TARDÍGRADOS

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¿Qué es el universo?, ¿por qué existe?, ¿tuvo realmente un principio?

Posted by Albert Zotkin en abril 24, 2018

Hola amigos de Tardigrados. Hoy os voy a regalar algunas pinceladas autobiográficas, no exentas de sorna.

Cuando nací, hace ya muchos años, tuve una sensación muy desagradable, y lo recuerdo perfectamente. Alguien me azotó con fuerza, me puse a llorar, abrí los ojos y me vi boca abajo cogido por los pies, con el cordón umbilical ya cortado, y me pregunté que coño era todo esto. Cuando me di cuenta, mi llanto se agudizó con rabia. Me había dado cuenta de que había nacido el universo y de que me esperaba un arduo camino lleno de vicisitudes, hasta llegar a comprender totalmente el sentido que tenía todo esto.

Cuando llegué a los tres años de vida, un día me encontré jugando, en la calle de tierra, con un juguete de madera que mi padre había fabricado para mí. En un descuido, cuando me aburrí del juguete, alguien me lo robó. Mi madre me preguntó dónde estaba el juguete, qué había hecho con él, pero no supe qué responder. Me quedé un rato más sentado en la calle de tierra, miré hacia el final de la calle y vi al hijo del vecino jugando en la puerta de su casa con mi juguete, que ahora era suyo, porque mi juguete al ser abandonado por mi, tuvo la suerte de conseguir ser adoptado por un nuevo dueño. Nunca lo recuperé, ni supe más de él. Pero, aquel mismo día tuve un pensamiento lleno de lucidez en el mismo sitio donde me robaron el juguete. Ese pensamiento tan lúcido era el siguiente: “todo lo que existe, (que ahora llamamos universo) nunca tuvo un principio y nunca tendrá un final. Y esa es la razón más simple que explica todo lo complejo. Algo que es eterno no tiene necesidad de ser creado“.

Amigo lector, te estarás preguntado, cómo es posible que a mi corta edad, yo pueda haberme preguntado esas cosas tan profundas o incluso recordar el momento de mi nacimiento. El momento de nuestro nacimiento constituye un cambio de medio muy brusco. Es como darse un chapuzón en agua helada, el auténtico bautismo. A esa sensación, tarde o temprano la vistes con elementos reconocibles para poder ser recordaba. En cambio, el pensamiento cosmogónico que elaboré a los tres años de edad, no es la típica clase de pensamientos que se suelen tener los niños de esa edad, lo reconozco. También puede ser que todo haya sido un cúmulo de falsos recuerdos, y yo esté alucinando con ellos, creyendo que fueron reales alguna vez en mi experiencia vital.

Nacimiento del Universo

Siguiendo este razonamiento cosmogónico, podemos afirmar que todo lo que existe en el universo, no es que esté conectado de alguna manera, sino que es la misma cosa, aunque observada parcialmente y desde puntos de vista diversos. Por lo tanto, no es extraño, que lo que en física cuántica se llama “entrelazamiento cuántico“, sea en realidad, no entrelazamiento, sino la constatación de que todo en este universo es parte de todo. Nada está conectado, porque el concepto de conexión implica la existencia previa de entidades separadas, aisladas. El nexo universal, es pues la interconexión necesaria de algo que nunca estuvo separado, sino que cualquier parte es necesariamente coherente con todas las demás.

¿Por qué existe el universo?. Existe una corriente de consenso oficial, que yo suelo llamar sarcásticamente “mainstreamófila“, en la cual algunos de sus gurús exponen con orgullo preguntas estúpidas a cerca del universo, como por ejemplo esta: ¿”Por qué hay algo donde no debería haber nada“?. Es más que evidente que toda pregunta estúpida tiene la interesante propiedad de contestarse a sí misma. “Mire usted, hay algo, porque si no hubiera nada, nadie tendría la posibilidad de hacerse esa pregunta estúpida, ¿ok, tonto del culo?“. Preguntas de este estilo se las he oído a muchos “gurús“, que van por ahí dando charlas, y participando en debates, entrevistas, etc, y cobrando dinero por todo ello, y haciéndose los interesantes y super-inteligentes gallitos que todo lo saben. Uno de esos gallitos, es Bryan Greene, y en youtube puedes encontrar miles de videos, como este que pongo de muestra,

mostrando lo super-inteligentes que son todos estos “gurús” del “universo de pacotilla” que nos explican. La lista de estos gurús mainstreamófilos, que están ahí para darnos lecciones a todos, se extiende casi hasta el infinito. Además de Bryan Green, están Sean Carroll, Max Tegmark, y miles más.

