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537 ejercicios con soluciones: función Tahawus

Posted by Albert Zotkin en junio 10, 2018

A continuación presento una serie de ejercicios con ecuaciones exponenciales y funciones polinómicas super cuadráticas, en los que hallaremos las respectivas funciones inversas. Al hallar una función inversa estamos implícitamente hallando sus raíces, ya sean reales o imaginarias.

Definamos la función Tahawus, \mathcal{T} ,como la función inversa de

\displaystyle  y = \frac{x^{x}-1}{x} \\ \\
es decir,
\displaystyle  x=\mathcal{T}(y)
De la misma forma que la función W de Lambert, W, es la función inversa de:

\displaystyle  y = x \; e^x \\ \\
es decir,
\displaystyle  x=W(y)
1 Despeja la x en la siguiente ecuación:

\displaystyle  x^x=y

\displaystyle  \log(x^x) = \log y \\ \\   \log(x)x = \log y \\ \\  \log(x)e^{\log x} = \log y \\ \\  \log(x) = W(\log y)

\displaystyle  x=e^{W(\log(y))} \\   x=\textbf{ssrt}(y)
donde ssrt(y) es la super-raíz cuadrada de y.

2 Despeja la x en la siguiente ecuación:

\displaystyle  e^x +x =y

\displaystyle  e^{e^x}e^x=e^y \\ \\   z=e^x \\ \\  e^{z}z =e^y  \\ \\  z =W(e^y)  \\ \\  e^x =W(e^y)  \\ \\

\displaystyle  x =\log W(e^y) \\ \\   x =y-W(e^y)

3 Expresa la función W de Lambert, W(z), desde la super-raíz cuadrada ssrt(z)

\displaystyle  x=e^{W(\log(y))} \\ \\  x=\textbf{ssrt}(y)\\ \\  e^{W(\log(y))}=\textbf{ssrt}(y)\\ \\   W(\log(y)) =\log \textbf{ssrt}(y)\\ \\   z= \log(y)

\displaystyle  W(z)=\log \textbf{ssrt}(e^z)

4 Despeja la x en la siguiente ecuación:

\displaystyle  e^{e^{e^{-x} \left(-1+\left(e^x\right)^{e^x}-e^x x\right)} \left(-1+\left(e^x\right)^{e^x}\right)} =y

\displaystyle  x = \log \mathcal{T}(W( \log y))

5 Despeja la x en la siguiente ecuación:

\displaystyle  \mathcal{T}(x)^{\mathcal{T}(x)}=y

\displaystyle  \mathcal{T}(x) =\text{ssrt}(y) \\ \\   x =\frac{\text{ssrt}(y)^{\text{ssrt}(y)} -1}{\text{ssrt}(y)} \\ \\

\displaystyle  x =\frac{y -1}{\text{ssrt}(y)} \\ \\

6 Despeja la x en la siguiente ecuación:

\displaystyle  \frac{\mathcal{T}(x)^{\mathcal{T}(x)}-1}{\mathcal{T}(x)}=y

\displaystyle  \mathcal{T}(x) =\mathcal{T}(y) \\ \\

\displaystyle  x = y

7 Despeja la x en la siguiente ecuación de la torre infinita (Iteración exponencial de Euler):

\displaystyle  x^{x^{x^{.^{.^{.}}}}}=y

\displaystyle  x^{x^{x^{.^{.^{.}}}}} \log x= \log y \\ \\   y \log x= \log y \\ \\    \log x= \frac{\log y}{y} \\ \\   \log x= \log y ^{\frac{1}{y}} \\ \\

\displaystyle  x = \sqrt[y]{y}

8 Sabiendo el valor de x calcula el valor de y en la torre infinita anterior (Iteración exponencial de Euler):

\displaystyle  x^{x^{x^{.^{.^{.}}}}}=y \\ \\   x^{x^{x^{.^{.^{.}}}}} \log x= \log y \\ \\    \log y = y \log x \\ \\   y = e^{y \log x}  \\ \\   y e^{-y \log (x)}=  1 \\ \\   - y  \log (x) e^{-y \log (x)} =  -\log (x) \\ \\   - y  \log (x)  =W (-\log x)

\displaystyle  y = \frac{W (-\log x)}{-\log x}

9 Despeja la x en la siguiente ecuación de la torre infinita (Iteración exponencial de Euler modificada):

\displaystyle  x^{x^{x^{.^{.^{.}}}-1}-1}-1=y

\displaystyle  (x^{x^{x^{.^{.^{.}}}}-1}-1)\log x= \log (y+1) \\ \\   y\log x=\log (y+1) \\ \\    \log x= \frac{\log (y+1)}{y} \\ \\   \log x= \log (y+1) ^{\frac{1}{y}} \\ \\

\displaystyle  x = \sqrt[y]{y+1}

10 Sabiendo el valor de x, calcula el valor de y en la torre infinita anterior (Iteración exponencial de Euler modificada). O lo que es lo mismo, encuentra una forma cerrada para esa iteración infinita:

\displaystyle  x^{x^{x^{.^{.^{.}}}-1}-1}-1=y \\ \\   (x^{x^{x^{.^{.^{.}}}-1}-1}-1) \log x= \log (y+1) \\ \\    \log (y+1) = y \log x \\ \\   y+1 = e^{y \log x}  \\ \\   (y+1) \; e^{-y \log x}=  1 \\ \\   -(y+1) \log(x) \; \;  e^{-y \log x} \; e^{-\log (x)} =  -\log(x) \;e^{-\log x} \\ \\   -(y+1) \log(x) \;  e^{-(y+1) \log (x)} = -\log (x) e^{-\log x} \\ \\   -(y+1)\log x = W(-\log (x) e^{-\log x}) \\ \\   y+1 = \frac{W(-\log (x) e^{-\log (x)})}{-\log x} \\ \\ \\  y = \frac{W(-\log (x) e^{-\log (x)})}{-\log x}-1 \\ \\ \\  y = \frac{W(-\frac{\log x}{x})}{-\log x}-1

\displaystyle  y = \frac{W(-\log \sqrt[x]{x})}{-\log x}-1

11 Despeja la x en la siguiente ecuación:

\displaystyle  \log \left(\frac{e^{x e^x}-1}{e^x}\right) =y

\displaystyle  \frac{e^{x e^x}-1}{e^x} =e^y \\ \\  \frac{(e^x)^{e^x}-1}{e^x} =e^y \\ \\  e^x = \mathcal{T}(e^y)

\displaystyle  x=\log \mathcal{T}(e^y)

12 Despeja la x en la siguiente ecuación:

\displaystyle  x\; e^{-1+x+e^x x}\;-e^{-1+e^x x} -1=y \\ \\

\displaystyle  x\; e^{-1+x+e^x x}\;-e^{-1+e^x x} -1=y \\ \\   (x e^x-1)e^{x e^x-1}-1=y\\ \\  x e^x-1 = W(y+1)\\ \\  x e^x = W(y+1)+1\\ \\

\displaystyle  x e^x = W(W(y+1)+1)

13 Despeja la x en la siguiente ecuación:

\displaystyle    e^{\log (x+1) e^{\log (x+1)}}=y \\ \\

\displaystyle   \log (x+1) e^{\log (x+1)}=\log y \\ \\   \log (x+1) =W(\log y) \\ \\  x+1=e^{W(\log y)}

\displaystyle  x=e^{W(\log y)}-1

14 Calcula \sqrt[x]{x}  en función de y, de la forma más simplificada posible, sabiendo que:

\displaystyle   x=\frac{W(y)}{y} \\ \\

\displaystyle  xy= W(y) \\ \\  xy e^{xy}= y \\ \\  x e^{xy}= 1 \\ \\  e^{xy}=\frac{1}{x} \\ \\  xy=\log \left(\frac{1}{x}\right) \\ \\  \frac{1}{x}\log \left(\frac{1}{x}\right)=y \\ \\  \frac{1}{x}\log (x)=-y \\ \\  \log (x^{\frac{1}{x}})=-y \\ \\  x^{\frac{1}{x}}=e^{-y} \\ \\

\displaystyle  \sqrt[x]{x}=e^{-y}

15 Relaciona la función W de Lambert con la función Tahawus.

\displaystyle  \frac{x^x-1}{x}= y \\ \\  x= \mathcal{T}(y) \\ \\ \\  x^x = y x +1 \\ \\  x= e^{W(\log (y x +1))}\\ \\ \\

\displaystyle  \mathcal{T}(y) = e^{W(\log (y \mathcal{T}(y) +1))}\\ \\
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La velocidad de la luz no es una verdadera velocidad, es una latencia

Posted by Albert Zotkin en mayo 25, 2018

Hola amigos de Tardígrados. Hoy vamos a estudiar algunos aspectos de uno de los fenómenos más extraños y misteriosos de nuestro universo, la luz. Tambíén llamada fotones, ondas, energía o radiación electromagnética. La luz es, junto con la gravedad, uno de los misterios más grandes de la física. Aunque pudiera parecer que las ondas electromagnéticas ya no poseen ningún misterio para la Física, en realidad si los posee, y profundos. ¿Qué es la luz?, ¿Es una onda o es una partícula?. Depende (como diría un gallego). Depende, del instrumento y el experimento que realicemos, la luz nos aparecerá como partícula o como onda, pero nunca como una mezcla de las dos. En un experimento nos parecerá que es una partícula que llamamos fotón, y en otro bien distinto, como una onda electromagnética de cierta frecuencia y longitud de onda. Eso es ya bien conocido en la Física, y se llama dualidad onda-partícula. Sin embargo, independientemente del experimento que realicemos para saber si la luz es partícula o es onda, lo que sí parece ser invariante es que se nos manifiesta siempre como propagándose a cierta velocidad finita. Según el medio en que se propague, dicha velocidad tendrá un valor u otro, pero siempre el mismo si el medio es el mismo.

