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Archive for 19 octubre 2012

Sorprendente correlación de los eventos de dos neutrinos UHE descubiertos recientemente

Posted by Albert Zotkin en octubre 19, 2012

IceCube observó hace poco dos eventos de neutrinos ultraenergéticos (UHE) que rondan energías totales cercanas a los 2 PeV (recordemos que 1 PeV es un peta-electron-voltio = 106 GeV). El primer evento ocurrió el 9 de Agosto de 2011, y el segundo evento el 3 de Enero de 2012. En este caso me resultó muy fácil localizar la fuente de esos dos neutrinos ultraenergéticos.

Para el primer neutrino de esa clase, observado el 9 de agosto de 2011, existe una fuerte correlación con una erupción solar de clase X de la mancha solar 1263, correspondiente al Nuevo Ciclo Solar 24. En cuanto al segundo neutrino ultraenergético, observado el 3 de Enero de este 2012, existe también una fuerte correlación con otra erupción solar, en este caso de la mancha solar AR1389.


Los eventos que graba el telescopio de neutrinos AMANDA-II vienen en un formato muy específico, incluyendo campos como declinación, ascensión recta, resolución angular, año, día UTC del año, y segundo UTC del día,…, entre otros campos. Cuando publiquen los datos completos de los eventos de 2011-2012 podremos saber la fecha exacta con hora, minuto y segundos, de estos dos eventos correspondientes a dos neutrinos ultra-energéticos. Será entonces cuando los incrédulos (haberlos haylos) puedan comprobar con sus propios ojos que las correlaciones son las que ya he apuntado, es decir que esos eventos se corresponden con erupciones solares puntuales muy intensas de manchas solares.

Mancha solar 1263

Mancha solar AR 1389

El tiempo me dará la razón.

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Lo que opina Louis Essen de la Teoría de la Relatividad Especial

Posted by Albert Zotkin en octubre 19, 2012

Louis Essen (6 de septiembre de 1908; 24 de agosto de 1997)

Louis Essen fue un prestigioso físico cuyos logros más notables fueron en la medición precisa del tiempo, la determinación de la velocidad de la luz, y el desarrollo del reloj atómico. Lo que sigue es una traducción de algunos pasajes de tres artículos suyos donde opina acerca de la Relatividad Especial de Einstein.

La Teoría de la Relatividad de Einstein sólo fue impartida muy brévemente en los cursos universitarios a los que asistí, pero se nos insistió mucho que teníamos que aceptarla como cierta, la entendiéramos o no. Yo fui sumiso y acepté la situación, y desde entonces vengo descubriendo que la mayoría de los físicos son conformistas, y asumen que esa teoría debe ser correcta, ni se plantean la más mínima critica. La única razón por la que piensan que debe ser correcta es porque es mayoritariamente aceptada. Mis dudas sobre esta teoría surgieron cuando comprobé que los expertos tampoco la entendían. Un intercambio de cartas en la revista Nature entre Dingle y McCrea me mostró que cada uno tenía puntos de vista opuestos sobre algunas predicciones de la teoría y los argumentos esgrimidos por ambas partes eran desde mi punto de vista ilógicos y nada convincentes. La mayor parte de la discusión acerca de la teoría trató sobre la lectura de relojes cuando se mueven relativamente uno respecto a otro, y puesto que yo tenía amplia experiencia profesional en el tema de comparar relojes y en medidas del tiempo, parecía casi una obligación tomarme cierto interés en la controversia, especialmente cuando algunos de los llamados efectos relativistas, aunque muy pequeños, no se hacían significativos en la definición de segundo atómico ni en el uso de relojes atómicos.

Siempre es mejor referirse a los documentos originales que a otras referencias, y por lo tanto me puse a estudiar el famoso documento de Einstein, siempre considerado como una de las más importantes contribuciones en la historia de la ciencia. Imaginense mi sorpresa cuando veo que ese documento era en algunos aspectos uno de los peor escritos que jamás haya leído en la historia de la ciencia. La terminología y el estilo son acientíficos y ambiguos; una de sus asunciones se da en diferentes páginas en dos formas contradictorias; algunas de sus sentencias estaban abiertas a diferentes interpretaciones, y el peor de los defectos, desde mi parecer, era el abuso de experimentos mentales. Esta práctica del experimento mental es contraria al método científico que se basa en conclusiones extraidas de resultados de experimentos reales. Mis primeras impresiones fueron que a pesar de sus obvios defectos de presentación, la teoría debía ser básicamente consistente, y antes de empezar a criticarla leí ampliamente sobre ese asunto. Las lecturas adicionales sólo confirmaron mi impresión de que esa teoría adolecía de una importante malformación debido a sus contradicciones internas. Los relativistas siempre dicen que la teoría es aceptada por todos los científicos de reconocido prestigio, pero eso es una absoluta mentira. Esa teoría ha sido intensamente criticada por muchos científicos, incluyendo al menos un Premio Nobel. La mayoría de las críticas se centran en sus muchas contradicciones, por lo que decidí a apuntar los errores que daban lugar a dichas contradicciones, especificando la página y línea donde estaban, de esa forma a los relativistas ya no les sería tan fácil eludirlos u ocultarlos en encenagadas discusiones irracionales.

Encontré errores tan flagrantes que no admiten argumento alguno. Uno fue el asumir que la velocidad de la luz es constante. Esto es contrario a los fundamentos de la ciencia, y el hecho de que sea repetido una y otra vez en todos los libros de textos que he visto muestra lo poco que entienden estos postulados los físicos teóricos. La ciencia se basa en los resultados de experimentos reales, y estos resultados deben estar expresados mediante un conjunto simple y coherente de unidades de medida. La unidad de longitud era el metro, y la unidad de tiempo era el segundo. La velocidad era una magnitud medida en metros por segundo. Aunque se encontrara que fuera constante en ciertas condiciones, sería completamente equivocado hacerla constante por definición en todas las condiciones. Sólo una unidad medida puede hacerse constante por definición, por lo que la asunción de Einstein constituía una duplicidad de unidades. Esa duplicidad era la que nos conducía a todos esos resultados tan contradictorios, paradójicos y enredosos, pero nunca hacia la profundidad de la teoría como a los relativistas les gusta hacernos creer.