Básicamente, todos son “influencers” de la corriente yanqui de la posverdad, donde el multiverso, la teoría de cuerdas, la supersimetría, y las ondas gravitacionales son algunos de sus pilares de sustentación, de sus carteras repletas de billetes, por adoctrinar a las masas con sus mierdas. He elegido ese video de youtube, al azar. Entras en youtube, escribes en la barra de búsquedas el nombre de algunos de estos gurús y te salen miles de videos encontrados, todos hablando de la misma mierda ( el Big Bang, las materia oscura, la energía oscura, los agujeros, negros, el multiverso, las ondas gravitacionales, etc, etc, etc). Y lo más gracioso de todo es que te lo venden como si fuera la Verdad Absoluta e Indiscutible. Respecto a la inflación cosmica, lo único que está inflado realmente es el ego de todos estos gurús, y sus respectivas billeteras.

Transcribramos y analicemos brevemente ese video que he puesto de muestra, de todos estos “gurús tan geniales“:

“La ultima pregunta”: ¿Por qué hay algo en lugar de nada”. Por todos los países esta cuestión ha desconcertado e intrigado a muchos filósofos, científicos y teólogos. Si resulta que es un universo eterno, o es una deidad eterna, parece que nadie ha podido responder con coherencia por qué eso debe ser así, en un sentido u otro. Sin embargo, hay al menos algo que sí podemos saber, algo que tiene una existencia innata, algo que se deja capturar racionalmente.

Max Tegmark: Por su puesto, si dices que existimos porque algo nos creó, y que antes otra causa creó a esa, etc. Entonces, siempre estarás buscando la siguiente causa que creó la causa anterior, nunca acabarás de buscar. Pero, yo creo que hay una especie de objeto real ahí afuera que fue claramente no creado. Y hay objetos matemáticos, como el cubo, por ejemplo, y no estoy hablando de cubos como terrones de azúcar, o que sea una especie de combustible físico, sino de un objeto matemático, conocido por los matemáticos como el cubo sobre un dodecahedro, sobre una esfera, o un espacio vectorial. Todos estos objetos existen, independientemente del espacio y el tiempo, existen claramente fuera de ese universo espacio-temporal. Ese cubo no fue creado hace 14 millones de años en el Big Bang, ¿verdad?. Y sin embargo, ves que ese objeto ya existe ahí, inmutable, perfecto siempre. Existe, y tienes la impresión de que ese objeto ya existía antes de que pensáramos en él, que nosotros no hemos inventado ese cubo. La idea de que ese objeto es un cubo no es una idea arbitraria, una idea que pueda ser inventada.

Esto explica por qué los objetos matemáticos existen, pero ¿por qué existen los planetas, las mentes, las rocas?

Bryan Greene: El multiverso simulado, aunque viene con mucho razonamiento directo en la matriz cuyos cerebros están siendo estimulados para pensar que están en una determinada realidad, aunque no lo estén, sino que son entidades simplemente instaladas en receptáculos de hardware, conectadas a un computador central. Ese podría ser el caso. La razón por la que yo hablo de esta idea en mi libro, no es porque me la tome en serio. Pero hay una conclusión interesante: que esta clase de razonamiento te permite hacerte la siguiente: pregunta ¿son las matemáticas una descripción de la realidad, o son por sí mismas la misma realidad?. ¿Son las matemáticas algo inventado, o es algo descubierto, algo que ya estaba ahí antes de que se nos ocurriera pensar en ello? ¿Son algo preexistente que ya formaba parte del tejido del tapiz que es la realidad?. El multiverso simulado del que hablo en mi libro, te da la posibilidad de hacerte es pregunta. Porque si tu y yo, formamos parte ahora mismo de la misma simulación informática. Eso esta muy bien, siento que es real para mí, y es un buen disfraz con el que la realidad nos quiere hacer creer que no estamos en ninguna simulación informática. Pero, imagina que abrimos ese computador donde se está ejecutando la simulación, y miramos lo que hay dentro, ¿qué veremos?. Lo que veríamos sería algo muy parecido a infinidad de ceros y unos siendo manipulados mediante infinidad de ecuaciones matemáticas. Por lo tanto, si eso es lo que somos, entonces, seríamos sólo matemáticas. Seriamos solo el despliegue, el resultado de aplicar ecuaciones matemáticas sobre objetos matemáticos, para transformarlos o crear otros nuevos. Y eso significaría que las matemáticas serían la misma realidad, la realidad misma.

