TARDÍGRADOS

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Archive for the ‘Matemáticas’ Category

El desierto 31 de los números primos

Posted by Albert Zotkin en febrero 17, 2018

Hola amigo incondicional de Tardígrados. Hoy vamos a visitar un desierto, descubierto por mí la semana pasada, y que nadie conocía: Lo he llamado Desierto 31. Este peculiar desierto, se trata de una sucesión de números primos de la forma:

\displaystyle  D_{31,n}=2^{p(n)} - 31 (1)
donde p(n) es el n-ésimo número primo.Obviamente, no todos los números primos generarán primos de esa forma. Pero, ¿Por qué digo que D31, n es un desierto?. Si buscamos números esa clase, los primeros que encontramos son estos:

\displaystyle  D_{31,n}= \{97, 2017, 8161, 131041, 524257, 137438953441, 2199023255521,\ldots\} (2)
La sucesión de números primos, exponentes del 2, que genera la sucesión de arriba, es

\displaystyle  p(n)=\{7,11,13,17,19,37,41,61,67,89,109,149,193,383,401,\ldots\} (3)
y a su vez, la sucesión de números naturales que genera la sucesión p(n) de arriba es

\displaystyle  a(n)=\{4, 5, 6, 7, 8, 12, 13, 18, 19, 24, 29, 35, 44, 76, 79,\ldots\} (4)

Aparentemente, D31, n es un desierto, porque aparecen de “golpe” los primeros números primos hasta el a15 = 79, pero más allá de n = 15 parece no haber ninguno más. La conclusión puede ser una de estas:

  • 1. D31, n es realmente un desierto, y sólo existiría el oasis de esos 15 números primos.
  • 2. O bien, he vuelto a ser victima de la Ley de los Números Pequeños (de Richard K. Guy), y en realidad existen muchos más números primos de esa clase, pero están más allá de la capacidad computacional de mis ordenadores.
Si sientes curiosidad y quieres comprobar por ti mismo que esa sucesión puede ser realmente un desierto con sólo 15 números primos, te presento las rutinas que usé en Mathematica para generar las listas:

A = List[]; Do[p = 2^ Prime[m] – 31; If[PrimeQ[p], AppendTo[A, m]], {m, 4, 100}]; A

Clear[A ]; A = List[]; Do[p = 2^ Prime[m] – 31; If[PrimeQ[p], AppendTo[A, Prime[m]]], {m, 4, 100}]; A

Clear[A ]; A = List[]; Do[p = 2^ Prime[m] – 31; If[PrimeQ[p], AppendTo[A, p]], {m, 4, 100}]; A

Puedes hacer que el índice m corra desde 1 hasta el número que tú quieras. Yo he puesto el límite superior de 100 porque ya sé que no he encontrado nada para números entre 100 y 1000.

Saludos

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Números casi enteros

Posted by Albert Zotkin en febrero 13, 2018

Hola amigo. Ayer se me ocurrió jugar un poco con los llamados números casi-enteros. Como su propio nombre indica, son números reales que son casi enteros, es decir, que a su parte decimal le sobra o le falta muy poco para ser cero. Por ejemplo el número de Ramanujan:

\displaystyle   e^{\pi {\sqrt {163}}}=262\,537\,412\,640\,768\,743.999\,999\,999\,999\,25\ldots   (1)
Es un casi-entero porque le falta muy poquito para ser 262537412640768744. El problema con esta clase de números reside en su definición, la cual no parece muy matemática. Decir que algo es casi blanco o casi negro, es decir poco, cuando la definición la basamos en el adverbio “casi”. ¿Hasta qué punto un número es casi-entero?. Si el corte lo pusiéramos en que la parte decimal debe empezar por más de veinte 9’s seguidos o por más de veinte 0’s, entonces el número de Ramanujan no sería un casi-entero. Por eso, para resolver ese problema, se me ocurre la siguiente definición: Definamos la sucesión de números casi-enteros Qk, de orden k, de la función F(n) de dominio natural, así:

\displaystyle    Q_k(F(n))=\{ q_n \}_{n\text{,}\,k\in N}  (2)
sería una sucesión de números reales, para los que su parte decimal tendría una precisión de k 9’s seguidos, ó de k 0’s seguidos, si expresamos la sucesión en notación de base decimal. Por ejemplo, el número de Ramanujan no estaría en ninguna sucesión de casi-enteros de orden k = 13, ó superior, ya que posee sólo doce 9’s seguidos en sus primeras posiciones decimales. En cambio, sí estaría en una sucesión de orden k = 10, o de grados inferiores. Pongamos un ejemplo: Sea la función de dominio natural siguiente:

\displaystyle    F(n)= e^{\pi {\sqrt {n}}}  (3)

y calculemos su sucesión de casi-enteros de grado k = 10:

\displaystyle    Q_{10}( e^{\pi {\sqrt {n}}})= \{q_{58},\,q_{163},\,q_{1467},\,\ldots\}  (4)
No sé si esa sucesión es finita o infinita, pero lo que si es fácil de comprobar es que 1467 = 9 × 163, y que esos tres primeros números casi-enteros son exactamente estos:

\displaystyle    q_{58}=e^{\pi \sqrt{58} }= 24591257751.99999982221324\ldots\\ \\    q_{163}=e^{\pi \sqrt{163} }= 262537412640768743.9999999999992500725\dots\\ \\   q_{1467}=e^{\pi \sqrt{1467} }=18095625621654510801615355531263454706630064771074975.9999999901236\ldots
Propongo que el número casi-entero q1467 = 18095625621654510801615355531263454706630064771074975.9999999901…, sea llamado número de Alberti, porque 1467 fue el año en que el criptógrafo León Battista Alberti escribió el tratado De Componendis Cifris, donde describe un disco para encriptar alfabeto, que ahora llamamos disco de Alberti.

Si el grado k de la sucesión Q de casi-enteros lo hubieramos rebajado a k = 6, esa sucesión sería esta:

\displaystyle    Q_{6}( e^{\pi {\sqrt {n}}})=  q_{37},q_{58},\, q_{67},q_{163},\, q_{232},\, q_{719},\, q_{1467},\, q_{4075},\ldots  (5)
Todo esto nos debe hacer reflexionar sobre el hecho de que, antes de ponerse a divagar sobre un asunto, es muy importante acotar con una buena definición de qué estamos hablando, y eso es especialmente importante en matemáticas.

Y para terminar de jugar con el tema de los números casi-enteros, definiré ahora otra clase de números, que llamaré casi-enteros Cunningham. Los números casi-enteros Cunningham de base b van a ser números de la forma:

\displaystyle   \frac{\log(b^{n}\pm 1)}{\log(b)}= \log_b(b^{n}\pm 1)  (6)
Donde, obviamente b^{n}\pm 1 es un número de Cunningham. Por ejemplo, la sucesión de casi-enteros Mersenne, son números casi-enteros Cunningham de base 2 de la forma:

\displaystyle   \frac{\log(2^{n} - 1)}{\log(2)} = \log_2(2^{n} - 1)  (7)
Que es una forma de mapear los exponentes de esos números Mersenne. Por ejemplo, el número primo Mersenne M31 = 2305843009213693951, que fue descubierto por Euler en 1772, genera el casi-entero:

\displaystyle    \log_2(2^{31} - 1) =30.99999999932819276991073646469478216 \ldots  (8)
que, como vemos, se aproxima mucho al exponente 31. Y alguien se preguntará “ok, muy bien, y ¿qué utilidad tiene todo esto?“. La respuesta es fácil, “ninguna, en principio” 🙂 . Pero, si de lo que se trata es de hallar número primos Mersenne, los casi-enteros Cunningham, que he definido arriba, pueden tener mucho que decir, sobre todo si analizamos su partes fraccionales.

Saludos

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Infinitas formas de dividir un número primo

Posted by Albert Zotkin en enero 25, 2018

Uno de los hechos más asombrosos de dividir un número entero por otro, es que a veces ocurre que ciertos números sólo son divisibles por sí mismos y por la unidad, y los llamamos números primos. Pero, nadie sabe cómo esos números primos se van distribuyendo a lo largo de la sucesión de los números naturales. Ese hecho nos deja perplejos, porque no somos capaces de encontrar ninguna fórmula eficaz ni algoritmo para generar el siguiente número primo. ¿Por que ocurre eso?. Eso ocurre porque nuestra aritmética estándar es sólo una entre infinitas aritméticas posibles. En este pequeño artículo voy a definir algunas de esas aritméticas, que se me han ocurrido, pero siempre teniendo en mente que pueden haber infinitas más, desde otros criterios y perspectivas. Cada aritmética genera su sucesión única de números primos. Empecemos pues:

Todos sabemos, o deberíamos de saber, que cuando dividimos un número natural por otro, lo podemos interpretar como un método para saber cuántos grupos de cosas se pueden formar, tal que todos los grupos posean el mismo número de ellas. Esa aritmética es básicamente una cuadrícula. Cada columna ( o cada fila) de la cuadrícula es pues un grupo de cosas, y todas tienen el mismo número. Puede ocurrir que la ultima fila o la ultima columna no tenga completas ( llenas) todas sus celdas, eso nos indica que hay un resto distinto a cero en la operación de division. Ahora borremos de nuestra mente esa cuadrícula y exploremos otras posibles formas de dividir un número por otro. Supongamos que, al dividir un número p de manzanas por otro q, lo que queremos es formar q grupos de manzanas y que cada uno contenga un número distinto. En concreto, lo que queremos es que exista una diferencia de una manzana entre los sucesivos grupos, desde el más numeroso al menos.

