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Es decir:
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(3) |
Ahora, duplicamos dicha expansión para obtener la configuración piramidal egipcia de :
Posted by Albert Zotkin en febrero 23, 2013
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Es decir:
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(3) |
Ahora, duplicamos dicha expansión para obtener la configuración piramidal egipcia de :
Posted in Matemáticas | Etiquetado: Euler, expansión piramidal egipcia, fracción continua, fracción continua espejo, pirámide egipcia, series | Leave a Comment »
Posted by Albert Zotkin en febrero 21, 2013
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Es decir:
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Por lo tanto su recíproco B converge hacia
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lo cual significa que:
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es decir, tenemos la identidad:
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Otra identidad natural surge de la misma forma cuando consideramos la fracción continua espejo:
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La cual converge hacia . Y de forma concisa podemos expresarlo así:
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Por lo tanto, junto a (5), tenemos
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es decir:
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Posted in Matemáticas | Etiquetado: Euler, fracción continua, fracción continua espejo, Ramanujan, series | 6 Comments »
Posted by Albert Zotkin en febrero 21, 2013
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donde es la funcion error.
Veamos ahora el otro sumando B, que es como vemos, el recíproco de una fracción continua ordinaria, C, . Dicha fracción continua C converge hacia el valor:
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donde es la función error complementaria. Por lo tanto, B converge hacia:
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Ahora sólo nos queda demostrar que efectivamente,
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y dicha demostración es muy fácil, ya que
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puesto que la función error complementaria se define precisamente como . La mente creativa de Ramanujan ideó una simple suma para que la función de error erf se desvaneciese junto a su función de error complementaria, para que sólo quedase el factor
. Es más que evidente que Ramanujan conocía previamente el valor del sumando A y el valor de convergencia de la fracción continua C. Su mente creativa se dio cuenta de que el reciproco de C (B=1/C), al ser sumando a A eliminaba de un tiró las funciones erf y su complementaria erfc, quedando sólo el notable factor ya mencionado arriba.
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Posted by Albert Zotkin en febrero 19, 2013
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Posted in Matemáticas | Etiquetado: coseno hiperbólico, fracción continua, fracción continua espejo, Maclaurin, seno hiperbólico, serie de potencias, series, Taylor, transformada espejo | Leave a Comment »
Posted by Albert Zotkin en febrero 18, 2013
La serie de Taylor de una función real o compleja ƒ(x) la cual es infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo a es la siguiente serie de potencias:
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Si el punto esla serie se llama serie de Maclaurin. Por lo tanto, podemos expresar dicha serie de Taylor como una fracción continua ascendente (espejo) así:
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z = sinh (a+bi)
z = cosh (a+bi)
Posted in Matemáticas | Etiquetado: coseno hiperbólico, fracción continua, fracción continua espejo, Maclaurin, seno hiperbólico, serie de potencias, series, Taylor | Leave a Comment »
Posted by Albert Zotkin en enero 30, 2013
Podemos escribir la función zeta de Riemann mediante la siguiente fracción continua espejo, de forma trivial, así:
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Si dibujamos la gráfica de esa función para real tendremos algo así,
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Posted in Matemáticas | Etiquetado: arcotangente, fracción continua, fracción continua espejo, función zeta de Riemann, Hipótesis de Riemann | Leave a Comment »
Posted by Albert Zotkin en enero 29, 2013
Los números de Bernoulli son una secuencia infinita de números racionales que pueden ser definidos por la siguiente función generadora exponencial:
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Posted in Matemáticas | Etiquetado: fracción continua, fracción continua espejo, Números de Bernoulli | 2 Comments »
Posted by Albert Zotkin en enero 24, 2013
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Posted in Matemáticas | Etiquetado: fracción continua, fracción continua espejo, Número de Bell | Leave a Comment »
Posted by Albert Zotkin en enero 18, 2013
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Posted in Matemáticas | Etiquetado: Euler, fracción continua, fracción continua espejo, función Bessel de primera clase, función zeta de Riemann, número de Euler | Leave a Comment »