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Posts Tagged ‘fracción continua espejo’

Una expansión Piramide Egipcia del número π

Posted by Albert Zotkin en febrero 23, 2013

El número $\pi$ puede ser expresado mediante multitud de fórmulas. Una de ellas es la siguiente:

$\displaystyle \cfrac{\pi}{2}=\sum _{n=0}^{\infty } \frac{n!}{(2 n+1)\text{!!}}$

(1)

Es decir:

$\displaystyle \cfrac{\pi}{2}= \cfrac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty}\cfrac{(n!)^2\ 2^{n+1}}{(2n+1)!}= \sum_{n=0}^{\infty} \cfrac{n!}{(2n+1)!!}= \\ \\ \\ = 1+ \frac{1}{3}+ \frac{1 \times 2}{3 \times 5}+ \frac{1 \times 2 \times 3}{3 \times 5 \times 7}+ \frac{1 \times 2 \times 3 \times 4}{3 \times 5 \times 7 \times 9}+\dots = \\ \\ \\ = 1+\frac{1}{3} \left (1+\frac{2}{5}\left (1+\frac{3}{7}\left (1+\frac{4}{9}\left (1+\dots\right)\right)\right) \right )$

(2)

Esto significa que podemos construir la fracción continua ascendente (espejo), así:

$\displaystyle \cfrac{\pi}{2}=1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{\dots}{(17/8)}}{(15/7)}}{(13/6)}}{(11/5)}}{(9/4)}}{(7/3)}}{(5/2)}}{(3/1)}$

(3)

Ahora, duplicamos dicha expansión para obtener la configuración piramidal egipcia de $\pi$ :

$\displaystyle \pi=1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1}{(17/8)}}{(15/7)}}{(13/6)}}{(11/5)}}{(9/4)}}{(7/3)}}{(5/2)}}{(3/1)}+\cfrac{\cfrac{\cfrac{\cfrac{\cfrac{\cfrac{\cfrac{\cfrac{1}{(17/8)}+1}{(15/7)}+1}{(13/6)}+1}{(11/5)}+1}{(9/4)}+1}{(7/3)}+1}{(5/2)}+1}{(3/1)}+1$

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Una identidad natural

Posted by Albert Zotkin en febrero 21, 2013

Si intentamos imitar el método ideado por la creatividad de la mente de Ramanujan en el post anterior, lo cual es por supuesto, bastante dificil, podemos intentar algo como lo siguiente. Sea la fracción continua espejo:

$\displaystyle A=1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{\dots}{20}}{18}}{16}}{14}}{12}}{10}}{8}}{6}}{4}}{2}$

(1)

Es decir:

$\displaystyle A=\left (1+\cfrac{1}{2\times 4} +\cfrac{1}{2 \times 4\times 6}+\cfrac{1}{2\times 4\times 6\times 8} + \dots \right ) =\sum _{n=0}^{\infty } \cfrac{1}{(2 n)!!}$

(2)

donde, obviamente $(2n)!!$ es el doble factorial de los números pares. Podemos comprobar que dicha fracción continua espejo converge hacia:

$\displaystyle A = \sqrt{e}$

(3)

Ahora, por otro lado, consideremos la fracción continua siguiente:

$\displaystyle C=1+\cfrac{2}{3+\cfrac{4}{5+\cfrac{6}{7+\cfrac{8}{9+\cfrac{10}{11+\dots}}}}}$

(4)

Podemos comprobar que dicha fracción continua converge hacia (esta se la debemos a Euler):

$\displaystyle C= \left (\sqrt{e} -1\right )^{-1}$

(5)

Por lo tanto su recíproco B converge hacia

$\displaystyle B= \cfrac{1}{C}=\sqrt{e} -1$

(6)

lo cual significa que:

$\displaystyle A-B = 1$

(7)

es decir, tenemos la identidad:

$\displaystyle \cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{\dots}{20}}{18}}{16}}{14}}{12}}{10}}{8}}{6}}{4}}{2} \ = \ \cfrac{1}{1+\cfrac{2}{3+\cfrac{4}{5+\cfrac{6}{7+\cfrac{8}{9+\cfrac{10}{11+\dots}}}}}}$

(8)

Otra identidad natural surge de la misma forma cuando consideramos la fracción continua espejo:

$\displaystyle D=1+\cfrac{3+\cfrac{5+\cfrac{7+\cfrac{9+\cfrac{11+\cfrac{\dots}{12}}{10}}{8}}{6}}{4}}{2}$

(9)

La cual converge hacia $D=2\sqrt{e}$ . Y de forma concisa podemos expresarlo así:

$\displaystyle D=\sum _{n=0}^{\infty } \cfrac{(2 n+1 )}{(2 n)!!} =2\sqrt{e}$

(10)

Por lo tanto, junto a (5), tenemos

$\displaystyle \cfrac{D}{2} - \cfrac{1}{C} = 1$

(11)

es decir:

$\displaystyle \cfrac{3+\cfrac{5+\cfrac{7+\cfrac{9+\cfrac{11+\cfrac{\dots}{12}}{10}}{8}}{6}}{4}}{4} = \cfrac{1}{1+\cfrac{2}{3+\cfrac{4}{5+\cfrac{6}{7+\cfrac{8}{9+\cfrac{10}{11+\cfrac{12}{\dots}}}}}}}$

(12)

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El casco vikingo de Ramanujan

Posted by Albert Zotkin en febrero 21, 2013

Ramanujan nos ofreció esta preciosa obra de arte matemático, donde aparecen unidos los números $e$ y $\pi$

$\displaystyle \sqrt{\cfrac{e\pi}{2}}=\left (1+\cfrac{1}{3\times 5} +\cfrac{1}{3 \times 5\times 7}+\cfrac{1}{3\times 5\times 7\times 9} + \dots \right ) + \cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{2}{1+\cfrac{3}{1+\cfrac{4}{1+\cfrac{5}{\dots}}}}}}$

(1)

Vemos que el primero de esos dos sumandos es en realidad una fracción continua espejo. Es decir:

$\displaystyle 1\ +\ \cfrac{1}{3 \times 5}\ + \ \cfrac{1}{3 \times 5 \times 7}\ + \ \dots = 1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{\dots}{21}}{19}}{17}}{15}}{13}}{11}}{9}}{7}}{5}}{3}$

(2)

Esta curiosa configuración de fracciones continuas nos ofrece la apariencia de un “casco vikingo”, con un sumando expandiendose infinitamente hacia arriba y el otro expandiendose infinitamenete hacia abajo,

$\displaystyle \sqrt{\cfrac{e\pi}{2}}=1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{\dots}{21}}{19}}{17}}{15}}{13}}{11}}{9}}{7}}{5}}{3}\ +\ \cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{2}{1+\cfrac{3}{1+\cfrac{4}{1+\cfrac{5}{\dots}}}}}}$

(3)

Veamos ahora más detenidamente cada uno de esos dos sumandos. El primer sumando, A, puede ser expresado de forma más sucinta así

$\displaystyle A= 1\ +\ \cfrac{1}{3 \times 5}\ + \ \cfrac{1}{3 \times 5 \times 7}\ + \ \dots =\sum _{n=0}^{\infty } \cfrac{1}{(2 n +1)!!}$

(4)

donde, obviamente $(2 n +1)!!$ es el doble factorial de los números impares. Es también obvio que ese sumando A converge, y su valor es:

$\displaystyle A=\sum _{n=0}^{\infty } \cfrac{1}{(2 n +1)!!} = \sqrt{\frac{\pi e}{2}}\ \text{erf}\left (\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

(5)

donde $\text{erf}$ es la funcion error.

Veamos ahora el otro sumando B, que es como vemos, el recíproco de una fracción continua ordinaria, C, $B=1/C$ . Dicha fracción continua C converge hacia el valor:

$\displaystyle C=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{2}{1+\cfrac{3}{1+\cfrac{4}{1+\cfrac{5}{\dots}}}}} = \cfrac{1}{\sqrt{\frac{\pi e}{2}}\ \text{erfc}\left (\cfrac{1}{\sqrt{2}}\right )}$

(6)

donde $\text{erfc}$ es la función error complementaria. Por lo tanto, B converge hacia:

$\displaystyle B=\cfrac{1}{C} =\sqrt{\frac{\pi e}{2}}\ \text{erfc}\left (\cfrac{1}{\sqrt{2}}\right )$

(7)