Al aplicar ese criterio de división, aunque sería más apropiado hablar de distribución, entramos en el territorio de los números triangulares. Supongamos que tenemos 10 manzanas y queremos saber cuántos grupos podemos formar tal que exista esa diferencia de una unidad entre ellos al considerarlos sucesivamente. Rápidamente vemos que sólo se pueden formar 4 grupos:

Con los números triangulares podemos definir operaciones de división y multiplicación que escapan ya de la estándar cuadriculada. Con los números triangulares, los distintos grupos que se pueden formar, con la operación de división, difieren en una unidad. En el caso del ejemplo, diremos que 10 manzanas son divisibles por 4, y el grupo más numeroso tiene precisamente 4 manzanas, y el menos numerosos tiene 1. En general, para los números triangulares tendremos que, cualquier número entero positivo p es divisible por otro q, si la siguiente igualdad se cumple:

\displaystyle  p =\frac{q(q+1)}{2}
Y si obviamos la fórmula podemos indicar la división 10/4 de esta forma:

\displaystyle   \frac{10}{4} = 4 ,\;\; \text{diff 1}
que se leerá así: “10 divido por 4 igual a 4, diferencia 1“. El cociente de dividir 10 por 4 es también 4, es decir coincide con el divisor. La sucesión de los números triangulares es la siguiente,

\displaystyle  T_n=\{1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136,\dots\} \\ \\   T_n=\{1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4,1+2+3+4+5,\dots\} \\ \\   T_{n}=\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+\dotsb +n={\frac {n(n+1)}{2}}={n+1 \choose 2},
Si Tn es el n-ésimo número triangular, entonces podemos decir que es divisible por n diff 1, y el cociente coincide siempre con su divisor:

\displaystyle  \frac{T_n}{n} = n ,\;\; \text{diff 1} \\ \\   T_n = n \times n = \;\; \text{diff 1}
Veamos ahora qué otros números naturales, que no sean triangulares, son divisibles diff 1. Observamos que el primer número no triangular divisible diff 1 es el 5:

5 es divisible por 2 diff 1, porque obtenemos dos grupos, uno de 3 manzanas y otro con 2, es decir:

\displaystyle  \frac{5}{2} = 3,\;\; \text{diff 1} \\ \\
significa que el cociente 3 es el numero de manzanas en el grupo más numeroso, y vemos que 5 no es triangular porque el menor grupo no es la unidad. En seguida nos damos cuenta que los número no triangulares que son divisibles diff 1, son en realidad, fragmentos verticales de números triangulares
En este caso, el menor número triangular que contiene al 5 es el 6, y el siguiente que lo contiene es el 10:

El primer número primo diff 1 es el 2, el siguiente será el 4, y el siguiente el 8. Parecería fácil afirmar que todos los número pares que no sean triangulares serían primos diff 1, pero no, no es tan fácil, ya que existen números pares que no son triangulares, pero son divisibles diff 1. Por ejemplo:

\displaystyle  \frac{12}{3} = 5,\;\; \text{diff 1} \\ \\   \frac{18}{4} = 6,\;\; \text{diff 1} \\ \\
En esta clase de divisiones (o distribuciones) en modo diff 1, el divisor siempre es menor o igual al cociente, nunca mayor. ¿Cómo podemos saber si un número es divisible diff 1. El primer test que ha de pasar el número es comprobar si es triangular:

\displaystyle  n={\frac {{\sqrt {8x+1}}-1}{2}}
si en la formula de arriba, el número x, que es entero positivo, da como resultado el número n, y además vemos que es también un entero positivo, entonces x es triangular, y por lo tanto es divisible diff 1 por n. El siguiente test es para los número no triangulares. Decía yo antes, que los número no triangulares que son divisibles diff 1, son fragmentos de números triangulares. Eso expresado matemáticamente quiere decir que son la diferencia entre dos dos números triangulares. Por ejemplo, el 12 y 18, que no son triangulares, son divisibles diff 1, por que 12 = 15 – 3, donde 15 y 3 son triangulares. De igual forma 18 = 21 – 3, donde 21 y 3 son triangulares. Por lo tanto el test de divisibilidad diff 1, para los no triangulares, será ver que existen unos números x e y que son triangulares, con:

\displaystyle  y-x=p \\ \\
con y > x, donde y es el menor número triangular conteniendo al número p. Si p es divisible por q diff 1, entonces

\displaystyle  q={\frac {{\sqrt {8(x+p)+1}}-1}{2}}
q es el número de grupos que se pueden formar con p. El número de elemento del primer grupo (el más numeroso) será

\displaystyle  \frac{p}{q} = c_1,\;\; \text{diff 1} \\ \\
y el número de elementos del grupo menos numeroso será:

\displaystyle  c_q=c_1 - q +1
¿Existen números primos diff 1?. Veamos. Construyamos una tabla de diferencias para números triangulares hasta el T10 = 55. Al hacer esto sabremos que números son triangulares y que otros son diferencias entre ellos. Por lo tantos, los que no estén en esa tabla deberán ser números primos diff 1.

Según esta tabla de diferencias, el primer número primo diff 1 es el 16, porque no aparece en ella. El segundo candidato a número primo Diff 1 es el 23. Y los siguientes serían 28, 29, 31, 32, 36, 37, 38, 41, 43, 46, 47, 48, 50, 51, 53. Es decir, tendríamos los primos diff 1 siguientes:

\displaystyle  \{16, 23, 28, 29, 31, 32, 36, 37, 38, 41, 43, 46, 47, 48, 50, 51, 53,\dots\}
Las celdas de la tabla que he rellenado en color rojo, corresponden a diferencias entre núeros triangulares consecutivos, pero entonces no darían lugar a distribuir en 2 ó más grupos, por lo tanto esos números de la diagonal se desechan. ¿Por qué es el número 16 primo diff 1?. Intentemos formar dos grupos de objetos que sumen 16 pero exista una diferencia de una unidad entre ellos. No se puede porque 16 es número par. Si Formamos dos grupos de 8, y le quitamos 1 a uno de ellos y se lo sumamos al otro tendremos 2 de diferencia, pero estaos en modo diff 1. Por lo tanto, no se pueden formar 2 grupos porque 16 es par. Intentemos formar 3 grupos. Si el primer hrupos tiene 7 objetos, el segundo ha de tener 6, y el tercero 5, pero entonces 7 + 6 + 5 = 18 > 16, no suma 16. Probemos con 5 elementos para el primer grupo. tendremos 5 + 4 + 3 = 12 < 16, tampoco suma 16. Y para las restantes agrupaciones resultan números aún menores. Luego 16 es el primer número primo diff 1. ¿por qué es 23 un número candidato a ser primo diff 1?. En principio , vemos que no es número par, luego podemos formar dos grupos, uno con 11 elementos y el otro con 12. Pero, el número triangular que es divisible diff1 por 2, para dar 12 de cociente, es el 78, es decir, un número mayor al 55, que no lo tenemos tabulado. Por lo tanto, 23 no es primo diff 1, pero sus divisores diff1 dan cocientes mayores a 10, En resumen, 23 es divisible por 2 diff 1, y no tiene más divisores:

\displaystyle   \frac{23}{2} = 12 ,\;\; \text{diff 1}
Luego todos los números impares de la lista de candidatos a números primos diff 1, se nos caen de ella porque siempre es posible encontrar para cada uno de ellos un divisor para formar dos grupos de objetos. Luego, los números primos diff 1 han de ser todos pares. Los números impares son todos divisibles por 2 diff 1. Y nuestra lista de números primos diff 1 quedaría asi:

\displaystyle  \{16,  28, 32, 36, 38, 43, 46,  48, 50, \dots\}
¿Por qué es 50 un número primo diff 1?. El mínimo número triangular que lo contiene es el 55, que posee 10 grupos, con 10 elementos para el mas numeroso y 1 para el menos numeroso. Pero, no existe ningún número triangular para sustraer tal que dé 50. El que más se le aproxima es el triangular 6 que tiene 3 grupos, pero daría 55 – 6 = 49:

Los números triangulares pertenecen a una clase de números llamados números poligonales, De esta forma podemos seguir nuestro método de división, y definir qué significa que un número sea divisible diff 2. Se trata de formar grupos que tengan dos unidades de diferencia entre consecutivos, Y así entramos directamente en el territorio de los números cuadrados. Estas divisiones también generan sus números primos, los llamados números primos diff 2. En general, los número poligonales son de la forma

\displaystyle  P(s,n) = \frac{n^2(s-2)-n(s-4)}{2}
Donde s es el número de lados del polígono. Los números primos estándar, 2,3,5,7,11,…, pertenecen al criterio de divisibilidad diff 0, y teóricamente pertenecerian a la sucesión de números definidos por polígonos de 2 lados, pero eso geométricamente es imposible. Si aplicamos el valor s = 2, a la fórmula, tenemos:

\displaystyle  P(2,n) = \frac{n^2(2-2)-n(2-4)}{2} = \frac{2n}{2}=n
que es la sucesión de los números naturales, como no podía ser de otra forma. Así, hemos visto, en este pequeño artículo, cómo es posible definir diferentes sucesiones de números primos según el criterio de divisibilidad que apliquemos. Todos los númros primos estándar 2,3,5,7,11,… son divisibles diff 1 excepto el 2, por que son impares. Se me olvidó decir que el número 2 es obviamente el primer número primo diff 1, porque aunque admite dos grupos, la diferencia de sus elementos no es la unidad, sino 0. Y como broche final, un pequeño ejercicio:

Halla el número de divisores diff 1 del número primo Mersenne que descubrió Euler en 1772. Es decir, tenemos el número primo estándar, diff 0, siguiente:

\displaystyle  M_{31}= 2^{31}-1= 2147483647

Saludos

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Los primeros treinta árboles Mersenne

Posted by Albert Zotkin en enero 20, 2018

Hola, único lector de Tardígrados. Gracias por seguirme. Hoy voy a ir a mi jardín y plantar los primeros treinta árboles Mersenne. Ya sabes que un número Mersenne m es un número entero positivo que posee la forma m = 2n -1, donde n es otro entero positivo. Y ahora, siguiendo el método, ideado por mí, para construir árboles (grafos en forma de árbol) de números primos correspondientes a sus factorizaciones unarias, dibujaré los primeros treinta. Es decir, dibujaré árboles para los números {3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767, 65535, 131071, 262143, 524287, 1048575, 2097151, 4194303, 8388607, 16777215, 33554431, 67108863, 134217727, 268435455, 536870911, 1073741823, 2147483647}. Esta lista escrita desde los exponentes sería asi:

\displaystyle \{ 2^2-1,\;2^3-1,\;2^4-1,\;2^5-1,\;2^6-1,\;2^7-1,\;2^81,\;2^91,\;2^{10}-1,\; \\  2^{11}-1,\;2^{12}-1,\;2^{13}-1,\;2^{14}-1,\;2^{15}-1,\;2^{16}-1,\; \\ 2^{17}-1,\;2^{18}-1,\;2^{19}-1,\;2^{20}-1,\;2^{21}-1,\;2^{22}-1,\; \\ 2^{23}-1,\;2^{24}-1,\;2^{25}-1,\;2^{26}-1,\;2^{27}-1,\;2^{28}-1,\; \\ 2^{29}-1,\;2^{30}-1,\;2^{31}-1 \}
Para aquellos números de esta lista que no sean primos, al dibujar su árbol, sugeriré una continuación hacia la cúspide para culminar con el correspodiente número primo:

He coloreado en verde las extensiones de los árboles que completan los números Mersenne que no son primos, sugiriendo una continuación hacia un número primo, el cual a su vez no tiene por que ser necesariamente Mersenne.










