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Longitud de una elipse

Posted by Albert Zotkin en mayo 2, 2014

Resulta bastante extraño que la longitud de una elipse no pueda ser calculada de forma exacta nunca. Existen fórmulas que dan valores aproximados, y fórmulas exactas, pero son series infinitas cuyas sumas no pueden ser expresadas de forma genérica en función de valores conocidos. Hay que decir que el cálculo de la longitud de una elipse nos presenta el problema de calcular una integral elíptica completa de segunda especie, la cual está definida en función de la excentricidad k de la elipse así:

\displaystyle                 E(k) = \frac{\pi}{2} \left(1- \sum _{i=1}^{\infty } \frac{(2 i -1)\text{!!}^2\; k^{2 i}}{(2\text{  }i)\text{!!}^2 \;(2 i-1)}\right)     (1)
y la longitud total de una elipse sería entonces:

\displaystyle                 L= 4\ a\ E(k)   (2)

siendo la excentricidad

\displaystyle                 k= \cfrac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}  (3)

donde a es el eje mayor de la elipse, y b es el eje menor.

La función (1) tambien puede ser expresada de esta forma:

\displaystyle                 E(k) = \frac{\pi}{2} \left(1- \sum _{i=1}^{\infty } \frac{(2 i)!^2 \; k^{2 i}}{\left(2^i\text{  }i!\right)^4 (2 i-1)}\right)     (4)

la cual se expande en sus primeros términos así:

\displaystyle                 E(k) =\frac{\pi  }{2}\left[1- \left(\frac{1}{2}\right)^2k^2 - \left(\frac{1 \times 3}{2 \times 4}\right)^2\frac{k^4}{3}- \left(\frac{1 \times 3  \times5}{2 \times 4 \times 6}\right)^2\frac{k^6}{5}- \text{...}\right]  (5)

O sea la longitud total de la elipse es:

\displaystyle                 L= 2 \pi a\left[1- \left(\frac{1}{2}\right)^2k^2 - \left(\frac{1 \times 3}{2 \times 4}\right)^2\frac{k^4}{3}- \left(\frac{1 \times 3  \times5}{2 \times 4 \times 6}\right)^2\frac{k^6}{5}- \text{...}\right]  (6)

esto significa que la longitud de una elipse es igual a la longitud de una circunferencia de radio a menos la longitud de una circunferencia de radio

\displaystyle               r= a\left[ \left(\frac{1}{2}\right)^2k^2 + \left(\frac{1 \times 3}{2 \times 4}\right)^2\frac{k^4}{3}+ \left(\frac{1 \times 3  \times5}{2 \times 4 \times 6}\right)^2\frac{k^6}{5}+ \text{...}\right]  (7)
HACIA LA COMPRESIÓN GEOMÉTRICA DE LA LONGITUD DE LA ELIPSE

Fijémonos ahora en la gráfica de la elipse inscrita en el círculo cuyo radio es el eje mayor a de dicha elipse

e-1

dibujemos seguidamente el circulo de radio eje menor b, e inscribamos en él una elipse más pequeña, pero de igual excentricidad que la original:

e-2

Para no liarnos mucho podemos usar subindices para los sucesivos ejes. Así, podemos llamar al eje mayor

\displaystyle a = b_0

y al eje menor

\displaystyle b = b_1

Así, podemos seguir profundizando en la inscripción de círculos, y ahora para el siguiente, el eje menor b1 pasa a tomar el papel de eje mayor, con lo cual la siguiente elipse inscrita de igual excentricidad que las dos anteriores, tendrá como eje menor b2

e-3

En general, tendremos que la n-ésima elipse inscrita de esta clase poseerá un eje menor que puede ser expresado así:

\displaystyle b_n = \cfrac{b_{n-1}^2}{b_{n-2}}

lo cual implica que puede ser expresado en función de b0 y b1 así:

\displaystyle b_n = \cfrac{b_1^{n-1}}{b_0^{n-2}}

Supongamos ahora que a la longitud de la circunferencia original, le restamos y sumamos alternativamente las sucesivas longitudes de las circunferencias inscritas. Sabemos que la longitud de la circunferencia original es

\displaystyle l_0 = 2\pi b_0

Por lo tanto, tendremos la suma infinita:

\displaystyle L' = 2\pi b_0 - 2\pi b_1 +  2\pi\sum _{n=2}^{\infty } \frac{b_1^{n-1}}{ b_0^{n-2}}(-1)^n (8)
Atención, pregunta: ¿tiene algo que ver el valor L’, expresado en (8), con el valor L de la longitud de una elipse expresado en (6)?