Ahora sólo nos queda demostrar que efectivamente,

$\displaystyle \sqrt{\cfrac{e\pi}{2}}= A + B = \sqrt{\frac{\pi e}{2}}\ \text{erf}\left (\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \ + \ \sqrt{\frac{\pi e}{2}}\ \text{erfc}\left (\cfrac{1}{\sqrt{2}}\right )$

(8)

y dicha demostración es muy fácil, ya que

$\displaystyle A + B = \sqrt{\frac{\pi e}{2}} \left ( \text{erf}\left (\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \ + \ \text{erfc}\left (\cfrac{1}{\sqrt{2}}\right ) \right ) =\\ \\ = \sqrt{\frac{\pi e}{2}} \left ( \text{erf}\left (\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \ + \ 1-\text{erf}\left (\cfrac{1}{\sqrt{2}}\right ) \right ) =\sqrt{\cfrac{e\pi}{2}}$

(9)

puesto que la función error complementaria se define precisamente como $\text{erfc}(x) =1-\text{erf}(x)$ . La mente creativa de Ramanujan ideó una simple suma para que la función de error erf se desvaneciese junto a su función de error complementaria, para que sólo quedase el factor $\sqrt{\frac{e\pi}{2}}$ . Es más que evidente que Ramanujan conocía previamente el valor del sumando A y el valor de convergencia de la fracción continua C. Su mente creativa se dio cuenta de que el reciproco de C (B=1/C), al ser sumando a A eliminaba de un tiró las funciones erf y su complementaria erfc, quedando sólo el notable factor ya mencionado arriba.

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La transformada espejo de una función

Posted by Albert Zotkin en febrero 19, 2013

En el capítulo anterior expresé la serie de Taylor o de Maclaurin de una función mediante una fracción continua espejo:

$\displaystyle f(x)=f(a)+\cfrac{f^{(1)}(a)+\cfrac{f^{(2)}(a)+\cfrac{f^{(3)}(a)+\cfrac{f^{(4)}(a)+\cfrac{f^{(5)}(a)+\cfrac{f^{(6)}(a)+\cfrac{f^{(7)}(a)+\cfrac{f^{(8)}(a)+\dots}{(8/(x-a))}}{(7/(x-a))}}{(6/(x-a))}}{(5/(x-a))}}{(4/(x-a))}}{(3/(x-a))}}{(2/(x-a))}}{(1/(x-a))}$

(1)

Por lo tanto, podemos definir la transformada espejo de una función ƒ(x), como otra función distinta g(x) tal que:

$\displaystyle g(x)=f(a)+ \cfrac{1/(x-a)}{f^{(1)}(a) +\cfrac{2/(x-a)}{f^{(2)}(a) +\cfrac{3/(x-a)}{f^{(3)}(a) +\cfrac{4/(x-a)}{f^{(4)}(a) +\cfrac{5/(x-a)}{f^{(5)}(a) +\cfrac{6/(x-a)}{f^{(6)}(a) +\cfrac{7/(x-a)}{f^{(7)}(a) +\cfrac{8/(x-a)}{f^{(8)}(a) +\dots}}}}}}}}$

(2)

Por ejemplo, la transformada espejo de:

$\displaystyle f(x)=\cfrac{x}{e^x-1}$

(3)

sería:

$\displaystyle g(x)=\cfrac{x-2}{x}$

(4)

La demostración la puedes encontrar aquí.

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Serie de Taylor expresada como fracción continua espejo (ascendente)

Posted by Albert Zotkin en febrero 18, 2013

La serie de Taylor de una función real o compleja ƒ(x) la cual es infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo a es la siguiente serie de potencias:

$\displaystyle f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots$

(1)

que puede ser escrita de forma más compacta así:

$\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}$

(2)

Si el punto es $a=0$ la serie se llama serie de Maclaurin. Por lo tanto, podemos expresar dicha serie de Taylor como una fracción continua ascendente (espejo) así:

(3)

y la serie de Maclaurin así:

$\displaystyle f(x)=f(0)+\cfrac{f^{(1)}(0)+\cfrac{f^{(2)}(0)+\cfrac{f^{(3)}(0)+\cfrac{f^{(4)}(0)+\cfrac{f^{(5)}(0)+\cfrac{f^{(6)}(0)+\cfrac{f^{(7)}(0)+\cfrac{f^{(8)}(0)+\dots}{(8/x)}}{(7/x)}}{(6/x)}}{(5/x)}}{(4/x)}}{(3/x)}}{(2/x)}}{(1/x)}$

