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Archive for 26 mayo 2014

¿Quieres ganar 7000 $ jugando a descubrir el bosón de Higgs?: Higgs Boson Machine Learning Challenge

Posted by Albert Zotkin en mayo 26, 2014

Hola amigo de Tardígrados. Hoy te voy a traer un concurso muy curioso que proponen científicos del experimento ATLAS del LHC en el CERN. Se trata del concurso “Higgs Boson Machine Learning Challenge”, presentado en el portal Kaggle. Se trata de que formes un equipo de no más de cuatro personas y os dediquéis a programar un software específico con el cual “machacar datos” para diferenciar la señal del bosón de Higgs contra el ruido de fondo en el canal de desintegración τ-τ (dos tau leptones). Ellos te proporcionan los datos de entrada, y tú con tu software, y siguiendo las reglas y los formatos especificados debes enviarles tus resultados. Aquel equipo que sepa mejor diferenciar la señal del bosón de Higgs contra el ruido de fondo será premiado con los 7000 $. Muy fácil, ¿no?. Incluso no necesitas ser especialista en física de partículas para poder ganar. Mola, ¿no?.
Veamos dónde está el truco de todo esto. Resulta que a nuestros amigos del experimento ATLAS les resulta extremadamente dificil discriminar señal contra ruido de fondo cuando se trata del canal τ-τ de desintegración del bosón de Higgs. Es decir, no tienen ni la más “pajolera” idea de cómo hacerlo eficientemente, por eso piden tu ayuda. Pero, echemos un leve vistazo al paper (documento técnico) que acompaña al concursito de marras. Al final del documento, a modo de apéndice, hay una pequeña reseña sobre la Relatividad Especial de Einstein (es decir, sobre la “Biblia Ortodoxa” del científico fiel al consenso oficial)- En esa reseña nos describen cómo han de ser las ecuaciones de la energía total y del momento de las partículas implicadas en la colisión. Por lo tanto, voy a responder también sucintamente a la pregunta de por qué a estos chicos del experimento ATLAS les resulta tan difícil discriminar señales del Higgs contra fondo en ese canal. Y la respuesta está en las ecuaciones para la energía total y el momento que propone la Relatividad Especial. A saber:

\displaystyle    E^2 = (mc^2)^2 + (pc)^2  \\ \\   E = mc^2 \gamma

donde

\displaystyle    \gamma =\cfrac{1}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}

es el conocido factor de Lorentz.

Para ganar ese concursillo debes considerar la siguiente corrección:

\displaystyle    \gamma = \cosh \frac{v}{c}

con lo cual las ecuaciones de la energía y el momento quedarían corregidas así:

\displaystyle     \\ \\   E = mc^2 \cosh \frac{v}{c} \\ \\   p = m c \sinh \frac{v}{c}

por lo que la relación energía-momento quedaría igual que la propuesta por la Relatividad Especial, E2 = (mc2)2 + (pc)2, porque sabemos en matemáticas que cosh 2 – sinh 2 = 1.

En el meollo de todo este asunto están dos conceptos matemáticos que los físicos de partículas usan mucho para estudiar los eventos de las colisiones. Esos dos conceptos son la pseudorapidez y la rapidez:
La pseudorapidez se define como:

\displaystyle    \eta = -\ln\left[\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)\right],

donde \theta es el ángulo entre el momento (vector) de la partícula y el eje del haz. En cuanto a la “rapidez”, y siempre conforme a la Relatividad Especial se expresan las ecuaciones de la energía y el momento así:

\displaystyle    E = m c^2 \cosh \varphi \\ \\   p = m c \, \sinh \varphi

donde, obviamente, p es el momento escalar, p = | \mathbf p |
Observamos, ahora con facilidad que la rapidez \varphi, para ganar nuestro concurso y llevarnos al bolsillo los 7000 $, debemos corregirla por la beta, \beta=\frac{v}{c}.