Las etiquetas numéricas de los nodos se pueden obviar (omitir), si el árbol es completo, es decir, si están todos los nodos de la factorización unaria, hasta llegar a los nodos terminales de la unidad. Por ejemplo, el último árbol que he dibujado, que representa el número Mersenne 2147483647, el cual es un número primo, sin las etiquetas numéricas sería así:

Saludos

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Árboles y bosques: factorización unaria de un número entero

Posted by Albert Zotkin en enero 15, 2018

La factorizaración unaria de un número primo, que me inventé hace tiempo, y que ayer me atreví a escribir en un post, no la encontrarás en ningún libro de texto, ni documento, ni en ningún foro de matemáticas. Y si la empiezas a verla en foros o en referencias, la primera referencia será la mía. Esta factorización da mucho juego, más del que se podía pensar. No sólo sirve para factorizar recursivamente números primos sino números compuestos. De hecho la factorización estándar que vemos en los libros de texto es simplemente una factorización unaria parcial, que sólo llega hasta el segundo nivel dejando los exponentes sin factorizar. Por ejemplo sea el numero compuesto

\displaystyle 2^9 \times 5^{29791}\times 41\times 509 (1)
Vemos que los exponentes no han sido factorizados, ni siquiera de forma estándar. Por lo tanto se trata de una factorización parcial, basica, porque sólo se presenta en los números primos bases de sus respectivas potencias. Una factorización estándar completa sería de esta forma

\displaystyle 2^{3 \times 3} \times 5^{31^3}\times 41 \times 509
Ésta factorización sí es completa, porque todos los números que aparecen son primos, incluso los exponentes, y los exponentes de los exponentes, pero sigue siendo estándar. Aún no es una factorización unaria completa, ya que los distintos números primos que aparecen no han sido recursivamente desintegrados en sus factores primos. La factorización de este número compuesto que he puesto como ejemplo daría no un único árbol, sino 4 árboles, ya que 4 son las bases de la factorización, es decir, {2, 5, 41, 509}. Vemos pues que los números primos se representan unariamente mediante un árbol, y los números compuestos por un bosque. El de ejemplo sería el siguiente:

Vemos que el factor 5 en el nivel 1 se respite 29791 porque está elevado a ese exponente, por lo tanto en el grafo en árbol no puedo dibujar 29791 ves el 5 sin que el dibujo que de mostruosa, monona y ridiculamente largo. Asi la opción es usar puntos suspensivos para indicar esa repetición. Eso significa que sólo en ese nivel los números que se repiten se multiplican, pero en los niveles inferiores no. En el párrafo anterior al gráfico de arriba decía yo que ese número compuesto del ejemplo era un bosque compuesto por 4 árboles. Pero, al observar detenidamente el gráfico, vemos que en realidad está compuesto por 29796 árboles. 3 veces el 2, más 29791 veces el 5, más el 41 y más el 509. También se nos podría ocurrir completar el bosque para construir un único árbol, integrando las bases, pero el resultado no sería único, sino que se presentarían una serie de combinaciones. Veamos cual sería el resultado de una de esas integraciones posibles (dibujaré la más inmediata y obvia):

Donde A y B son dos números primos, pero son demasiado grandes como para incluirlos en el grafo. Es fácil ver que A = P(529791), que 235513 = P(41 x 509), y que 19 = P(8). Con lo cual el número primo B que está en la cúspide del árbol es B = P(19 x A x 235513). En general si un número compuesto se compone de n árboles entonces el número total de número primos que podemos integrar desde el sería n!. En el caso del ejemplo, y si consideramos sólo combinaciones en las que aparecen todos los 5’s en bloque y todos los 2’s bloque tambíen, tendriamos 4 árboles para integrar, con lo que serían permutaciones de 4 elementos, es decir, 4! = 24 números primos diferentes integrados desde el número compuesto inicial. Dibujemos una más de las posibles permutaciones:
En este caso el número primo A posee este valor: A = P(529791 x 41), y 38653 = P(23 x 509), por lo que el número primo B está construido de la siguiente forma: B = P(38653 x A).

Lo increiblemente maravilloso de todo este resultado es saber que existen conjuntos de números primos que están representados por un único número compuesto. Es decir, que desde un número compuesto determinado podemos construir muchos números primos. Muchos números primos poseen las mismas bases, aunque en cada uno aparecen combinadas de diferente forma. Hemos otro caso trivial de integración del número compuesto del ejemplo:

En este ultimo caso, el más trivial de todos, el número primo A esta construido mediante esta combinación de bases: A = P(23 x 529791 x 41 x 509).

Y como detalle final a este pequeño artículo de hoy, decir, que no sólo es interesante elaboran listas de números primos monstruosos, como las de GIMPS, sino también catalogar a cada número primo dentro de la familia a la que pertenece. Y para ello, lo primero que debemos hacer es disponer de una fórmula que nos genere cualquier número compuesto que deseemos. Al igual que tenemos la función P(n) que nos da el n-ésimo número primo, ahora buscamos otra función C(n) generadora que sólo nos de compuestos de la siguiente sucesión:

\displaystyle \{4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32,\dots\}
La pregunta ahora es, ¿cuántos números primos desde el número compuesto C(1) = 4 pueden ser construidos con el método que he explicado arriba?. Puesto que 4 = 2 x 2, sólo tenemos una base, el 2. Por lo tanto la respuesta es que sólo podemos construir un único número primo, el P(2) = 3. Veamos ahora el siguiente compuesto, el C(2) = 6. Para ese caso tenemos las bases (2, 3), por los que las opciones combinatorias también son reducidas, pero en este caso podemos construir 2 primos distintos: el P(P(2) x P(3)) = 47 y el P(2 x 3) = 13. Para el siguiente número compuesto, C(3) = 8, tendremos ya tres copias del 2 para empezar. Así podemos construir los siguientes números primos: P(2 x 2 x 2), P(P(2) x 2 x 2), P(P(2) x P(2) x 2), P(P(2) x P(2) x P(2)). Establezcamos un par de normas para la construcción de números primos con este método:

1. todas las bases, repetidas o no deben estar en el mismo nivel de partida.
2. El número de elementos (números primos) obtenidos en cada nivel inmediato superior debe ser menor, nunca igual o mayor, que el del nivel inferior.

Siguiendo estos dos criterios, podemos integrar los casos C(3) = 8 y C(4) = 9:

“A veces los árboles no nos dejan ver el bosque”

Saludos 😉

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Factorización unaria de un número primo

Posted by Albert Zotkin en enero 13, 2018

Todos sabemos que un número entero puede ser descompuesto (factorización ) en sus factores primos, y hay mucha literatura al respecto. Pero, ahora podemos hacer la siguiente pregunta: ¿y un número primo?, ¿puede ser factorizado o descompuesto de alguna forma?. La respuesta es sí. fijémonos en la sucesión de números primos

\displaystyle \{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113, \dots\} (1)
el 2 es el primer número primo, el 3 es el segundo, etc. De esa forma todo número primo puede ser etiquetado según el orden que ocupa en esa sucesión. Consideremos ahora la función P(n) que nos da el n-ésimo número primo de esa sucesión. Por ejemplo P(1) = 2. Esto significa que cuando nos encontremos con un número que no sea primo procederemos a factorizarlo normalmente, y si es primo anidaremos la función P dentro de sí misma tantas veces como sea necesario hasta dar con un no primo o hasta que lleguemos al primer elemento de la sucesión. Es fácil ver, que el número primo 3, el cual es el segundo de la sucesión puede ser expresado unariamente de esta forma:

\displaystyle 3 = P(2)= P(P(1))
De igual forma con el número 5. Sabemos que es el tercer elemento de la sucesión, por lo tanto, aplicamos la función P reiteradamente y tenemos:

\displaystyle 5 = P(3) = P(P(2))= P(P(P(1)))
Como he dicho antes, se presentarán casos en los que el ordinal del número primo no sea a su vez un número primo. En tal caso la función P quedará multiplicada, no anidada. Veamos el siguiente número. El número 7 es el cuarto número primo de la sucesión, por lo tanto tendremos:

\displaystyle 7 = P(4) = P(2 \times 2) = P(P(1) \times P(1))
Podemos incluso economizar aún más la factorización unaria y obviar los caracteres P y 1, y dejar sólo los parentesis para visualizar el anidamiento. Con lo cual tendríamos la equivalencia:

\displaystyle 7 \equiv  (()())
Elijamos ahora números primos grandes. Sea por ejemplo, el número primo más largo que conoce hasta ahora. Vamos a intentar factorizarlo unariamente.
Ese número perteneces a una clase de número primos llama primos Mersenne
.

\displaystyle 2^{77232917} -1
el cual posee exactamente 23249425 cifras decimales. Para empezar, vemos ya de entrada que el exponente 77232917 es a su vez un número primo. y el proceso hacia su factorización unaria es el siguiente:

\displaystyle 77232917 = P(4517402) = P(2 \times 19 \times 53 \times 2243) \\ \\  77232917 = P(P(1) \times P(P(1)^3) \times P(P(1)^4) \times P(P(1) \times P(167))) \\ \\  77232917 = P(P(1) \times P(P(1)^3) \times P(P(1)^4) \times P(P(1) \times P(P(P(3)) \times P(P(2) \times P(3))))) \\ \\  77232917 = P(P(1) \times P(P(1)^3) \times P(P(1)^4) \times P(P(1) \times P(P(P(P(2))) \times P(P(2) \times P(P(2)))))) \\ \\  77232917 = P(P(1) \times P(P(1)^3) \times P(P(1)^4) \times P(P(1) \times P(P(P(P(P(1)))) \times P(P(P(1)) \times P(P(P(1)))))))

Y si simplificamos borrando la P y el 1, podemos escribirlo sólo con los paréntesis así:

\displaystyle 77232917 \equiv (()(()()())(()()()())(()((((())))((())((()))))))
En general, podemos incluso codificar los paréntesis de forma binaria mediante unos y ceros. Así, el paréntesis de apertura “(” podría ser escrito como un 1 y el paréntesis de cierre como un 0. Para el número anterior la codificación binaria sería:

\displaystyle 77232917 \equiv 110110101001101010100110111110000111001110000000  \\ \\
Las reglas de escritura para construir un número primo con esta codificación binaria son simples.

1. Se debe empezar siempre por un 1, nunca por 0.
2. Debe haber tantos unos como ceros.
3. Se debe finalizar siempre con un 0.
Escribamos ahora los primeros números primos de la sucesión de número primos con esta codificación binaria:

\displaystyle 2  \;\;\equiv 10 \\  3  \;\;\equiv 1100 \\  5  \;\;\equiv 111000 \\  7  \;\;\equiv 110100 \\  11 \equiv 11110000 \\  13 \equiv 11011000 \\ 17 \equiv 11101000 \\ 19 \equiv 11010100 \\ 23 \equiv 1110011000 \\ 29 \equiv 1101110000 \\ 31 \equiv 1111100000 \\ 37 \equiv 1101011000 \\ 41 \equiv 1110110000 \\ 43 \equiv 1101101000 \\ 47 \equiv 111001110000 \\  53 \equiv 1101010100 \\ 59 \equiv 1111010000 \\ 61 \equiv 110110011000 \\ 67 \equiv 1110101000 \\ 71 \equiv 1101110001110000 \\ 73 \equiv 111001101000 \\ \cdots

Pero surge un pequeño problema. Por ejemplo, el número 13 puede ser codificado de dos formas distintas:

\displaystyle  13 \equiv 11011000 \\ 13 \equiv 11100100
ya que en realidad estamos considerando P(13) = P(2 x 3) = P(3 x 2) = P(P(1) x P(2)) = P(P(2) x P(3)), y debido a que se cumple la propiedad conmutativa del producto de dos números. Por lo tanto, nos hace falta una nueva regla de escritura: hay que ordenar los productos de forma que los factores mayores estén a la izquierda.

La factorización unaria de los números primos puede ser vista como una especie de producto, de tal forma que podemos decir que todo número primo puede escribirse como producto de primos menores que él, y ese producto es único.