(4)

Veamos ahora dos ejemplos de series de Maclaurin expresadas como fracciones espejo:

$\displaystyle \sinh x = \sum^{\infty}_{n=0} \cfrac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad, \forall x \\ \\ \sinh x =0+\cfrac{1+\cfrac{0+\cfrac{1+\cfrac{0+\cfrac{1+\cfrac{0+\cfrac{1+\cfrac{0+\dots}{(8/x)}}{(7/x)}}{(6/x)}}{(5/x)}}{(4/x)}}{(3/x)}}{(2/x)}}{(1/x)}$

(5)

$\displaystyle \cosh x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}\quad , \forall x \\ \\ \cosh x =1+\cfrac{0+\cfrac{1+\cfrac{0+\cfrac{1+\cfrac{0+\cfrac{1+\cfrac{0+\cfrac{1+\dots}{(8/x)}}{(7/x)}}{(6/x)}}{(5/x)}}{(4/x)}}{(3/x)}}{(2/x)}}{(1/x)}$

(6)

Las cuales colapsan así:

$\displaystyle \sinh x=\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\dots}{(14\times 15/x^2)}}{(12\times 13/x^2)}}{(10\times 11/x^2)}}{(8\times 9/x^2)}}{(6\times 7/x^2)}}{(4\times 5/x^2)}}{(2\times 3/x^2)}}{(1/x)}$

(7)

$\displaystyle \cosh x =1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\dots}{(15\times 16/x^2)}}{(13\times 14/x^2)}}{(11\times 12/x^2)}}{(9\times 10/x^2)}}{(7\times 8/x^2)}}{(5\times 6/x^2)}}{(3\times 4/x^2)}}{(1\times 2/x^2)}$

(8)

z = sinh (a+bi)

z = cosh (a+bi)

Saludos

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El enigma de la función arcotangente como imagen espejo de la función zeta de Riemann

Posted by Albert Zotkin en enero 30, 2013

Podemos escribir la función zeta de Riemann mediante la siguiente fracción continua espejo, de forma trivial, así:

$\displaystyle \zeta(s)= \cfrac{1^{-s}+\cfrac{2^{-s}+\cfrac{3^{-s}+\cfrac{4^{-s}+\cfrac{5^{-s}+\cfrac{\dots}{1}}{1}}{1}}{1}}{1}}{1}$

(1)

Su correspondiente fracción continua ordinaria sería esta función:

$\displaystyle F(s)=\cfrac{1}{1^{-s}+\cfrac{1}{2^{-s}+\cfrac{1}{3^{-s}+\cfrac{1}{4^{-s}+\cfrac{1}{5^{-s}+\cfrac{1}{6^{-s}+\cfrac{1}{\dots}}}}}}}$

(2)

Si dibujamos la gráfica de esa función para $s$ real tendremos algo así,

Riemann2

Es decir, esa función $F(s)$ puede ser descrita mediante algo muy parecido a esto:

$\displaystyle F(s) = -\cfrac{1}{\pi} \arctan (G(s))+\cfrac{1}{2}$

(3)

donde G(s) es otra función de s, que aún desconocemos. Una inspección algo más detallada nos muestra que G(s) se comporta también como una función arcotangente, y que por lo tanto la función inicial F(s) es en realidad la composición recursiva de sucesivas funciones arcotangentes anidadas. La función F(s) corta al eje de ordenadas en el punto $(0,\varphi-1)$ , donde $\varphi$ es el número áureo,

$\displaystyle \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,618033988749894848204586834365638117720309 \dots$

(4)

Esa función F(s) es un misterio. Vemos que no es simétrica respecto del eje $1/2$ . También puede ser notable el hecho de que para un s entero positivo suficientemente alto, F(s) se aproxima a $1/2^s$ , y para s entero negativo suficientemente grande, F(s) se aproxima a $(1-2^s)$ . De igual forma, se puede proponer para F(s), una función arcotangente hiperbólica de la forma:

$\displaystyle F(s) = \cfrac{i}{\pi} \tanh^{-1} (G(s))+\cfrac{1}{2}$

(5)

Obviamente, los ceros de F(s) serían todos de la forma

$\displaystyle F(s_0) =\cfrac{i}{\pi} \tanh^{-1} (G(s_0))+\cfrac{1}{2}=0 \\ \\ G(s_0)=\tanh \left (\cfrac{i\pi}{2} \right ) =\tilde{\infty}$

(6)

Infinito complejo $\tilde{\infty}$ , es un número complejo de magnitud infinita, pero fase indeterminada. Y eso nos indica que no hay raíces para F(s). Según la gráfica de arriba, F(s) nunca llega a cortar al eje s, por lo tanto no poseería ceros.

