dots}{1}}{1}}{1}}{1}}{1}}{1}    (1)
Su correspondiente fracción continua ordinaria sería esta función:

\displaystyle  F(s)=\cfrac{1}{1^{-s}+\cfrac{1}{2^{-s}+\cfrac{1}{3^{-s}+\cfrac{1}{4^{-s}+\cfrac{1}{5^{-s}+\cfrac{1}{6^{-s}+\cfrac{1}{\dots}}}}}}}  (2)

Si dibujamos la gráfica de esa función para s real tendremos algo así,

Riemann2

Es decir, esa función F(s) puede ser descrita mediante algo muy parecido a esto:

\displaystyle  F(s) = -\cfrac{1}{\pi} \arctan (G(s))+\cfrac{1}{2}  (3)
donde G(s) es otra función de s, que aún desconocemos. Una inspección algo más detallada nos muestra que G(s) se comporta también como una función arcotangente, y que por lo tanto la función inicial F(s) es en realidad la composición recursiva de sucesivas funciones arcotangentes anidadas. La función F(s) corta al eje de ordenadas en el punto (0,\varphi-1), donde \varphi es el número áureo,

\displaystyle  \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,618033988749894848204586834365638117720309 \dots  (4)

Esa función F(s) es un misterio. Vemos que no es simétrica respecto del eje 1/2. También puede ser notable el hecho de que para un s entero positivo suficientemente alto, F(s) se aproxima a 1/2^s, y para s entero negativo suficientemente grande, F(s) se aproxima a (1-2^s). De igual forma, se puede proponer para F(s), una función arcotangente hiperbólica de la forma:

\displaystyle  F(s) = \cfrac{i}{\pi} \tanh^{-1} (G(s))+\cfrac{1}{2}  (5)
Obviamente, los ceros de F(s) serían todos de la forma

\displaystyle  F(s_0) =\cfrac{i}{\pi} \tanh^{-1} (G(s_0))+\cfrac{1}{2}=0 \\  \\   G(s_0)=\tanh \left (\cfrac{i\pi}{2} \right ) =\tilde{\infty}  (6)
Infinito complejo \tilde{\infty}, es un número complejo de magnitud infinita, pero fase indeterminada. Y eso nos indica que no hay raíces para F(s). Según la gráfica de arriba, F(s) nunca llega a cortar al eje s, por lo tanto no poseería ceros.

Posted in Matemáticas | Etiquetado: , , , , | Leave a Comment »

Exoplaneta Kepler-61b

Posted by Albert Zotkin en enero 29, 2013

Posted in Astrofísica, Cosmología, Exobiología | Etiquetado: , , , , | Leave a Comment »

Números de Bernoulli y las fracciones continuas espejo

Posted by Albert Zotkin en enero 29, 2013

Los números de Bernoulli son una secuencia infinita de números racionales que pueden ser definidos por la siguiente función generadora exponencial:

\displaystyle  \cfrac{x}{e^x-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\cfrac{B_n x^n}{n!}  (1)
Esto significa que podemos construir la fracción continua espejo de esa función generadora exponencial así,

\displaystyle  \cfrac{x}{e^x-1}=B_0+\cfrac{B_1+\cfrac{B_2+\cfrac{B_3+\cfrac{B_4+\cfrac{B_5+\cfrac{B_6+\cfrac{B_7+\cfrac{B_8+\dots}{(8/x)}}{(7/x)}}{(6/x)}}{(5/x)}}{(4/x)}}{(3/x)}}{(2/x)}}{(1/x)}  (2)
La primera pregunta que nos podemos hacer es ¿cómo sería la fracción continua ordinaria de (2) y si converge?. La respuesta no se hace esperar:

\displaystyle   B_0+ \cfrac{(1/x)}{B_1+ \cfrac{(2/x)}{B_2+ \cfrac{(3/x)}{B_3+ \cfrac{(4/x)}{B_4+ \cfrac{(5/x)}{B_5+ \cfrac{(6/x)}{B_6+ \cfrac{(7/x)}{B_7+ \cfrac{(8/x)}{\dots}}}}}}}}=\cfrac{x-2}{x}  (3)
Mira (3) bien y alucina. Hasta ahora nadie fue capaz de presentar los números de Bernoulli mediante una función generadora tan simple como (x-2)/x en forma de fracción continua. ¿Es cierto eso o me estoy pasando en arrogancia?. Pues, por increible que pueda parecer, esta función generadora (3) no aparece en ningún otro paper, ni hay referencia alguna en la historia de las matemáticas. Si algún amable lector es capaz de encontrar alguna referencia a (3) en la historia universal de las matemáticas le daré un premio.