Pero, claro, de momento, no te voy a dar mas pistas, porque el concurso lo quiero ganar yo :P, y a ti te dejaré el segundo premio de 4000 $, que tampoco está nada mal, y además tienes de plazo hasta el 15 de Septiembre para presentar tus resultados.

Saludos, y suerte si decides concursar

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Decibelios de un agujero negro

Posted by Albert Zotkin en mayo 17, 2014

Un supuesto agujero negro (si es que existen realmente) se comportaría de forma análoga a una antena parabólica. En una antena parabólica inciden ondas electromagnéticas, en ese supuesto agujero negro inciden también ondas de materia cuando partículas con masa caen hacia él (ondas de De Broglie). De modo que un agujero negro posee una “ganancia de antena” para ondas de materia, de igual forma que una antena para onda electromagnéticas.

Consideremos ahora el radio de Schwarzschild de un agujero negro:

\displaystyle      r_\mathrm{sh} =\frac{2GM}{c^2}   (1)
El área de la esfera definida por ese radio será entonces:

\displaystyle      A_{sh} = 4 \pi r_{sh}^2 = 4 \pi \left( \frac{2 G M}{c^2} \right)^2 = \frac{16 \pi G^2 M^2}{c^4} \;  (2)
De igual forma, la ganancia de una antena parabólica es:

\displaystyle      G_{\mathrm{antena}} = \frac{4 \pi A}{\lambda^2}e_A = \frac{\pi^2d^2}{\lambda^2}e_A  (3)
donde A \mathrm{,\ } d \mathrm{,\  } \lambda \mathrm{,\  } e_A son respectivamente, el área de la apertura de antena, el diámetro de la antena parabólica, la longitud de onda de la onda incidente, y un parámetro adimencional que puede ir de 0 a 1.

La ganancia de una antena es la razón entre la potencia recibida por la antena desde una fuente emisora a lo largo de su eje respecto de la potencia recibida por una hipotética antena isotrópica. La ganancia se mide en belios, B, o en submúltiplos como el decibelio (dB).

Por lo tanto, para un agujero negro, tendremos en su esfera de Schwarzschild, que la ganancia sería:

\displaystyle    G_{\mathrm{antena}} = \frac{64 \pi^2 G^2 M^2}{\lambda^2 c^4}\, e_A  (4)
y si decimos que si la longitud de onda de esa onda incidente está definida por la longitud de onda de una onda de materia (onda de De Broglie) \lambda= \frac{h}{mv}, tendremos una ganancia de:

\displaystyle    G_{\mathrm{antena}} = \frac{64 \pi^2 G^2 M^2 m^2 v^2}{h^2 c^4}\, e_A  (5)

La interpretación física de esa fórmula de la ganancia de una agujero negro será pues una medida de la probabilidad de que una partícula con masa m que cae hacia la barrera de potencial gravitatorio de dicho agujero negro NO escape al mismo mediante efecto de túnel cuántico. Si la partícula masiva es atrapada con suceso seguro entonces la ganancia del agujero negro para el momento de esa partícula sería máxima. Examinando esa fórmula de ganancia (5), vemos que sólo existiría una ganancia nula para partículas con momento nulo, p = mv = 0. Para todas las demás siempre existiría una probabilidad no nula de NO escapar por efecto túnel.

Esto quiere decir, que la única posibilidad de que un agujero NO atrapara nunca (suceso seguro) a toda partícula que cae en él sería que el parámetro eA (llamado eficiencia de apertura) fuera siempre nulo.

Veamos qué ocurre en el caso de que sea un fotón el que entra en la barrera de potencial gravitatorio del agujero negro. En tal caso, aunque el fotón no posee masa (m = 0), eso no implica que la ganancia de antena del agujero negro se anulara, porque el fotón posee momento no nulo, y en tal caso tendriamos que aplicar la fórmula (4) de ganancia de antena. Si no aplicáramos la fórmula (4) entonces una ganancia nula indicaría que la probabilidad de que el fotón escapara del agujero negro sería el suceso seguro, es decir siempre escaparía, nunca entraria en el agujero negro. Evaluando un poco esa fórmula (4) vemos que sólo para fotones con longitud de onda infinita, la ganancia sería nula, es decir, en tal caso no serían atrapados por el agujero negro.