El vacío puede también ser considerado un medio. El realidad el vacío sería el único medio por el que puede propagarse la luz, y su velocidad sería la constante c. Sería pues una especie de éter, aunque la palabra éter es una palabra maldita para los maintreamófilos, ya que suplantaría al sacrosanto espacio-tiempo de la relatividad Einsteniana, y eso sería un sacrilegio (Einstein dijo: “no hay éter“, y eso es Verbum Dei). Cualquier otro medio distinto al vacío ya implica la existencia de materia intermedia entre emisor y receptor, con lo cual, la velocidad de propagación, en ese medio distinto al vacío, sería siempre menor a la original c. Pero, un fotón no debe ser nunca visto como una “pelotita” que revolotea por ahí, desde que es lanzada por el emisor hasta que es captada por el receptor. Los fotones, no son partículas libres, sino partículas virtuales. ¿Qué significa que una partícula sea virtual en lugar de libre?. La principal propiedad es que una partícula virtual parece haber sido emitida “hacia atrás en el tiempo” a la vez que “hacia adelante“. Existe una especie de transacción secreta entre el emisor del fotón y el receptor. Y esa transacción (“papeleo burocrático“) empieza a tener lugar mucho antes de que la partícula sea emitida realmente. ¿Por qué es eso así?. Imagina que una fuente emisora de fotones los lanzara al medio (el vacío), sin que existiera un receptor para cada una de esas partículas emitidas. Esos fotones, o algunos de ellos, nunca serían absorbidos. Y si un fotón no es absorbido no existe transferencia de energía, con lo cual, el fotón virtualmente nunca habría sido emitido. Esa es la razón por la cual, cuando un fotón es emitido, será con absoluta seguridad absorbido eventualmente por algún sistema material. ¿Qué ocurriría si una fuente emite realmente un fotón que nunca será absorbido?. Pues sencillamente que esa energía se perdería, y eso significaría, que el universo perdería energía, se enfriaría, sería un sistema termodinámico abierto. Seria un absurdo más. Pensemos por ejemplo, el caso contrario, un sistema material que absorbe un fotón, el cual nunca fue emitido por ninguna fuente. Señoras y señores, estamos ante la presencia de las famosas paradojas que tanto les gustan a los Einsteinianos y demás especímenes, mainstreamófilos. Esa energía, que salió del emisor, no llegaría a ninguna parte, sería como si la energía pudiera destruirse. Puesto que la energía no puede destruirse ni perderse para siempre, cuando un fotón es emitido es porque será absorbido con total seguridad tarde o temprano, y cuando un fotón es absorbido es porque antes fue emitido por una fuente. Ese es el realismo que hay que imponer en la física, el sentido común, nada de paradojas ni viajes en el tiempo.

Enfoquemos nuestra atención un poco más en el punto del que estamos hablando hoy: la velocidad de la luz en el vacío, c. De hecho, esa supuesta velocidad sería una velocidad de fase, c = vp, en contraposición a la velocidad de grupo, vg. Es decir, según el conocimiento de la Física oficial, la mainstreamófila, la del Libro Sagrado, toda onda posee una velocidad de fase y una velocidad de grupo, las cuales no siempre coinciden en un mismo valor. La velocidad de fase está definida como el cociente entre la longitud de onda y el periodo, vp = λ / T, o lo que es lo mismo, el cociente entre la frecuencia angular y el número de ondas, vp = ω / k. En cambio, en el Libro Sagrado de la Física Mainstreamófila, la velocidad de grupo se define como la derivada parcial de esa frecuencia angular respecto del número de ondas, es decir, vg = ∂ω / ∂k. Luego la información y la energía que transporta una onda electromagnética, viajarían por el espacio según la velocidad de grupo. Pero, si nada hay que disperse en el vacío a dicha onda electromagnética, entonces esa velocidad de grupo coincidiría con su velocidad de fase, vp = vg. Y eso siempre ocurre cuando la frecuencia angular, ω, es directamente proporcional al número de ondas, k.

Veamos ahora que significaría que esa velocidad de la luz en el vacío sea una constante c = 299792458 m/s, siempre la misma, independientemente del sistema de referencia desde el cual la midas. Imagina que viajas cómodamente en tu coche por la autopista, y cada cierto tiempo miras el velocímetro, (sobre todo para controlar que no te cace uno de esos radares ocultos y te pongan una multa por exceso de velocidad). Compruebas que tu velocidad es constante v = 90 km/h. Sin embargo, tu velocidad real podría ser otra muy distinta a esa que lees en el velocímetro del tu coche. Matemáticamente hablando, la velocidad que lees en tu velocimétrico es un residuo o resto. Imagina que tu velocímetro es como la esfera de un reloj, pero en lugar de tener 12 divisiones, una por cada hora, posee 299792458, una por cada metro por segundo. Cuando tu velocímetro marca el cero, entonces eso indicaría que tu coche está parado, o también que tu coche viaja a la velocidad de la luz, c. Pero, eso parece imposible, ¿no?. Si algo está parado, no puede estar viajando a la vez a otra velocidad distinta a cero, si se mide en el mismo sistema de referencia, ¿verdad?.

El problema es que el velocímetro de nuestro coche es circular, y sólo posee 299792458 divisiones, una por cada metro por segundo. Por lo tanto, toda velocidad v, superior a c, será matemáticamente truncada a su residuo:

\displaystyle  v\equiv 0{\pmod {c}}
Hay una clase de partículas elementales llamadas leptones. Y nos preguntamos: ¿qué ocurriría si un electrón, que es un leptón, supera la velocidad de la luz, c?. Sí, ya sé que eso, en el libro gordo de los maintreamófilos, se dice que es imposible. Pero, ¿qué apariencia tendría en nuestro universo relativista tal “imposible fenómeno“?. Pues, si eso ocurriera, lo que veríamos sería un muón, viajando a una velocidad residual, es decir, una velocidad sublumínica. Y en contrapartida por truncar su velocidad superlumínica, su masa se incrementaría, de tal forma que la energía total de la partícula siguiera siendo la misma. Eso explicaría por qué vemos hasta tres generaciones de leptones, pero claro, esa explicación tan bizarra y estúpida está descartada por la sacrosanta verdad absoluta del libro gordo de los maintreamófilos.

Profundicemos un poco en esta idea de los leptones superlumínicos. Supongamos que un electrón supera la velocidad de la luz en el vacío, llegando hasta una

\displaystyle  v_e = k c + \frac{c}{n}

Donde k y n son enteros positivos mayores que la unidad. Esto significa que el residuo es

\displaystyle  \frac{c(k n + 1)}{n}\equiv 0{\pmod {c}} = \frac{c}{n}
Eso quiere decir que, en nuestro universo observable, lo que veríamos sería un muón viajando a una velocidad sublumínica, el residuo vμ = c/n. Luego la energía total del electrón superlumínico debe ser igual a la energía total del muón sublumínico (la energía total de una partícula es la suma de su energía potencial y su energía cinética):

\displaystyle  m_e c^2 + K_e = m_{\mu}c^2 + K_{\mu}

Dividamos ambos lados de la ecuación por la energía potencial del electrón, m_e c^2:

\displaystyle  1+ \frac{K_e}{m_e c^2} = \frac{m_{\mu}}{m_e} + \frac{K_{\mu}}{m_e c^2}
Si aproximamos clásicamente la energía cinética del electrón y la del muón tendremos:

\displaystyle  K_e=   \frac{m_e v_e^2}{2} = \frac{m_e c^2 (kn+1)^2}{2n^2}\\ \\  K_{\mu}=   \frac{m_{\mu} v_{\mu}^2}{2} =  \frac{m_{\mu} c^2}{2n^2}
Con lo cual, la relación entre la masa del electrón y la del muón sería:

\displaystyle  1+ \frac{(kn+1)^2}{2n^2}=  \frac{m_{\mu}}{m_e} + \frac{m_{\mu}}{m_e}\left(\frac{1}{2n^2}\right) \\ \\ \\   \frac{m_{\mu}}{m_e} = \frac{1+2 k n+2 n^2+k^2 n^2}{1+2 n^2}
Por otro lado, sabemos experimentalmente que la ratio entre la masa del muón y la del electron es:

\displaystyle   \frac{m_{\mu}}{m_e} = \frac{105.6583745}{0.510998928}=206.768
Eso significa que, desde la aproximación clásica, un electrón sólo podría superar la velocidad de la luz en el vacío (n = 1) a partir de cierto número de ciclos k de c, que serían:

\displaystyle  k =-1\pm \sqrt{3\frac{m_{\mu}}{m_e} -2}=-1 \pm 24.8657
Luego, desde la aproximación clásica, para que un electrón emerja como un muón debe adquirir una velocidad superlumínica base de:

\displaystyle  v_e = c(k + 1)= 25.8657 c
Pero, ¿por qué digo en el título de este artículo que “La velocidad de la luz no es una verdadera velocidad, es una latencia?. Pues lo digo, porque, no es la velocidad clásica con la que imaginamos a un objeto moverse en el espacio. Lo que llamamos luz no se mueve por ningún espacio, es simplemente una transacción cuántica no-local entre dos o más sistemas materiales. Es no-local porque se produce a distancia, sin que el intermediario, el fotón, tenga que pasar por todos los puntos intermedios del intervalo espacial que los separa. Por eso, esa transacción posee una latencia, es decir, un retardo. Al dividir el intervalo espacial por el retardo siempre obtendremos la constante c, si esa transacción es en el vacío. Y para que esa constante sea una verdadera constante, debe ocurrir que la latencia (el retardo) sea directamente proporcional al intervalo espacial. La implicación más interesante de que esto sea así es que esa transacción empieza instantaneamente, sin demora.

Por ejemplo, supongamos que hacemos un ping (eco) con un rayo láser sobre la superficie de la Luna.

Tardaremos aproximadamente 2.5 segundos en ver nuestro rayo Laser reflejado, es decir, que la transacción electromagnética duró (tuvo una latencia de) 1.25 segundos en la ida, y otros tantos 1.25 segundos en la vuelta (reflejo). Pero, la transacción en la ida comenzó instantaneamente desde el mismo momento en que el rayo láser es lanzado desde la superficie de la Tierra, y dicha transacción termina exactamente a los 1.25 segundos. ¿Qué significa esto?. Significa que si supiéramos y pudiéramos construir un detector de media transacción (ansible), nuestro ping lunar sería detectado en la mitad de tiempo. Sería como si el fotón emitido por el láser hubiera viajado a dos veces la velocidad de la luz en el vacío. Pero, esa tecnología de los detectores de submúltiplos de transacción electromagnética no parece que se vaya a hacer realidad pronto, sobre todo si tenemos en cuenta qué teorías físicas imperan en la actualidad, y cuánto tiempo queda aún para que sean desterradas definitivamente. Los detectores de submúltiplos no serán realidad al menos hasta dentro de 1000 años o más, si tenemos en cuenta el ritmo real al que avanza la ciencia y la tecnología humanas.

Pero, podemos entrever cómo funcionaría un detector de submúltiplos. Cuando hacemos ping sobre la Luna, sabemos que observaremos el fotón reflejado al cabo de 2.5 segundos, y ese sería un suceso seguro, es decir, existiría una probabilidad p = 1 de que al cabo de 2.5 detectaremos el reflejo. Con un detector de submúltiplos de media onda, esa probabilidad se reduciría a la mitad si queremos detectarlo al cabo 1.25 segundos. Supongamos que nuestro ping contiene la información de un bit, representado por un 1. Entonces para detectar el submúltiplo con probabilidad segura, p = 1, necesitaríamos más de una antena, separadas espacialmente cierta distancia, cuantas más mejor. Pero, el problema se complica, ya que al estar separadas las antenas, no podremos integrar clásicamente la información completa en tiempos inferiores al de la latencia de la transacción.

¿Qué sería básicamente un ansible de submúltiplos (detector)?. Básicamente sería una antena multibanda. Supongamos que una antena normal, estándar, emite un único fotón hacia un ansible que se encuentra a 299792458 metros en el vació, y lo sintonizamos a media onda. Entonces, ¿seremos capaces de detectar el fotón en la mitad de tiempo, es decir, en 0.5 segundos¿. El ansible conseguiría ver un submúltiplo de ese fotón, no el de la frecuencia principal, con lo cual, la información sería redundante en todos y cada uno de sus múltiplos y submúltiplos, y cada uno llegaría a su ansible detector (no necesariamente el mismo) a un tiempo distinto.