Max Tegmark: Una de las cosas mas interesantes que hemos descubierto, a lo largo de los siglos, es que las matemáticas están por todas partes. Ya Galileo nos explicaba que la naturaleza, el libro de la naturaleza, está escrito en el lenguaje de las matemáticas, y después de que él hiciera esa observación, la gente fue descubriendo más y más regularidades, más simetrías, maravillosas relaciones matemáticas. Descubrieron y se sorprendieron de ver cómo con las matemáticas se podía modelar tan bien la realidad. Después se descubrió el Modelo Estándar de la Física de Partículas, Y la razón por la que yo creo que la naturaleza puede ser descrita tan bien mediante las matemáticas es que, en una ultima y muy profunda instancia, la naturaleza son matemáticas.
Y ahí está la respuesta a tu pregunta.
No, ni la naturaleza es en sí misma matemáticas, ni estamos en una simulación informática. Por mucho que se empeñen Bryan Green, Max Tegmark, y muchos otros gurús de la posverdad, en adoctrinarnos con sus ideas, nuestro universo, es real, no es una simulación, y tampoco está hecho de matemáticas. Si el universo fuera matemáticas, entonces sí habrían muchas probabilidades de que todo fuera una simulación informática. La prueba de que nuestro universo no es matemáticas está en que hay cosas que las matemáticas no puede modelar. Por ejemplo, la emergencia de la consciencia humana, no puede ser simulada desde procesos y estructuras matemáticas.

La mente humana nunca podrá comprenderse totalmente a sí misma, siempre quedarán recintos psíquicos inaccesibles. Pero, no hace falta ejemplos tan rebuscados para darse cuenta que las matemáticas no pueden modelar perfectamente la naturaleza, y menos identificarse con ella. El ejemplo más simple que se me ocurre es la suma 1 + 1 = 2. En esa sencilla ecuación hay un ejemplo perfecto de pérdida de información. Si nos dan el resultado, 2, y nos piden que hallemos los números desde los que alguien realizó la suma, nunca podremos saber qué sumandos fueron utilizados. Esa información se pierde de forma irreversible cuando se realiza la suma. Luego, las matemáticas no tienen memoria. Si la naturaleza fuera sólo matemáticas, sería un ente sin memoria. Supongamos, ahora, que la naturaleza, el universo, fuera el continuo resultado de una simulación informática ejecutándose en una especie de super-ordenador. Lo más parecido a eso que podemos imaginar sería un fractal infinito, como el que realicé hace ya algunos años con el titulo de “fragmento de Arrenia II

Yo poseo todo el código fuente, y todas las ecuaciones matemáticas necesarias para generar esa clase de fractales infinitos. Navegar por un mundo infinito de esas características, un mundo sin bordes, es muy aburrido. Cualquier parte se parece a cualquier otra, nada es especialmente interesante, todo aparece básicamente inerte y estático. La tercera dimensión se confunde con la cuarta, es decir, con la escala. Los colores son falsos. En un fractal solo existe la información de qué puntos pertenecen al conjunto y cuales no. Un punto está dentro o fuera del conjunto que caracteriza al fractal si cumple una serie de propiedades al ser evaluado desde una ecuación matemática. El fractal infinito Arrenia II podría perfeccionarse, y conseguir que aparecieran estructuras dinámicas, transformándose, naciendo unas de otras, incluso se podría conseguir que el observador que lo navegue sienta las texturas, la dureza o blandura, de las superficies de ciertas estructuras, o si están más calientes o frías que su tacto. Incluso podríamos conseguir introducir leyes físicas como la de la gravedad. Pero, Arrenia II seguiría siendo un fractal, infinito, pero fractal. Eso sí, sería más interesante de navegar ahora que antes, porque podrían existir zonas sorprendentes dispuestas a ser descubiertas, muy distintas a las zonas más comunes. Incluso podrían existir zonas que quedarían inaccesibles, eterna o temporalmente, para cualquier navegante-observador. ¿Cual es el problema con Arrenia II y con todo fractal infinito que intente ser una simulación de la realidad?. El problema esencial es ontológico. ¿Qué ocurre si un navegante-observador de esa simulación se encuentra con otro navegador-observador?. ¿puede eso ocurrir?. Y en el caso de que si pudiera ocurrir, ¿podrían interactuar?.