La cuestión de las unidades es bastante compleja, y en este asunto algunos escritores están bastante confundidos por el hecho de que la velocidad de la luz sea ya a menudo usada como un estándar, y las distancias calculadas desde el tiempo que tarda en propagarse un pulso de luz o de ondas de radio; pero el valor usado es el valor medido y las condiciones de medida están cuidadosamente definidas. Recientemente surgieron más complicaciones adicionales. Al final de nuestro trabajo en el NPL sugerimos que, ya que las técnicas han mejorado, podría ser conveniente redefinir las unidades de medida, conservando el segundo atómico, si damos un valor definido a la velocidad de la luz y desechamos la unidad de longitud. Esto ya se ha hecho, pero estos desarrollos no afectan al criticismos de la teoría. Incluso con estas nuevas unidades sería aún absurdo asumir que la velocidad de la luz debe ser la misma para dos observadores en movimiento relativo. Las unidades deben ser usadas con sentido común.

Otro flagrante error se cometió en el curso de uno de sus experimentos mentales. Einstein nunca realizó ningún experimento real hasta donde sé, y ciertamente él no tenia ni idea de cómo comparar relojes. Imaginaba dos relojes idénticos uno al lado del otro, y suponía que uno de ellos se alejaba del otro a velocidad uniforme y después regresaba. Según uno de los resultados deducidos de la teoría, un reloj que se mueve parece que funciona más lentamente que otro que está en reposo cuando se ve desde la posición del este último. Llamando A y B a dichos relojes, las predicciones son:

B funciona más despacio que A cuando es visto desde A

y puesto que la velocidad es relativa y cualquiera de los dos relojes puede ser visto como moviéndose:

A funciona mas despacio que B cuando es visto desde B

Este resultado es realmente extraño, aunque no lógicamente imposible. Implica que algo pasa en las señales durante su propagación. Einstein entonces resalta su experimento mental sin dar ningún detalle de cómo son realizadas las medidas y concluye que:

B funciona más despacio que A

y aunque él no lo diga específicamente también esta diciendo que:

A funciona más despacio que B
en consonancia con el principio de relatividad.

Este resultado es, por supuesto, imposible, y es llamado habitualmente la paradoja del reloj. Ya se han escrito muchos miles de palabras sobre este asunto, pero la explicación es simplemente que Einstein no estudió profundamente los procedimientos correctos al hacer su experimento mental. Es un experimento mental muy simple, que se realiza rutinariamente cada día al comparar relojes, y el resultado correcto está de acuerdo con sus predicciones como no podía ser de otra forma, ya que un experimento mental no puede dar un resultado nuevo. Las mismas predicciones son también inexplicables, pero esa es una de las consecuencias de la duplicidad de unidades.

Yo tenía la cándida creencia de que los científicos se alegrarían de tener una explicación satisfactoria sobre la confusión existente desde hace tanto tiempo y prestarían al menos cierta atención a mis aclaraciones, ya que yo tenía más experiencia profesional en estos asuntos que todos los relativistas juntos. Pero, estaba equivocado. Ninguno intentó refutar mis argumentos, aunque justificaban y defendían a Einstein repitiendo su experimento mental y sus errores en diferentes modos. Sin embargo, me dejaron caer algunos consejos bastante genéricos de que si persistía en mis críticas a la teoría, mi reputación y mis perspectivas laborales y profesionales se verían resentidas. Este asunto sólo era algo suplementario a mi trabajo experimental, pero lo encontré tan interesante que no sentía que tenia que dejarlo, y pensaba que era muy importante que esa teoría fuera puesta en evidencia. Mi director me dio su consentimiento y me dijo que no tenia ninguna objeción al respecto siempre que yo no implicara al NPL. Ya estaba yo empezando a sospechar que los científicos pueden llegar a ser tan irracionales como cualquiera, y al aceptar esa teoría más como acto de fé sin entenderla, cerraban en banda sus mentes a cualquier argumento racional que fuera esgrimido contra ella. También intentaban suprimir cualquier oposición, y dos de mis documentos después de que fueran aceptados por árbitros, misteriosamente nunca fueron publicados.

No me sentía solo, tenia apoyos, y fui invitado por la Oxford University Press a escribir un artículo. Dicho artículo no fue tan extenso y profundo como ellos esperaban, ya que no le pude dedicar todo el tiempo que me habría gustado dedicarle, y carecía de asistencia de secretaría en mi departamento, pero fue aceptado y publicado como uno de sus Documentos de Investigación (nº 5). El Director de la Royal Institution también me invitó a dar un discurso en las Veladas del Viernes. Fue recibido de forma muy entusiástica y recibí muchas cartas de felicitación, aunque, y tenia gracia la cosa, la mayoria solo fueron escritas como notas privadas y no en el periódico de sus organizaciones como cabria esperar.

La historia de la relatividad habría sido un estuidio fascinante, y me arrepiento de no hacer sido competente y capaz de hacerlo por mí mismo. Sólo fui capaz de considerar y analizar el asunto concerniente a las unidades de medida y comparación de relojes, ya que de eso era de lo que sabía. Lo que me inspiró fueron los desconcertantes resultados obtenidos en el experimento de Michelson y Morley. Esos dos científicos argumentaban que si la luz viajaba a una velocidad constante a través del medio, o éter, y la superficie de la Tierra se estaba moviendo a través de ese medio, debería haber un efecto detectable en el movimiento, sin embargo no pudieron detectar ninguno. Fitzgerald y Lorentz se apresuraron a dar una explicación empírica, afirmando que cuerdas móviles acortaban su longitud, y los relojes móviles funcionaban más despacio. Los científicos difícilmente podrían buscar una explicación más satisfactoria y detallada, y eso fue lo que Einstein pensó que él había hecho. Pero, todo lo que él hizo fue introducir en la física ideas irracionales e incorporar la explicación de Lorentz a la teoria electromagnética como asunción, nunca como deducción. Los sorprendentes resultados originales, por lo tanto, permanecen y es importante para la ciencia buscar una explicación más ajustada a la verdad científica.

