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Gravedad cuántica: Análisis pormenorizado de la componente entrópica de la gravedad

Posted by Albert Zotkin en diciembre 19, 2014

Hace ya algún tiempo un tal Erik Verlinde publicó un artículo en el que supuestamente deducía la ley de gravitación universal de Newton desde primeros principios, incluso dedujo las ecuaciones de campo de Einstein de la Relatividad General, concluyendo que la gravedad es una fuerza entrópica, es decir una fuerza que no es fundamental y que emerge naturalmente del aumento de entropía de los sistemas materiales. Verlinde usó el principio holográfico y las conocidas leyes de la termodinámica, junto con algunas cosillas más, para deducir dicha fuerza entrópica. Las fuerzas entrópicas emergen desde el microcosmos hacia el macrocosmos debido a que los sistemas materiales tienden a adoptar estados de máxima entropia. Cuando estiras una goma elástica debes de ejercer una fuerza para contrarrestar temporalmente su estado maximizado de entropía. Al estirar la goma estás rebajando su entropia, y por lo tanto la goma se opone a ese cambio ejerciendo una fuerza en sentido contrario que intenta restaurar su estado de máxima entropía.

Pero, como vamos a ver ahora, esa fuerza entrópica deducida por Verlinde desde primeros principios, y que emerge siendo la fuerza de gravitación de Newton, es sólo una componente de la gravedad total. En concreto vamos a ver cómo esa componente entrópica es engullida brutalmente por un tiburón cuántico que habita en las profundidades del microcosmos termodinámico.

Comencemos expresando la Primera Ley de la Termodinámica para sistemas homogeneos cerrados:

\displaystyle  dU=TdS-PdV  (1)
donde dU es el cambio de energía interna, T es la temperatura, dV es el cambio de volumen, dS es el cambio de entropia, y P es la presión. Sabemos que PdV es el cambio de energía libre del sistema, por lo tanto puede ser expresada como suma de los cambios de energía de cada uno de los microestados

\displaystyle  \langle PV\rangle=-\frac{\ln(\mathcal{Z})}{\beta} = -\frac{\epsilon_1\oplus\epsilon_2\oplus\epsilon_3\oplus\dots}{\beta}     2
Donde εs representa la energía del microestado s, Z es la función de partición, y β es menos el inverso del producto de la temperatura por la constante de Boltzmann:

\displaystyle    \mathcal{Z} = \sum_{s} e^{\beta \epsilon_s}  \\ \\ \\   \beta = -\frac{1}{k_BT}
La ecuación (1) para un proceso con presión y temperatura constantes queda así:

\displaystyle  U=TS-PV  (3)
por lo tanto sustituyendo (2) en (3) tenemos:

\displaystyle  U=TS + \frac{\ln(\mathcal{Z})}{\beta} \\ \\   U=\frac{\beta}{\beta} \ln \exp(TS) + \frac{\ln(\mathcal{Z})}{\beta} \\ \\ \\   U=\frac{\ln \exp(\beta TS )}{\beta} + \frac{\ln(\mathcal{Z})}{\beta} \\ \\ \\   U=\frac{\ln \left (\mathcal{Z}\exp(\beta TS ) \right)}{\beta}  \\ \\ \\   (4)

Según el postulado fundamental de la mecánica estadística, la entropía S es directamente proporcional al logaritmo del número Ω de microestados:

\displaystyle  S = k_B \ln \Omega

es decir

\displaystyle  TS = Tk_B \ln \Omega= -\frac{\ln \Omega}{\beta}  (5)

por lo que (4) lo podemos calcular más fácilmente:

\displaystyle  U=TS + \frac{\ln \mathcal{Z}}{\beta} \\ \\   U=-\frac{\ln \Omega}{\beta} + \frac{\ln \mathcal{Z}}{\beta} \\ \\ \\
\displaystyle  \boxed{U=\cfrac{1}{\beta}\ln \left(\frac{\mathcal{Z}}{\Omega}\right)}   (6)
Esta energía interna U es lo que en gravedad debe identificarse como la energía potencial gravitatoria, la cual si es dividida por la masa m de una partícula de prueba tendremos el potencial gravitatorio (con todas sus componentes) en el punto espacial donde está localizada dicha partícula:

\displaystyle    \boxed{V = \cfrac{U}{m}=\cfrac{1}{m \beta}\ln \left(\frac{\mathcal{Z}}{\Omega}\right)}   (7)
Recapitulemos. La componente entrópica debe ser identificada con la gravitación clásica de Newton, y la componente de energía libre (PV) debe ser identificada con lo que se llama gravitomagnetismo. O lo que es lo mismo, la función de partición Z mapea dicho gravitomagnetismo, mientras que el número Ω de microestados mapea la componente estática de gravitación Newtoniana.

Pongamos un pequeño ejemplo. Supongamos que queremos calcular el número Ω de microestados de un sistema gravitatorio binario, con masas M y m. Igualamos el potencial gravitatorio así:

\displaystyle     V =-\frac{\ln \Omega}{m\beta} = -\frac{GM}{r}  \\ \\   \Omega = \exp\left(\frac{GMm\beta}{r}\right)

pero en β está incluida la temperatura T, por lo tanto si igualamos esa temperatura con la temperatura de Unhru:
,

\displaystyle  T = \frac{\hbar a}{2\pi c k_\text{B}} \\ \\ \\  \beta= -  \frac{2\pi c}{\hbar a} \\ \\ \\

y la aceleración a la igualamos a la aceleración del campo gravitatorio estático, a = g:

\displaystyle  a = \frac{GM}{r^2}\\ \\ \\  \beta= -  \frac{2\pi c r^2}{\hbar GM} \\ \\ \\

Por lo que el número Ω de microestados para ese sistema gravitatorio será:

\displaystyle  a = \frac{GM}{r^2}\\ \\ \\  \beta= -  \frac{2\pi c r^2}{\hbar GM} \\ \\ \\  \Omega = \exp \left(\frac{GMm\beta}{r}\right) = \exp\left(\frac{m c \ 2\pi r}{\hbar}\right)
Saludos

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