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Números de Bernoulli y las fracciones continuas espejo

Posted by Albert Zotkin en enero 29, 2013

Los números de Bernoulli son una secuencia infinita de números racionales que pueden ser definidos por la siguiente función generadora exponencial:

$\displaystyle \cfrac{x}{e^x-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\cfrac{B_n x^n}{n!}$

(1)

Esto significa que podemos construir la fracción continua espejo de esa función generadora exponencial así,

$\displaystyle \cfrac{x}{e^x-1}=B_0+\cfrac{B_1+\cfrac{B_2+\cfrac{B_3+\cfrac{B_4+\cfrac{B_5+\cfrac{B_6+\cfrac{B_7+\cfrac{B_8+\dots}{(8/x)}}{(7/x)}}{(6/x)}}{(5/x)}}{(4/x)}}{(3/x)}}{(2/x)}}{(1/x)}$

(2)

La primera pregunta que nos podemos hacer es ¿cómo sería la fracción continua ordinaria de (2) y si converge?. La respuesta no se hace esperar:

$\displaystyle B_0+ \cfrac{(1/x)}{B_1+ \cfrac{(2/x)}{B_2+ \cfrac{(3/x)}{B_3+ \cfrac{(4/x)}{B_4+ \cfrac{(5/x)}{B_5+ \cfrac{(6/x)}{B_6+ \cfrac{(7/x)}{B_7+ \cfrac{(8/x)}{\dots}}}}}}}}=\cfrac{x-2}{x}$

(3)

Mira (3) bien y alucina. Hasta ahora nadie fue capaz de presentar los números de Bernoulli mediante una función generadora tan simple como $(x-2)/x$ en forma de fracción continua. ¿Es cierto eso o me estoy pasando en arrogancia?. Pues, por increible que pueda parecer, esta función generadora (3) no aparece en ningún otro paper, ni hay referencia alguna en la historia de las matemáticas. Si algún amable lector es capaz de encontrar alguna referencia a (3) en la historia universal de las matemáticas le daré un premio.

Apología de la heterodoxia:
Pregunta:¿por qué hasta ahora nadie pudo llegar a (3) desde (1)?. Respuesta: porque existe el firewall intermedio (2), es decir, una heterodoxia, algo que está fuera de lo estándar. Las fracciones continuas espejo no forman parte aún de la doctrina oficial, y por lo tanto, nadie hasta ahora pudo percatarse de que la definición (1) es en realidad una fracción continua espejo. Una vez que podemos visualizar la fracción continua espejo es fácil construir su pareja como fracción continua ordinaria, pero para eso hay que usar la heterodoxia, salirse de lo estandarizado y descubrir nuevas fronteras desde las que vislumbrar paisajes nuevos, o desde las que ver los objetos ya conocidos desde nuevas perspectivas.

Y para finalizar este breve pero intenso post, podemos expresar (3) como serie de Taylor, así:

$\displaystyle \cfrac{x-2}{x} = -1+2\sum_{n=0}^{\infty}(1-x)^{-n}$

(4)

Saludos

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Números de Bell y las fracciones continuas espejo

Posted by Albert Zotkin en enero 24, 2013

Consideremos la siguiente clase de fracciones continuas espejo:

$\displaystyle A_n=0+\cfrac{1^n+\cfrac{2^n+\cfrac{3^n+\cfrac{4^n+\cfrac{5^n+\cfrac{6^n+\cfrac{7^n+\cfrac{\dots}{8}}{7}}{6}}{5}}{4}}{3}}{2}}{1}$

(1)

Ya sabemos que las fracciones continuas espejo poseen la fórmula genérica,

$\displaystyle a_0+\sum_{i=0}^{\infty} \cfrac{a_{i+1}}{\prod_{j=0}^{i} b_j }$

(2)