Fijémonos ahora en una clase de números primos, aquellos cuya representación binaria nos da todos los unos a la izquierda y todos los ceros a la derecha. Es decir, tenemos la sucesión:

\displaystyle 2  \;\;\equiv 10 \\  3  \;\;\equiv 1100 \\  5  \;\;\equiv 111000 \\  11 \equiv 11110000 \\  31 \equiv 1111100000 \\  127 \equiv 111111000000 \\ 709 \equiv 11111110000000 \\ 5381\equiv 1111111100000000 \\ 52711\equiv 111111111000000000 \\  \cdots

esta sucesión esta relacionada con los números Matula-Goebel, y está catalogada en la enciclopedia OEIS con el link A007097

Pero, volvamos al número primo 77232917. La factorización unaria, es pues un proceso computacional, y puede ser presentado en árbol. Para este número en concreto tendremos el árbol siguiente:

En los nodos terminal del gravo siempre debe aparecer el número 1, en todos los demás nodos aparecen números primos. Cada arista del grafo que une dos nodos de diferentes niveles representa una computación con la función P(n) = m. Es decir, m estará arriba en el árbol y n estará en el nivel inmediato siguiente. Las bifurcaciones se producen allí donde un número no es primo. Por ejemplo el 2243 es primo, pero su ordinal, 334, no es un número primo, es decir, tenemos que P(334) = 2243 , y a su vez 334 = 2 x 167, con lo cual en el árbol aparece 2243 bifurcado hacia 2 y hacia 167. Los números primos que presentan un árbol lineal, es decir, sin ramificaciones, son pues los que se obtienen por la iteración directa P(P(P(P(P(P(P(…))))))). Esa sucesión especial de números primos relacionada con los números Matula-Goebel, y está catalogada en la enciclopedia OEIS con el link A007097

Los llamados números Mersenne, que he presentado arriba, y sabemos que son de la forma 2n − 1, resultan en primos Mersenne si y sólo si el exponente n es primo. Con lo cual puede darse el caso, y de hecho se dan infinitos, que aun siendo n primo no da un primo Mersenne. Los casos triviales de exponentes que no dan primos Mersenne es pues el conjunto de los números compuestos. En otras palabras, si n es compuesto entonces 2n − 1 no es primo. Ahora cabe la pregunta siguiente: ¿Tienen algo de peculiar las factorizaciones unarias (árbol) de los primos Mersenne. Un número Mersenne expresado en sistema binario sólo posee unos, es un número repunit, del que ya hablé en otra ocasión. Construyamos algunos árboles para los primeros primos Mersenne, y veamos si somos capaces de apreciar similitudes. Empecemos por los cuatro primeros, los cuales fueron descubiertos por Euclides, que son 3, 7, 31, 127:

No perdamos tiempo y dibujemos los árboles a mano alzada para los tres primos Mersenne siguientes. El primero es 8191, es anónimo del año 1456, los dos siguientes son 131071 y 524287 de Pietro Cataldi 1588:

La función contador de números primos, π(n), es la inversa de la función P(n). Fijémonos ahora en el primo Mersenne 127, el último que descubrió Euclides. Es el primer número de los primos Mersenne cuyo ordinal es también un primo Mersenne. El ordinal de 127 es 31. Es decir:

\displaystyle 127  = P(31) \\ \\ 127 = 2^7 - 1 \\ \\  31 = 2^5 -1  \\ \\ 2^7 - 1 = P( 2^5 -1) \\ \\ 2^5 - 1 = \pi( 2^7 -1)

En general tenemos que

\displaystyle y  = \frac{\log(\pi(2^x-1)+1)}{\log 2} \\ \\ \\ x  = \frac{\log(P(2^y-1)+1)}{\log 2}
donde y es el exponente de un primo Mersenne, cuyo ordinal es también primo Mersenne, con exponente x. ¿Cuál es el siguiente primo Mersenne con esa característica?. Es decir: ¿Qué número primo Mersenne mayor que 127 es el primero que cumple la relación de que su ordinal sea también primo Mersenne?. Quien dé la respuesta correcta recibirá como premio un jamón pata negra. Os puedo asegurar que ese número existe.

Saludos unarios a todos 🙂

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Lemniscata (ad infinitum ∞) convergiendo hacia el número π

Posted by Albert Zotkin en enero 9, 2018

A partir de 1748 el genio de las matemáticas Leonhard Euler inició su estudio de una curiosa curva llamada lemniscata, y a raíz de eso descubrió el siguiente producto, que muestra una notable relación entre dos integrales elípticas:

\displaystyle  \int _0^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}\int _0^1\frac{t^2dt}{\sqrt{1-t^4}} = \frac{\pi  }{4}  (1)
Aquí ofrezco, en maravilloso desorden, algunas relaciones semejantes que he encontrado por mi cuenta en mi pequeña investigación sobre el asunto:

\displaystyle  \int _0^1\frac{t^3dt}{\sqrt{1-t^3}}\int _0^1\frac{t^4dt}{\sqrt{1-t^6}}=\frac{\pi  }{15} (2)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^3dt}{\sqrt{1-t^8}}\int _0^1\frac{t^7dt}{\sqrt{1-t^8}}=\frac{\pi }{32} (3)
\displaystyle  \int _0^1\frac{tdt}{\sqrt{1-t^6}}\int _0^1\frac{t^4dt}{\sqrt{1-t^6}}=\frac{\pi }{12} (4)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^5dt}{\sqrt{1-t^{10}}}\int _0^1\frac{t^{10}dt}{\sqrt{1-t^{10}}}=\frac{\pi }{60} (5)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^4dt}{\sqrt{1-t^{10}}}\int _0^1\frac{t^{9}dt}{\sqrt{1-t^{10}}}=\frac{\pi }{50} (6)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^2dt}{\sqrt{1-t^{8}}}\int _0^1\frac{t^{6}dt}{\sqrt{1-t^{8}}}=\frac{\pi }{24} (7)
\displaystyle  \int _0^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^{6}}}\int _0^1\frac{t^{3}dt}{\sqrt{1-t^{6}}}=\frac{\pi }{6} (8)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^5dt}{\sqrt{1-t^{12}}}\int _0^1\frac{t^{11}dt}{\sqrt{1-t^{12}}}=\frac{\pi }{72} (9)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^3dt}{\sqrt{1-t^{10}}}\int _0^1\frac{t^{8}dt}{\sqrt{1-t^{10}}}=\frac{\pi }{40} (10)
\displaystyle  \int _0^1\frac{tdt}{\sqrt{1-t^{8}}}\int _0^1\frac{t^{5}dt}{\sqrt{1-t^{8}}}=\frac{\pi }{16} (11)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^8dt}{\sqrt{1-t^{16}}}\int _0^1\frac{t^{16}dt}{\sqrt{1-t^{16}}}=\frac{\pi }{144} (12)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^4dt}{\sqrt{1-t^{12}}}\int _0^1\frac{t^{10}dt}{\sqrt{1-t^{12}}}=\frac{\pi }{60} (13)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^2dt}{\sqrt{1-t^{10}}}\int _0^1\frac{t^{7}dt}{\sqrt{1-t^{10}}}=\frac{\pi }{30} (14)
\displaystyle  \int _0^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^{8}}}\int _0^1\frac{t^{4}dt}{\sqrt{1-t^{8}}}=\frac{\pi }{8} (15)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^9dt}{\sqrt{1-t^{18}}}\int _0^1\frac{t^{18}dt}{\sqrt{1-t^{18}}}=\frac{\pi }{180} (16)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^7dt}{\sqrt{1-t^{16}}}\int _0^1\frac{t^{15}dt}{\sqrt{1-t^{16}}}=\frac{\pi }{128} (17)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^3dt}{\sqrt{1-t^{12}}}\int _0^1\frac{t^{9}dt}{\sqrt{1-t^{12}}}=\frac{\pi }{48} (18)
\displaystyle  \int _0^1\frac{tdt}{\sqrt{1-t^{10}}}\int _0^1\frac{t^{6}dt}{\sqrt{1-t^{10}}}=\frac{\pi }{20} (19)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^2dt}{\sqrt{1-t^{12}}}\int _0^1\frac{t^{8}dt}{\sqrt{1-t^{12}}}=\frac{\pi }{36} (20)
\displaystyle  \int _0^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^{10}}}\int _0^1\frac{t^{5}dt}{\sqrt{1-t^{10}}}=\frac{\pi }{10} (21)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^9dt}{\sqrt{1-t^{20}}}\int _0^1\frac{t^{19}dt}{\sqrt{1-t^{20}}}=\frac{\pi }{200} (22)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^7dt}{\sqrt{1-t^{18}}}\int _0^1\frac{t^{16}dt}{\sqrt{1-t^{18}}}=\frac{\pi }{144} (23)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^{15}dt}{\sqrt{1-t^{16}}}\int _0^1\frac{t^{13}dt}{\sqrt{1-t^{16}}}=\frac{\pi }{96} (24)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^{}dt}{\sqrt{1-t^{12}}}\int _0^1\frac{t^{7}dt}{\sqrt{1-t^{12}}}=\frac{\pi }{24} (25)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^{12}dt}{\sqrt{1-t^{24}}}\int _0^1\frac{t^{24}dt}{\sqrt{1-t^{24}}}=\frac{\pi }{312} (26)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^{10}dt}{\sqrt{1-t^{22}}}\int _0^1\frac{t^{21}dt}{\sqrt{1-t^{22}}}=\frac{\pi }{242} (27)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^{8}dt}{\sqrt{1-t^{20}}}\int _0^1\frac{t^{18}dt}{\sqrt{1-t^{20}}}=\frac{\pi }{180} (28)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^{6}dt}{\sqrt{1-t^{18}}}\int _0^1\frac{t^{15}dt}{\sqrt{1-t^{18}}}=\frac{\pi }{126} (29)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^{4}dt}{\sqrt{1-t^{16}}}\int _0^1\frac{t^{12}dt}{\sqrt{1-t^{16}}}=\frac{\pi }{80} (30)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^{2}dt}{\sqrt{1-t^{14}}}\int _0^1\frac{t^{9}dt}{\sqrt{1-t^{14}}}=\frac{\pi }{42} (31)
\displaystyle  \int _0^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^{12}}}\int _0^1\frac{t^{6}dt}{\sqrt{1-t^{12}}}=\frac{\pi }{12} (32)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^{13}dt}{\sqrt{1-t^{26}}}\int _0^1\frac{t^{26}dt}{\sqrt{1-t^{26}}}=\frac{\pi }{364} (33)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^{11}dt}{\sqrt{1-t^{24}}}\int _0^1\frac{t^{23}dt}{\sqrt{1-t^{24}}}=\frac{\pi }{288} (34)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^{9}dt}{\sqrt{1-t^{22}}}\int _0^1\frac{t^{21}dt}{\sqrt{1-t^{22}}}=\frac{\pi }{220} (35)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^{7}dt}{\sqrt{1-t^{20}}}\int _0^1\frac{t^{19}dt}{\sqrt{1-t^{20}}}=\frac{\pi }{160} (36)
\displaystyle  \int _0^1\frac{t^{5}dt}{\sqrt{1-t^{18}}}\int _0^1\frac{t^{17}dt}{\sqrt{1-t^{18}}}=\frac{\pi }{108} (37)