Apología de la heterodoxia:
Pregunta:¿por qué hasta ahora nadie pudo llegar a (3) desde (1)?. Respuesta: porque existe el firewall intermedio (2), es decir, una heterodoxia, algo que está fuera de lo estándar. Las fracciones continuas espejo no forman parte aún de la doctrina oficial, y por lo tanto, nadie hasta ahora pudo percatarse de que la definición (1) es en realidad una fracción continua espejo. Una vez que podemos visualizar la fracción continua espejo es fácil construir su pareja como fracción continua ordinaria, pero para eso hay que usar la heterodoxia, salirse de lo estandarizado y descubrir nuevas fronteras desde las que vislumbrar paisajes nuevos, o desde las que ver los objetos ya conocidos desde nuevas perspectivas.

Y para finalizar este breve pero intenso post, podemos expresar (3) como serie de Taylor, así:

\displaystyle   \cfrac{x-2}{x} = -1+2\sum_{n=0}^{\infty}(1-x)^{-n}  (4)

Saludos

Posted in Matemáticas | Etiquetado: , , | 2 Comments »

Números de Bell y las fracciones continuas espejo

Posted by Albert Zotkin en enero 24, 2013

Consideremos la siguiente clase de fracciones continuas espejo:

\displaystyle  A_n=0+\cfrac{1^n+\cfrac{2^n+\cfrac{3^n+\cfrac{4^n+\cfrac{5^n+\cfrac{6^n+\cfrac{7^n+\cfrac{\dots}{8}}{7}}{6}}{5}}{4}}{3}}{2}}{1}  (1)

Ya sabemos que las fracciones continuas espejo poseen la fórmula genérica,

\displaystyle   a_0+\sum_{i=0}^{\infty} \cfrac{a_{i+1}}{\prod_{j=0}^{i} b_j }    (2)

Por lo tanto para esta clase de fracciones continuas espejo que estamos considerando ahora, tenemos que:

\displaystyle   A_n=\sum_{i=0}^{\infty} \cfrac{(i+1)^n}{\prod_{j=0}^{i}(j+1) }    (3)

y esto significa que esa clase de números A_n están relacionados con los números de Bell, los cuales satisfacen la fórmula de Dobinski,

\displaystyle     B_n=\frac{1}{e}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!}  (4)

Efectivamente, es fácil ver que,

\displaystyle     B_n=\cfrac{A_n}{e}  (5)

Los números de Bell son la secuencia infinita,

\{1,1,2,5,15,52,203,877,4140,21147,115975,\dots\}  (Secuencia A000110 en OEIS)

Para quien desee saber más a cerca de los números de Bell le recomiendo Bell Number.

Posted in Matemáticas | Etiquetado: , , | Leave a Comment »

Las razones metálicas y sus valores espejo

Posted by Albert Zotkin en enero 20, 2013

Sabemos que el número áureo o de oro (también llamado razón extrema y media, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) es el definido así:

\displaystyle    \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}   (1)

De igual forma podemos definir otros números (razones) metálicos,

Razón de Plata \displaystyle    \varphi_2 = 1 + \sqrt{2}   (2)
Razón de Bronce \displaystyle    \varphi_3 =\frac{3 + \sqrt{13}}{2}  (3)
Razón de Cobre \displaystyle    \varphi_4 =2 + \sqrt{5}  (4)

y así sucesivamente de tal forma que la razón metálica de orden n será,

\displaystyle    \varphi_n = \frac{n + \sqrt{n^2+4}}{2}   (5)