Para un fotón la ganancia puede también ser expresada en función del momento p, así:

\displaystyle    G_{\mathrm{antena}} = \frac{64 \pi^2 G^2 M^2 p^2}{h^2 c^4}\, e_A  (6)

y como la frecuencia del fotón y su longitud de onda están relacionas así \lambda\ \nu = c.

La ganancia de antena también puede ser expresada en función de su frecuencia así:

\displaystyle    G_{\mathrm{antena}} = \frac{64 \pi^2 G^2 M^2 \nu^2}{ c^6}\, e_A  (7)
Podemos buscar alguna relación entre la ganancia de antena de un agujero negro y la Radiación de Hawking. Sabemos que la tenperatura de Hawking para que exista esa radiación es:

\displaystyle    T_H={\hbar\,c^3\over8\pi G M k}  (8)

donde k es la constante de Boltzmann.

Fijémonos ahora en la última ecuación (7) de la ganancia. Podemos expresarla, pues, en función de la temperatura de Hawking y de la frecuencia de la onda de materia incidente, así:

\displaystyle    \cfrac{\hbar^2}{k^2\;T_H^2}=  \frac{64 \pi^2 G^2 M^2 }{ c^6}  (9)
\displaystyle    \boxed{G_{\mathrm{antena}} =\left (\cfrac{\hbar\;\nu}{k\;T_H}\right )^2\;e_A}  (10)
observamos que \hbar\;\nu es la energía de la partícula incidente (onda de materia incidente), y que k\;T_H viene a ser algo así como la energía del agujero negro por mol. Efectivamente si aplicamos la ley de los gases nobles a un agujero negro, tendremos,

\displaystyle     PV = kNT  (11)

donde N, es el número de moles. Eso indicaría que

\displaystyle    G_{\mathrm{antena}} =\left (\cfrac{\hbar\;\nu}{k\;T_H\;\sqrt{1/e_A}}\right )^2  (12)

es decir, el número de moles del agujero negro sería, sin lugar a dudas, el inverso de la raíz cuadrada de la eficiencia de apertura,

\displaystyle    N =\cfrac{1}{\sqrt{e_A}}  (13)

y esto implica también que la presión de un agujero negro por mol sería:

\displaystyle    P = \frac{3\; c^9\; \hbar }{256\;G^4\; M^4\; \pi^2}  (14)

Saludos

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Cómo vencer a un agujero negro sólo con un lápiz y un papel

Posted by Albert Zotkin en mayo 10, 2014

En un anterior post mio (Demostración impepinable de que los agujeros negros no pueden existir en nuestro universo) dejé bien claro que en la naturaleza existe un censor cósmico que impide la formación de agujeros negros, por mucho que la Teoría General de la Relatividad y sus acérrimos e “interesados” defensores se empeñen en demostrarnos lo contrario. Efectivamente, ese censor cósmico impide la formación de agujeros negro mediante un curioso mecanismo cuántico llamado “efecto túnel cuántico”. Toda partícula con masa, al aproximarse a una barrera de potencial gravitatorio radialmente y hacia su centro, poseerá cierta probabilidad de saltar al otro extremo de la barrera de potencial sin pasar por el centro. Es decir, la partícula másica será teletransportada a las antípodas y escapará del campo gravitacional que la estaba atrapando. ¿Cuándo y desde dónde existirá la máxima probabilidad de que una partícula másica realice un salto cuántico mediante el efecto tunel?. Eso es lo que trataré de explicar seguidamente en este pequeño post de hoy.
black-hole