\displaystyle  \cdots

Evidentemente, podemos seguir ad infinitum ∞, pero es más interesante saber si existe una fórmula genérica para estos pares de integrales que dan fracciones unitarias de π. En principio, parece fácil hallar un término general para esta clase de productos. Supongamos que, para cada par de integrales, las dos raíces cuadradas de los denominadores poseen el mismo exponente en la variable t. En la lista que he presentado, la expresión (2) sería una excepción ya que vemos que los exponentes son distintos, el 3 y el 8. Llamemos a ese exponente, que aparece en la raíz cuadrada, grado. Por ejemplo el producto que halló Euler que he escrito en la identidad (1) sería el primer elemento de una sucesión de grado 4. Esa sucesión sería la siguiente:

\displaystyle  \int _0^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^{4}}}\int _0^1\frac{t^{2}dt}{\sqrt{1-t^{4}}}=\frac{\pi }{4}\text{,} \\ \\  \int _0^1\frac{t^{}dt}{\sqrt{1-t^{4}}}\int _0^1\frac{t^{3}dt}{\sqrt{1-t^{4}}}=\frac{\pi }{8}\text{,} \\ \\ \int _0^1\frac{t^{2}dt}{\sqrt{1-t^{4}}}\int _0^1\frac{t^{4}dt}{\sqrt{1-t^{4}}}=\frac{\pi }{12}\text{,}

\displaystyle \cdots

\displaystyle  \int _0^1\frac{t^{n-1}dt}{\sqrt{1-t^{4}}}\int _0^1\frac{t^{n+1}dt}{\sqrt{1-t^{4}}}=\frac{\pi }{4 n}

donde n es el n-ésimo elemento de ese sucesión. Y en general para cualquier grado k, tendremos:

\displaystyle  \int _0^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^{k}}}\int _0^1\frac{t^{k/2}dt}{\sqrt{1-t^{k}}}=\frac{\pi }{k}\text{,} \\ \\  \int _0^1\frac{t^{}dt}{\sqrt{1-t^{k}}}\int _0^1\frac{t^{1+k/2}dt}{\sqrt{1-t^{k}}}=\frac{\pi }{2k}\text{,} \\ \\ \int _0^1\frac{t^{2}dt}{\sqrt{1-t^{k}}}\int _0^1\frac{t^{2+k/2}dt}{\sqrt{1-t^{k}}}=\frac{\pi }{3k}\text{,}

\displaystyle \cdots

\displaystyle  \int _0^1\frac{t^{n-1}dt}{\sqrt{1-t^{k}}}\int _0^1\frac{t^{n-1 +k/2}dt}{\sqrt{1-t^{k}}}=\frac{\pi }{nk}   (38)
Elijamos, por ejemplo, la identidad (33) en la lista de arriba, la cual es:

\displaystyle  \int _0^1\frac{t^{13}dt}{\sqrt{1-t^{26}}}\int _0^1\frac{t^{26}dt}{\sqrt{1-t^{26}}}=\frac{\pi }{364}
Esto quiere decir que ese elemento pertenece a la sucesión de grado k = 26, y es el elemento n = 14 de la misma.

Saludos lemniscáticos a todos 😛

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La fe en las ondas gravitacionales mueve montañas: Cuando confundes el cero con la indeterminación no apuntas a una kilonova sino a una cero-nova

Posted by Albert Zotkin en octubre 20, 2017

¿Qué ocurrió el 17 de Agosto de este año 2017?. Si leemos el interesante artículo del prestigioso divulgador científico Govert Schilling que escribió el otro día para la revista Sky & Telescope titulado “Astronomers Catch Gravitational Waves from Colliding Neutron Stars”, nos dice lo siguiente:
… El Jueves 17 de Agosto a las 12:41:05 horas UTC, LIGO cazó su quinta señal gravitacional confirmada, denominada ya la GW170817. Pero esta señal duró mucho más que las cuatro primeras: en lugar de una fracción de segundo, como en las anteriores detecciones, esta vez las ondulaciones del espaciotiempo duraron unos grandiosos noventa segundos, y la frecuencia se incrementó desde unas pocas decenas de hercios hasta un kilohercio – que es la máxima frecuencia que LIGO puede observar.
Esa señal gravitacional es la esperada por la teoría para dos estrellas de neutrones que orbitan estrechamente la una sobre la otra y con masas ligeramente inferiores a dos masas solares cada una. Daban cientos de vueltas por segundo, la una alrededor de la otra (mas rápido que la batidora que tienes en tu cocina), con lo que la velocidad tangencial de cada una de ellas era una fracción significativa de la velocidad de la luz. Las ondas que estaban siendo emitidas por ese par de masas acelerando centrífugamente vaciaban rápidamente el sistema binario de energía orbital, y al final las estrellas acabaron chocando. Esa colisión ocurrió a una distancia de la Tierra de unos 150 millones de años-luz.
Los astrónomos ya conocían la existencia de estas estrellas binarias de neutrones desde 1974, cuando Russell Hulse y Joseph Taylor descubrieron la primera, con una separación entre ellas de unos pocos millones de kilómetros y un periodo orbital de 1.75 horas. Pero, la separación y el periodo cambian con el tiempo. De hecho, para las estrellas binarias el periodo orbital decrece lentamente con el tiempo a lo largo de los años, y la Teoría General de la Relatividad de Einstein predice ese decrecimiento con mucha precisión afirmando que la energía orbital que pierde el sistema es la misma que poseen las ondas gravitacionales que emite. Dentro de unos 300 millones de años, según la teoría, la binaria Hulse-Taylor colapsará. …
Bien, ya sabemos cómo se comportan los sistemas binarios: decaen según la Teoría General de la Relatividad. Pero lo que a mi me interesa ahora es poner el énfasis en la fecha y hora de la supuesta observación de LIGO, que dicen que fue a las 12:41:04 horas UTC (Tiempo Universal Coordinado). Evidentemente, si vamos a los archivos de sus bases de datos, nos ofrecerán en bandeja los datos en crudo captados por los detectores a esa hora, que es siempre lo mismo, un ruido Gausiano de fondo, como el de un televisor encendido cuando no sintoniza ninguna emisora, sólo ruido que llega desde todas direcciones a la antena. Ese ruido, en cada uno de los detectores, pasa por una serie de filtros y plantillas de forma automática (o no), es decir, es procesado. A mí me da que ese procesado es muy parecido al que hacen los estadísticos con sus encuestas, lo cocinan al final de tal forma que hay sesgo para que salga más de lo que ellos esperan que otra cosa. Si pones un filtro rosa, el preparado saldrá rosado, si lo pones azul, el pájaro saldrá azulado, ahi está el sesgo, en las plantillas y filtros del procesado. Fijémonos ahora lo que dice nuestro divulgador científico Govert Schilling en el mismo artículo suyo respecto a la colaboración europea VIRGO, la cual, ya te lo digo yo, no vio el evento GW170817 de marras. Pero, se supone que LIGO necesitaba como agua de Mayo esa señal de VIRGO, que nunca le llegó, para poder triangular y localizar las coordenadas celestes del evento GW170817
… Encontrar contrapartidas ópticas, ya sea para las ondas gravitacionales de Einstein o para estallidos de rayos gamma, ayudaría bastante a la hora de dejar el asunto bien zanjado. Desgraciadamente, los astrónomos no siempre pueden localizar con precisión en el cielo las fuentes de las señales que observan. Por ejemplo, la franja de error del telescopio espacial Fermi mide un diámetro de unas pocas decenas de grados (la Luna llena en el cielo ocupa medio grado de diámetro a nuestro ojo). Y el satélite Swift de la NASA, que a veces capta eventos de Fermi con su telescopio de rayos-X, que es más preciso, no vio ninguna emisión de rayos-X trás la emisión GRB 170817A.

En cuanto a la señal de ondas gravitacionales se refiere, la situación aparecía incluso peor. El evento fué observado por los dos detector LIGO, el de Hanford en en el estado Washington y el de Livingston en Louisiana (aunque se tardó un poco más de tiempo en Livingston hasta que la señal pudo por fin ser recuperada después de un fallo técnico). De la pequeña diferencia de llegada de la señal en ambos detectores (unos pocos milisegundos) fue posible trazar el origen de las ondas gravitacionales, situándolo en el cielo dentro de una estrecha franja alargada en forma de banana. Pero aunque esa banana era extremadamente fina, en este caso particular, también era extremadamente larga.

Esa fina y alargada banana de LIGO atravesaba la franja de error de Fermi, en la constelación de La Virgen y La Hidra. Desgraciadamente, la región donde se solapaban era aún demasiado extensa como para poder enfocar una búsqueda exitosa para contrapartidas ópticas del evento, el cual podría ser extremadamente débil.

Pero, esperen un momento – ¿qué pasa con el tercer detector de ondas gravotacionales situado en Italia?. VIRGO ha estado funcionando en tandem con LIGO desde el 1 de Agosto. Las diferencias en los tiempos llegada de ondas para tres detectores hace posible que la triangulación de la localización de la fuente sea mucho más precisa. De hecho, eso fue exactamente lo que ocurrió tres días antes con el evento GW170817 de dos agujeros negros funciéndose. Por lo tanto, ¿no podrían las observaciones de VIRGO del GW170817 proporcionar alguna respuesta?.

Casi dos meses despés de los eventos, Vicky Kalogera aun está con la adrenalina alta cuando explica el papel que el observatorio europeo VIRGO tuvo en la resolución del caso. “En Agosto”, dice ella, “yo estaba de vacaciones con mi familia en Colorado y en Idaho, desde donde observaríamos el 21 de Agosto el eclipse total de Sol. Prometí que no estaría trabajando durante esos días. Entonces vino el GW170814 y tres días más tarde el evento de las estrella de neutrones. Desde entonces he estado trabajando con mi portatil y telecomunicada.

Sorpendentemente, nos cuenta, VIRGO, no se disparó con el GW180817. La señal de la onda de Einstein de 90 segundos de duración de las estrellas de neutrones fusionándose apenas si quedó registrada, aunque el instrumento europeo no habria tenido ningún problema para detectarla. “Lo nuevo de todo esto” dice Kalogera, ” es que la no detección de VIRGO se convirtió en la clave para localizar la fuente”

Los interferómetros laser como los de LIGO y VIRGO pueden detectar ondas gravitacionales desde casi cualquier dirección,. Pero, debido a su diseño, hay cuatro regiones en el cielo sobre el horizonte local del instrumento para las que la detección es mucho más debil que la media. En el mismo centro de esas regiones hay puntos ciegos. VIRGO no registró ninguna onda gravitacional intensa porque la fuente de esas ondas estaba localizada cerca de uno de sus puntos ciegos.

Resultó que ese punto coincidía con la región de solapamiento entre la banana de LIGO y la franja de error de Fermi. Dados los límites superiores en la seña de VIRGO, los astrónomos pudieron cercar más estrechamente esa región del cielo y definir un área de tan sólo unos 28 grados cuadrados.
Todo muy bonito ¿verdad, amables lectores?. Resulta, según nos cuentan, que debido a que VIRGO no observó onda alguna, se pudo definir con mayor precisión donde estaba la fuente. Es decir, la triangulación es como sigue: a la franja de error de Fermi se le intersecta la banana de LIGO, y después a la región que queda se le intersecta la de uno de los cuatro puntos ciegos de VIRGO, para definir al final la región donde esta la fuente, y por lo tanto hacia donde mirar para ver las contrapartidas ópticas.