Las fracciones continuas de estas razones metálicas son de la forma,

\displaystyle    \varphi_n=n +\cfrac{1}{n +\cfrac{1}{n +\cfrac{1}{n +\cfrac{1}{n +\cfrac{1}{n +\cfrac{1}{n +\cfrac{1}{n +\cfrac{1}{n +...}}}}}}}}  (6)

que también puede ser escrita mediante la expresión algebraica,

\displaystyle    \varphi_n=\sqrt{1+n\sqrt{1+n\sqrt{1+n\sqrt{1+n\sqrt{1+\dots}}}}}  (7)

Fue la matemática argentina Vera G. de Spinadel (1929 –) quien descubrió esta clase de números metálicos en 1994, como el conjunto infinito de números irracionales cuadráticos positivos, que son las soluciones positivas de las ecuaciones cuadráticas del tipo

\displaystyle    x^2 -px-q=0  (8)

Esto quiere decir que existe la definición más general que la que he ofrecido al principio, para los números metálicos. Los números \varphi_n son en realidad todos los que se crean considerando q=1, por lo tanto, en general tendremos

\displaystyle    \sigma_p^q= \cfrac{p+\sqrt{p^2+4q}}{2}  (9)

Y la fracción continua genérica de los números metálicos será,

\displaystyle    \sigma_p^q=p +\cfrac{q}{p +\cfrac{q}{p +\cfrac{q}{p +\cfrac{q}{p +\cfrac{q}{p +\cfrac{q}{p +\cfrac{q}{p +\cfrac{q}{p +...}}}}}}}}  (10)

y otra expresión algebraica sería,

\displaystyle    \sigma_p^q=\sqrt{q+p\sqrt{q+p\sqrt{q+p\sqrt{q+p\sqrt{q+\dots}}}}}  (11)
es fácil demostrar que estas dos últimas recurrencias, (10) y (11), convergen hacia mismo límite L. Para la (10) podemos escribir,

\displaystyle    L =p +\cfrac{q}{L}
y resolviendo para L tenemos,

\displaystyle    L =\tfrac{1}{2} \left(p+\sqrt{p^2+4 q}\right)
Y para la (11) podemos escribir que,

\displaystyle    L =\sqrt{q+pL}
y resolviendo para L obtenemos el mismo límite que para (10).

De esta forma podemos ver que las fracciones continuas espejo de los números metálicos se expresan así,

\displaystyle    (\sigma_p^q)'=p +\cfrac{p +\cfrac{p +\cfrac{p +\cfrac{p +\cfrac{p +\cfrac{p +\cfrac{p +\cfrac{p +\cfrac{\dots}{q}}{q}}{q}}{q}}{q}}{q}}{q}}{q}}{q}  (12)

o también como,

\displaystyle    (\sigma_p^q)'= p \left (1 + \sum_{k=1}^\infty \cfrac{1}{q^k}\right )  (13)

Podemos resolver esta fracción continua espejo de la siguiente forma,

\displaystyle    L= p + \cfrac{L}{q}

(14)
\displaystyle    L =  \frac{p q}{q-1} = (\sigma_p^q)'  (15)

Posted in Matemáticas | Etiquetado: , , , , , , , , , , , , , , | Leave a Comment »

Fracción continua espejo: continuación II

Posted by Albert Zotkin en enero 18, 2013

Consideremos ahora tres fracciones continuas en forma cerrada que fueron descubiertas por Euler (cf. Euler 1775):

\displaystyle    \cfrac{I_1(2)}{I_0(2)}=0+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{5+\dots}}}}} = \\ \\ \\   {}\hspace{1.3cm}=0.697774657964007982...  (1)

donde I_1(2) \ \small{ \text{y}} \ I_0(2) son funciones Bessel de primera clase. Computemos ahora la fracción continua espejo de (1):

\displaystyle    A=0+\cfrac{1+\cfrac{2+\cfrac{3+\cfrac{4+\cfrac{5+\cfrac{\dots}{1}}{1}}{1}}{1}}{1}}{1} = \\ \\   {}\hspace{0.4cm} =\infty  (2)

vemos que esa fracción continua espejo diverge, ya que cada denominador de cada convergente es la unidad mientras que el numerador crece en cada iteración. Si expresamos esa fracción continua espejo en forma de serie infinita tendremos,