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Supercomputación tetrádica: primera aproximación hacia una Teoría de la Super-Relativididad

Posted by Albert Zotkin en abril 22, 2018

En este pequeño artículo voy a definir una nueva clase de derivada de una función, y como corolario veremos cómo surge también una nueva variedad de superintegral indefinida.

La forma estándar de definir la derivada de una función f, para un valor x, es la siguiente

\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}} (1)
De esta forma, la derivada es una especie de medida de la rapidez con la que cambia esa función f. Lo que hemos hecho es incrementar la variable independiente x con un número infinitesimal h. Incrementar aquí es sumar. Pero también podríamos haber incrementado la x con otras operaciones, no sólo con una suma. Por ejemplo, podemos incrementarla mediante la multiplicación por un número muy próximo a la unidad. Definamos la superderivada de la función f de x de la siguiente forma:

\displaystyle \text{SD}(f(x))=\lim _{h\to 0} { \sqrt[h]{ \frac{ f(x(1+h)) }{f(x)} }} (2)
Esta superderivada, al definirla de esta forma, también es una especie de medida de la rapidez con la que cambia esa función f. Se puede demostrar fácilmente que esta superderivada está relacionada con la derivada estándar de esta forma:

\displaystyle \text{SD}(f(x))= \exp\left({ x \frac{f'(x)}{f(x)}}\right) (3)

Por lo tanto es posible hallar la superintegral indefinida de una función f(x), si podemos resolver para y la ecuación diferencial siguiente:

\displaystyle x y' = y \log f(x) (4)
Es decir, tenemos la exponencial siguiente y resolvemos para y:
\displaystyle f(x) = \exp\left(\frac{x y'}{y} \right) (5)
Pongamos un pequeño y simple ejemplo: Sea la función:

\displaystyle f(x) = x^2
Hallemos su superderivada primera:
\displaystyle \text{SD}(f(x))= \exp\left(\frac{x y'}{y} \right) = \\ \\   =\exp\left(\frac{2x^2}{x^2} \right) =  e^2   (6)
y vemos que es la constante e elevada al cuadrado. Hallemos ahora la superintegral indefinida de esa constante e2 (se trata de hallar la función y desde la ecuación diferencial:
\displaystyle  e^2  = \exp\left(\frac{x y'}{y} \right)  \\ \\  y = x^2 \\ \\  y =\text{SI}(e^2)=x^2 (7)
Igualmente, la superintegral indefinida de x2 es:
\displaystyle \text{SI}(x^2)=e^{\frac{1}{4} \log \left(x^2\right)^2} (8)

Las representaciones gráficas de estas tres funciones son así:

Alguien siempre puede decir,”muy bien, todo eso es muy bonito, pero ¿qué aplicaciones nos propones para esa supuesta teoría de la super-relatividad de la que hablas?“.

La primera, y más intuitiva, de las aplicaciones de la supercomputacion, en el terreno del modelado de fenómenos físicos, es el cálculo del efecto Doppler, de la luz que observamos, emitida por un objeto que se mueve respecto a nosotros con una velocidad constante, v, y en un entorno inercial. Acostumbramos a pensar que esa velocidad v es simplemente la primera derivada del espacio respecto al tiempo, y para calcular cómo varía la frecuencia de la luz observada, que fue emitida por ese objeto, debemos aplicar una teoría. pero, ninguna teoría nos estaba diciendo hasta ahora que la frecuencia Doppler observada es simplemente directamente proporcional a la primera superderivada del espacio respecto al tiempo. Es decir:

\displaystyle f= f_0 \;SD(r(x))= f_0 \; e^{\frac{x r'(x)}{r(x)}}
donde f0 es la frecuencia de la luz en el marco de referencia de la fuente y r(x) es la función desplazamiento, es decir, un vector que nos indica la posición de la fuente en nuestro marco de referencia. Veamos más específicamente cómo es este cálculo en un entorno inercial. En tal entorno inercial, la función desplazamiento r(x) es simplemente la función identidad. Es decir, r(x) = x. Por lo tanto la frecuencia Doppler, f, observada es directamente proporcional a la superderivada:

\displaystyle f=  f_0 \; e^{r'(x)} \\ \\  \text{\small donde obviamente } \\ \\  r'(x)= \frac{v}{c}=\beta, \; \text{\small es la beta de la velocidad inercial del objeto}
y c es la velocidad de la luz en el vacío. Más exactamente, se puede afirmar que, en un entorno inercial, se cumple la identidad diferencial:

\displaystyle \frac{x r'(x)}{r(x)} = \frac{v}{c} (9)
Es evidente, que todo esto tiene que ver con las hiperoperaciones y la función de Ackermann. Pero, sigamos con nuestras aplicaciones en el modelado de los fenómenos físicos. ¿Cuál sería nuestra ecuación diferencial equivalente a la (9) de movimiento en un entorno no-inercial?. Un entorno no-inercial, quiere decir, una región espacio-temporal donde la influencia de la gravedad es significativa respecto al movimiento de los objetos. Por ejemplo, en un entorno donde existe un campo gravitatorio significativamente grande, entre objeto que emite la luz y el observador pueden existir una diferencia significativa de potencial gravitatorio. En tal caso la ecuación diferencial de nuestra superderivada se hace “cuadrática”, es decir:

\displaystyle \frac{x r'(x)}{r(x)} = \frac{v^2}{c^2}= \frac{\phi}{c^2} (10)
donde es más que obvio que v2 se identifica con la diferencia de potencial gravitatorio, φ, entre objeto y observador.

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Hola, os presento a Tahawus: una extensión de la función W de Lambert

Posted by Albert Zotkin en abril 3, 2018

Hola, amigo incondicional de tardígrados. En mi artículo anterior, hablé entre otras cosas de una constante matemática, a la cuál tuve el atrevimiento de bautizar con el nombre de Tahawus. Se me ocurrió ese nombre por que fue el matemático Richard P. Stanley el primero que demostró hace poco que esa constante es un número transcendente. Le puse Tahawus porque Stanley nació y se crió en un pequeño pueblo minero, del estado de Nueva york, que ya no existe, llamado Tahawus. Ahora es más un pueblo fantasma que otra cosa, ya que sus pocos habitantes se trasladaron a Newcomb. Pero, aquí lo que nos interesa es hablar de ese número y de sus propiedades. La constante que llamé Tahawus, es en realidad una de las raíces reales de la ecuación:

\displaystyle x^x - x-1 = 0 (1)
y su valor es en sus primeros digitos decimales este:

\displaystyle \text{\small Tahawus}= 1.7767750400970546974797307440387567486374110343292961390843740\ldots (2)
La ecuación (1) no puede ser resuelta fácilmente en forma cerrada, ni siquiera usando la conocida función W de Lambert. Sólo puede ser resuelta de forma cerrada mediante una nueva función, que, como no podía ser de otra forma, llamaré Tahawus (x), y la designaré con la letra griega Τ. Por lo tanto, lo que antes llamaba la constante Tahawus, ahora pasará a ser el valor que toma esa función para x = 1. Es decir, tendremos:

\displaystyle \mathcal{T} (1) = 1.7767750400970546974797307440387567486374110343292961390843740\ldots (3)
No sin mucho esfuerzo, descubrí que esta función Tahawus, Τ, es simplemente la función inversa de

\displaystyle y = \frac{x^{x}-1}{x} \\ \\ (4)
Es decir, sólo podemos despejar la x de esa ecuación mediante la función inversa Tahawus,

\displaystyle x=\mathcal{T}(y) (5)
Las representaciones gráficas de estas dos funciones, (4) y (5) son así:

Vemos que cada una es la imagen especular (reflejada) de la otra, respecto de la recta identidad y = x, porque esa es la característica principal de todas las funciones con sus inversas. Si intentamos hallar una forma cerrada de la función Tahawus, comprobaremos nuestra frustración pronto, por que es muy difícil. Aún, no se ha descubierto una forma cerrada para esa función. Por ejemplo, sabemos hallar una forma cerrada para la función inversa de y = xx, utilizando la función W de Lambert, y es esta:

\displaystyle x = e^{W(\log (y))} (6)
Esta función inversa de y, se llama super raíz cuadrada, ya que la función y = xx, es una tetración cuadrática, es decir la variable x exponenciada así misma una vez. Esta tetración la podemos escribir también mediante super índices que preceden a la variable. Por ejemplo:

\displaystyle y = {^{2}x}=x^x  (7)
Super raíz cuadrada

Podríamos pensar que la función (4) inicial, la que tiene como inversa a la función Tahawus, como tiene incluida una tretación cuadrática, la (7), podríamos conseguir explicitar su inversa mediante esas super raíces cuadradas. Es decir, sería algo así como resolver una ecuación cuadrática estándar, pero con super raíces cuadradas em lugar de las raíces cuadradas. No parece fácil la tarea. Lo primero que intentamos es usar la W de Lambert en una posible resolución explicita de Tahawus . Se trata de intentar despejar la x (ponerla em función de la y). Veamos cómo:

\displaystyle y =\frac{x^x -1}{x}\\ \\ y x =x^x -1 \\ \\ y x + 1 =x^x \\ \\ (8)
Y ahora aplicamos la super raíz cuadrada, para obtener:

\displaystyle x = e^{W(\log (y x +1))} (9)
¿Cuál es el problema?. El problema es que se nos ha quedado una x multiplicando a y en el otro lado, con lo cual hemos “fracasado“. Lo que hemos obtenido es que aparecen infinitas copias de la función dentro de sí misma, a modo de recursión. De hecho la función Tahawus resulta ser una iteración infinita mediante esa super raíz cuadrada:

\displaystyle  x = \mathcal{T}(y)= e^{W(\log (y e^{W(\log (y(\ldots) +1))} +1))} (10)
Por lo tanto nuestro problema de tratar de explicitar una forma cerrada para Tahawus, aún permanece. Pero, ¿en qué consiste exactamente?: Se trata de hallar una de las raíces de esta función super-cuadrática:

\displaystyle {^{2}x} - b x - 1 = 0 (11)
Si su exponente de tetración 2 fuera en realidad un exponente 2 normal, como el de las ecuaciones cuadráticas normales, la solución sería sencilla. A alguien se podría ocurrir una solución estrambótica. Resolver esa ecuación como si fuera una ecuación cuadrática normal, y allí donde aparezca una raíz cuadrada en la solución sustituirla por una super raíz cuadrada. Esa es la típica solución del sueño del sophomore o sueño del pipiolo. La cual, a veces, sorprendentemente funciona, pero por regla general es muy poco probable que tenga éxito esa metodología.