El famoso documento publicado en 1905 no parece que hubiera conseguido atraer mucho la atención hasta que Eddington regresara de una expedición para estudiar el eclipse de de Sol de 1919, y con gran aparato publicitario, anunciara en unos encuentros de la Astronomical Society en Londres que los resultados experimentales habían probado que la Teoría de Einstein era cierta. Lo que él creyó que había confirmado fue el valor del ángulo que Einstein calculó para la desviación de la trayectoria de la luz al pasar cerca del Sol. Los científicos sabían de las dificultades de obtener evidencia experimental para la teoría, pero Eddington estaba hasta tal punto convencido de que la teoría era cierta antes de hacer experimento alguno, que llegó a afirmar que si los resultados experimentales no la confirmaban entonces esos resultados debían de estar mal. Una crítica a esos resultados, hecha más tarde, señalaba que, para obtener los resultados que el quería, algunas de las observaciones que no coincidían con las predicciones teóricas fueron ignoradas, desechadas. Alguien también señaló, con alguna evidencia, que el mismo Einstein había predicho dos resultados distintos que diferían de 2 a 1 para el ángulo de deflexión. Finalmente, la deflexión de la trayectoria de la luz por el Sol no tiene nada que ver con la Relatividad Especial ni con la paradoja del reloj, aunque de forma bastante misteriosa se afirmó que la confirmaba. A la busca de más pruebas experimentales, se hizo un experimento en los EEUU hace algunos años. Cuatro relojes atómicos viajaron en avión en direcciones opuestas alrededor del mundo. Las discrepancias entre las lecturas finales de los relojes fueron muchas veces más grandes que el efecto buscado, y sin embargo ignorando esos resultados que no les gustaban y realizando ciertos análisis estadísticos poco o nada claros, los autores afirmaron haber validado la teoría de Einstein y especialmente la paradoja del reloj. Hubo un programa espectacular de televisión al respecto en el que un actor bastante famoso fue subido a una nave espacial de mentira y contó a toda la audiencia cómo habría regresado más joven que si hubiera permanecido en la Tierra. Dicho actor, siendo un hombre inteligente, percibió aquello como bastante absurdo, tan absurdo como espero que le pareciera a toda la audiencia de aquel programa.

Mi intromisión en la física teórica debe haber sido considerada como un fallo porque no conseguí convencer a los relativistas de sus errores y confusiones. Pero puede que haya servido como acicate a los científicos para buscar una extensión racional de la teoría electromagnética que explique los muchos misterios que aún aguardan para ser explicados. Ha habido varios intentos, el de Rene L. Vallée es a mi parecer el más motivador. Es una teoría unificada de campo que ofrece una explicación electromagnética de la gravitación, e incluyendo la importante sugerencia de que se podría aprovechar la energía gravitacional del espacio de forma segura y económica. Argumenta que el programa de energía nuclear en Francia fue un gasto inútil y mal dirigido, y que le obligó en consecuencia a abandonar la Autoridad para la que trabajaba. Es triste que sus ideas no sean debidamente estudiadas, y más si tenemos en cuenta que el programa de fusión nuclear a nivel mundial parece que progresa muy poco o nada a pesar de los miles de millones gastados en él.

REFERENCIAS
[1]Essen, L. (1971) La Teoría Especial de la Relatividad: un análisis crítico, Oxford University Press (Oxford trabajos de investigación en ciencias, 5).
[2]Essen, L. (1978) “Relatividad y señales en el tiempo”, mundo de la electrónica y Wireless, octubre de 1978, p. 14;
[3]Essen, L. (1988) “Relativity – Broma o estafa?”, Electrónica y Wireless World 94, 126 a 127.

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Los límites asintóticos incorrectos de la Relatividad Especial: Relaciones de De Broglie Modificadas

Posted by Albert Zotkin en octubre 17, 2012

Ya demostré en el artículo Deducción de la fórmula del Doppler Completo usando un telescopio reflector Newtoniano que las siguientes relaciones son correctas en el contexto de la relatividad Galileana Completa:

1. Momento relativístico:

p = m c \sinh \left (\cfrac{v}{c} \right)

2. Energía total:

E= m c^2 \cosh \left (\cfrac{v}{c} \right)

3. Relaciones de De Broglie Modificadas:
3.1   La longitud de onda, \lambda, de una partícula cuyo momento es p,

\lambda = \cfrac{h}{p} = \cfrac{h}{m c \sinh(\frac{v}{c})}, \\ \\ \\  \lambda = \cfrac{\lambda_c}{\sinh(\frac{v}{c})}

donde \lambda_c es la longitud de onda de Compton

La relación 3.1 es bastante destacable ya que en un contexto de Relatividad Especial no podemos asociar un longitud de onda de Compton a ninguna \lambda, de una manera natural. Esta relación dice que \lambda = \lambda_c cuando \sinh(v/c)=1, y eso sólo ocurre cuando v/c = 0.881374\dots. En Relatvidad Especial, esa coincidencia sólo ocurre cuando v/c = \frac{1}{\sqrt{2}}=0.707107\dots
3.2 La frecuencia, f, de una partícula con energía total E es

f = \cfrac{E}{h} = \displaystyle m c^2 \frac{ \cosh \frac{v}{c}}{h} \\ \\ \\  f = \displaystyle c \frac{ \cosh \frac{v}{c} }{ \lambda_c }

3.3 El producto \lambda f entonces es,

\lambda f = c \coth \left (\cfrac{v}{c} \right)

En Relatividad Especial, la relación 3.3 es,

\lambda f = \cfrac{c^2}{v}

pero, podemos mostrar en dos simples representaciones gráficas que las funciones \mathrm{A}(v)= \cfrac{c^2}{v} y \mathrm{B}(v)= c \coth (\frac{v}{c}) convergen asintóticamente para todo v en el intervalo [-c, c].

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Breve indagación epistemológica de por qué la teoría de Relavidad Especial de Einstein es una falacia

Posted by Albert Zotkin en octubre 17, 2012

Las teorías de la relativad que nos propuso Einstein hace ya más de un siglo son casi pseudo-ciencia, y digo casi por ser algo generoso. Veamos a vuela pluma un sencillo ejemplo dentro del contexto de la relatividad especial.

La fórmula del efecto Doppler de las ondas electromagnéticas se escribe clásicamente como una aproximación de primer orden en la beta \beta = v/c  , así:

f = f_0 \left (1 + \cfrac{v}{c} \right)

Sabemos que esa ecuación sólo nos ofrece una aproximación válida para |v|\ll c  . Sin embargo, la correción relativista usa esa fórmula imperfecta para obtener una supuesta fórmula perfecta, multiplicándola por el factor de Lorentz,

f' = f_0 \left (1 + \cfrac{v}{c} \right) \gamma = f_0 \sqrt{\cfrac{1+v/c}{1-v/c} }

Euclides nos enseñó que la perfección se puede obtener de la imperfección sólo mediante un proceso infinito de integración desde lo infinitamente pequeño e imperfecto hacia la belleza de lo perfecto y finito. Es decir, solo desde una ecuación diferencial es posible integrar hacia el Doppler completo. Pero, si multiplicas la fórmula imperfecta del Doppler por el factor \gamma  , o por cualquier otro, lo único que obtienes es más imperfección.