\displaystyle    A= \sum_{i=1}^{\infty} i  (3)

o sea, tenemos la suma de los sucesivos números naturales. Esto nos dice que evidentemente estamos ante la presencia de la función zeta de Riemann, que escrita en forma de fracción continua espejo sería la expresión trivial siguiente,

\displaystyle    \zeta(s)= \cfrac{1^{-s}+\cfrac{2^{-s}+\cfrac{3^{-s}+\cfrac{4^{-s}+\cfrac{5^{-s}+\cfrac{\dots}{1}}{1}}{1}}{1}}{1}}{1}  (4)
Consideremos ahora el siguiente ejemplo de fracción continua que nos proporcionó Euler en 1775,

\displaystyle    \left (e -1\right )^{-1}=0+\cfrac{1}{1+\cfrac{2}{2+\cfrac{3}{3+\cfrac{4}{4+\cfrac{5}{5+\dots}}}}} = \\ \\ \\   {}\hspace{1.3cm}=0.58197670686932642...  (5)

con lo que su fracción continua espejo sería,

\displaystyle    B=0+\cfrac{1+\cfrac{2+\cfrac{3+\cfrac{4+\cfrac{5+\cfrac{\dots}{6}}{5}}{4}}{3}}{2}}{1} = \\ \\   {}\hspace{0.4cm} =2.718281828459045\dots  (6)

es decir, obtenemos el notable resultado de que el número B es precisamente el número de Euler e.

Sigamos con el último ejemplo que nos proporcionó Euler,

\displaystyle    \left (\sqrt{e} -1\right )^{-1}=1+\cfrac{2}{3+\cfrac{4}{5+\cfrac{6}{7+\cfrac{8}{9+\cfrac{10}{11+\dots}}}}} = \\ \\ \\   {}\hspace{1.3cm}=1.54149408253679...  (7)

ahora construyamos y computemos su fracción continua espejo,

\displaystyle    C=1+\cfrac{3+\cfrac{5+\cfrac{7+\cfrac{9+\cfrac{11+\cfrac{\dots}{12}}{10}}{8}}{6}}{4}}{2} = \\ \\   {}\hspace{0.4cm} =3.297442541400256293697301575628\dots  (8)

Y es fácil comprobar que este número C es precisamente :

\displaystyle    C=3.297442541400256293697301575628\dots=2\sqrt{e}  (9)

Fracción continua espejo: continuación I

Posted by Albert Zotkin en enero 17, 2013

Como me gustó mucho el tema anterior de las fracciones continuas espejo, quiero continuarlo en este post con algunas cosillas más.

Fijémonos en la famosa fórmula de Euler,

\displaystyle   e^{ix} = \cos x + i\sin x \   (1)

podemos fácilmente expresarla como fracción continua espejo así,

\displaystyle    e^{ix}=1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+.^{.^{.}}}{(9/ix)}}{(8/ix)}}{(7/ix)}}{(6/ix)}}{(5/ix)}}{(4/ix)}}{(3/ix)}}{(2/ix)}}{(1/ix)}  (2)

En el anterior post vimos que una fracción continua espejo es en realidad la serie infinita,

\displaystyle   x'=a_0+\sum_{i=0}^{\infty} \cfrac{a_{i+1}}{\prod_{j=0}^{i} b_j }  (3)

y si consideramos al número x' como la suma de dos particiones, una de indice par y la otra de indice impar tendremos,

\displaystyle   x'= \left (a_0+\frac{a_2}{b_0b_1}+\frac{a_4}{b_0b_1b_2b_3}+\frac{a_6}{b_0b_1b_2b_3b_4b_5}+\frac{a_8}{b_0b_1b_2b_3b_4b_5b_6b_7}+ \dots \right) +  \\ \\   {}\hspace{0.5cm}+\left (\frac{a_1}{b_0}+\frac{a_3}{b_0b_1b_2}+\frac{a_5}{b_0b_1b_2b_3b_4}+\frac{a_7}{b_0b_1b_2b_3b_4b_5b_6}+\frac{a_9}{b_0b_1b_2b_3b_4b_5b_6b_7b_8}+\dots \right)  (4)

es decir,

\displaystyle   x'=\left (a_0+\sum_{i=0}^{\infty} \cfrac{a_{2i+2}}{\prod_{j=0}^{2i+1} b_j }\right) +\left (\sum_{i=0}^{\infty} \cfrac{a_{2i+1}}{\prod_{j=0}^{2i} b_j }\right)  (5)