Como digo, la Teoría General de la Relatividad predice la existencia y formación de agujeros negros. Una de las soluciones se llama Agujero Negro de Schwarzschild. Todo agujero negro posee un horizonte de sucesos, a partir del cuál, todo cuerpo que cayerá en él, incluso la misma luz, ya no podria salir jamás. Ese horizonte de sucesos, según la teoría de Einstein, posee un tamaño, que para el caso del que tratamos, se puede expresar como un radio de Schwarzschild r_\mathrm{sh} :

\displaystyle      r_\mathrm{sh} =\frac{2GM}{c^2}   (1)
Esto significa, como digo, que una partícula que cae hacia el supuesto agujero negro y pasa por su horizonte de sucesos ya no podria salir de él jamás, por mucho que fuera acelerada hacia el exterior. Para escapar, según esa teoría, necesitaría superar la velocidad de la luz en el vacío. Por esa misma razón, la luz tampoco puede escapar de un agujero negro. En cualquier punto de la superficie de esa esfera de Schwarzschild, de radio r sh, la velocidad d escape se iguala a la de la luz. y para puntos del interior la velocidad de escape sería mayor que la de la luz.
Consideremos ahora una partícula de masa m que está cayendo libre y radialmente hacia un supuesto agujero negro. Su longitud de Compton vendrá definida por su masa así:

\displaystyle       \lambda = \frac{h}{m c} \   (2)
Es pues presumible que si el radio de Schwarzschild es menor o igual a la mitad de la longitud de Compton de la partícula que cae, entonces dicha partícula experimentará un salto sobre la barrera de potencial del supuesto agujero negro debido a que el censor cósmico aplica un efecto túnel cuánto. O sea, el suceso seguro (probabilidad igual a 1) se producirá cuando:

\displaystyle       \lambda = 2 \; r_\mathrm{sh} \\ \\   \frac{h}{m c} = \frac{4 \;GM}{c^2}  \\ \\ \\ \\   h = \frac{4 \; GMm}{c}   (3)
Pero (3) se cumpliría sólo para una partícula que cayera en la barrera de potencial a la velocidad de la luz, por lo que para un fotón, la masa m sería su energía dividida por la velocidad de la luz al cuadrado:

\displaystyle      m =\cfrac{h \nu}{c^2} \\ \\ \\   h = \frac{4 \; GM  \nu}{c^3}

Para cualquier otra partícla subluminar, usaremos su onde de De Broglie

\displaystyle      \lambda =\cfrac{h}{m v} \\ \\ \\

donde v es la velocidad a la que cae en la barrera de potencial. Así, tendremos que:

\displaystyle      \frac{h}{m v} = \frac{4 \;GM}{c^2} \\ \\ \\   v = \frac{h c^2} {4 \;GMm}  (4)

Saludos

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Nuevo mecanismo para explicar la inercia: problema NP-completo

Posted by Albert Zotkin en mayo 10, 2014

Explicar en qué consiste la inercia es fácil: la inercia consiste en la propiedad de todo cuerpo con masa de permanecer en su estado de reposo o movimiento uniforme. También puede decirse que la inercia es la resistencia que todo cuerpo con masa ofrece a modificar ese estado de reposo o movimiento.

Esto quiere decir que si aplicamos dos fuerzas iguales sobre dos cuerpos de distinta masa, ambos en reposo, el de menor masa tardará menos tiempo en alcanzar una determinada velocidad. Esto significa que el de menor masa desarrollará una aceleración mayor que el de mayor masa. La pregunta del millón es ¿por qué ocurre esto?. No nos debemos conformar con saber que eso ocurre porque el cuerpo de menor masa acelera más, sino que debemos investigar y proponer causas científicas para eso.