Desde la función Tahawus podemos acceder a infinidad de constantes transcendentes. Estas son algunas que ya están catalogadas en EOIS:

A124930 \displaystyle \mathcal{T}(1) = 1.7767750400970546974797307 \ldots
A226568 \displaystyle   \mathcal{T}(-1) =0.3036591270299660512450180 \ldots
A085846 \displaystyle \frac{1}{\mathcal{T}(-1)}-1= 2.293166287411861031508028291 \ldots
A169862 \displaystyle \frac{1}{\mathcal{T}(-1)}= 3.293166287411861031508028291 \ldots
La propiedad mas impresionante de la constante Tahawus 1, T(1), es que es el único número real que al elevarlo a sí mismo y restarle 1 da el mismo número:

\displaystyle \mathcal{T}(1)^{\mathcal{T}(1)} -1 = \mathcal{T}(1)  (12)
y por esa razón también puede con la torre infinita:

\displaystyle \mathcal{T}(1)^{\mathcal{T}(1)^{\mathcal{T}(1)^{.\cdot{}^{\cdot}} -1} -1} -1 = \mathcal{T}(1)  (13)

Saludos

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Matemáticas alienígenas: números primos marcianos

Posted by Albert Zotkin en marzo 28, 2018

Hoy hablaré de los número primos marcianos Fobos y Deimos, que como sabrás, sus nombres son como los dos satélites naturales de Marte. Primero hablaré del número Deimos:

\displaystyle \text{\small Deimos}=2^{127} - 1 =170141183460469231731687303715884105727 (1)
Este número es primo, y además de ser de la clase Mersenne, es de la clase Catalan-Mersenne. El número marciano Deimos hizo un pequeño cameo en la serie de dibujos animados Futurama. Más concretamente, salió en el episodio Futurama: La bestia con un millón de espaldas, película de 2008. Exactamente, la secuencia se puede encontrar en el punto de metraje 01:16:59.178:

en la que el profesor Farnsworth le dice a su rival, el profesor Wernstrom, que ha conseguido una prueba elemental de la Conjetura de Goldbach.

Pero hablemos un poco ahora sobre la sucesión de números llamados de Catalan-Mersenne. Esta sucesión puede ser definida de la forma recursiva siguiente:

\displaystyle a_n= 2^{a_{n-1}}-1 \\ \\ \text{\small donde} \ \; a_0 = 2 \ \;\text{\small tenemos \'orbitas de 2 \textit{ad infinitum}} \\ \\ \text{\small y sus cinco primeros n\'umeros son:}\\ \\ C_n=\{2, 3, 7, 127, 170141183460469231731687303715884105727,\ldots\} (2)
como muy bien los tienen catalogados en la referencia A007013. Por lo tanto, en este catálogo de OEIS, nuestro número Deimos es el C5.

¿Son todos los números de esa sucesión de Catalan-Mersenne primos?. Los cinco primeros que he escrito en (2) son primos, sí. Pero, ¿y el sexto y los siguientes?. El sexto Catala-Mersenme es precisamente, C6, Fobos, nuestro siguiente número marciano:

\displaystyle \text{\small Fobos}=2^{170141183460469231731687303715884105727} - 1 = 111 \ldots 111_2  (3)
La expansión decimal del número Fobos es demasiado larga para ser escrita explicitamente. Pero escrita en base 2 tiene exactamente Deimos 1’s, porque es un número repunit en base 2. Ningún terrícola sabe decir si Fobos es un número primo. Pero, ya te voy a decir yo que Fobos es un número primo. Joerg Arndt sabe muy bien que Fobos, C6, es un número primo. Joerg Arndt afirmaba hace algún tiempo que Fobos sólo podía ser primo, o pseudoprimo de Fermat con factores no menores a 10 elevado a 51. Pero, ahora sabe ya que Fobos es un número primo. De hecho, todos los números de la sucesión Catalan-Mersenne son primos, los infinitos, y eso demuestra que hay infinitos números primos Mersenne. Si Fobos no fuera primo, sería, como he dicho antes, un pseudoprimo de Fermat en base 2, y todos los infinitos siguientes números marcianos (o Catalan-Mersenne, como prefieras) serían también pseudoprimos de Fermat. Pero, alguien en su sano juicio puede creer que un número como C7 (El hijo de Fobos), o superior, no es un número primo?. ¿En qué cabeza cabe?. Por supuesto que el número marciano:

\displaystyle C_7=2^{2^{2^{127} - 1} - 1} - 1 = \\ \\ = 2^{2^{170141183460469231731687303715884105727} - 1} - 1 (4)
es un número primo. Los infinitos Catalan-Mersenne lo son, ¡terrícola de poca fe!. Pero antes de ir a las demostraciones matemáticas, necesitamos unas pocas definiciones y alguna que otra curiosidad sobre esa clase de números. Para ello, amigo terrícola, permíteme que defina primero la Ciclotomia Transcendente de los números Catalan-Mersenne. Al igual que existen los polinomios ciclotómicos, podemos definir algo parecido, pero en el terreno de los números marcianos (Catalan-Mersenne). Para ello, en lugar de un polinomio estándar, nos fijaremos en la sucesión de funciones exponenciales de la siguiente clase:

\displaystyle F(x)_n=\{x,\ x^x-1,\ x^{x^x-1}-1,\ x^{x^{x^x-1}-1}-1,\ {x^{x^{x^{x^x-1}-1}-1}-1},\ldots \} (5)
Esta sucesión es monótona decreciente para ciertos valores reales de x, y monótona creciente para otros. En general, es fácil ver que para valores reales, 0 < x < 1, se obtienen sucesiones que decrecen y convergen hacia ciertos valores, según los casos. En cambio, para números reales x > 2, se obtienen sucesiones que crecen y convergen hacia ciertos valores. Pero, sólo existe un único número real capaz de estabilizar esa sucesión de funciones de modo que se mantiene igual a una constante, o punto fijo. Ese número real lo llamaré Tahawus, y es este:

\displaystyle \text{\small Tahawus}= 1.7767750400970546974797307440387567486374110343292961390843740\ldots (6)
Lo llamo número de Tahawus, por que fue el profesor Richard P. Stanley, otro “alienígena” (aunque de Tahawus), uno de los primeros en demostrar que ese número es transcendente y por lo tanto irracional. ¿Cómo se puede hallar ese número?. Hay muchas formas, pero siempre resulta ser la raíz real positiva de la ecuación:

\displaystyle x^x-1=x (7)
como así nos lo propuso Rick L. Shepherd. pero también es la única raíz real positiva de la función diferencia entre dos funciones consecutivas de F(x)n:

\displaystyle x= x^x-1, \\ \\ x^x-1=x^{x^x-1}-1, \\ \\ x^{x^x-1}-1=x^{x^{x^x-1}-1}-1, \\ \\ x^{x^{x^x-1}-1}-1=x^{x^{x^{x^x-1}-1}-1}-1 \\ \\ \ldots (8)
Estas funciones ciclotómicas transcendentes son extremadamente interesantes. Aquí os presento las representaciones gráficas de sus diferencias, (8), y en las que podemos observar cómo todas intersectan al eje de abscisas en los puntos (0, 0), (1, 0) y (Tahawus, 0):

Observemos ahora las gráficas de los logaritmos de algunas de las funciones F(x)n, en concreto, las de estas:

\displaystyle \log F(x)_4= \log \left(x^{x^{x^{x^x-1}-1}-1}-1 \right), \\ \\ \log F(x)_3= \log \left(x^{x^{x^x-1}-1}-1 \right), \\ \\ \log F(x)_2= \log \left(x^{x^x-1}-1 \right), (9)
vemos que todas tienen un polo en (1,0), y que F(x)3 ni siquiera está definida en el intervalo real [0,1], pues para valores de x, que se aproximan a 1 desde la derecha, la función de aproxima a – ∞, cae al pozo y ya no vuelve.

Amigo terrícola, te estarás preguntando. “Ok, todo muy bonito, pero ¿para qué sirve todo eso?”. Sólo son matemáticas. Además, ¿no te parece interesante que exista un número real, Tahawus, distinto a 0 y a 1, con la propiedad de hacer que cualquier función F(x)n, de esa clase, sea igual a Tahawus?

\displaystyle x=\text{\small Tahawus}= 1.776775040097054697\ldots, \\ \\ F(\text{\small Tahawus})_4=x^{x^{x^{x^x-1}-1}-1}-1=\text{\small Tahawus}, \\ \\ F(\text{\small Tahawus})_3= x^{x^{x^x-1}-1}-1= \text{\small Tahawus}, \\ \\ F(\text{\small Tahawus})_2=x^{x^x-1}-1=\text{\small Tahawus} \ldots (10)
Los números Mersenne poseen una peculiaridad, y es que para que un número Mersenne sea primo debe de serlo el exponente del 2 que lo crea. Pero, eso es sólo una condición necesaria, no suficiente. Esa misma condición es válida para los números Catalan-Mersenne, pero estos últimos tienen además otra peculiaridad añadida, y es que si un número Catalan-Mersenne no es primo, entonces todos los que van tras él (su hijo y demás descendientes) tampoco lo serán. Imagina la sucesión de números catalan-Mersenne como una linea recta horizontal de ladrillos, todos del mismo tamaño, pero los que representan a Catalan-Mersenne primos son de color verde y los que representan a los no primos son de color rojo. Pues bien, si empezamos nuestra obra de albañilería desde la izquierda, veremos que los primeros ladrillos son todos de color verde, es decir, primos. Y si eventualmente uno de los ladrillos no fuera primo entonces todos los infinitos siguientes deberian ser rojos también, como él. Todo eso nos lo contó hace años Leonard Eugene Dickson, cuando hizo referencia a una carta que respondió Catalan a Édouard Lucas, allá por 1876, en la que le decía lo rápido que crecían los números de esa sucesión, y cómo el número C6, Fobos, podía ser muy bien primo también, como su padre (C5 Deimos) y sus abuelos. Landon Curt Noll nos contó hace poco cómo había comprobado que Fobos no posee factores por debajo de 5×1051, y para ello hizo uso de su programa calc.