Para el caso particular de la fórmula de Euler expresada como fracción continua espejo en (2), tendremos que

\displaystyle   a_k = 1, \ b_k = \frac{k+1}{ix} , \ \ \small {\text{para todo} \  k=0,1,2,\dots}  (6)

y por lo tanto,

\displaystyle   \cos x =\left (1+\sum_{k=0}^{\infty} \prod_{n=0}^{2k+1} \cfrac{ix}{n+1}\right) \\ \\ \\   i\sin x =\left (\sum_{k=0}^{\infty} \prod_{n=0}^{2k} \cfrac{ix}{n+1}\right)  (7)


Si la función exponencial puede ser escrita como fracción continua espejo así

\displaystyle    e^{x}=1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+.^{.^{.}}}{(9/x)}}{(8/x)}}{(7/x)}}{(6/x)}}{(5/x)}}{(4/x)}}{(3/x)}}{(2/x)}}{(1/x)}  (8)

cabe preguntarse lógicamente que características tiene la función espejo de la exponencial, que escribiremos así,

\displaystyle    \displaystyle  f(x) = 1 + \cfrac{(1/x)}{1+ \cfrac{(2/x)}{1+ \cfrac{(3/x)}{1 + \cfrac{(4/x)}{1+  \cfrac{(5/x)}{1+\cfrac{(6/x)}{1+\cfrac{(7/x)}{1+\cfrac{(8/x)}{1+\cfrac{(9/x)}{1+\ddots}}}}}}}}}    (9)

y cual es su relación con la función exponencial. Ramanujan nos dará la solución en el próximo capítulo …

Posted in Matemáticas | Etiquetado: , , , | Leave a Comment »

Fracción continua espejo

Posted by Albert Zotkin en enero 17, 2013

Buenos días. Siguiendo mi tónica de crear objetos matemáticos insólitos, hoy voy a crear algo que llamaré fracción continua espejo.

Fijémonos en la siguiente fracción continua genérica

\displaystyle   \displaystyle  x = a_0 + \cfrac{b_0}{a_1+ \cfrac{b_1}{a_2+ \cfrac{b_2}{a_3 + \cfrac{b_3}{a_4+  \cfrac{b_4}{a_5+\cfrac{b_5}{a_6+\cfrac{b_6}{a_7+\cfrac{b_7}{a_8+\cfrac{b_8}{a_9+\ddots}}}}}}}}}

Reflejemos ahora verticalmente esa imagen en un espejo para obtener esta otra

mirror

o sea, hemos creado una nueva clase de fracción continua en la que vemos que la iteración en lugar de crecer hacia abajo por el denominador de cada convergente, ahora crece hacia arriba por el numerador. Es decir, el número real x que he expresado arriba como fracción continua normal tiene su par espejo en x'

\displaystyle    x'=a_0+\cfrac{a_1+\cfrac{a_2+\cfrac{a_3+\cfrac{a_4+\cfrac{a_5+\cfrac{a_6+\cfrac{a_7+\cfrac{a_8+\cfrac{a_9+.^{.^{.}}}{b_8}}{b_7}}{b_6}}{b_5}}{b_4}}{b_3}}{b_2}}{b_1}}{b_0}

Pongamos ahora algunos ejemplos menos genéricos. Sabemos que 4/\pi tiene una expansión en fracción continua así,

\displaystyle   \displaystyle  \frac{4}{\pi} = 1 + \cfrac{1^2}{2+ \cfrac{3^2}{2+ \cfrac{5^2}{2 + \cfrac{7^2}{2+  \cfrac{9^2}{2+\cfrac{11^2}{2+\cfrac{13^2}{2+\cfrac{15^2}{2+\cfrac{17^2}{2+\ddots}}}}}}}}}

por lo tanto, su número real espejo será este otro

\displaystyle   \displaystyle  x'=1+\cfrac{2+\cfrac{2+\cfrac{2+\cfrac{2+\cfrac{2+\cfrac{2+\cfrac{2+\cfrac{2+\cfrac{2+.^{.^{.}}}{17^2}}{15^2}}{13^2}}{11^2}}{9^2}}{7^2}}{5^2}}{3^2}}{1^2}=\\ \\ {}\hspace{0.4cm}=3.2312947752046877\dots