Por lo tanto para esta clase de fracciones continuas espejo que estamos considerando ahora, tenemos que:

$\displaystyle A_n=\sum_{i=0}^{\infty} \cfrac{(i+1)^n}{\prod_{j=0}^{i}(j+1) }$

(3)

y esto significa que esa clase de números $A_n$ están relacionados con los números de Bell, los cuales satisfacen la fórmula de Dobinski,

$\displaystyle B_n=\frac{1}{e}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!}$

(4)

Efectivamente, es fácil ver que,

$\displaystyle B_n=\cfrac{A_n}{e}$

(5)

Los números de Bell son la secuencia infinita,

$\{1,1,2,5,15,52,203,877,4140,21147,115975,\dots\}$

(Secuencia A000110 en OEIS)

Para quien desee saber más a cerca de los números de Bell le recomiendo Bell Number.

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Las razones metálicas y sus valores espejo

Posted by Albert Zotkin en enero 20, 2013

Sabemos que el número áureo o de oro (también llamado razón extrema y media, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) es el definido así:

$\displaystyle \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

(1)

De igual forma podemos definir otros números (razones) metálicos,

Razón de Plata	$\displaystyle \varphi_2 = 1 + \sqrt{2}$	(2)
Razón de Bronce	$\displaystyle \varphi_3 =\frac{3 + \sqrt{13}}{2}$	(3)
Razón de Cobre	$\displaystyle \varphi_4 =2 + \sqrt{5}$	(4)

y así sucesivamente de tal forma que la razón metálica de orden $n$ será,

$\displaystyle \varphi_n = \frac{n + \sqrt{n^2+4}}{2}$

(5)

Las fracciones continuas de estas razones metálicas son de la forma,

$\displaystyle \varphi_n=n +\cfrac{1}{n +\cfrac{1}{n +\cfrac{1}{n +\cfrac{1}{n +\cfrac{1}{n +\cfrac{1}{n +\cfrac{1}{n +\cfrac{1}{n +...}}}}}}}}$

(6)

que también puede ser escrita mediante la expresión algebraica,

$\displaystyle \varphi_n=\sqrt{1+n\sqrt{1+n\sqrt{1+n\sqrt{1+n\sqrt{1+\dots}}}}}$

(7)

Fue la matemática argentina Vera G. de Spinadel (1929 –) quien descubrió esta clase de números metálicos en 1994, como el conjunto infinito de números irracionales cuadráticos positivos, que son las soluciones positivas de las ecuaciones cuadráticas del tipo

$\displaystyle x^2 -px-q=0$

(8)

Esto quiere decir que existe la definición más general que la que he ofrecido al principio, para los números metálicos. Los números $\varphi_n$ son en realidad todos los que se crean considerando $q=1$ , por lo tanto, en general tendremos

$\displaystyle \sigma_p^q= \cfrac{p+\sqrt{p^2+4q}}{2}$

(9)

Y la fracción continua genérica de los números metálicos será,

$\displaystyle \sigma_p^q=p +\cfrac{q}{p +\cfrac{q}{p +\cfrac{q}{p +\cfrac{q}{p +\cfrac{q}{p +\cfrac{q}{p +\cfrac{q}{p +\cfrac{q}{p +...}}}}}}}}$

(10)

y otra expresión algebraica sería,

$\displaystyle \sigma_p^q=\sqrt{q+p\sqrt{q+p\sqrt{q+p\sqrt{q+p\sqrt{q+\dots}}}}}$

(11)

es fácil demostrar que estas dos últimas recurrencias, (10) y (11), convergen hacia mismo límite $L$ . Para la (10) podemos escribir,

$\displaystyle L =p +\cfrac{q}{L}$

y resolviendo para $L$ tenemos,

$\displaystyle L =\tfrac{1}{2} \left(p+\sqrt{p^2+4 q}\right)$

Y para la (11) podemos escribir que,

$\displaystyle L =\sqrt{q+pL}$

y resolviendo para L obtenemos el mismo límite que para (10).