La Relatividad Especial de Einstein usa las transformaciones de Galileo y les aplica el factor de Lorentz. Así la mayoría de las fórmulas de la Relatividad Especial son fórmulas clasicas de la Relatividad Galileana corregidas mediante ese factor de Lorentz. Pero, cuando se le dota a la Relatividad Galileana de todos los órdenes de aproximación, haciéndola completa, se convierte en una teoría de la relatividad muy poderosa, desde la cuál se podría obtener, si se deseara, la Relatividad Especial si se hacen algunas reducciones desde lo perfecto y completo hacia lo imperfecto e incompleto.

Es muy fácil ver que el factor Doppler clásico, \mathrm{D}(v) = 1+ \frac{v}{c}, modela incompletamente el efecto Doppler porque \mathrm{D}(v)\mathrm{D}(-v)\ne 1 . Efectivamente, vemos que \mathrm{D}(v)\mathrm{D}(-v) = (1+ \frac{v}{c})(1- \frac{v}{c})=1- \frac{v^2}{c^2}, que sólo se aproxima a 1 cuando v\rightarrow 0. Toda teoría de la relatividad que posea un factor Doppler con la propiedad \mathrm{D}(v)\mathrm{D}(-v)= 1 , para cualquier rango de v, posee también una relación momento-energía como la siguiente, E^2 -p^2c^2 =m^2 c^4 . Resulta por lo tanto sorprendente cómo en la Teoría de la relatividad Especial al multiplicar el factor Doppler clásico, que es incompleto, por otro factor (el factor de Lorentz), el resultado sea un factor Doppler completo. En la Relatividad Galileana Completa el factor Doppler Completo sólo se obtiene después de un proceso de integración del Doppler incompleto de primer orden, nunca mediante la multiplicación con ningún factor que sea función de v.

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La reflexión de un rayo de luz en un espejo móvil falsaría la Relatividad Especial

Posted by Albert Zotkin en octubre 17, 2012

Una fuente de luz y un observador están en reposo en el mismo sistema inercial de referencia, donde r es el vector distancia entre ellos. Un espejo, que se mueve alejándose de ellos perpendicularmente a r por el punto medio, está ahora a una altura h, llevando una velocidad u y refleja luz de la fuente hacia el observador. Podemos conocer las componentes de velocidad v1 y v2 con respecto a la fuente y al observador respectivamente. Esas componentes de velocidad poseen la misma magnitud, v, asi que podemos escribir

u = v_1 + v_2 \\  v = |v_1| = |v_2|

Y en ángulo \alpha entre v_1 y v_2 es

\alpha = 2\tan^{-1}\left(\cfrac{|r|}{2h} \right)

por lo tanto,

|u| = 2 \cos \left ( \cfrac{\alpha}{2} \right )v \\ \\ \\  v = \cfrac{|u|}{ 2 \cos (\frac{\alpha}{2})}

El observador detecta el rayo reflejado como si procediera de la imagen tras el espejo. Puesto que el espejo se mueve con velocidad v1 con respecto a la fuente de luz y con v2 respecto al observador, crea una imagen virtual de la fuente de luz alejándose con una velocidad de w = 2v a lo largo de la linea de vista,

w = 2v = \cfrac{|u|}{\cos(\frac{\alpha}{2})}

Entonces, para esa velocidad virtual w, la cual puede incluso ser superluminal, porque no corresponde a ningún movimiento real entre fuente de luz y observador (recordemos que fuente de luz y observador están en reposo), podemos predecir una frecuencia Doppler observada desplazada hacia el rojo de la frecuencia original f0,

f = f_0 \exp \left (-\cfrac{w}{c} \right ) = f_0 \exp \left (-\cfrac{|u|}{c\cos(\frac{\alpha}{2})}  \right )

*Apéndice:
Desde un contexto de la Relatividad Especial, la predicción sería como sigue. Aplica una adición de velocidades de Einstein,

w =  \cfrac{2v}{1 + \frac{v^2}{c^2}}

Ahora aplica un Doppler relativista, así

f' = f_0 \displaystyle \sqrt{\cfrac{1 - \frac{w}{c}}{1 + \frac{w}{c}}}

Y después de un poco de álgebra, sabiendo que v = |u|/(2\cos(\alpha/2)), se obtiene que

f' = - f_0 \displaystyle \cfrac{|u| - 2c\cos(\frac{\alpha}{2}) }{|u| + 2c\cos(\frac{\alpha}{2})}

¿Dónde está el error engañoso en esta derivación?. Podemos ver que hay dos nociones erróneas, las cuales cuando actuan de forma cooperativa, intentan ligéramente compesar la respuesta errónea originando una medianamente decente. El primer error consiste en asumir que debe existir la siguiente adición relativista de las velocidades, w = 2v/(1 + v2/c2). Eso no tiene mucho sentido, es absurdo, ya que w es una velocidad VIRTUAL de la fuente de luz con respecto al observador (pero ambos están en reposo), no una velocidad real (esta puede ser incluso superluminal), una adición relativista de velocidades NO procede ser aplicada en tal caso. Si la w es superluminal , significa que, una vez que el observador detecta el rayo de luz como procedente de la imagen virtual tras el espejo, la información no es más rápida que la luz porque esa información ha viajado en realidad una trayectoria más larga que la de una linea recta desde la fuente de luz al observador, por lo tanto esa información viajó con la luz, no es superluminal. Este error de concepto que se comete en la relatividad especial es después ligeramente corregido cuando se aplica el Doppler relativista a f0 através de esa errónea w, obteniendose una predicción de frecuencia f’ que está muy próxima a la correcta f, que se ha ofrecido arriba. En realidad, f/f0 y f’/f0 sólo empiezan a diferir desde el tercer orden de sus respectivas series de potencias,

\cfrac{f}{f_0}=  1-\cfrac{\text{Sec}\left[\frac{\alpha }{2}\right] |u|}{c}+\cfrac{\text{Sec}\left[\frac{\alpha }{2}\right]^2 |u|^2}{2 c^2}-\cfrac{\text{Sec}\left[\frac{\alpha }{2}\right]^3 |u|^3}{6 c^3}+\cfrac{\text{Sec}\left[\frac{\alpha }{2}\right]^4 |u|^4}{24 c^4}-\cfrac{\text{Sec}\left[\frac{\alpha }{2}\right]^5 |u|^5}{120 c^5}+ ...\\ \\    \cfrac{f'}{f_0}= 1-\cfrac{\text{Sec}\left[\frac{\alpha }{2}\right] |u|}{c}+\cfrac{\text{Sec}\left[\frac{\alpha }{2}\right]^2 |u|^2}{2 c^2}-\cfrac{\text{Sec}\left[\frac{\alpha }{2}\right]^3 |u|^3}{4 c^3}+\cfrac{\text{Sec}\left[\frac{\alpha }{2}\right]^4 |u|^4}{8 c^4}-\cfrac{\text{Sec}\left[\frac{\alpha }{2}\right]^5 |u|^5}{16 c^5}+ ...