Es fácil ver que estas fracciones continuas espejo pueden ser expresadas mediante la serie,

\displaystyle   x'=a_0+\frac{a_1}{b_0}+\frac{a_2}{b_0b_1}+\frac{a_3}{b_0b_1b_2}+\frac{a_4}{b_0b_1b_2b_3}+\frac{a_5}{b_0b_1b_2b_3b_4}+\frac{a_6}{b_0b_1b_2b_3b_4b_5}+ \\ \\ \\ {}\hspace{0.5cm}+\frac{a_7}{b_0b_1b_2b_3b_4b_5b_6}+\frac{a_8}{b_0b_1b_2b_3b_4b_5b_6b_7}+\frac{a_9}{b_0b_1b_2b_3b_4b_5b_6b_7b_8}+\dots

que más sucintamente puede expresarse como

\displaystyle   x'=a_0+\sum_{i=0}^{\infty} \cfrac{a_{i+1}}{\prod_{j=0}^{i} b_j }

lo cual significa que, por ejemplo, el número de Euler e, que sabemos puede ser expresado como

\displaystyle   e = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3} + \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+\cdots

expresado como fracción continua espejo quedaría así

\displaystyle    e=1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+.^{.^{.}}}{9}}{8}}{7}}{6}}{5}}{4}}{3}}{2}}{1}

y esto significa que el número e es el número real espejo de este otro e', o lo que es lo mismo, e' es espejo de e:

\displaystyle    e' = 1 + \cfrac{1}{1+ \cfrac{2}{1+ \cfrac{3}{1 + \cfrac{4}{1+  \cfrac{5}{1+\cfrac{6}{1+\cfrac{7}{1+\cfrac{8}{1+\cfrac{9}{1+\ddots}}}}}}}}}  = \\ \\   =1.5251352761609813\dots

Este número tiene algo de historia dentro de las matemáticas, y resulta ser,

\displaystyle     e' = \cfrac{1}{\sqrt{\cfrac{\pi  e}{2}} \  \text{Erfc}\left (\cfrac{1}{\sqrt{2}}\right )}

donde Erfc es la función error complementaria. Las referencias de este curioso número están en B. C. Berndt, Y.-S. Choi y S.-Y. Kang, Problemas enviados por Ramanujan al Journal of the Indian Mathematical Society, A111129.

Pero, para finalizar este breve post, yo me quedo con el extraordinario descubrimiento que he hecho al definir qué es una fracción continua espejo, y cómo el número de Euler e puede ser elegantemente expresado mediante esa fracción continua espejo tan simple que he escrito arriba. De hecho, la función exponencial expresada como series de potencias

\displaystyle   e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots

puede ser expresada también como fracción continua espejo,

\displaystyle    e^x=1+\cfrac{x+\cfrac{x^2+\cfrac{x^3+\cfrac{x^4+\cfrac{x^5+\cfrac{x^6+\cfrac{x^7+\cfrac{x^8+\cfrac{x^9+.^{.^{.}}}{9}}{8}}{7}}{6}}{5}}{4}}{3}}{2}}{1}

O si se quiere, podemos simplificar aún más esa fracción continua espejo, disolviendo las potencias de la variable x e instalándola dentro del denominador de cada convergente. De esta forma tan inmensa y maravillosa, la cual merece ser enmarcada porque tal expresión me gusta y es inédita y original, y dará mucho juego para la demostración de teoremas muy profundos, finalizo este breve post,

\displaystyle    \boxed{e^x=1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+.^{.^{.}}}{(9/x)}}{(8/x)}}{(7/x)}}{(6/x)}}{(5/x)}}{(4/x)}}{(3/x)}}{(2/x)}}{(1/x)}}

Saludos

Posted in Matemáticas | Etiquetado: , , , , | 4 Comments »

Fractalidad hipercúbica: El trémulo desencanto de quienes creían que el espaciotiempo era el sustrato de la realidad física

Posted by Albert Zotkin en enero 16, 2013

Amables lectores. Hoy voy a hablar un poco sobre algo cuya existencia en física teórica se considera como real y fuera de toda duda, pero que cuando pensamos un poco sobre ello surgen tremendas dudas sobre su existencia real. Voy a hablar de un monstruo artificial llamado espaciotiempo.