Una pregunta muy capciosa: ¿Y si VIRGO sí hubiera visto la onda gravitacional, pero al trinagular con LIGO hubiera dado una región fuera de la franja de Fermi?.

Otra pregunta capciosa. VIRGO tiene cuatro puntos ciegos ¿por qué se elige aquel que coincide con la franja de solapamiento y se desechan los otros tres?

Otra pregunta capciosa: ¿Por que se asume que VIRGO detectó algo, siendo perfectamente posible que pudo no haber detectado nada? y en tal caso, ¿Por qué regla de tres, una no-detección que es una indeterminación se transforma por arte de magia en una si-detección?.

Para divertirme un poco, y comprobar el efecto de toda esta capciosidad, me pasé ayer por el blog de la Mula Francis en Naukas, en el que estoy vetado de por vida, por decirle las verdades. Asi que entré con el nombre y el correo de mi amiga Conchi en la sección de comentarios de su post Las alertas de las señales GW170817 (LIGO-Virgo) y GRB 170817A (Fermi/Integral), y dejé lo siguiente, con sus correspondientes réplica y contrarréplica:
Concha Cuetos Concha Cuetos

Hola queridísima Mula Francis. Tengo unas cuantas preguntillas capciosas para ti, porque sé que te gustan mucho, y siempre te hacen mucha gracia.

Los interferómetros tipo advanced-LIGO como el de Virgo tienen cuatro ángulos muertos, no uno, como pareces sugerir en tu artículo.:

1. ¿Por qué eligen, de los cuatro posibles ángulos muertos de Virgo, el que cae dentro de la franja de error del evento GRB 170817A que observó Fermi?.
2. ¿Es porque alguien cómodamente en su despacho intentaba cuadrar números?.
3. ¿No te parece la decisión de elegir el angulo muerto que más favorece la hipótesis un sesgo brutal que pasará a los anales de la historia?. Hay cuatro, pero elegimos el mejor, de los otros no nos vale ninguno.
4. ¿Convertir una no-detección de Virgo en una sí-detección de ángulo muerto no te parece algo tan elaborado como la más grosera de las cocinas estadísticas (a posteriori) para favorecer los resultados que más le gustan al cliente que hizo el pedido?.
5. ¿No te parece sospechoso que, como cuentas, “el sistema de detección automático rechazó la señal de L1 porque vino acompañada de un ruido espurio localizado (glitch) de origen instrumental”, pueda ser interpretado por algunas mentes retorcidas, conspiranoicas y espurias como algo muy similar al tiempo muerto que pide el Real Madrid de baloncesto cuando va perdiendo contra el Barcelona por 89 a 91 en el último minuto y necesitan un triple en el último segundo para ganar?.
6. ¿No será que ese tiempo muerto fue crucial para poder elegir el ángulo muerto que mejor cuadraba con lo que observó Fermi?.
7. ¿Si todo hubiera sido tan automático y tan en tiempo real como intentan vendernos, qué habría pasado si, contando todos los puntos muertos del sistema de la LVC, que ya te lo digo yo, suman doce, y todos equiprobables por definición, el sistema automático hubiera dado como resultado otro muy distinto al que dio la mano humana que manejó los datos finales?.
8. La fe mueve montañas, ¿verdad?. Cocina estadística, ocultismo, sesgos, ruidos correlacionados ignorados, mucho ruido mediático y pocas nueces cientificas serias. La LVC se ha metido en un callejón sin salida, y cuando se desinfle el suflé, todo quedará en una especie de BICEP 3.

Querida Mula Francis, me gusta mucho la ciencia, pero lo que nos cuenta la LVC no puedo admitirlo como ciencia seria, por muchos cientos de trillones de colaboradores que puedan tener en todas las universidades del mundo, ni por todo el crédito oficial que se le otorgue. No me creo la verdad que nos cuenta la LVC, lo siento mucho querida Mula Francis. Te admiro mucho, pero no soporto ese tufillo trilero que nos llega de la LVC. Para sacar conejos de la chistera, me gusta más la magia de David Copperfield. No soy tan ingenua, a mi los trucos de magia geniales y los “oh” de admiración me gusta verlos y oírlos en los escenarios de teatros y platós de television como algo frívolo que divierte al público en general, no en conferencias ni en ruedas de prensa donde supuestamente deben anunciarse asuntos científicos serios. Está claro que no soy muy partidaria … de todo este espectáculo mediático que han conseguido montar.

Saludos de una admiradora, que te lee siempre que puede

 

Francisco R. Villatoro Francisco R. Villatoro

Concha, puedes imaginar todas las conspiraciones que quieras, eres libre de ello, pero la ciencia no funciona así. En ciencia se aprovechan todos los datos disponibles para optimizar la toma de decisiones. Y por supuesto son los científicos quienes lo hacen, ese es su trabajo, mientras no tengamos máquinas o inteligencias artificiales que los sustituyan.

Las ondas gravitacionales son cuadripolares, luego H1, L1 y V1 tienen cuatro puntos ciegos (esta figura muestra los de V1), pero solo uno cae en la región localizada por H1 y L1 (o los otros tres están fuera). Mis respuestas: (1) esta figura lo aclara; (2) ver (1); (3) ver (1); (4) ver (1); (5) no; (6) no; (7) así no funciona LIGO-Virgo; (8) no, lo siento, la fe no mueve montañas.

 

Concha Cuetos Concha Cuetos

Querida Mula Francis, gracias por contestar a mis preguntillas capciosas. Pero, sigue habiendo algo que no me cuadra en la metodología usada por la LVC para encajar la localización de su supuesto evento GW170817 dentro de la localización del GRB 170817A visto por Fermi y por INTEGRAL (porque, no nos engañemos, LIGO se pone a trabajar manualmente sobre su evento GW170817 porque ya tenia la alerta de la localizacion celeste del Fermi, con su franja de error correspondiente, claro). Sigo viendo un sesgo brutal cuando asumen que por el observatorio VIRGO debieron pasar las mismas ondas gravitacionales que pasaron por los dos observatorios de LIGO, por que dan por sentado sin ninguna duda que lo que pasó por LIGO a esa hora fueron ondas gravitacionales. ¿Por qué veo tanto sesgo? Porque, además de la asunción anterior, la intención de quienes estaban al mando del análisis de datos en la LVC a esa hora, era ver de qué forma la localización celeste del evento GW170817 podía encajarse dentro de la del GRB 170817A. Eso no es ciencia. Afirmar tan rotundamente que puesto que en Hanford y Livingston se registraron señales del mismo evento GW170817, entonces necesiariamente por VIRGO debió pasar la misma perturbación gravitacional, y además asumir que, como no quedó registrada, debió pasar por uno de sus puntos ciegos, es mucho asumir, me parece a mí. Demasiadas asunciones, la ciencia no funciona así. Porque por la misma regla de tres, yo también tendría derecho a pensar lo siguiente, y también podría ser llamado ciencia de esa clase, asumiendo cosas:

En Livingston, alguien está estudiando cómo configurar los parámetros para una inyección hardware de señal, usando una plantilla de estrella binaria de neutrones que colapsa. El problema no es fácil en principio, ya que ha sido informado de que VIRGO no admite en esos momentos inyecciones hardware de señales, desde LIGO, por que está en modo unlock. La resolución del problema resulta ser sorprendentemente fácil: pones VIRGO en uno de sus puntos ciegos, y después juegas con los parámetros de desfase tenporales para inyectar por hardware la señal en L1 (livingston) y H1 (Hanford), de tal forma que la localizacion de la supuesta fuente esté dentro de la franja de error vista por Fermi. Incluso me atrevería a decir que el origen de ese glitch que se vio en L1 se debió a una inyección hardware de señal. Sí querida Mula Francis, el origen de esos glitches está, en su mayoría, en las inyecciones de hardware, ya que hay que mover mediante servos las masas-espejos, y eso nunca se hace de forma suave. Las inyecciones por software no tienen ese problema de los glitches, ya que van directamente a la base de datos de salida. Para quien quiera saber cómo se genera la mayoría de esos glitches, debido a inyecciones de hardware, puede consultar este paper:

https://dcc.ligo.org/public/0113/T14…%20Data.pdf

Por cierto, querida Mula Francis, ya hay científicos serios, independientes de LIGO, investigando el tema de las inyecciones en el seno de la LVC, y de qué forma los supuestos eventos descubiertos hasta ahora, que se han dado por válidos, se pudieron obtener de forma fraudulenta. Porque, afortunadamente todo no se hace mal en LIGO, y hay disponibles para el público los booklogs desde 2015 hasta hoy. He aquí un pequeño ejemplo, de alguien que se tomó la molestia de contar cuantas inyecciones de señal hay registradas en los logs de LIGO, y qué se puede hacer con ese Big Data:

http://www.academia.edu/25059961/Big…t_2010-2016

Saludos querida Mula Francis

 

Francisco R. Villatoro Francisco R. Villatoro

Concha, como es obvio, en un detector de ondas gravitacionales se detectan ondas gravitacionales y si se detecta la señal más intensa hasta ahora (en SNR) en un detector, los otros dos también tienen que haberla detectado sí o sí; esto no es opinable. ¿Quieres opinar en contra? Hazlo, pero no en un blog de ciencia. ¿Quieres montarte una conspiración? Hazlo, pero no en un blog de ciencia.

Concha, si quieres trolear, busca otro blog.

 

Es divertido este Francis, ¿verdad? 🙂 ya hacía tiempo que no me reía tanto. En su primera réplica dice: “Las ondas gravitacionales son cuadripolares, luego H1, L1 y V1 tienen cuatro puntos ciegos (esta figura muestra los de V1), pero solo uno cae en la región localizada por H1 y L1 (o los otros tres están fuera)“. Hay que decirle que no es que se elija uno de los cuatro puntos ciegos de VIRGO por que sea el cae en la región localizada por H1 y L1, sino que esencialmente se elige ese porque de lo que se trata es de que la región localizada por H1, L1 y V1 esté dentro de la localizada por Fermi. De eso se trata.

Y cuando dice “ … en un detector de ondas gravitacionales se detectan ondas gravitacionales y si se detecta la señal más intensa hasta ahora (en SNR) en un detector, los otros dos también tienen que haberla detectado sí o sí“. Parece muy obvio ¿no?, pues no. En un detector de ondas gravitacionales no se detectan ondas gravitacionales, en realidad se detecta de todo menos ondas gravitacionales, si tu fe en las ondas gravitacionales está baja. Lo gracioso de todo esto es que los detectores de ondas gravitacionales son los únicos instrumentos que detectan de todo menos de aquello para lo que fueron ideados. Pero, claro la obviedad de la lógica de este Francis es como la de decir “una tostadora de pan sólo tuesta rebanadas de pan“.

Es evidente que “la fe mueve montañas“, y la “la fe en las ondas gravitacionales” mueve los espejos de los interferómetros LIGO.

Saludos conspiranoicos a todos 😀

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La ciencia zombie de la gallinita ciega que practica LIGO y sus cien mil hijos de San Luis: ¿Qué fue antes, el huevo GRB 170817A o la gallina GW170817?