Intentemos ahora factorizar algunos números que merodean cerca de esos números marcianos.
EL profesor Robert Israel, de Princeton, nos ofreció hace poco una prueba de que si un numero marciano an (fijémonos en la sucesión (2) que escribí arriba, en el sexto párrafo de este artículo) era primo entonces ese an divide a an+1-1 para todo n. Por ejemplo, lo que nos dice R. Israel es que, siendo an = 127, entonces

\displaystyle a_5 = 2^{127}-1 =\text{\small Deimos},

con lo que a_5 -1 =\text{\small Deimos} - 1, debe ser divisible por 127. Y efectivamente lo es

\displaystyle \frac{a_5 - 1}{127} = \frac{2^{127}-2}{127} =1339694357956450643556592942644756738
Lo que no nos dice explícitamente R. Israel es que esos números, que son pares, no sólo son divisibles por el anterior de la sucesión, sino por todos y cada uno de los anteriores Empezaré por la secuencia principal, la de los números marcianos, y la llamaré a(n), y después obtendremos desde ella otras sucesiones cercanas, la b(n) y la d(n):

\displaystyle a_1=2,\\ a_2=2^2-1)=3,\\ a_3=2^{2^2-1}-1))=7,\\ a_4=2^{2^{2^2-1}-1}-1=127,\\ a_5=2^{2^{2^{2^2-1}-1}-1}-1)=170141183460469231731687303715884105727,\\ a_6=2^{2^{2^{2^{2^2-1}-1}-1}-1}-1)=\text{\small Fobos},\\ \ldots \\ \\ b_1=2-1=1,\\ b_2=2^2-2=2,\\ b_3=2^{2^2-1}-2=6,\\ b_4=2^{2^{2^2-1}-1}-2=126,\\ b_5=2^{2^{2^{2^2-1}-1}-1}-2=170141183460469231731687303715884105726,\\ b_6=2^{2^{2^{2^{2^2-1}-1}-1}-1}-2=\text{\small Fobos-1},\\ \ldots \\ \\
Y ahora los dividimos por 2, porque, no sé si lo habrás notado, pero, todos los números exomarcianos bn son pares, y así obtenemos los exomarcianos dn:

\displaystyle  d_2=\frac{2^2-2}{2}=2-1=1,\\ \\ d_3=\frac{2^{2^2-1}-2}{2}=2^{2^2-2}-1= 3,\\ \\ d_4=\frac{2^{2^{2^2-1}-1}-2}{2}=2^{2^{2^2-1}-2}-1=63,\\ \\ d_5=\frac{2^{2^{2^{2^2-1}-1}-1}-2}{2}=2^{2^{2^{2^2-1}-1}-2}-1=\frac{\text{\small Deimos-1}}{2},\\\\ d_6=\frac{2^{2^{2^{2^{2^2-1}-1}-1}-1}-2}{2}=2^{2^{2^{2^{2^2-1}-1}-1}-2}-1=\frac{\text{\small Fobos-1}}{2},\\ \\ \ldots \\ \\
En general tenemos que:

\displaystyle d_n=2^{a_n-1} -1
es divisible por an, si ese exponente pertenece a la sucesión Catalan-Mersenne (número marciano), y además, también será divisible por todos los números que le anteceden, es decir por a1, a2, …, an-1. Eso es así por el pequeño teorema de Fermat. Y si recordamos, a vuelapluma este teorema, que dice:

\displaystyle a^{p-1} \equiv 1 \pmod p.

siempre es cierto, si el entero a no es divisible por el número primo p. O expresado de otra forma:

\displaystyle \frac{d_p}{p}=\frac{a^{p-1} - 1}{p}, \ \; \text{\small es un n\'umero entero distinto de 0.}
En nuestro caso, el de los número Catalan-Mersenne, vemos que es estrictamente cierto, incluso para p = a1 = 2, ya que también es a = 2, y por lo tanto, al ser el mismo número, el pequeño teorema de Fermat nos dice que no dará una división entera. Efectivamente, para ese caso, de p = 2, esa división es d2/p = 1/2.

Ahora vamos a demostrar que todos los números marcianos (Catalan-Mersenne) son números primos. Para ellos debemos fijarnos es la extensión del pequeño teorema de fermat que dice:

\displaystyle A = a^{p^n-1}-1 \equiv  0 \pmod p
Lo cual quiere decir que si el número a no es divisible por el número primo p, el cual aparece elevado a cierto número natural n, entonces en número A es divisible por el número primo p. Dicho de otra forma:

\displaystyle A = a^{n-1}-1 \equiv  0 \pmod p
es siempre divisible por p = cad(n) si ese p es primo, y sabiendo que cad(n) es el radical de n. El radical de un número primo es siempre el mismo número primo. El radical de un número primo elevado a cualquier número natural es también siempre el mismo número primo. El radical de un número cualquiera, sea primo o no, es siempre el producto de sus factores primos despojados de los exponentes mayores a la unidad, Por ejemplo rad(23 × 3 × 54 × 7) = 2 × 3 × 5 × 7 = 210.
Saludos alienígenas a todos

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El conjunto de los números fantásticamente completos y dónde encontrarlo

Posted by Albert Zotkin en marzo 7, 2018

Se me ha ocurrido una idea sencilla para estudiar los números primos desde perspectivas aún inexploradas. Vayamos al conjunto de los números complejos, y definamos el subconjunto de los números “fantástamente completos” así:

El número complejo z pertenecerá al conjunto de los números “fantástamente completos“, {Fc}, si su parte real es un número primo y su parte imaginaria es un número compuesto, o viceversa, y cumplen las siguientes propiedades:

1. Si la parte real de z es el número primo, p, entonces su parte imaginaria sólo podrá ser uno de estos números compuestos: (p+1) ó (p-1). Con lo cual tendremos cuatro valores diferentes:

\displaystyle   z=p +(p+1)i \\   z=p -(p+1)i \\  z=p -(p-1)i \\  z=p +(p-1)i  (1)
2. Si la parte real de z es el número compuesto que dista sólo una unidad de un número primo, entonces tendremos también cuatro posibles números pertenecientes al conjunto Fc:

\displaystyle   z=(p+1)+pi  \\  z=(p+1)-pi  \\  z=(p-1)-pi  \\  z=(p-1)+pi  (2)
3.El tercer caso es para los números complejos cuya parte real es un número compuesto, pero el menor primo mayor que él ya no dista una unidad, o el mayor primo menor que él tampoco. Por ejemplo para los complejo cuya parte real es 8, tendremos que el menor primo mayor que él es el 11, y el mayor primo menor que él es el 7: así tendremos los números:

\displaystyle   z=8+11i  \\  z=8-11i  \\  z=8+7i   \\  z=8-7i  (3)

O para el 15 de parte real tendríamos:

\displaystyle   z=15 + 17i  \\  z=15 - 17i  \\  z=15 + 13i  \\  z=15 - 13i  (4)
Usemos la función cuenta primos π(x). Un número entero positivo, m, es compuesto si π(m) – π(m-1) = 0, y también π(m+1) – π(m) = 0. Por el contrario, si m es primo, entonces π(m) – π(m-1) = 1, y π(m+1) – π(m) = 1. Pero, antes de intentar encontrar una forma cerrada para este último caso de números, debemos preguntarnos, que podríamos hacer con esta clase de números. Ya sabemos que dado un número primo p, podemos definir desde él, al menos, ocho complejos diferentes, los de (1) y (2). Y si tenemos de entrada un compuesto, podemos construir complejos además podrían ser del tercer caso.

Enpecemos a jugar un poco con estos números del conjunto de los “fantástamente completos“, {Fc}. Por ejemplo, seleccionemoss números de la forma m = p -(p-1)i, donde p es primo. Elevemos al cubo ese número m:

\displaystyle   m^3 = -3 p + 6 p^2 - 2 p^3 +  (-1 + 3 p - 2 p^3)i  (5)
Observamos claramente que su parte real sólo puede ser un número compuesto o el primo 2, pues es divisible por 2, y su parte imaginaria sí podría ser un número primo, según el valor de p. Además, vemos que sería esa parte imaginaria un número entero negativo. Busquemos que números primos p, producen un número primo en esa parte imaginaria de m. Por mucho que búsquemos, sólo encontraremos el siguiente número complejo:

\displaystyle   m^3 = 2 - 11 i  (6)
El cual, claramente, no pertenece al conjunto Fc. Pero, lo curioso de todo esto es siempre obtenemos el número p = 2. Cuando vamos elevando el número m a las sucesivas potencias, obtenemos los siguientes números cubos vuyas partes imaginarias son números primos:

\displaystyle   m = p - (p-1)\,i \\ \\  p=2,\,\, m = 2 - i \\   p=2,\,\, m^3 = 2 - 11\,i \\   p=2,\,\, m^5 =-38-41\,i\\   p=2,\,\, m^7 =-278-29\,i\\   p=2,\,\, m^{11} =2642-6469\,i\\   p=2,\,\, m^{13} =33802-8839\,i\\   p=2,\,\, m^{17} =-24478-873121\,i\\   p=2,\,\, m^{19} =-3565918-2521451\,i  (7)
Observamos que sólo las potencias impares dan esos números con parte imaginaria prima. Veamos ahora las potencias pares: Veremos que sólo para m al cubo se obtiene 153 números con sucesivos valores de p, desde el 2 hasta el 7867. Los siguientes dos números obtenidos corresponden a las potencias de 5 y de 9

\displaystyle   m = p - (p-1)\,i \\ \\  p=2,\,\, m = 2 - i \\   p=2,\,\, m^3 = 3-4\,i \\ \\   p=3,\,\, m = 3 - 2\,i \\   p=3,\,\, m^3 = 5-12\,i\\   \cdots \\   p=7687,\,\, m^{3} =15373-118164564\,i\\   p=7867,\,\, m^{3} =15733-123763644\,i\\ \\   p=2,\,\, m^{5} =-7-24\,i\\   p=3,\,\, m^{9} =-239+28560\,i  (8)
En resumen, que esta clase de números puede dar un juego bastante bueno, si se investiga un poco. Veamos ahora números de la forma m = p-1 –p i. Obtenemos los siguientes para potencias impares:

\displaystyle   m = p -1 - p\,i \\ \\  p=2,\,\, m = 1 - 2\,i \\   p=2,\,\, m^3 =  - 11+2\,i \\   p=2,\,\, m^5 =-41 -38\,i\\   p=2,\,\, m^7 =-29-278\,i\\   p=2,\,\, m^{11} =-6469+2642\,i\\   p=2,\,\, m^{13} =-8839+33802\,i\\   p=2,\,\, m^{17} =-873121-24478\,i\\   p=2,\,\, m^{19} =-2521451-3565918\,i  (9)
Vemos que el complejo p-1 –p i, como es el conjugado de p -(p-1)i, los números obtenidos de sus potencias, también son conjugados de (9).

Nos faltaba aún encontrar una forma cerrada para el tercer caso que expliqué arriba. Es decir, dado un número entero positivo cualquiera, n, ¿cómo construir desde él los númerod fantásticamente completod, m, con sud parted reales igual a n?. La respuesta no sea hace esperar. Primero hay que hallar las partes imaginarias de esos posibles números. Para ello definimos la siguiente función, que llamaremos PrimeComplexBlock, para la cual introducimos el dato inicial n, y nos devolverá el par de números buscado:

\displaystyle   \text{\textbf{PrimeComplexBlock}}(n)= \begin{cases}  \{n - 1,\, n + 1\}    & \small \text{si \textit{n} es primo} \\  \{p(\pi(n)),\, \text{\small{\textbf{NextPrime}}}(n)\} & \small \text{en caso contrario}  \end{cases}       (10)
Es decir, si n es compuesto entonces nos devuelve el par de números {p(π(n)), NextPrime(n)}. El primer número del par nos da el mayor número primo de todos los primos menores que n. Y el segundo número del par, es decir, NextPrime(n)}, como su propio nombre indica, nos da el menor primo de todos los que son mayores a n. Pongamos un ejemplo. Sea n = 10, entonces tenemos:

\displaystyle   p(\pi(10)) = 7,\,  \text{\small{\textbf{NextPrime}}}(10)=11
la funcion π(n), es la función cuenta primos, es decir, nos dice cuántos números primos hay menores o igual a n. Y la función p(n) nos da el n-ésimo número primo. Por lo tanto, ambas funciones combinadas, en p(π(n)) nos definen una función que nos da el mayor número primo de los menores a n. Así pues, para n = 10, tendremos todos estos números fantásticamente completos:

\displaystyle     10 - 7  i \\   10 + 7  i \\   10 - 11 i \\  10 + 11 i
Fijémonos ahora en los números fantásticaente completos de la forma m = p + (p+1)i, donde p son un número primo. Calculemos los cuadrados de esos números m. Sus cuadrados son también números complejos. Seleccionemos de los sucesivos cuadrados, aquellos cuya parte real es un número primo. La sucesión de esas partes reales primas es lo que se llama números primos seguros:

\displaystyle      \text{Re} ((p +(p+1)i)^2) =\\ \\  \{5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, 167, 179, 227, 263, 347, 359, 383, \\  467, 479, 503, 563, 587, 719, 839, 863, 887, 983, 1019, 1187, 1283, \\  1307, 1319, 1367, 1439, 1487, 1523, 1619, 1823, 1907, 2027, 2039, \\  2063, 2099, 2207, 2447, 2459, 2579, 2819, 2879, 2903, 2963, 2999, \\  3023, 3119, 3167, 3203, 3467, 3623, 3779, 3803, 3863, 3947, 4007, \\  4079, 4127, 4139, 4259, 4283, 4547, 4679, 4703, 4787, 4799, 4919, \\  5087, 5099, 5387, 5399, 5483, 5507, 5639, 5807, 5879, 5927, 5939, \\  6047, 6599, 6659, 6719, 6779, 6827, 6899, 6983, 7079, 7187, 7247, \\  7523, 7559, 7607, 7643, 7703, 7727, 7823, 8039, 8147, 8423, 8543, \\  8699, 8747, 8783, 8819, 8963, 9467, 9587, 9743, 9839, 9887, 10007, \\  10079, 10103, 10163, 10343, 10463, 10559, 10607, 10667, 10799, 10883, \\  11003, 11279, 11423, 11483, 11699, 11807, 12107, 12203, 12227, 12263, \\  12347, 12527, 12539, 12647, 12659, 12899, 12983, 13043, 13103, 13127, \\  13163, 13523, 13799, 13967, 14087, 14159, 14207, 14243, 14303, 14387, \\  14423, 14699, 14867, 15083, 15287, 15299, 15383, 15647, 15683, 15767, \\  15803,\ldots \}  (11)
sucesión A005385 en la biblioteca de secuencias OEIS. Como esas partes enteras son los llamados números seguros, resulta que estos números son a su vez números de la forma 2p + 1, donde p es otro primo, que es llamado número primo de Sophie Germain. Es decir, de la lista de arriba (11), restamos la unidad a cada uno de sus números y dividimos por 2, para obteber estos números primos de Sophie Germain:

\displaystyle      \frac{\text{Re} ((p +(p+1)i)^2) -1}{2} =\\ \\  \{2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, \\  239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, \\  683, 719, 743, 761, 809, 911, 953, 1013, 1019, 1031, 1049, 1103, \\  1223, 1229, 1289, 1409, 1439, 1451, 1481, 1499, 1511, 1559, 1583, \\  1601, 1733, 1811, 1889, 1901, 1931, 1973, 2003, 2039, 2063, 2069, \\  2129, 2141, 2273, 2339, 2351, 2393, 2399, 2459, 2543, 2549, 2693, \\  2699, 2741, 2753, 2819, 2903, 2939, 2963, 2969, 3023, 3299, 3329, \\  3359, 3389, 3413, 3449, 3491, 3539, 3593, 3623, 3761, 3779, 3803, \\  3821, 3851, 3863, 3911, 4019, 4073, 4211, 4271, 4349, 4373, 4391, \\  4409, 4481, 4733, 4793, 4871, 4919, 4943, 5003, 5039, 5051, 5081, \\  5171, 5231, 5279, 5303, 5333, 5399, 5441, 5501, 5639, 5711, 5741, \\  5849, 5903, 6053, 6101, 6113, 6131, 6173, 6263, 6269, 6323, 6329, \\  6449, 6491, 6521, 6551, 6563, 6581, 6761, 6899, 6983, 7043, 7079, \\  7103, 7121, 7151, 7193, 7211, 7349, 7433, 7541, 7643, 7649, 7691, \\  7823, 7841, 7883, 7901,\ldots \}  (12)
sucesión A005384 en la biblioteca de secuencias OEIS. Estos últimos números primos de la lista (12) se llaman primos Sophie Germain, porque fué la matemática francesa Marie-Sophie Germain la primera en demostrar que el Último teorema de Fermat era cierto para esta clase de números primos.

Un saludo fantásticamente completo 🙂

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Más allá del último Teorema de Fermat

Posted by Albert Zotkin en marzo 4, 2018

Hola amigo incondicional de Tardígrados. Anoche. como no podía conciliar el sueño, en lugar de contar ovejitas, me puse a calcular mentalmente ternas pitagóricas, y de ahí pasé a mayores evocando el último Teorema de Fermat. Afortunadamente me quedé dormido pronto, pero de todo eso surgieron algunas ideas extravagantes, que más se parecen a cabezonería que a otra cosa. Y me dije para mis adentros: “vale, vale, el último Teorema de Fermat es cierto, no es posible encontrar ternas de números enteros positivos (x, y, z) tal que se cumpla la relación:

\displaystyle     x^n + y^n = z^n  \,  (1)
para todo n > 2. Pero, ¿y si nos emperramos en que esa relación se pueda cumplir para ciertas ternas de enteros positivos?. Es decir, queremos que “el último Teorema de Fermat sea falso“, entre comillas, por supuesto. Queremos ir mas allá. Pensemos por un momento en algo parecido a lo que queremos conseguir. Ese algo puede ser, por ejemplo, la raíz cuadrada de un número real negativo. Por mucho que nos empeñemos, la raíz cuadra de un número real negativo no es un número real, ni negativo ni positivo. Pero alguien se emperró y dijo hacia sus adentros, ¿cómo que no voy a ser capaz de calcular esto?:

\displaystyle     x = \sqrt{-25}  (2)
Para poder resolver esa imposibilidad algebraica se inventaron los números complejos, y más concretamente el número imaginario i = (0, 1), del cual queremos que su cuadrado sea igual a -1. De esa forma tan artificial y forzada tendremos que, efectivamente:

\displaystyle     x = \sqrt{(-1)25 } =\sqrt{-1}\sqrt{25}= i\sqrt{25} \\ \\  i =\sqrt{-1}  (3)
¿Hemos resuelto el problema?. No, pero hemos sabido encapsular el objeto conflictivo, aislarlo de la solución. Los números complejos, visto de esta forma tan extravagante, son como hacer limpieza y meter toda la basura debajo de la alfombra. En realidad, no hemos resuelto el problema de la raíz cuadrada de un numero negativo, simplemente hemos escondido el problema debajo de la alfombra. Pero, al hacer eso, nos hemos visto forzados a definir una nueva clase de números, los números complejos, de la que los números reales es simplemente un subconjunto. Así, con la ecuación (1), que define el teorema de Fermat, pasa algo muy parecido. Supongamos que queremos que exista una solución de ternas enteras para

\displaystyle    x^3 + y^3 = z^3  \,  (4)
Sabemos que no será una solución real. Busquemos ternas de números que podrían servirnos. Y para ello nos basaremos en un método análogo al que utilizó Euclides para encontrar ternas Pitagóricas. Euclides encontró, para para cualquier par aleatorio de números enteros positivos, m y n, con m > n, que es posible definir una terna que cumpla el Teorema de Pitágoras, así;

\displaystyle   x=m^{2}-n^{2},\ \,y=2mn,\ \,z=m^{2}+n^{2}  (5)
y la relación del Teorema de Pitágoras se cumplirá siempre si las ternas están definidas de esa forma, para cualquiera que sean los números aleatorios m y n:

\displaystyle   z^2=x^2+y^2  (6)
Hagamos ahora algo parecido para nuestras ternas de Fermat en la relación cúbica. Es decir, desde dos números aleatorios m y n, definamos nuestras ternas así:

\displaystyle   x=m^3-n^3,\ \,y=\sqrt[3]{2n^9+ 6m^6 n^3},\ \,z=m^3+n^3  (7)
Evidentemente, como el último Teorema de Fermat es cierto, no esperamos que nuestras ternas, definidas de esa forma, cumplan la relación cúbica (4). Pero, las vamos a presentar para a ver qué ocurre:

\displaystyle   x^3+y^3= (m - n)^3+\left(\sqrt[3]{2n^3+ 6m^2 n}\right)^3 = \\ \\   =(m^3 - n^3)^3+ (2n^9+ 6m^6 n^3)^3 = m^9+3 m^6 n^3+3 m^3 n^6+n^9 = \\ \\    =(m^3+n^3)^3=z^3  (8)
Con lo cual hemos demostrado que el último Teorema de Fermat es ¡falso!. ¿Dónde está el error?. El error está en afirmar que, tal y como hemos definido y, desde los enteros positivos aleatorios m y n, debe ser obligatoriamente un entero positivo. De hecho para demostrar que el último Teorema de Fermat es cierto para el caso cúbico basta con demostrar que:

\displaystyle   y =\sqrt[3]{2n^9+ 6m^6 n^3}   (9)
no puede ser entero positivo si m y n lo son. Y eso se demuestra muy rápidamente:

\displaystyle   y^3 = 2n^9+ 6m^6 n^3  (10)
no puede ser un cubo porque el único sería:

\displaystyle   y^3 = n^9+ 6n^9  +  n^9 = 8 n^9 \\   y = 2n^3    (11)
que es una contradicción ya que originalmente m no puede ser igual a n. En general, para demostrar este teorema para todos los casos, basta con demostrar que el número y no puede ser entero si n y m son enteros. El caso general más simple sería:

\displaystyle   x= m-n ,\ \, z= m+n \\ \\   y = \sqrt[k]{(m+n)^k - (m-n)^k }  (12)
y como sabemos que las siguientes expansiones son ciertas:

\displaystyle     (m+n)^k = \sum_{j=0}^k {k \choose j} m^{k-j}n^j \\ \\ \\  (m-n)^k = \sum_{j=0}^k {k \choose -j} m^{k-j}n^j  (13)

tendremos que:

\displaystyle   (m+n)^k -(m-n)^k = \sum_{j=1}^{k-1} {k \choose j} m^{k-j}n^{j} -\sum_{j=1}^{k-1} {k \choose -j} m^{k-j}n^{j} \\ \\ \\  (14)
Es decir, el número y, expresado desde los aleatorios enteros positivos m y n, sería:

\displaystyle   y = \sqrt[k]{\sum_{j=1}^{k-1} {k \choose j} m^{k-j}n^j-\sum_{j=1}^{k-1} {k \choose -j} m^{k-v}n^j} \\ \\ \\  (15)
Con lo cual para demostrar que es cierto el último Teorema de Fermat, basta con demostrar que, en esta última ecuación (14), si m y n son enteros positivos, entonces y no lo es, y eso debe ser cierto para todo k entero positivo.