Empecemos la tarea de proponer un mecanismo que explique ese hecho inercial. supongamos que la masa de un cuerpo está formada por masas elementales indivisibles (¿átomos?, ¿partículas elementales?). Por lo tanto, dos cuerpos de diferente masa poseerán diferente número de masas elementales. Debemos suponer que existe una propagación lineal que pasará linealmente por cada una de las masas elementales una única vez, y dicha propagación se efectuaría a una velocidad constante c.

body2

\displaystyle      M_1 = k_1 m \\  M_2= k_2 m  (1)

siendo m la masa elemental, y k_1 y k_2 números naturales, Si M_1 es mayor que M_2 (M_1 > M_2) entonces k_1 > k_2
body3

La propagación lineal que pasa por cada una de las masas elementales, podría en principio elegir cualquier recorrido al azar, por lo que todos serían igual de probables, y el resultado dinámico sería semejante.
body4
pero es muy probable que esa propagación lineal se comporte como el agente viajero en el “Problema del viajante”. Cada masa elemental se visita una única vez por la propagación lineal y al final resulta la menor ruta posible. Pero, el problema del viajero es un problema NP-completo, según nos dice la teoría de la complejidad computacional. Esa clase de problemas no puede resolverse eficientemente con computadores clásicos, se necesitan computadores cuánticos potentes. En conclusión, la naturaleza es el computador cuántico por antonomasia, y el más eficiente. Eso implica que la inercia es la evidencia palpable de que la naturaleza tarda cierto tiempo en hacer sus cálculos, y cuanto más grande es la masa del cuerpo a computar más tiempo tardará suponiendo que siempre usa la misma velocidad de computación. Si la naturaleza pudiera computar instantáneamente las localizaciones futuras de un cuerpo que está siendo acelerado por una fuerza, no existiría eso que llamamos inercia.

Saludos

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Longitud de una elipse

Posted by Albert Zotkin en mayo 2, 2014

Resulta bastante extraño que la longitud de una elipse no pueda ser calculada de forma exacta nunca. Existen fórmulas que dan valores aproximados, y fórmulas exactas, pero son series infinitas cuyas sumas no pueden ser expresadas de forma genérica en función de valores conocidos. Hay que decir que el cálculo de la longitud de una elipse nos presenta el problema de calcular una integral elíptica completa de segunda especie, la cual está definida en función de la excentricidad k de la elipse así:

\displaystyle                 E(k) = \frac{\pi}{2} \left(1- \sum _{i=1}^{\infty } \frac{(2 i -1)\text{!!}^2\; k^{2 i}}{(2\text{  }i)\text{!!}^2 \;(2 i-1)}\right)     (1)
y la longitud total de una elipse sería entonces:

\displaystyle                 L= 4\ a\ E(k)   (2)

siendo la excentricidad

\displaystyle                 k= \cfrac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}  (3)

donde a es el eje mayor de la elipse, y b es el eje menor.

La función (1) tambien puede ser expresada de esta forma:

\displaystyle                 E(k) = \frac{\pi}{2} \left(1- \sum _{i=1}^{\infty } \frac{(2 i)!^2 \; k^{2 i}}{\left(2^i\text{  }i!\right)^4 (2 i-1)}\right)     (4)

la cual se expande en sus primeros términos así:

\displaystyle                 E(k) =\frac{\pi  }{2}\left[1- \left(\frac{1}{2}\right)^2k^2 - \left(\frac{1 \times 3}{2 \times 4}\right)^2\frac{k^4}{3}- \left(\frac{1 \times 3  \times5}{2 \times 4 \times 6}\right)^2\frac{k^6}{5}- \text{...}\right]  (5)

O sea la longitud total de la elipse es:

\displaystyle                 L= 2 \pi a\left[1- \left(\frac{1}{2}\right)^2k^2 - \left(\frac{1 \times 3}{2 \times 4}\right)^2\frac{k^4}{3}- \left(\frac{1 \times 3  \times5}{2 \times 4 \times 6}\right)^2\frac{k^6}{5}- \text{...}\right]  (6)

esto significa que la longitud de una elipse es igual a la longitud de una circunferencia de radio a menos la longitud de una circunferencia de radio