Posted by Albert Zotkin en octubre 18, 2017

Queridos y amables lectores de Tardígrados. Después de ser explosionada una bomba atómica mediática más, respecto a los “inmensamente importantes descubrimientos” de LIGO y todas sus miles de ramificaciones crematísticas, afrontamos el nuevo escenario “post-apocalíptico” con entereza y esperanza. Ya sabíamos que estos americanos son unos genios del marketing y el merchandising a la hora de promocionar sus “éxitos científicos”. En la era de la posverdad, la ciencia zombie, propagada desde los cuarteles generales yanquis, se ha convertido en puro espectáculo hollywoodense. Las ruedas de prensa de LIGO se anuncian como si fueran pre-estrenos de películas de Hollywood. Compran tiempo en importantes medios de comunicación, tiene lobbies mediáticos por todo el mundo. Sus colaboradores se cuentas por decenas de miles en todas las universidades del mundo, sus colaborares científicos, que adjuntan sus nombres en los preprints y se cuentan por miles. Evidentemente, todo ese frondoso árbol debe regarse con abundante “agüita” cash. ¿Por qué les han concedido el Premio Nobel de Física de este año 2017 a los ideólogos de LIGO?. Para ayudar al Comité de los Premios Nobel a tomar tan “acertada” decisión, estos genios de la ciencia zombie, dejaron caer a finales de Septiembre discreta y disimuladamente, sobre todos y cada uno de los miembros de dicho comité, la noticia que anunciaron a bombo y platillo este lunes 16 de Octubre. Sí señoras y señores, los miembros del Comité de Premios Nobel ya sabían de antemano que estos “linces” de LIGO iban a anunciar a todo el mundo mundial el “inmenso descubrimiento científico” que anunciaron este lunes. Un trabajo impecable de los lobbies gravitacionales, sin duda. Y dije hace poco que los miembros del Comité de los Premios Nobel de Física no son tontos, pero por lo visto, tampoco son muy listos. Es evidente que los “genios” de LIGO utilizaron el anuncio de la noticia del lunes como una especie de chantaje, o mejor dicho, de extorsión sobre el Comité. Es decir, la extorsión consistió en lo siguiente, que obviamente no fue dicho por nadie, solo que fue inyectado sutilmente en todas y cada una de las mentes de los miembros del Comité del Nobel. “Aunque no nos concedáis el Premio Nobel este año, la semana siguiente anunciaremos a todo el mundo que hemos descubierto desde LIGO-VIRGO la fusión de dos estrellas de neutrones y 70 telescopios de todo el mundo han visto las señales ópticas”.

Yo pensé, después de que les concedieran el Nobel y anunciaran este lunes ese supuesto descubrimiento: “vaya, están exultantes, el premio Nobel les ha inyectado una buena dosis de ánimos, y ahora hasta se atreven con declarar que han detectado ondas gravitacionales de colisión de estrellas de neutrones, nada menos, ¡qué tios más buenos, coño!, están que se salen”. Pero no, el anuncio de este lunes ya estaba programado desde hacía tiempo. Era la bomba mediática que usarían como extorsión al Comité. Son unos genios, lo consiguieron. Mataron muchos pájaros de un sólo cañonazo mediático. Me gustará ver la cara de jilipollas que se le pondrá a mucha gente cuando se demuestre que todo esto del LIGO es sólo una puta mierda pinchada en dos palos transversales.

¿Y VIRGO?. Ese supuesto observatorio europeo de ondas gravitacionales, llamado la Colaboración por los jefes de LIGO, se ha dejado abducir. Si señoras y señores, VIRGO no es una colaboración de LIGO, es una mera abducción, un control férreo y perfecto de LIGO sobre él. Leamos en el mismo diario de noticias de LIGO como es esa abducción:

La Colaboración científica LIGO y la Colaboración VIRGO han completado con éxito la instalación del sistema y protocolos end-to-end (“extremo a extremo”) para detectar sus capacidades en el reciente encuentro de colaboracion celebrado en Arcadia, Califormia. El análisis de datos de las colaboraciones LIGO-VIRGO revela la evidencia de una elusiva señal procedente de una estrella de neutrones cayendo en espiral hacia un agujero negro. La Colaboración sabía que esta “detección” podría ser una “inyección ciega” — es decir, una señal falsa, simulada, añadida a los datos sin que lo supieran los analistas, para comprobar el correcto funcionamiento del detector y su reflejo en los análisis. Sin embargo, la Colaboración procedió como si la señal fuera real, y escribió y se aprobó un documento científico informando del pionero descubrimiento. Unos momentos después, de acuerdo al plan y los protocolos de las inyecciones ciegas, se hizo saber a todas las colaboraciones y al público en general, que todo había sido una inyección ciega. Aunque los científicos presentes quedaron algo decepcionados al ver que no había sido algo real, sino simulado, el éxito de los análisis demostró que la Colaboración era óptima y preparada para la detección de ondas gravitacionales. Los científicos de LIGO-VIRGO, con sus avanzados detectores, están ya en marcha, y esperan observar muchas señales reales procedentes de los más remotos y recónditos lugares del universo.

Amigos, esa “Arcadia feliz” celebrada por los LIGO-budienses, en Arcadia California, fue simplemente la consumación de una pura abducción. La abducción de VIRGO por LIGO. Tras ese ensayo patético, llegó la supuesta señal observada tanto por LIGO como por VIRGO, la GW170814, dos supuestos agujeros cayendo en espiral el uno hacia el otro. Tres días más tarde, atención pregunta: ¿El evento llamado GW170817, correspondiente a dos supuestas estrellas de neutrones cayendo en espiral la una hacia la otra y colisionando, fue visto por VIRGO además de por LIGO?. Atención pregunta: El Estallido de Rayos Gamma llamado GRB 170817A observado con el telescopio Fermi de Rayos Gamma de la NASA fue antes o después del supuesto evento supuestamente visto por la Colaboración LIGO-VIRGO?. ¿Por qué hago estas preguntas tan supuestamente estúpidas? ¿Qué fue antes, el huevo GRB 170817A o la gallina GW170817?. Los linces de LIGO dicen que una vez que vieron el evento GW170817 avisaron corriendo, no sólo a los del telescopio espacial Fermi, sino a los de 70 telescopios más de todo el mundo, para que apuntaran hacia la localización celeste que ellos les estaban gentilmente ofreciendo, para que pudieran ver el grandioso espectáculo de cómo dos estrellas de neutrones chocaban y emitían no sólo ondas gravitacionales sino chorros visibles de rayos gamma y demás centellas. Es decir, Los genios de LIGO avisaron. Es evidente que estos genios de LIGO no sabían que Fermi ya había observado ese estallido RGB 170817A antes de que ellos “observaran” supuestamente el suyo, el GW170817. Veamos la secuencia de los hechos:

1. Tenemos localizado a uno de los “cien mil hijos de San Luis”, un colaborador de LIGO, cuyo nombre sale en la lista de todos los papeles que publica LIGO, y también trabaja para el telescopio Espacial de Rayos Gamma Fermi de la NASA.

2. Esa persona, de momento anónima, con la connivencia de sus jefes en Fermi, informa extraoficialmente a LIGO del hallazgo, porque es un científico honesto al que se le ocurrió la feliz idea de que tal vez en LIGO pudieran quizás remotamente observar algún tipo de onda gravitacional como procedente de esa localización celeste, que tan inocentemente les esta ofreciendo.

3. Los linces LIGO-budienses se miran unos a otros en silencio, se sonríen con complicidad, se frotan las manos y envían el siguiente mensaje a los responsables de las inyecciones ciegas de la Colaboración LIGO-VIRGO: “hola, a ver si podéis diseñar una simulación en menos de 1 hora para esto: se trata de ondas para dos estrellas de neutrones, y aquí os adjunto la localización celeste y otras características técnicas del pedido. Cuando lo tengáis cocinado y en su punto nos lo servís en la mesa, estamos esperando y tenemos mucha hambre”.

4. Los inyectores, Master Chef de las simulaciones,envían el paquete precocinado a la mesa de sus jefes, estos abren la tapa y ven la exquisita gallina asada GW170817, aún humeante y con todos sus jugos, lista para hincársele el diente.

5. Le hincan el diente. Inyectan la señal de forma impúdica, no sólo a los detectores de LiGO (Livingston y Hanford), sino que también se la envian a VIRGO via Arcadia. El problema es que el detector VIRGO estaba apagado, por fiestas patronales, y la señal simulada no tuvo efecto. Pero los linces de LIGO le dieron la vuelta al argumento, y razonaron de la siguiente forma: Si VIRGO no ha visto nada debe ser porque las ondas pasaron por sus dos puntos ciegos (todos los detectores de ondas gravitacionales tipo advancedLIGO, poseen dos puntos ciegos). Los linces de LIGO sabían cual era la franja celeste donde localizar las coordenadas exactas del evento GRB 180817A visto desde Fermi. Que VIRGO fallara en ver el supuesto evento GW170817 supondría acotar esa franja celeste y dejarla reducida a una tercera parte, al solapar los puntos ciegos de VIRGO con la franja. Todo fue minuciosamente estudiado y fabricado antes de ser publicado. ¿He dicho ya que estos tipos de LIGO son unos genios?. ¡Qué causalidad, coño, siempre es VIRGO la hermanita pobre y ciega de la película!, ella es la que siempre falla a la hora de constatar las detecciones clave. Para una vez que se produce el evento histórico GW170817, resulta que es VIRGO la que está situada de tal forma que la onda le pasa por sus dos puntos ciegos. ¡Vaya por Dios, qué mala suerte!. Veamos, en la Colaboración LIGO VIRGO hay tres detectores, dos en USA y uno en Italia. Existía por lo tanto dos tercios de probabilidad de que el punto ciego ese estuviera en alguno de los detectores de USA y un tercio en el de Italia, y ¡coño, le tocó al de Italia!. Hay que joderse, ¿no?. Porque, claro, si le toca el punto ciego a uno de USA ya no habría detección fiable del susodicho evento GW170817. Además de genios estos tipos de LIGO son unos trileros.

6. De todas formas, se activaron todos los protocolos de detección, y se mandaron coordenadas celestes a 70 telescopios respartidos por todo el mundo.

7. Los astrónomos pudieron observar visualmente un estallido de rayos gamma, gracias a que LIGO les informó a tiempo.

8. LIGO envió coordenadas celestes hasta a Fermi. Pero vamos a ver. Alguien en Fermi dirá, “vaya, nosotros les enviamos coordenadas celestes del GRB 1700817A, y ellos, en menos de una hora, nos envían las mismas coordenadas celestes pero, para un GW170817. Extraordinario, fantástico, lo nunca visto señores. Esto quedará para los anales de la ciencia”. Si, si, para los anales de la ciencia zombie, raíz semántica de ano más que de anual.