La prueba de que nuestro universo no es una simulación informática, ni nada parecido, es que los navegantes-observadores pueden encontrarse realmente e interactuar. Seres con su propia conciencia, seres inteligentes que te observan, mientras tú les observas a ellos, que te saludan, que te hablan. En una simulación, sólo navega-observa el que está fuera de la simulación. nunca quien está dentro de ella. No se puede nadar y guardar la ropa al mismo tiempo.

Saludos

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Supercomputación tetrádica: primera aproximación hacia una Teoría de la Super-Relativididad

Posted by Albert Zotkin en abril 22, 2018

En este pequeño artículo voy a definir una nueva clase de derivada de una función, y como corolario veremos cómo surge también una nueva variedad de superintegral indefinida.

La forma estándar de definir la derivada de una función f, para un valor x, es la siguiente

\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}} (1)
De esta forma, la derivada es una especie de medida de la rapidez con la que cambia esa función f. Lo que hemos hecho es incrementar la variable independiente x con un número infinitesimal h. Incrementar aquí es sumar. Pero también podríamos haber incrementado la x con otras operaciones, no sólo con una suma. Por ejemplo, podemos incrementarla mediante la multiplicación por un número muy próximo a la unidad. Definamos la superderivada de la función f de x de la siguiente forma:

\displaystyle \text{SD}(f(x))=\lim _{h\to 0} { \sqrt[h]{ \frac{ f(x(1+h)) }{f(x)} }} (2)
Esta superderivada, al definirla de esta forma, también es una especie de medida de la rapidez con la que cambia esa función f. Se puede demostrar fácilmente que esta superderivada está relacionada con la derivada estándar de esta forma:

\displaystyle \text{SD}(f(x))= \exp\left({ x \frac{f'(x)}{f(x)}}\right) (3)

Por lo tanto es posible hallar la superintegral indefinida de una función f(x), si podemos resolver para y la ecuación diferencial siguiente:

\displaystyle x y' = y \log f(x) (4)
Es decir, tenemos la exponencial siguiente y resolvemos para y:
\displaystyle f(x) = \exp\left(\frac{x y'}{y} \right) (5)
Pongamos un pequeño y simple ejemplo: Sea la función:

\displaystyle f(x) = x^2
Hallemos su superderivada primera:
\displaystyle \text{SD}(f(x))= \exp\left(\frac{x y'}{y} \right) = \\ \\   =\exp\left(\frac{2x^2}{x^2} \right) =  e^2   (6)
y vemos que es la constante e elevada al cuadrado. Hallemos ahora la superintegral indefinida de esa constante e2 (se trata de hallar la función y desde la ecuación diferencial:
\displaystyle  e^2  = \exp\left(\frac{x y'}{y} \right)  \\ \\  y = x^2 \\ \\  y =\text{SI}(e^2)=x^2 (7)
Igualmente, la superintegral indefinida de x2 es:
\displaystyle \text{SI}(x^2)=e^{\frac{1}{4} \log \left(x^2\right)^2} (8)

Las representaciones gráficas de estas tres funciones son así:

Alguien siempre puede decir,”muy bien, todo eso es muy bonito, pero ¿qué aplicaciones nos propones para esa supuesta teoría de la super-relatividad de la que hablas?“.