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¿Son las auroras polares radiación Cherenkov?

Posted by Albert Zotkin en octubre 15, 2012

Las auroras se producen mayormente en regiones polares porque las partículas cargadas que entran en la atmósfera son guiadas por la magnetosfera terrestre hacia esa regiones polares. Para que una de esas partículas cargadas procedente del espacio exterior produzca radiación Cherenkov debe moverse por la atmósfera terrestre a una velocidad superior a la de la luz en ese medio, es decir, en el aire. El índice de refracción del aire es aproximadamente de n \approx 1.0003 , y eso significa que la velocidad de la luz en el aire es aproximadamente de c_a \approx 0.9997. Por lo tanto, para un protón que entrara en las altas capas de la atmósfera terrestre, la velocidad mínima para que produjera radiación Cherenkov sería esa c_a. por lo que, sabiendo que la masa de un protón es de m_p = 938. 27 \;\mathrm{MeV/c^2}, su energía total mínima, en el contexto de la Relatividad Especial, sería de

E = m_pc^2 \gamma = 38.3 \;\mathrm{GeV}

y su energía cinética mínima sería de

E_k = m_pc^2( \gamma -1) = 37.38 \;\mathrm{GeV}

ya que el factor de Lorentz sería aproximadamente \gamma \approx 40.834

En el contexto de la Relatividad Galileana Completa sería

E= m_p c^2 \cosh(v/c) = 1.45 \;\mathrm{GeV}

y su energía cinética mínima sería de

E_k = m_p c^2( \cosh(v/c)-1) =0.51 \;\mathrm{GeV}

Igualmente, si la partícula que entra en la atmósfera terrestre procedente del espacio exterior es un electrón, cuya masa es de m_e = 0.51099 \;\mathrm{MeV/c^2} , entonces, en el contexto de la Relatividad Especial, la energía mínima requerida para que produjese radiación Cherenkov sería,

E = m_e c^2 \gamma = 20.9 \;\mathrm{MeV}

y su energía cinética mínima sería de

E_k = m_e c^2( \gamma -1) = 20.35 \;\mathrm{MeV}

En el contexto de la Relatividad Galileana Completa sería

E= m_e c^2 \cosh(v/c) = 0.8 \;\mathrm{MeV}

y su energía cinética mínima sería de

E_k = m_e c^2( \cosh(v/c)-1) = 0.28 \;\mathrm{MeV}

En conclusión. la Relatividad Galileana Completa predice que el número de partículas cargadas que producirán radiación Cherenkov, en el fenómeno de las auroras, es mayor que el predicho por la Relatividad Especial, porque las energías totales y cinéticas mínimas predichas son mucho menores en la primera que en la segunda. Por otro lado, si damos por acertadas las energías calculadas desde la Relatividad Especial para ese factor de Lorentz, entonces la velocidad en Relatividad Galileana Completa que originaría dichas energías mínimas sería:

v = \tanh^{-1} (0.9997) c = 4.4c

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Frecuencia de resonancia del ciclotrón, sistemas caóticos y teoría de la relatividad

Posted by Albert Zotkin en octubre 12, 2012

Consideremos un ciclotrón clásico. Cuando un electrón es acelerado dentro de un ciclotrón, la frecuencia de resonancia se expresa como

f = \cfrac{eB_0}{2\pi m_0}

donde B_0 es el campo magnético transversal, e es la carga del electrón, y m_0 su masa. De momento todo está perfecto. Pero, empecemos a darle un poco de marcha al asunto. Cuando ese electrón empiece a circular suficientemente rápido, los supuestos efectos relativistas se harán significativamente intensos, y el electrón irá progresivamente desfasándose respecto al campo eléctrico oscilatorio. Este fenómeno puede ser explicado desde la relatividad especial, pero también es posible una explicación alternativa. Preguntamos, ¿por qué el electrón se desfasa a velocidades cercanas a la de la luz, c?. La respuesta parece ser muy fácil. Porque el comportamiento del ciclotrón se ha vuelto caótico. Así que debemos también preguntar, ¿es la relatividad especial una teoría correcta que explique esa conducta caótica?. Examinemos las condiciones iniciales cuando el electrón fue inyectado en el ciclotrón. Cualquier pequeña desviación de la fase de oscilación del campo eléctrico en ese preciso momento de inyección producirá significativamente grandes desviaciones de fase cuando la velocidad del electrón se aproxime a c, después de algunas vueltas de circulación. Esa conducta caótica puede ser fácilemente modelada por medio de una ecuación de sobreaceleración (jerk). Podemos considerar un ciclotrón como si fuera un sistema sobreacelerador, desde que se pueden observar movimientos caóticos. Deduzcamos la ecuación de arriba de la frecuencia de resonancia. Igualemos la fuerza centrífuga \frac{m_0v^2}{r} de un electrón con la fuerza magnética eB_0v,

f = \cfrac{m_0v^2}{r} =eB_0v\\ \\  \cfrac{v}{r} = \cfrac{eB_0}{m_0}

Vemos que v/r es su velocidad angular w, asi que podríamos fácilmente deducir la frecuencia de resonancia del ciclotrón como eB_0/(2 \pi m_0). Pero, en lugar de deducir directamente dicha frecuencia f, podemos empezar desde w=eB_0/m_0, e intentar ver cómo esta ecuación debe formar parte de una ecuación de sobreaceleración la cuál produzca conducta caótica. Sabemos expresar la velocidad angular así w= d(\phi)/dt. Hay un montón de ecuaciones de sobreaceleración que producen conducta caótica ajustando algunos parámetros, así que estamos buscando una con la que podamos modelar la conducta caótica de un ciclotrón, si es que es posible. Una pregunta bastante razonable sería ¿cuál es la ecuación de sobreaceleración más simple que da origen a conducta caótica?.
Algunos sistemas descubiertos por Sprott [1] tienen formas simples de sobreaceleración. Y el “más simple flujo caótico disipativo” se puede expresar mediante una sobreaceleración como esta:

\cfrac{d(\phi)}{dt} =y, \;\;\cfrac{dy}{dt} =z\\ \\  \cfrac{dz}{dt} =-az+y^2 -x\\ \\

donde \phi es el desplazamiento (en nuestro caso del ciclotrón, \phi es la fase y ‘a’ es parámetro ajustable.
Por otro lado, Fu y Heidel (1997) [2] descubrieron que sistemas disipativos cuadráticos con menos de cinco términos no pueden ser caóticos. No tendrían parámetros ajustables.
Consideremos ahora la frecuencia de resonancia relativista del ciclotrón,

f_r = f \displaystyle \sqrt{1 -\frac{v^2}{c^2}} \\ \\ \text{donde} \\ \\ f= \displaystyle \frac{eB_0}{2 \pi m_0}

que expresada en función de la velocidad angular w=2\pi f,

w_r = w \displaystyle \sqrt{1 -\frac{v^2}{c^2}}

Sabemos que v= wr = d(\phi)/dt, por lo que llamando w = d(\phi)/dt =y, tenemos,

w_r = y \displaystyle \sqrt{1 -\frac{(ry)^2}{c^2}}

donde el radio r de la órbita circular del electrón puede ser visto aquí como un parámetro ajustable. Claramente vemos que w_r no es una ecuación de sobreaceleración, pero ¿Puede dar lugar a movimiento caótico?. No lo sé. En esta ecuación el desplazamiento x=\phi no existe, ni nada que se le parezca. En el contexto de la relatividad especial, las condiciones iniciales x_0=\phi_0 simplemente no se consideran, pero sospecho que deberían jugar algún papel puesto que las conductas caóticas sí se observan para velocidades relativistas v \rightarrow c.

Podemos intentar lo siguiente. Expresemos la frecuencia f = eB_0/(2\pi m_0) como velocidad angular w = eB_0/m_0 = y, y asumamos que es sólo parte de “el más simple flujo disipativo” anterior. Entonces obtendríamos,

\cfrac{dz}{dt} =-az+ \left (\cfrac{Bq}{m}\right)^2 -x\\ \\

como un modelo de ciclotrón con conducta caótica relativista, una vez que hemos aplicado correcciones de análisis dimensional en él.


REFERENCIAS
[1] Sprott JC (1997). “Some simple chaotic jerk functions” (PDF). Am J Phys 65 (6): 537–43. 
{2} Fu, Z.; Heidel, J. (1997). “Non-chaotic behaviour in three-dimensional quadratic systems”.10(5): 1289. 1997Nonli..10.1289F: 10.1088/0951-7715/10/5/014.

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Demostración, mediante un reloj atómico de fuente de Cesio, de que la dilatación del tiempo predicha por la relatividad de Einstein es una falacia y por lo tanto no existe

Posted by Albert Zotkin en octubre 11, 2012

Definición de segundo:

Un segundo es igual a la duración de 9192631770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre dos niveles hiperfinos del estado fundamental del isótopo 133 del átomo de Cesio (\; \mathrm{{}^{133}Cs}\;) , a una temperatura de \mathrm{0^\circ\; K}“.

Pregunta. ¿Qué ocurre con esa definición si, por la causa que sea, se demuestra que los dos niveles hiperfinos se acercan o se alejan, resultando transiciones más cortas o más largas?. La respuesta es obvia, ocurrirá que un segundo, desde esa definición, podrá durar más o menos, dependiendo de si actuan o no esas causas o el grado en que actuan. Pues bien, es muy fácil demostrar experimentalmente que los niveles y subniveles hiperfnos se expanden o se contraen según estén situados los átomos respectivos dentro de un campo gravitatorio. Más concrétamente si el potencial gravitatorio es más pequeño (más cercano a cero), entonces las transiciones hiperfinas son más largas, y eso significa que la energía de los fotones emitidos es mayor, y por lo tanto la frecuencia de esos fotones. Ese ligero aumento de la frecuencia implica que, según la definición de segundo, un segundo durará más si es contado correctamente, pero si sólo cuentas 9192631770 periodos, los periodos restantes se acumularán en el siguiente segundo, así sucesivamente. Es decir la frecuencia de reloj aumenta cuando disminuye el potencial gravitatorio, y eso significa que un reloj atómico de esas características, adelantará respecto a otro situado a mayor potencial.
Resulta pues más que evidente que, por ejemplo, los relojes atómicos instalados en la constelación de satélites del sistema GPS, adelantan ligeramente, cuando están en órbita, y los relojes atómicos en la superficie terrestre atrasan respecto a ellos. Eso implica que la dilatación del tiempo predicha por la relatividad de Einstein es simplemente una falacia, no existe.
Pero, ¿cómo funciona un reloj atómico de fuente de Cesio?.
Captura: Los átomos de Cesio son capturados y enfriados en una trampa magneto-óptica. Los átomos de Cesio están presentes en estado gaseoso dentro de la cámara de vacío. Cuando un átomo de Cesio es intersectado por los rayos laser, este átomo se enfría, que se evidencia reduciendo su velocidad, enfriándose hasta unos pocos µK (microkelvins).
Al mismo tiempo se aplica un gradiente de campo magnético mediante bobinas de anti-Helmholtz. El gradiente de campo magnético y los haces de laser enfriadores dan lugar a una fuerza de captura. Todas estas fuerzas y efectos son aplicados simultáneamente para retener a 109 átomos dentro de un volumen esférico de 2 mm de diámetro en el centro de la trampa.
Lanzamiento: Una vez capturados, los átomos son lanzados hacia arriba. Se desactiva el campo magnético, y la nube de átomos se lanza hacia arriba mediante dos pares de haces de rayos laser. Los átomos adquieren entonces velocidades de entre 2 a 5 metros por segundo. Durante el ascenso por los haces de rayos, los átomos son enfriados aún más, hasta aproximadamente unos 2 µK.
Preparación: Los átomos son bombeados hasta el nivel superior de la transición de reloj.
Los átomos pueden cambiar niveles de energía mediante la absorción o emisión de luz con una frecuencia muy cercana a la propia de resonancia. En su vuelo hacia arriba, los átomos pasan a través de un haz de rayos laser con una frecuencia próxima a una de las frecuencias de resonancia del Cesio. Algunos átomos experimentarán una transición entre niveles de energía, ya que todos átomos estaban en el mismo nivel energético, f=4, m_F=0, antes de entrar en la cavidad de microonda.
Interrogación: Los átomos siguen trayectorias como las del agua de una fuente, pasando a través de la cavidad de microondas dos veces. Los átomos siguen y pasan a través de la cavidad de microondas en vuelo libre sobre ella unos 0.5 segundos, y después son atraídos hacia abajo por la fuerza de la gravedad. Durante una de las pasadas por la cavidad, los átomos interactúan con microondas de frecuencia 9192631770 Hz. Después de pasar por la cavidad por segunda vez (en su camino de caida hacia abajo), casi todos los átomos han hecho ya la transición hacia el estado f=3, m_F=0.
Detección: Por debajo de la cavidad de microondas, los átomos descendientes son guiados mediante varios rayos laser. Estos rayos laser provocan en los atomos cambios de estado y fluorescencia (emiten luz). Los fotones de la fluorescencia son detectados por un fotodiodo y se usan para construir la señal de reloj. Cuando todos los átomos han experimentado la transición hacia el estado requerido, la señal alcanza su máximo. La intensidad de la señal se usa para corregir la frecuencia de las microondas en la cavidad. Después, el ciclo de la fuente se repite.