\displaystyle               r= a\left[ \left(\frac{1}{2}\right)^2k^2 + \left(\frac{1 \times 3}{2 \times 4}\right)^2\frac{k^4}{3}+ \left(\frac{1 \times 3  \times5}{2 \times 4 \times 6}\right)^2\frac{k^6}{5}+ \text{...}\right]  (7)
HACIA LA COMPRESIÓN GEOMÉTRICA DE LA LONGITUD DE LA ELIPSE

Fijémonos ahora en la gráfica de la elipse inscrita en el círculo cuyo radio es el eje mayor a de dicha elipse

e-1

dibujemos seguidamente el circulo de radio eje menor b, e inscribamos en él una elipse más pequeña, pero de igual excentricidad que la original:

e-2

Para no liarnos mucho podemos usar subindices para los sucesivos ejes. Así, podemos llamar al eje mayor

\displaystyle a = b_0

y al eje menor

\displaystyle b = b_1

Así, podemos seguir profundizando en la inscripción de círculos, y ahora para el siguiente, el eje menor b1 pasa a tomar el papel de eje mayor, con lo cual la siguiente elipse inscrita de igual excentricidad que las dos anteriores, tendrá como eje menor b2

e-3

En general, tendremos que la n-ésima elipse inscrita de esta clase poseerá un eje menor que puede ser expresado así:

\displaystyle b_n = \cfrac{b_{n-1}^2}{b_{n-2}}

lo cual implica que puede ser expresado en función de b0 y b1 así:

\displaystyle b_n = \cfrac{b_1^{n-1}}{b_0^{n-2}}

Supongamos ahora que a la longitud de la circunferencia original, le restamos y sumamos alternativamente las sucesivas longitudes de las circunferencias inscritas. Sabemos que la longitud de la circunferencia original es

\displaystyle l_0 = 2\pi b_0

Por lo tanto, tendremos la suma infinita:

\displaystyle L' = 2\pi b_0 - 2\pi b_1 +  2\pi\sum _{n=2}^{\infty } \frac{b_1^{n-1}}{ b_0^{n-2}}(-1)^n (8)
Atención, pregunta: ¿tiene algo que ver el valor L’, expresado en (8), con el valor L de la longitud de una elipse expresado en (6)?

Pogámoslo un poco más claro. Deshagamos los subíndices, así podemos expresar:

\displaystyle b_n = \cfrac{b^{n-1}}{a^{n-2}}

y sabiendo que:

\displaystyle b = a \sqrt{1-k^2}

tenemos

\displaystyle b_n = a (1-k^2)^{\frac{n-1}{2}}

con lo cual tenemos

\displaystyle   \boxed{L' = 2\pi a  \left(1- \sum _{n=2}^{\infty } (1-k^2)^{\frac{n-1}{2}} \; (-1)^{n}\right)}
\displaystyle     \boxed{L = 2\pi a \left(1- \sum _{n=1}^{\infty } \frac{(2 n)!^2 \; k^{2 n}}{\left(2^n\text{  }n!\right)^4 (2 n-1)}\right)}
(9)
Atención, pregunta: . Demostrar que:

\displaystyle      \left(\sum _{n=1}^{\infty } (1-k^2)^{\frac{n-1}{2}}\right) \left(\sum _{n=1}^{\infty } \cfrac{(2 n)!^2 k^{2 n}}{\left(2^i\text{  }n!\right)^4 (2 n-1)}\right) = \cfrac{1}{2}  (10)
Es fácil demostrar que (10) no es cierto, ya que

\displaystyle   \sum _{n=1}^{\infty } (1-k^2)^{\frac{n-1}{2}} =\cfrac{1}{1-\sqrt{1-k^2}}

Cuando nos adentramos hacia la comprensión de la interpretación geométrica de la longitud de una elipse, vemos que no había que ir sumando alternando sumas y restas de las longitudes de los círculos concéntricos de esa clase definida arriba, sino que más bien había que restar de la longitud original la suma de todas las restantes longitudes de los círculos concéntricos inscritos. Todo queda en una aproximación:

\displaystyle   L \approx \pi a  \left(1+ \sqrt{1-k^2}\right)   (11)

Saludos

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