La primera, y más intuitiva, de las aplicaciones de la supercomputacion, en el terreno del modelado de fenómenos físicos, es el cálculo del efecto Doppler, de la luz que observamos, emitida por un objeto que se mueve respecto a nosotros con una velocidad constante, v, y en un entorno inercial. Acostumbramos a pensar que esa velocidad v es simplemente la primera derivada del espacio respecto al tiempo, y para calcular cómo varía la frecuencia de la luz observada, que fue emitida por ese objeto, debemos aplicar una teoría. pero, ninguna teoría nos estaba diciendo hasta ahora que la frecuencia Doppler observada es simplemente directamente proporcional a la primera superderivada del espacio respecto al tiempo. Es decir:

\displaystyle f= f_0 \;SD(r(x))= f_0 \; e^{\frac{x r'(x)}{r(x)}}
donde f0 es la frecuencia de la luz en el marco de referencia de la fuente y r(x) es la función desplazamiento, es decir, un vector que nos indica la posición de la fuente en nuestro marco de referencia. Veamos más específicamente cómo es este cálculo en un entorno inercial. En tal entorno inercial, la función desplazamiento r(x) es simplemente la función identidad. Es decir, r(x) = x. Por lo tanto la frecuencia Doppler, f, observada es directamente proporcional a la superderivada:

\displaystyle f=  f_0 \; e^{r'(x)} \\ \\  \text{\small donde obviamente } \\ \\  r'(x)= \frac{v}{c}=\beta, \; \text{\small es la beta de la velocidad inercial del objeto}
y c es la velocidad de la luz en el vacío. Más exactamente, se puede afirmar que, en un entorno inercial, se cumple la identidad diferencial:

\displaystyle \frac{x r'(x)}{r(x)} = \frac{v}{c} (9)
Es evidente, que todo esto tiene que ver con las hiperoperaciones y la función de Ackermann. Pero, sigamos con nuestras aplicaciones en el modelado de los fenómenos físicos. ¿Cuál sería nuestra ecuación diferencial equivalente a la (9) de movimiento en un entorno no-inercial?. Un entorno no-inercial, quiere decir, una región espacio-temporal donde la influencia de la gravedad es significativa respecto al movimiento de los objetos. Por ejemplo, en un entorno donde existe un campo gravitatorio significativamente grande, entre objeto que emite la luz y el observador pueden existir una diferencia significativa de potencial gravitatorio. En tal caso la ecuación diferencial de nuestra superderivada se hace “cuadrática”, es decir:

\displaystyle \frac{x r'(x)}{r(x)} = \frac{v^2}{c^2}= \frac{\phi}{c^2} (10)
donde es más que obvio que v2 se identifica con la diferencia de potencial gravitatorio, φ, entre objeto y observador.

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Hola, os presento a Tahawus: una extensión de la función W de Lambert

Posted by Albert Zotkin en abril 3, 2018

Hola, amigo incondicional de tardígrados. En mi artículo anterior, hablé entre otras cosas de una constante matemática, a la cuál tuve el atrevimiento de bautizar con el nombre de Tahawus. Se me ocurrió ese nombre por que fue el matemático Richard P. Stanley el primero que demostró hace poco que esa constante es un número transcendente. Le puse Tahawus porque Stanley nació y se crió en un pequeño pueblo minero, del estado de Nueva york, que ya no existe, llamado Tahawus. Ahora es más un pueblo fantasma que otra cosa, ya que sus pocos habitantes se trasladaron a Newcomb. Pero, aquí lo que nos interesa es hablar de ese número y de sus propiedades. La constante que llamé Tahawus, es en realidad una de las raíces reales de la ecuación:

\displaystyle x^x - x-1 = 0 (1)
y su valor es en sus primeros digitos decimales este:

\displaystyle \text{\small Tahawus}= 1.7767750400970546974797307440387567486374110343292961390843740\ldots (2)
La ecuación (1) no puede ser resuelta fácilmente en forma cerrada, ni siquiera usando la conocida función W de Lambert. Sólo puede ser resuelta de forma cerrada mediante una nueva función, que, como no podía ser de otra forma, llamaré Tahawus (x), y la designaré con la letra griega Τ. Por lo tanto, lo que antes llamaba la constante Tahawus, ahora pasará a ser el valor que toma esa función para x = 1. Es decir, tendremos:

\displaystyle \mathcal{T} (1) = 1.7767750400970546974797307440387567486374110343292961390843740\ldots (3)
No sin mucho esfuerzo, descubrí que esta función Tahawus, Τ, es simplemente la función inversa de

\displaystyle y = \frac{x^{x}-1}{x} \\ \\ (4)
Es decir, sólo podemos despejar la x de esa ecuación mediante la función inversa Tahawus,

\displaystyle x=\mathcal{T}(y) (5)
Las representaciones gráficas de estas dos funciones, (4) y (5) son así:

Vemos que cada una es la imagen especular (reflejada) de la otra, respecto de la recta identidad y = x, porque esa es la característica principal de todas las funciones con sus inversas. Si intentamos hallar una forma cerrada de la función Tahawus, comprobaremos nuestra frustración pronto, por que es muy difícil. Aún, no se ha descubierto una forma cerrada para esa función. Por ejemplo, sabemos hallar una forma cerrada para la función inversa de y = xx, utilizando la función W de Lambert, y es esta:

\displaystyle x = e^{W(\log (y))} (6)
Esta función inversa de y, se llama super raíz cuadrada, ya que la función y = xx, es una tetración cuadrática, es decir la variable x exponenciada así misma una vez. Esta tetración la podemos escribir también mediante super índices que preceden a la variable. Por ejemplo:

\displaystyle y = {^{2}x}=x^x  (7)
Super raíz cuadrada

Podríamos pensar que la función (4) inicial, la que tiene como inversa a la función Tahawus, como tiene incluida una tretación cuadrática, la (7), podríamos conseguir explicitar su inversa mediante esas super raíces cuadradas. Es decir, sería algo así como resolver una ecuación cuadrática estándar, pero con super raíces cuadradas em lugar de las raíces cuadradas. No parece fácil la tarea. Lo primero que intentamos es usar la W de Lambert en una posible resolución explicita de Tahawus . Se trata de intentar despejar la x (ponerla em función de la y). Veamos cómo:

\displaystyle y =\frac{x^x -1}{x}\\ \\ y x =x^x -1 \\ \\ y x + 1 =x^x \\ \\ (8)
Y ahora aplicamos la super raíz cuadrada, para obtener:

\displaystyle x = e^{W(\log (y x +1))} (9)
¿Cuál es el problema?. El problema es que se nos ha quedado una x multiplicando a y en el otro lado, con lo cual hemos “fracasado“. Lo que hemos obtenido es que aparecen infinitas copias de la función dentro de sí misma, a modo de recursión. De hecho la función Tahawus resulta ser una iteración infinita mediante esa super raíz cuadrada:

\displaystyle  x = \mathcal{T}(y)= e^{W(\log (y e^{W(\log (y(\ldots) +1))} +1))} (10)
Por lo tanto nuestro problema de tratar de explicitar una forma cerrada para Tahawus, aún permanece. Pero, ¿en qué consiste exactamente?: Se trata de hallar una de las raíces de esta función super-cuadrática:

\displaystyle {^{2}x} - b x - 1 = 0 (11)
Si su exponente de tetración 2 fuera en realidad un exponente 2 normal, como el de las ecuaciones cuadráticas normales, la solución sería sencilla. A alguien se podría ocurrir una solución estrambótica. Resolver esa ecuación como si fuera una ecuación cuadrática normal, y allí donde aparezca una raíz cuadrada en la solución sustituirla por una super raíz cuadrada. Esa es la típica solución del sueño del sophomore o sueño del pipiolo. La cual, a veces, sorprendentemente funciona, pero por regla general es muy poco probable que tenga éxito esa metodología.

Desde la función Tahawus podemos acceder a infinidad de constantes transcendentes. Estas son algunas que ya están catalogadas en EOIS:

A124930 \displaystyle \mathcal{T}(1) = 1.7767750400970546974797307 \ldots
A226568 \displaystyle   \mathcal{T}(-1) =0.3036591270299660512450180 \ldots
A085846 \displaystyle \frac{1}{\mathcal{T}(-1)}-1= 2.293166287411861031508028291 \ldots
A169862 \displaystyle \frac{1}{\mathcal{T}(-1)}= 3.293166287411861031508028291 \ldots
La propiedad mas impresionante de la constante Tahawus 1, T(1), es que es el único número real que al elevarlo a sí mismo y restarle 1 da el mismo número:

\displaystyle \mathcal{T}(1)^{\mathcal{T}(1)} -1 = \mathcal{T}(1)  (12)
y por esa razón también puede con la torre infinita:

\displaystyle \mathcal{T}(1)^{\mathcal{T}(1)^{\mathcal{T}(1)^{.\cdot{}^{\cdot}} -1} -1} -1 = \mathcal{T}(1)  (13)

Saludos

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