Pero, volviendo al punto que nos interesa, a saber, el de las falacias de la relatividad de Einstein. Una vez que sabemos que no existe dilatación del tiempo, sino sólo dilatación o contracción de los niveles hiperfinos de energía. ¿Cómo podemos cuantificar dicho efecto desde la Relatividad Galileana Completa?. Veamos. A una altura h desde la superficie terrestre, el potencial gravitatorio vale

\displaystyle \phi' = -\frac{GM}{(r+h)}

donde r es el radio de la Tierra. Y el potencial en la superficie terrestre es, lógicamente

\displaystyle \phi = -\frac{GM}{r}

Por lo tanto, la diferencia de potencial será

\displaystyle \Delta \phi = \phi' - \phi = -\frac{GM}{(r+h)}+\frac{GM}{r} \\ \\ \\  \displaystyle \Delta \phi = \frac{GM}{\frac{r^2}{h} + r}

Por lo tanto, si la frecuencia de resonancia es \nu en la superficie terrestre, la frecuencia de resonancia a una altura h será ligeramente mayor,

\displaystyle \nu' = \nu \exp \left (\cfrac{GM}{c^2 (\frac{r^2}{h} + r)} \right )

Esta es la corrección que los defensores de la Relatividad General afirman que se debe a las correcciones de la dilatación relativista del tiempo en los relojes atómicos del GPS. Es decir, que un reloj atómico a una altitud estacionaria h correría más rápido que un reloj en la superficie terrestre. La disputa está en la causa de ese efecto, no en el hecho de que corra más rápido o no.

Si un reloj de Cesio tiene una frecuencia de resonancia de \nu=9192631770 \;\mathrm{Hz} en la superficie terrestre. A una altitud de h =20200 \; \mathrm{km}, siendo el radio de la Tierra r=6400 \;\mathrm{Km}, tendremos

\displaystyle \nu' = \nu \exp \left (\cfrac{GM}{c^2 (\frac{r^2}{h} + r)} \right ) = 9.19263177483756 \times 10^9 \; \mathrm{Hz}

Esto significa un desplazamiento de

\displaystyle z= \cfrac{\nu' -\nu}{\nu} = 5.26243 \time 10^{-10}

o lo que es lo mismo, 45 µs/día (microsegundos/día), que está en perfecto acuerdo con lo que se calcula desde la Relatividad General.
Todo esto implica, que podemos evitar usar la complicada Relatividad General para calcular esta clase de efectos y otros, y usar la menos complicada Relatividad Galileana Completa, la cual ofrece las mismas predicciones para las magnitudes medibles, y sus cálculos resultan incluso más precisos.

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El experimento de Pound y Rebka confirma que la Relatividad de Einstein es sólo una mala aproximación retorcida de la realidad – y se basa en graves malentendidos

Posted by Albert Zotkin en octubre 8, 2012

Históricamente el experimento de Pound y Rebka se pone como ejemplo de test para la relatividad de Einstein (ambas la Relatividad Especial y la Teoría General de la Relatividad), afirmando que dicho test verificó con éxito ambas teorías. En dicho experimento hay implicados dos efectos Doppler. El primer efecto es el llamado efecto Doppler gravitatorio, y el segundo es el efecto Doppler del movimiento relativo inercial. Cada tipo de efecto es modelado con sus propias ecuaciones. En este experimento, el objetivo era contrarrestar un tipo de efecto Doppler con el otro, de modo que las ondas electromagnéticas fueran medidas con una frecuencia igual a la original de emisión. Eso implicaba que si se emitian fotones desde lo alto de una torre hasta un detector situado abajo en el suelo, el efecto Doppler gravitatorio produciría un corrimiento al azul de dichos fotones, es decir, aumento de la frecuencia. Pero, si los fotones se situaban abajo en el terreno y fueran detectados en lo alto de la torre, la frecuencia medida sería menor, a causa del mismo efecto Doppler gravitatorio. Para conseguir el movimiento relativo inercial que produce el otro tipo de Doppler, se colocó la fuente emisora de fotones sobre el cono de un altavoz que vibraría a cierta frecuencia, produciendo así un movimiento oscilatorio que habría que ajustar y calibrar para la perfecta realización de la prueba. La distancia que los fotones debían recorrer era una altura de h = 22.6 \;\mathrm{metros} . Y el cambio fraccional de la energía de un fotón sería de \Delta E/E = gh/c^2= 2.5 \times 10^{-15} .

Desde la teoría de la Relatividad Galileana Completa, es muy fácil plantear los formalismos teóricos que modelan ese balance de los efectos Doppler. La diferencia de potencial que un fotón debe salvar es de \Delta \phi = gh , por lo tanto, el efecto Doppler gravitatorio se modela así:

f = f_0 \exp \left(- \cfrac{\Delta \phi}{c^2} \right )

donde obviamente, f es la frecuencia medida y f_0 la frecuencia original que se emite. De igual modo, y como ya sabemos, el efecto Doppler de movimiento relativo inercial, está modelado así:

f = f_0 \exp \left(\cfrac{v}{c} \right )

Como en el experimento de Pound y Rebka de lo que se trata es de contrarrestar ambos efectos de modo que la frecuencia observada coincida con la frecuencia original, compondremos ambas frecuencias, así:

f = f_0 \exp \left(\cfrac{v}{c} \right )\exp \left(- \cfrac{\Delta \phi}{c^2} \right )

y la frecuencia observada debe ser igual a la frecuencia original, f=f_0 , por lo que se ha de verificar que