Cuando ni siquiera somos capaces aún de intuir que pueda ser el espacio y el tiempo por separado, desde hace ya más de un siglo a unas mentes, que desde entonces son llamadas “intelectualmente privilegiadas y geniales”, se les ocurrió unir en un único ente al espacio tridimensional y al tiempo, para dar lugar a un monstruo de dos cabezas llamado espaciotiempo. Pero esa unión mal avenida produce tremendos dolores de cabeza. Por ejemplo, al considerar los físicos teóricos que el espaciotiempo es real, la primera ocurrencia que les viene a la mente es pensar que tal vez el espaciotiempo pueda curvarse o peor, que pueda estar cuantizado. Pero, el espaciotiempo no es ningún sistema físico, por lo tanto su posible curvatura o cuantización son absurdos teoréticos. Toda teoría que proponga una cuantización del espaciotiempo fracasa siempre más pronto que tarde. Sin embargo, es inexplicable comprobar cómo una teoría de la gravedad llamada teoría general de la relatividad aún sigue instalada en el academicismo oficial, y considerada uno de los pilares fundamentales de la física. O sea, una teoría general de la relatividad que afirma que el espaciotiempo es curvado por la materia y/o la energía, pero que como dijo Tesla en su momento, esa curvatura es aplicada a un ente que no tiene realidad fisica alguna, sino que es un constructo emergente de la percepción humana.

Albert Einstein se cuidó mucho al definir el tiempo como aquello que miden los relojes. Pero entonces, si tomamos esa definición en serio tenemos que preguntarnos también muy seriamente qué es un reloj, y de la respuesta surge una definición circular de la cual no podemos salir, y nuestro nivel de ignorancia respecto de qué sea el tiempo es incluso mayor que antes. Obviamente, decir que el tiempo es lo que miden los relojes es no decir nada o no querer entrar en el meollo de la cuestión. ¿Qué ocurriría si a mí se me ocurre definir la temperatura como aquello que miden los termómetros?. Sabemos que la temperatura es una magnitud que pertenece a la termodinámica, y de ella existen muchas definiciones y nociones. Pero, decir que la temperatura es lo que mide un termómetro no es ninguna definición seria y de ella no se podría extraer nada fructífero, sino más bien un incremento de nuestra ignorancia.

Ahora viene también el tema del espacio. ¿Qué es el espacio?. Cuando un físico teórico está convencido de que el espacio es real, es decir, es un sistema físico, es inevitable que le surja la pregunta de cuántas dimensiones tiene el espacio. Pero, al igual que el tiempo, el espacio no es algo real físico externo a la percepción humana. Sin mente humana que perciba espacio como sensación no hay espacio. Preguntarse por cuántas dimensiones tiene el espacio es igual de absurdo que preguntarse si está cuantizado. El espacio es percibido por los seres humanos como teniendo tres dimensiones porque sencillamente la mente y los sentidos del ser humano producen esa estructura. Un ser inteligente alienígena que fuera capaz de percibir mundo en siete dimensiones, debido a la configuración y características de su sistema perceptivo de realidad objetiva, sería un ser superior al humano, que sólo es capaz de percibir tres. Repito, es el cerebro humano el que genera y produce la sensación perceptiva de espacio en tres dimensiones y del tiempo. y llevar eso al escenario de realidad física como entes independientes de la mente es un absurdo. Objetivamente hablando, no existe el tiempo, solo existe el presente en la naturaleza, y ese presente es autosimilar. La mente humana produce autosimilaridad y fractalidad perceptiva, porque es la única forma que tiene de construir el infinito perceptivo que llamamos universo. Sí amigos, nuestro universo es en parte una construcción mental cuya propiedad esencial es la autosimilaridad. Nuestro universo es una estructura matemática que rezuma una estructura infinitamente compleja generada mediante reglas fractales muy simples. El espacio es pues una iteración fractal de nuestra mente que produce variaciones a diferentes escalas del mismo objeto fractal. Cuando nos desplazamos por un supuesto espacio tridimensional lo único que estamos haciendo es compilar información para generar el mismo objeto fractal a diferentes escalas, pero esencialmente nunca nos movemos hacia ninguna parte. Como ejemplo, os presento una simulación fractal 3D que es esencialmente un recorrido por un objeto fractal llamado Mandelbox. He usado mi programa generador de mundos infinitos, y en esta Mandelbox vemos cómo el espaciotiempo es simplemente generado cuando reescalamos el objeto fractal, produciendo infinitos niveles de realidad desde los que percibir mundo.