El caso general algo menos simple que el anterior sería:

\displaystyle   x= m^k-n^k ,\ \, z^k= m^k+n^k \\ \\   y = \sqrt[k]{(m^k+n^k)^k - (m^k-n^k)^k }  (16)
Pero, las expansiones son muy parecidas a las del caso anterior, sólo hay que elevar a k los dos factores que acompañan al binomial, porque es simplemente un vulgar cambo de variable:

\displaystyle     y = \sqrt[k]{\sum_{j=1}^{k-1} {k \choose j} m^{k^2-j k}n^{v k} -\sum_{j=1}^{k-1} {k \choose -v} m^{k^2-j k}n^{j k} }  (17)
Esa diferencia de sumatorios es fácil redcirla, ya que poseen sumandos iguales, pero en el segundo sumatorio hay alternancia de signos ±. Por lo tanto, los sumando en posiciones impares se suman duplicándose, y los de posiciones pares se restan, anulándose. Una forma elegante de expresar esa diferencia de sumatorios es esta:

\displaystyle     y = \sqrt[k]{\sum_{j=1}^{k-1} {k \choose j} (1+e^{i \pi j}) m^{k^2-j k}n^{j k} }  (18)
El último Teorema de Fermat viene a decirnos que el único caso para el que el número y resulta ser entero, siendo los aleatorios enteros m y n, es cuando k = 2. Los casos para k >2, dan todos un número y que no es entero, es decir, le sobra o le falta siempre cierta cantidad para completar un hipercubo.

\displaystyle          k=2,\,y= 2 \sqrt{m^2 n^2} \\    k=3,\,y= \left(6 m^6 n^3+2 n^9\right)^{1/3} \\    k=4,\,y= \left(8 m^{12} n^4+8 m^4 n^{12}\right)^{1/4} \\    k=5,\,y=  \left(10 m^{20} n^5+20 m^{10} n^{15}+2 n^{25}\right)^{1/5} \\   k=6,\,y= \left(12 m^{30} n^6+40 m^{18} n^{18}+12 m^6 n^{30}\right)^{1/6} \\    k=7,\,y= \left(14 m^{42} n^7+70 m^{28} n^{21}+42 m^{14} n^{35}+2 n^{49}\right)^{1/7} \\   k=8,\,y= \left(16 m^{56} n^8+112 m^{40} n^{24}+112 m^{24} n^{40}+16 m^8 n^{56}\right)^{1/8} \\   k=9,\,y=  \left(18 m^{72} n^9+168 m^{54} n^{27}+252 m^{36} n^{45}+72 m^{18} n^{63}+2 n^{81}\right)^{1/9} \\   k=10,\,y=  \left(20 m^{90} n^{10}+240 m^{70} n^{30}+504 m^{50} n^{50}+240 m^{30} n^{70}+20 m^{10} n^{90}\right)^{1/10}

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El desierto 31 de los números primos

Posted by Albert Zotkin en febrero 17, 2018

Hola amigo incondicional de Tardígrados. Hoy vamos a visitar un desierto, descubierto por mí la semana pasada, y que nadie conocía: Lo he llamado Desierto 31. Este peculiar desierto, se trata de una sucesión de números primos de la forma:

\displaystyle  D_{31,n}=2^{p(n)} - 31 (1)
donde p(n) es el n-ésimo número primo.Obviamente, no todos los números primos generarán primos de esa forma. Pero, ¿Por qué digo que D31, n es un desierto?. Si buscamos números esa clase, los primeros que encontramos son estos:

\displaystyle  D_{31,n}= \{97, 2017, 8161, 131041, 524257, 137438953441, 2199023255521,\ldots\} (2)
La sucesión de números primos, exponentes del 2, que genera la sucesión de arriba, es

\displaystyle  p(n)=\{7,11,13,17,19,37,41,61,67,89,109,149,193,383,401,\ldots\} (3)
y a su vez, la sucesión de números naturales que genera la sucesión p(n) de arriba es

\displaystyle  a(n)=\{4, 5, 6, 7, 8, 12, 13, 18, 19, 24, 29, 35, 44, 76, 79,\ldots\} (4)

Aparentemente, D31, n es un desierto, porque aparecen de “golpe” los primeros números primos hasta el a15 = 79, pero más allá de n = 15 parece no haber ninguno más. La conclusión puede ser una de estas:

  • 1. D31, n es realmente un desierto, y sólo existiría el oasis de esos 15 números primos.
  • 2. O bien, he vuelto a ser victima de la Ley de los Números Pequeños (de Richard K. Guy), y en realidad existen muchos más números primos de esa clase, pero están más allá de la capacidad computacional de mis ordenadores.
Si sientes curiosidad y quieres comprobar por ti mismo que esa sucesión puede ser realmente un desierto con sólo 15 números primos, te presento las rutinas que usé en Mathematica para generar las listas:

A = List[]; Do[p = 2^ Prime[m] – 31; If[PrimeQ[p], AppendTo[A, m]], {m, 4, 100}]; A

Clear[A ]; A = List[]; Do[p = 2^ Prime[m] – 31; If[PrimeQ[p], AppendTo[A, Prime[m]]], {m, 4, 100}]; A

Clear[A ]; A = List[]; Do[p = 2^ Prime[m] – 31; If[PrimeQ[p], AppendTo[A, p]], {m, 4, 100}]; A

Puedes hacer que el índice m corra desde 1 hasta el número que tú quieras. Yo he puesto el límite superior de 100 porque ya sé que no he encontrado nada para números entre 100 y 1000.

Saludos

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Números casi enteros

Posted by Albert Zotkin en febrero 13, 2018

Hola amigo. Ayer se me ocurrió jugar un poco con los llamados números casi-enteros. Como su propio nombre indica, son números reales que son casi enteros, es decir, que a su parte decimal le sobra o le falta muy poco para ser cero. Por ejemplo el número de Ramanujan:

\displaystyle   e^{\pi {\sqrt {163}}}=262\,537\,412\,640\,768\,743.999\,999\,999\,999\,25\ldots   (1)
Es un casi-entero porque le falta muy poquito para ser 262537412640768744. El problema con esta clase de números reside en su definición, la cual no parece muy matemática. Decir que algo es casi blanco o casi negro, es decir poco, cuando la definición la basamos en el adverbio “casi”. ¿Hasta qué punto un número es casi-entero?. Si el corte lo pusiéramos en que la parte decimal debe empezar por más de veinte 9’s seguidos o por más de veinte 0’s, entonces el número de Ramanujan no sería un casi-entero. Por eso, para resolver ese problema, se me ocurre la siguiente definición: Definamos la sucesión de números casi-enteros Qk, de orden k, de la función F(n) de dominio natural, así:

\displaystyle    Q_k(F(n))=\{ q_n \}_{n\text{,}\,k\in N}  (2)
sería una sucesión de números reales, para los que su parte decimal tendría una precisión de k 9’s seguidos, ó de k 0’s seguidos, si expresamos la sucesión en notación de base decimal. Por ejemplo, el número de Ramanujan no estaría en ninguna sucesión de casi-enteros de orden k = 13, ó superior, ya que posee sólo doce 9’s seguidos en sus primeras posiciones decimales. En cambio, sí estaría en una sucesión de orden k = 10, o de grados inferiores. Pongamos un ejemplo: Sea la función de dominio natural siguiente:

\displaystyle    F(n)= e^{\pi {\sqrt {n}}}  (3)

y calculemos su sucesión de casi-enteros de grado k = 10:

\displaystyle    Q_{10}( e^{\pi {\sqrt {n}}})= \{q_{58},\,q_{163},\,q_{1467},\,\ldots\}  (4)
No sé si esa sucesión es finita o infinita, pero lo que si es fácil de comprobar es que 1467 = 9 × 163, y que esos tres primeros números casi-enteros son exactamente estos:

\displaystyle    q_{58}=e^{\pi \sqrt{58} }= 24591257751.99999982221324\ldots\\ \\    q_{163}=e^{\pi \sqrt{163} }= 262537412640768743.9999999999992500725\dots\\ \\   q_{1467}=e^{\pi \sqrt{1467} }=18095625621654510801615355531263454706630064771074975.9999999901236\ldots
Propongo que el número casi-entero q1467 = 18095625621654510801615355531263454706630064771074975.9999999901…, sea llamado número de Alberti, porque 1467 fue el año en que el criptógrafo León Battista Alberti escribió el tratado De Componendis Cifris, donde describe un disco para encriptar alfabeto, que ahora llamamos disco de Alberti.

Si el grado k de la sucesión Q de casi-enteros lo hubieramos rebajado a k = 6, esa sucesión sería esta:

\displaystyle    Q_{6}( e^{\pi {\sqrt {n}}})=  q_{37},q_{58},\, q_{67},q_{163},\, q_{232},\, q_{719},\, q_{1467},\, q_{4075},\ldots  (5)
Todo esto nos debe hacer reflexionar sobre el hecho de que, antes de ponerse a divagar sobre un asunto, es muy importante acotar con una buena definición de qué estamos hablando, y eso es especialmente importante en matemáticas.

Y para terminar de jugar con el tema de los números casi-enteros, definiré ahora otra clase de números, que llamaré casi-enteros Cunningham. Los números casi-enteros Cunningham de base b van a ser números de la forma:

\displaystyle   \frac{\log(b^{n}\pm 1)}{\log(b)}= \log_b(b^{n}\pm 1)  (6)
Donde, obviamente b^{n}\pm 1 es un número de Cunningham. Por ejemplo, la sucesión de casi-enteros Mersenne, son números casi-enteros Cunningham de base 2 de la forma:

\displaystyle   \frac{\log(2^{n} - 1)}{\log(2)} = \log_2(2^{n} - 1)  (7)
Que es una forma de mapear los exponentes de esos números Mersenne. Por ejemplo, el número primo Mersenne M31 = 2305843009213693951, que fue descubierto por Euler en 1772, genera el casi-entero:

\displaystyle    Q_{31}=\log_2(2^{31} - 1) =30.99999999932819276991073646469478216 \ldots  (8)
que, como vemos, se aproxima mucho al exponente 31. Y alguien se preguntará “ok, muy bien, y ¿qué utilidad tiene todo esto?“. La respuesta es fácil, “ninguna, en principio” 🙂 . Pero, si de lo que se trata es de hallar número primos Mersenne, los casi-enteros Cunningham, que he definido arriba, pueden tener mucho que decir, sobre todo si analizamos su partes fraccionales.