De esta forma podemos ver que las fracciones continuas espejo de los números metálicos se expresan así,

$\displaystyle (\sigma_p^q)'=p +\cfrac{p +\cfrac{p +\cfrac{p +\cfrac{p +\cfrac{p +\cfrac{p +\cfrac{p +\cfrac{p +\cfrac{\dots}{q}}{q}}{q}}{q}}{q}}{q}}{q}}{q}}{q}$

(12)

o también como,

$\displaystyle (\sigma_p^q)'= p \left (1 + \sum_{k=1}^\infty \cfrac{1}{q^k}\right )$

(13)

Podemos resolver esta fracción continua espejo de la siguiente forma,

$\displaystyle L= p + \cfrac{L}{q}$	(14)
$\displaystyle L = \frac{p q}{q-1} = (\sigma_p^q)'$	(15)

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Fracción continua espejo: continuación II

Posted by Albert Zotkin en enero 18, 2013

Consideremos ahora tres fracciones continuas en forma cerrada que fueron descubiertas por Euler (cf. Euler 1775):

$\displaystyle \cfrac{I_1(2)}{I_0(2)}=0+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{5+\dots}}}}} = \\ \\ \\ {}\hspace{1.3cm}=0.697774657964007982...$

(1)

donde $I_1(2) \ \small{ \text{y}} \ I_0(2)$ son funciones Bessel de primera clase. Computemos ahora la fracción continua espejo de (1):

$\displaystyle A=0+\cfrac{1+\cfrac{2+\cfrac{3+\cfrac{4+\cfrac{5+\cfrac{\dots}{1}}{1}}{1}}{1}}{1}}{1} = \\ \\ {}\hspace{0.4cm} =\infty$

(2)

vemos que esa fracción continua espejo diverge, ya que cada denominador de cada convergente es la unidad mientras que el numerador crece en cada iteración. Si expresamos esa fracción continua espejo en forma de serie infinita tendremos,

$\displaystyle A= \sum_{i=1}^{\infty} i$

(3)

o sea, tenemos la suma de los sucesivos números naturales. Esto nos dice que evidentemente estamos ante la presencia de la función zeta de Riemann, que escrita en forma de fracción continua espejo sería la expresión trivial siguiente,

$\displaystyle \zeta(s)= \cfrac{1^{-s}+\cfrac{2^{-s}+\cfrac{3^{-s}+\cfrac{4^{-s}+\cfrac{5^{-s}+\cfrac{\dots}{1}}{1}}{1}}{1}}{1}}{1}$

(4)

Consideremos ahora el siguiente ejemplo de fracción continua que nos proporcionó Euler en 1775,

$\displaystyle \left (e -1\right )^{-1}=0+\cfrac{1}{1+\cfrac{2}{2+\cfrac{3}{3+\cfrac{4}{4+\cfrac{5}{5+\dots}}}}} = \\ \\ \\ {}\hspace{1.3cm}=0.58197670686932642...$

(5)

con lo que su fracción continua espejo sería,

$\displaystyle B=0+\cfrac{1+\cfrac{2+\cfrac{3+\cfrac{4+\cfrac{5+\cfrac{\dots}{6}}{5}}{4}}{3}}{2}}{1} = \\ \\ {}\hspace{0.4cm} =2.718281828459045\dots$

(6)

es decir, obtenemos el notable resultado de que el número $B$ es precisamente el número de Euler $e$ .

Sigamos con el último ejemplo que nos proporcionó Euler,

$\displaystyle \left (\sqrt{e} -1\right )^{-1}=1+\cfrac{2}{3+\cfrac{4}{5+\cfrac{6}{7+\cfrac{8}{9+\cfrac{10}{11+\dots}}}}} = \\ \\ \\ {}\hspace{1.3cm}=1.54149408253679...$

(7)

ahora construyamos y computemos su fracción continua espejo,

$\displaystyle C=1+\cfrac{3+\cfrac{5+\cfrac{7+\cfrac{9+\cfrac{11+\cfrac{\dots}{12}}{10}}{8}}{6}}{4}}{2} = \\ \\ {}\hspace{0.4cm} =3.297442541400256293697301575628\dots$

(8)

Y es fácil comprobar que este número C es precisamente :

$\displaystyle C=3.297442541400256293697301575628\dots=2\sqrt{e}$

(9)

Saludos

Posted in Matemáticas | Etiquetado: Euler, fracción continua, fracción continua espejo, función Bessel de primera clase, función zeta de Riemann, número de Euler | Leave a Comment »

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