Posted in Astrofísica, Matemáticas, Relatividad | 7 Comments »

La función Zeta de Riemann definida en términos de integrales múltiples

Posted by Albert Zotkin en enero 8, 2013

Es bien sabido que la función Zeta de Riemann puede ser expresada mediante la integral múltiple,

\displaystyle    \zeta(n)=\underset{n}{\underline{\ \int_0^1...\int_0^1}}\frac{\prod_{i=1}^{n}dx_i}{1-\prod_{i=1}^{n}x_i}

Pero, el otro día, cuando estudiaba la constante de Apéry, \zeta(3), expresada mediante la integral múltiple

\displaystyle    \zeta(3)= -\frac{1}{2}\int _0^1\int _0^1\frac{\ln(x y)}{1-x y}dxdy

descubrí, integrando con Mathematica, estas constantes zeta,

\displaystyle   \int_0^1 \frac{\ln x }{1-x } \, dx =-\frac{\pi ^2}{6} = - \zeta(2) \\ \\  \\  \int _0^1\int _0^1\frac{\ln(x y)}{1-x y}dxdy =-2\zeta(3) \\ \\ \\  \int _0^1\int _0^1\int _0^1\frac{\ln(x y z)}{1-x y z }dxdy dz =-\frac{\pi ^4}{30} = - 3\zeta(4) \\ \\ \\  \int _0^1\int _0^1\int _0^1\int _0^1\frac{\ln(x y z w)}{1-x y z w}dxdy dz dw =-4 \zeta(5) \\ \\ \\   \int _0^1\int _0^1\int _0^1\int _0^1\int _0^1\frac{\ln(x y z w t)}{1-x y z w t}dxdy dz dw dt =-\frac{\pi ^6}{189}= - 5\zeta(6) \\ \\  \\  \int _0^1\int _0^1\int _0^1\int _0^1\int _0^1\int _0^1\frac{\ln(x y z w t r)}{1-x y z w t r}dxdy dz dw dt dr =-6\zeta(7) \\ \\  \\  \int _0^1\int _0^1\int _0^1\int _0^1\int _0^1\int _0^1\int _0^1\frac{\ln(x y z w t r s)}{1-x y z w t r s}dxdy dz dw dt dr ds =-\frac{7\pi ^8}{9450}= - 7\zeta(8)

Es decir, por si nadie se había percatado hasta ahora, la función Zeta de Riemann también puede ser expresada mediante la integral múltiple siguiente:

\displaystyle    \zeta(n+1)=-\frac{1}{n}\ \underset{n}{\underline{\ \int_0^1...\int_0^1}} \dfrac{ \ln(\prod_{i=1}^{n}x_i) \ \prod_{i=1}^{n}dx_i}{1-\prod_{i=1}^{n}x_i}

Resultaría bastante sorprendente comprobar que esta última expresión de la función Zeta de Riemann en una integral múltiple no aparezca en ningún paper, ni hayan referencias al respecto. No puedo creerme que sea yo la primera persona que descubrió tal hecho. Le agradecería mucho a cualquier amable lector que pudiera ofrecerme alguna referencia que indicara que dicha integral múltiple ya fue descubierta y usada en la literatura de las matemáticas.

Posted in Matemáticas | Etiquetado: , , | 8 Comments »