Podemos expresar elegantemente la parte fraccional, {Qp}, de un número casi-entero Mersenne Qp así:

\displaystyle   \{Q_p\}=\int_1^p \frac{dx}{2^x-1}  (9)

porque es fácil ver que, efectivamente:

\displaystyle   \{Q_p\}=\int_1^p \frac{dx}{2^x-1} = \log_2(2^p - 1) -p+1  (10)

Saludos

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Infinitas formas de dividir un número primo

Posted by Albert Zotkin en enero 25, 2018

Uno de los hechos más asombrosos de dividir un número entero por otro, es que a veces ocurre que ciertos números sólo son divisibles por sí mismos y por la unidad, y los llamamos números primos. Pero, nadie sabe cómo esos números primos se van distribuyendo a lo largo de la sucesión de los números naturales. Ese hecho nos deja perplejos, porque no somos capaces de encontrar ninguna fórmula eficaz ni algoritmo para generar el siguiente número primo. ¿Por que ocurre eso?. Eso ocurre porque nuestra aritmética estándar es sólo una entre infinitas aritméticas posibles. En este pequeño artículo voy a definir algunas de esas aritméticas, que se me han ocurrido, pero siempre teniendo en mente que pueden haber infinitas más, desde otros criterios y perspectivas. Cada aritmética genera su sucesión única de números primos. Empecemos pues:

Todos sabemos, o deberíamos de saber, que cuando dividimos un número natural por otro, lo podemos interpretar como un método para saber cuántos grupos de cosas se pueden formar, tal que todos los grupos posean el mismo número de ellas. Esa aritmética es básicamente una cuadrícula. Cada columna ( o cada fila) de la cuadrícula es pues un grupo de cosas, y todas tienen el mismo número. Puede ocurrir que la ultima fila o la ultima columna no tenga completas ( llenas) todas sus celdas, eso nos indica que hay un resto distinto a cero en la operación de division. Ahora borremos de nuestra mente esa cuadrícula y exploremos otras posibles formas de dividir un número por otro. Supongamos que, al dividir un número p de manzanas por otro q, lo que queremos es formar q grupos de manzanas y que cada uno contenga un número distinto. En concreto, lo que queremos es que exista una diferencia de una manzana entre los sucesivos grupos, desde el más numeroso al menos.

Al aplicar ese criterio de división, aunque sería más apropiado hablar de distribución, entramos en el territorio de los números triangulares. Supongamos que tenemos 10 manzanas y queremos saber cuántos grupos podemos formar tal que exista esa diferencia de una unidad entre ellos al considerarlos sucesivamente. Rápidamente vemos que sólo se pueden formar 4 grupos:

Con los números triangulares podemos definir operaciones de división y multiplicación que escapan ya de la estándar cuadriculada. Con los números triangulares, los distintos grupos que se pueden formar, con la operación de división, difieren en una unidad. En el caso del ejemplo, diremos que 10 manzanas son divisibles por 4, y el grupo más numeroso tiene precisamente 4 manzanas, y el menos numerosos tiene 1. En general, para los números triangulares tendremos que, cualquier número entero positivo p es divisible por otro q, si la siguiente igualdad se cumple:

\displaystyle  p =\frac{q(q+1)}{2}
Y si obviamos la fórmula podemos indicar la división 10/4 de esta forma:

\displaystyle   \frac{10}{4} = 4 ,\;\; \text{diff 1}
que se leerá así: “10 divido por 4 igual a 4, diferencia 1“. El cociente de dividir 10 por 4 es también 4, es decir coincide con el divisor. La sucesión de los números triangulares es la siguiente,

\displaystyle  T_n=\{1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136,\dots\} \\ \\   T_n=\{1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4,1+2+3+4+5,\dots\} \\ \\   T_{n}=\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+\dotsb +n={\frac {n(n+1)}{2}}={n+1 \choose 2},
Si Tn es el n-ésimo número triangular, entonces podemos decir que es divisible por n diff 1, y el cociente coincide siempre con su divisor:

\displaystyle  \frac{T_n}{n} = n ,\;\; \text{diff 1} \\ \\   T_n = n \times n = \;\; \text{diff 1}
Veamos ahora qué otros números naturales, que no sean triangulares, son divisibles diff 1. Observamos que el primer número no triangular divisible diff 1 es el 5:

5 es divisible por 2 diff 1, porque obtenemos dos grupos, uno de 3 manzanas y otro con 2, es decir:

\displaystyle  \frac{5}{2} = 3,\;\; \text{diff 1} \\ \\
significa que el cociente 3 es el numero de manzanas en el grupo más numeroso, y vemos que 5 no es triangular porque el menor grupo no es la unidad. En seguida nos damos cuenta que los número no triangulares que son divisibles diff 1, son en realidad, fragmentos verticales de números triangulares
En este caso, el menor número triangular que contiene al 5 es el 6, y el siguiente que lo contiene es el 10:

El primer número primo diff 1 es el 2, el siguiente será el 4, y el siguiente el 8. Parecería fácil afirmar que todos los número pares que no sean triangulares serían primos diff 1, pero no, no es tan fácil, ya que existen números pares que no son triangulares, pero son divisibles diff 1. Por ejemplo:

\displaystyle  \frac{12}{3} = 5,\;\; \text{diff 1} \\ \\   \frac{18}{4} = 6,\;\; \text{diff 1} \\ \\
En esta clase de divisiones (o distribuciones) en modo diff 1, el divisor siempre es menor o igual al cociente, nunca mayor. ¿Cómo podemos saber si un número es divisible diff 1. El primer test que ha de pasar el número es comprobar si es triangular:

\displaystyle  n={\frac {{\sqrt {8x+1}}-1}{2}}
si en la formula de arriba, el número x, que es entero positivo, da como resultado el número n, y además vemos que es también un entero positivo, entonces x es triangular, y por lo tanto es divisible diff 1 por n. El siguiente test es para los número no triangulares. Decía yo antes, que los número no triangulares que son divisibles diff 1, son fragmentos de números triangulares. Eso expresado matemáticamente quiere decir que son la diferencia entre dos dos números triangulares. Por ejemplo, el 12 y 18, que no son triangulares, son divisibles diff 1, por que 12 = 15 – 3, donde 15 y 3 son triangulares. De igual forma 18 = 21 – 3, donde 21 y 3 son triangulares. Por lo tanto el test de divisibilidad diff 1, para los no triangulares, será ver que existen unos números x e y que son triangulares, con:

\displaystyle  y-x=p \\ \\
con y > x, donde y es el menor número triangular conteniendo al número p. Si p es divisible por q diff 1, entonces

\displaystyle  q={\frac {{\sqrt {8(x+p)+1}}-1}{2}}
q es el número de grupos que se pueden formar con p. El número de elemento del primer grupo (el más numeroso) será

\displaystyle  \frac{p}{q} = c_1,\;\; \text{diff 1} \\ \\
y el número de elementos del grupo menos numeroso será:

\displaystyle  c_q=c_1 - q +1
¿Existen números primos diff 1?. Veamos. Construyamos una tabla de diferencias para números triangulares hasta el T10 = 55. Al hacer esto sabremos que números son triangulares y que otros son diferencias entre ellos. Por lo tantos, los que no estén en esa tabla deberán ser números primos diff 1.

Según esta tabla de diferencias, el primer número primo diff 1 es el 16, porque no aparece en ella. El segundo candidato a número primo Diff 1 es el 23. Y los siguientes serían 28, 29, 31, 32, 36, 37, 38, 41, 43, 46, 47, 48, 50, 51, 53. Es decir, tendríamos los primos diff 1 siguientes:

\displaystyle  \{16, 23, 28, 29, 31, 32, 36, 37, 38, 41, 43, 46, 47, 48, 50, 51, 53,\dots\}
Las celdas de la tabla que he rellenado en color rojo, corresponden a diferencias entre núeros triangulares consecutivos, pero entonces no darían lugar a distribuir en 2 ó más grupos, por lo tanto esos números de la diagonal se desechan. ¿Por qué es el número 16 primo diff 1?. Intentemos formar dos grupos de objetos que sumen 16 pero exista una diferencia de una unidad entre ellos. No se puede porque 16 es número par. Si Formamos dos grupos de 8, y le quitamos 1 a uno de ellos y se lo sumamos al otro tendremos 2 de diferencia, pero estaos en modo diff 1. Por lo tanto, no se pueden formar 2 grupos porque 16 es par. Intentemos formar 3 grupos. Si el primer hrupos tiene 7 objetos, el segundo ha de tener 6, y el tercero 5, pero entonces 7 + 6 + 5 = 18 > 16, no suma 16. Probemos con 5 elementos para el primer grupo. tendremos 5 + 4 + 3 = 12 < 16, tampoco suma 16. Y para las restantes agrupaciones resultan números aún menores. Luego 16 es el primer número primo diff 1. ¿por qué es 23 un número candidato a ser primo diff 1?. En principio , vemos que no es número par, luego podemos formar dos grupos, uno con 11 elementos y el otro con 12. Pero, el número triangular que es divisible diff1 por 2, para dar 12 de cociente, es el 78, es decir, un número mayor al 55, que no lo tenemos tabulado. Por lo tanto, 23 no es primo diff 1, pero sus divisores diff1 dan cocientes mayores a 10, En resumen, 23 es divisible por 2 diff 1, y no tiene más divisores:

\displaystyle   \frac{23}{2} = 12 ,\;\; \text{diff 1}
Luego todos los números impares de la lista de candidatos a números primos diff 1, se nos caen de ella porque siempre es posible encontrar para cada uno de ellos un divisor para formar dos grupos de objetos. Luego, los números primos diff 1 han de ser todos pares. Los números impares son todos divisibles por 2 diff 1. Y nuestra lista de números primos diff 1 quedaría asi:

\displaystyle  \{16,  28, 32, 36, 38, 43, 46,  48, 50, \dots\}
¿Por qué es 50 un número primo diff 1?. El mínimo número triangular que lo contiene es el 55, que posee 10 grupos, con 10 elementos para el mas numeroso y 1 para el menos numeroso. Pero, no existe ningún número triangular para sustraer tal que dé 50. El que más se le aproxima es el triangular 6 que tiene 3 grupos, pero daría 55 – 6 = 49:

Los números triangulares pertenecen a una clase de números llamados números poligonales, De esta forma podemos seguir nuestro método de división, y definir qué significa que un número sea divisible diff 2. Se trata de formar grupos que tengan dos unidades de diferencia entre consecutivos, Y así entramos directamente en el territorio de los números cuadrados. Estas divisiones también generan sus números primos, los llamados números primos diff 2. En general, los número poligonales son de la forma

\displaystyle  P(s,n) = \frac{n^2(s-2)-n(s-4)}{2}
Donde s es el número de lados del polígono. Los números primos estándar, 2,3,5,7,11,…, pertenecen al criterio de divisibilidad diff 0, y teóricamente pertenecerian a la sucesión de números definidos por polígonos de 2 lados, pero eso geométricamente es imposible. Si aplicamos el valor s = 2, a la fórmula, tenemos:

\displaystyle  P(2,n) = \frac{n^2(2-2)-n(2-4)}{2} = \frac{2n}{2}=n
que es la sucesión de los números naturales, como no podía ser de otra forma. Así, hemos visto, en este pequeño artículo, cómo es posible definir diferentes sucesiones de números primos según el criterio de divisibilidad que apliquemos. Todos los númros primos estándar 2,3,5,7,11,… son divisibles diff 1 excepto el 2, por que son impares. Se me olvidó decir que el número 2 es obviamente el primer número primo diff 1, porque aunque admite dos grupos, la diferencia de sus elementos no es la unidad, sino 0. Y como broche final, un pequeño ejercicio:

Halla el número de divisores diff 1 del número primo Mersenne que descubrió Euler en 1772. Es decir, tenemos el número primo estándar, diff 0, siguiente:

\displaystyle  M_{31}= 2^{31}-1= 2147483647

Saludos

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