\exp \left(\cfrac{v}{c} \right )\exp \left(- \cfrac{\Delta \phi}{c^2} \right ) = 1

y después de sencillos pasos algebráicos

\exp \left ( \cfrac{v}{c} -\cfrac{\Delta \phi}{c^2} \right ) = 1 \\ \\ \\  \cfrac{v}{c} -\cfrac{\Delta \phi}{c^2} =0 \\ \\  v = \cfrac{\Delta \phi}{c} \\ \\  v = \cfrac{gh}{c} \approx 7.5 \times 10^{-7} \; \mathrm{m/s}

Que es lo que experimentalmente se planteó como dato inicial, pues esa era la velocidad media a la que vibraba el cono del altavoz. Podemos comprobar de qué forma tan sencilla y natural ambos efectos se contrarrestan en este modelo que usa exponenciales.
Veamos ahora lo engorroso que resultan los formalismos para modelar lo mismo, pero en el contexto de la relatividad de Einstein. Para el efecto Doppler del movimiento inercial que modela la Relatividad Especial tenemos

f = f_0 \displaystyle \sqrt{\dfrac{1+ \cfrac{v}{c}}{1- \cfrac{v}{c}}}

y para el efecto Doppler gravitatorio usamos una ecuación que se obtiene de la Relatividad General,

f = f_0 \displaystyle \sqrt{\dfrac{1- \cfrac{2GM}{(R+h)c^2}}{1- \cfrac{2GM}{Rc^2}}}

donde M y R son la masa de la Tierra y su radio, respectivamente. Así, al contrarrestar ambos efectos Doppler, tendriamos,

\displaystyle\sqrt{\left (\dfrac{1+ \cfrac{v}{c}}{1- \cfrac{v}{c}} \right )\left ( \dfrac{1- \cfrac{2GM}{(R+h)c^2}}{1- \cfrac{2GM}{Rc^2}} \right )} =1

Esta brutalidad que hay escrita ahí arriba indica que el engorro es mayúsculo cuando usamos los formalismos de la relatividad de Einstein. Y esa brutalidad y fealdad en las expresiones matemáticas sólo nos puede indicar que hay más verdad en los formalismos empleados desde la Relatividad Galileana Completa que en los de la Relatividad de Einstein.
En está última y fea ecuación, se llega al resultado experimental si se considera una altura h\ll R , es decir se llega, aunque de forma muy aproximada, a la velocidad inercial

v \approx \cfrac{gh}{c} \approx 7.5 \times 10^{-7} \; \mathrm{m/s}

Además eso nunca será cierto si h se va aproximando a R . En cambio, en el contexto de la Relatividad Galileana Completa, esa predicción será cierta siempre para cualquier valor de h y de R .

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Una nueva definición muy útil de espacio-tiempo

Posted by Albert Zotkin en octubre 7, 2012

1. Espacio-tiempo genuino

Empecemos desde una cinemática de aceleración constante e integremos dicha aceleración, a, con respecto al tiempo, t,  para obtener la velocidad v:

v=v_0 +at

Ahora integremos dicha velocidad v respecto al tiempo para llegar al espacio r

r=r_0 +v_0t+\cfrac{at^2}{2}

Hasta ahora todo parece ir bien, por caminos bien conocidos y seguros, ya que las magnitudes a, v0, y r0, son todas  constantes, y el significado físico de cada magnitud está más que sabido. Sin embargo, sigamos integrando r con respecto al tiempo para obtener un … espacio-tiempo, s

s=s_0 +r_0t+\cfrac{v_0t^2}{2}+\cfrac{at^3}{6}

Esa magnitud s será llamada espacio-tiempo genuino, porque si divides por un espacio obtienes un tiempo, y si divides por un tiempo obtienes un espacio. Así, podemos decir que

“Un intervalo de espacio es la  ratio de cambio del espacio-tiempo genuino con respecto al tiempo”

r= \cfrac{ds}{dt}

Empecemos ahora desde una dinámica de gravedad constante, e integremos con respecto al desplazamiento r para obtener el potencial, ϕ,

\phi= \phi_0 +gr

Continuemos integrando hasta llegar a un  ψ y a un  ω

\psi= \psi_0 +\phi_0r+\cfrac{gr^2}{2} \\ \\  \omega=\omega_0+\psi_0r+\cfrac{\psi_0r^2}{2}+\cfrac{gr^3}{6}

Al llegar a este punto vemos que ω  debe ser también un espacio-tiempo genuino como se definió arriba en la cinemática, porque la tercera derivada de un espacio-tiempo genuino con respecto al espacio es un campo gravitatorio, g, y la tercera derivada de un espacio-tiempo genuino con respecto al tiempo es una ‘aceleración cinemática’.

 

Corolario 1:

En la dinámica de arriba, ψ juega el rol de la fuente de gravitación, y ω es el espacio-tiempo, por lo tanto la ‘fuente’ de la fuente de gravitación es el mismo espacio-tiempo genuino.

2. Redefinición de acción

Podemos ahora facilitar la definición general de acción, S, como la siguiente integral de línea,

S= \displaystyle \int_C{Fds}

donde C es el  intervalo de espacio-tiempo genuino atravesado por la partícula, F  es el vector fuerza, y s es espacio-tiempo genuino. Por lo tanto, una acción es como el trabajo total realizado por una fuerza a lo largo de un intervalo de espacio-tiempo genuino.

Corollario 2:

La relación matemática entre una línea de universo de Minkowski,
s_m   , y un intervalo de espacio-tiempo genuino, s , es

s_m = \displaystyle \int_a^b{\sqrt{1+s'^2}dt}

donde

s' =\cfrac{ds}{dt}

Con otras palabras, s_m   es la línea de universo de Minkowski, y el espacio-tiempo genuino es el área debajo de él.

Para que esto tenga algún sentido, tienes que girar el diagrama de espacio-tiempo de Minkowski de tal forma que el tiempo esté representado en el eje horizontal y el espacio en el eje vertical. Una vez que se ha hecho así, se puede ver cómo la linea de universo es una **función** del tiempo. Y eso tiene bastante importancia, ya que el tiempo debe ser irreversible. Esa es la razón por la que teorías deterministas, como la Relatividad Especial, no pueden ser correctas. ¿Qué ocurre si la linea de universo no se comporta como función del tiempo?. En tal caso se podrían obtener resultados absurdos, como por ejemplo que una partícula estuviera localizada en dos o más lugares diferentes simultáneamente (al mismo tiempo).

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