De todas formas yo no creo que estos genios de LIGO se atrevieran a tanto con sus inyecciones ciegas, y más sabiendo que VIRGO no colaboró en eso esta vez, por muy eufóricos que estuvieran por lo del Premio Nobel. Estos genios gravitacionales del merchandising, estos LIGO-budienses, que saben muy bien cómo hacer caja facturando posverdad, ahora han inventado una nueva herramienta más eficaz y menos escandalosa que sus famosas inyecciones ciegas, para falsificar sus hallazgos, y seguir engañando a todos todo el tiempo. Se trata de diseñar a la carta las plantillas para detectar determinadas clases de señales. Si, la técnica del refinamiento ha llegado a tan alto nivel en LIGO que ya saben hasta cómo han de ser las plantillas para que se vea aquello que ellos quieren que sea visto, y nada más. El problema con las plantillas a la carta es que de vez en cuando se les escapa un poquito de ruidito correlacionado, pero nada importante que eche por tierra todo el trabajo de “escultura”. Basta con ignorar a los cuatro gatos que osen denunciar que existió mucho ruido correlacionado. A fin de cuentas, los de la colaboración LIGO-VIRGO son miles, y el consenso oficial está de su parte. “La ciencia es democracia” es su dogma, la “verdad es la fe de la mayoría” es su lema. Así pues, a LIGO-VIRGO, más que observatorio de ondas gravitacionales yo lo llamaría “taller de escultura”. Coge un ruido de fondo y empieza a “esculpirlo”, quitando todo aquello que no quieres que forme parte de tu señal. Así es como trabaja el diablo cojuelo de LIGO-VIRGO ahora. En sus bases de datos sólo hay almacenado ruido de fondo, eso sí, muy bien etiquetado con sus fechas y horas en que fueron detectados. Así pues, ¿cómo se “esculpe” una señal de dos estrellas de neutrones en caída libre una hacia la otra, hasta colisionar?. Muy fácil, todo se hace a posteriori, en el taller de “escultura”, también llamado centro de análisis de datos. Elije, de la base de datos de ruidos de fondo, ruido de un día cualquiera del pasado reciente, por ejemplo del día 17 de Agosto de 2017, a las 12:41:04 hora UTC. Una vez en el taller de “escultura”, un genio de LIGO, un Miguel Angel de las ondas gravitacionales, decide qué es lo que hay escondido dentro de ese ruido de fondo. Claro, todo esto se está haciendo en un día muy posterior al de la supuesta detección, por ejemplo, el dia 2 de Octubre de 2017, cuando alguien de los Premios Nobel anuncia que “el premio de este año va para … LIGO”. ¿Y qué es lo que hace ese Miguel Angel de las ondas al oír esa noticia? Pues elije una plantilla para detectar colisiones de estrellas de neutrones, y decide que el día 17 de Agosto de 2017, lo que hay escondido dentro de todo ese ruido de fondo almacenado en sus voluminosas bases de datos es, ni más ni menos, que el evento GW170817 de dos estrellas de netrones colisionando, detectado a las 12:41:4 hora UTC. Si en lugar de elegir esa plantilla especifica hubiera elegido otra, por ejemplo, una para dos agujeros negros colisionando, entonces el evento de estallido de rayos gamma GRB 170817A, observado por el telescopio espacial Fermi el dia 17 de Agosto de 2017 a las 12:41:06 hora UTC, habría quedado huérfano de señal gravitacional.

Pero, ¿qué es la ciencia zombie?. La ciencia zombie es básicamente una posverdad. Usan brutal y muy eficazmente a los medios de comunicación de masas, redes sociales, etc, para convencer al mayor número de gente posible de todo aquello que no pueden convencer por sus propios méritos. La ciencia zombie es por lo tanto, fraude, engaño, mentira. ¿Cuál es el problema con todo esto de LIGO y las ondas gravitacionales?. El problema es que eso no puede ser considerado ciencia, porque, más bien, para dilucidar la verdad se necesita un proceso judicial más que un proceso en el que se aplique el método científico. Porque, para saber si de verdad se detectan esas ondas gravitacionales se necesita todo un entramado jurídico-notarial, con abogados, procuradores, defensores, acusadores, pruebas a favor, pruebas en contra, testimonios, indicios, testigos, victimas, imputados, jueces, jurados. Es decir, se necesita todo lo que hace falta para saber quien fue el asesino y si hubo algún motivo. O sea, se necesita de todo menos de lo que hace la ciencia de verdad, aplicar el método científico para testar teorías o hipótesis científicas.

Saludos correlacionados a todos 😛

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Cómo romper los códigos criptográficos RSA: factorizacion de semiprimos y las raices rectangulares

Posted by Albert Zotkin en noviembre 18, 2016

riemann-estela
En la actualidad, usamos algunas de las propiedades de los números primos para codificar mensajes, de modo que ningún intruso pueda leer fácilmente nuestras comunicaciones. Para ello usamos la propiedad siguiente de los número semiprimos: Elegimos dos números primos suficientemente grandes, y obtenemos el semiprimo multiplicándolos. El número semiprimo será parte de la llave pública para nuestro método de encriptación, y con los dos números primos se construyen las llaves privadas. Dado un semiprimo suficientemente grande, es prácticamente imposible hallar en tiempo razonablemente corto, sus dos factores primos. Eso es incluso casi intratable usando supercomputadores. esta dificultad se llama Problema RSA.
Si estás interesado en desencriptar los códigos que protegen el acceso a tarjetas de crédito bancarias o a páginas web seguras, quizás estés interesado en participar en esta clase de Competición de factorización RSA. Veamos un semiprimo catalogado por la RSA y que tiene un premio de 100.000 dólares para quien halle sus dos factores primos. Este semiprimo es el RSA₁₀₂₄, es decir, posee 1024 cifras binarias (309 cifras decimales):

\displaystyle \text{RSA}_{1024} = \\ 13506641086599522334960321627880596993888147560566702752448514385152651060 \\ 48595338339402871505719094417982072821644715513736804197039641917430464965 \\ 89274256239341020864383202110372958725762358509643110564073501508187510676 \\ 59462920556368552947521350085287941637732853390610975054433499981115005697 \\ 7236890927563
Si queremos factorizar con éxito un número semiprimo de la RSA, lo primero que debemos hacer es estimar lo grande que serán sus dos factores primos. Así, para ese RSA₁₀₂₄, los dos factores primos estarán muy cerca relativamente de su raíz cuadrada, es decir, números primos cercanos a las 154 cifras decimales, o lo que es lo mismo, números primos de entre 100 y 200 cifras decimales. Por ejemplo, si uno de los primos resulta tener 120 cifras decimales, el otro estaría muy próximo a las 188. Pero, veamos, ¿cuántos números primos hay que tengan entre 100 y 200 cifras decimables?. Usemos la función contador de números primos, π(x), aproximémosla a x/log(x), porque según Gauss, esa es una buena aproximación para un x suficientemente grande. Así los números primos que tienen entre 100 y 200 cifras decimales son aproximadamente :

\displaystyle 2.17 \times 10^{197}
Supongamos que disponemos del superordenador más potente del mundo, el reciente Sunway TaihuLight, capaz de operar a máximo rendimiento, que es de 125.43 petaFLOPS. Conseguiría resolver el número RSA₁₀₂₄ 1 petaFlop es 1 opración de coma flotando por cada femtosegundo. 10¹⁵ femtosegundos son 1 segundo. En total tardaríamos un maximo de :

\displaystyle 2.17 \times 10^{197} \times 10^{-15} = 2.17 \times 10^{182} \; \text{segundos,}
un tiempo demasiado largo como para tener alguna esperanza de llegar en vida hasta el final del cálculo y verlo con nuestros propios ojos 😛

Veamos ahora qué es una raíz rectangular. Cuando calculamos una raíz cuadrada en realidad estamos calculando dos números, pero como ambos son iguales, no nos damos cuenta que en realidad es un par de números. Por ejemplo, la raices cuadradas de 64 son el par (8, 8):

\displaystyle \sqrt{64}=(8,8)
Podemos calcular para 64 su raices rectangulares, ya que si nos fijamos 64 puede escribirse como 2 elevado a diferentes exponentes, es decir:

\displaystyle 64 = 2^6 = 2^3 \times 2^3 =  2^2 \times 2^4 = 2^1 \times 2^5
Es decir, el número 64 posee dos pares de raíces rectangulares y un par de raíces cuadradas:

\displaystyle 64 = (8,8) = (4,16) = (2,32)
Así, para entendernos, pondremos el par de exponentes de las raices rectangulares entre corchetes, de modo que siempre tendremos la equivalencia:

\displaystyle 1 = \left[\frac{3}{6}, \frac{3}{6}\right] = \left[\frac{2}{6}, \frac{4}{6}\right] = \left[\frac{1}{6}, \frac{5}{6}\right]
Con esto, lo único que estamos haciendo es dividir la unidad en dos partes, de modo que su suma sea esa misma unidad. ¿Por qué el número 64 posee esas raices rectangulare y no otras?. En realidad posee muchas más, pero las que he escrito arriba son las que dan raices enteras. Veamos estos casos:

\displaystyle 64 = 64^{\tfrac{1}{4}}\times 64^{\tfrac{3}{4}}= (2\sqrt{2}) (16\sqrt{2}) \\  64 = 64^{\tfrac{1}{5}}\times 64^{\tfrac{4}{5}}= (2\sqrt[5]{2}) (16\sqrt[5]{2^4}) \\
en general, para cualquier par de número enteros m y n, que sean coprimos,tendremos las raices rectangulares de un número N:

\displaystyle N= N^{\tfrac{m}{n}}\times N^{1-\tfrac{m}{n}}
Veamos ahora cómo aplicamos esto a la factorizaación de números RSA: sean los números primos p = 486023 y q = 598727, por lo que su producto es N = 290995092721. Empezaremos nuestros cálculos con su raíz cuadrada:

\displaystyle \sqrt{N}=539439.60989252541168458987732327730802813682656081\ldots
Igualmente sabemos que ha de ser:

\displaystyle p= N^{\tfrac{m}{n}} \\  q= N^{1-\tfrac{m}{n}}

y puesto que sabemos los valores de p y q, es fácil resolver m y n:

\displaystyle \frac{m}{n}=\frac{\log p}{\log(pq)} \\ \\ \\  1-\frac{m}{n}=1-\frac{\log p}{\log(pq)}=\frac{\log q}{\log(N)}
Por otro lado, si pensamos un poquito, nos daremos cuenta de que factorizar un número RSA no es muy difícil en principio, la dificultad reside en que los números primos, p y q, que forman el semiprimo N, sean muy grandes. Así, es incluso posible presentar una ecuación matemática con la que podemos resolver cualquier número RSA, y es esta:

\displaystyle \mathrm{mcd} (N, \lfloor\sqrt{N}\rfloor !)=\min (p,q) (1)
Aquí N es producto de los dos primos p y q, mcd es el máximo común divisor de dos números, \lfloor\ r\rfloor ! es el factorial de la parte entera del número real r. Podemos incluso optimizar un poco esa ecuación (1) si usamos el primorial en lugar del factorial,

\displaystyle \mathrm{mcd} (N, \lfloor\sqrt{N}\rfloor \#)=\min (p,q) (2)
Si N ya es en principio un número muy grande (más de 1024 digitos binarios), el factorial (o el primorial) de la parte entera de su raíz cuadrada será incluso más grande aún, prácticamente intratable. De ahí que las fórmulas (1) y (2) aunque sean correctas, no son muy útiles para el cálculo. En realidad, para calcular un mcd de dos números primero hay que factorizar esos dos números. Es evidente que factorizar N es más fácil que factorizar el primorial de la parte entera de su raíz cuadrada.

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