Pogámoslo un poco más claro. Deshagamos los subíndices, así podemos expresar:

\displaystyle b_n = \cfrac{b^{n-1}}{a^{n-2}}

y sabiendo que:

\displaystyle b = a \sqrt{1-k^2}

tenemos

\displaystyle b_n = a (1-k^2)^{\frac{n-1}{2}}

con lo cual tenemos

\displaystyle   \boxed{L' = 2\pi a  \left(1- \sum _{n=2}^{\infty } (1-k^2)^{\frac{n-1}{2}} \; (-1)^{n}\right)}
\displaystyle     \boxed{L = 2\pi a \left(1- \sum _{n=1}^{\infty } \frac{(2 n)!^2 \; k^{2 n}}{\left(2^n\text{  }n!\right)^4 (2 n-1)}\right)}
(9)
Atención, pregunta: . Demostrar que:

\displaystyle      \left(\sum _{n=1}^{\infty } (1-k^2)^{\frac{n-1}{2}}\right) \left(\sum _{n=1}^{\infty } \cfrac{(2 n)!^2 k^{2 n}}{\left(2^i\text{  }n!\right)^4 (2 n-1)}\right) = \cfrac{1}{2}  (10)
Es fácil demostrar que (10) no es cierto, ya que

\displaystyle   \sum _{n=1}^{\infty } (1-k^2)^{\frac{n-1}{2}} =\cfrac{1}{1-\sqrt{1-k^2}}

Cuando nos adentramos hacia la comprensión de la interpretación geométrica de la longitud de una elipse, vemos que no había que ir sumando alternando sumas y restas de las longitudes de los círculos concéntricos de esa clase definida arriba, sino que más bien había que restar de la longitud original la suma de todas las restantes longitudes de los círculos concéntricos inscritos. Todo queda en una aproximación:

\displaystyle   L \approx \pi a  \left(1+ \sqrt{1-k^2}\right)   (11)

Saludos

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Inteligencia alienígena: Sorprendente resolución de la paradoja de Fermi

Posted by Albert Zotkin en febrero 21, 2014

Buenos días amigos incondicionales de tardigrados. Hoy voy a hablar un poco sobre una sorprendente solución a la paradoja de Fermi. La paradoja de Fermi puede ser formulada sucintamente así:

“si se supone que existen muchas civilizaciones alienígenas inteligentes, con nivel tecnológico muy avanzado, ¿porqué aún no tenemos noticias de ellas ni nos han visitado?”

Una resolución a tal paradoja, se me ocurrió hace poco cuando escribia el post ¿Por qué en nuestro universo observable hay más materia que antimateria?. La mayor parte de las civilizaciones alienígenas inteligentes habitarían en la cara de la antimateria, es decir su “materia ordinaria” seria lo que para nosotros es la antimateria, y por lo tanto sus “ondas electromagnéticas” no serian detectables por nuestros detectores hechos con materia ordinaria. Una nave alienígena no podria aproximarse a nuestro sistema solar porque colisionaria con la materia que va encontrando a su paso y por lo tanto acabaría desintegrada. Para protegerse necesitaría de un escudo de “materia ordinaria”. Pero igual que para nosotros es dificilísimo obtener un gramo de átomos de anti-hidrógeno, para esa supuesta civilización alienígena no sería menos difícil.

ejemplar de la especie Obzzkoj

ejemplar de la especie Obzzkoj

Sin embargo, si una civilización alienígena y sus veleros interestelares, se encuentra a suficiente distancia de nosotros, no necesitaría vivir en el lado de la antimatería, sino que, como digo en ¿Por qué en nuestro universo observable hay más materia que antimateria?, la materia ordinaria conjuga su carga respecto a nosotros cuando supera un Radio de Hubble . Igualmente una civilización alienígena en el lado de la antimateria que se encontrara a más de 1 radio de Hubble, podría ser “visible” desde nuestra ubicación porque su luz nos llegaría como ondas electromagnéticas ordinarias, como las produce la materia ordinaria. Esta hipótesis nos lleva a algo aún más espectacular, y es postular que lo que en astronomía llamamos quasars, podrían ser realmente galaxia de antimateria, que por su lejanía se hacen visibles a nuestros ojos, como si fueran galaxias de materia ordinaria, pero su luz nos llegaria difusa debido a esa lejania y nos impediría observar sus detalles de estructura interna.

Reflexionando un poco más sobre la discriminación entre materia y antimateria, es ahora más evidente el hecho de que la naturaleza no puede distinguir entre carga eléctrica negativa y carga eléctrica positiva. ¿Cómo saber que dos partículas que se repelen por sus cargas eléctricas corresponde a una interacción entre dos cargas negativas o dos cargas positivas?. Puesto que en la naturaleza no existe esa discriminación, ambas cargas deben ser lo mismo pero actuando desde caras opuestas de un espacio dual, el cual a largas distancias se cierra como una banda de de Möbius, resultando en un espacio de una única cara y sin bordes.

Saludos anti-matéricos a todos

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¿Materia oscura o refracción gravitacional?

Posted by Albert Zotkin en mayo 2, 2013

La refracción es el cambio de dirección que experimenta una onda al pasar de un medio material a otro. Pero, si las ondas gravitacionales existen, entonces cabe preguntarse si tales ondas experimentan algún tipo de refracción. Recordemos la Ley de Snell, con la ayuda del típico problema de

Hallar la distancia aparente a la que es visto un pez en el agua, si sabemos que se encuentra a una profundidad real de dr metros y los ángulos de incidencia y del rayo de luz refractado son \theta_i y \theta_r respectivamente, con na y nw los índices del aire y del agua, también respectivamente.

La ley de Snell dice:

\displaystyle  n_w\sin \theta_i = n_a\sin \theta_r   (1)
para pequeños ángulos y aproximando n_a \approx 1 tendremos

\displaystyle  \sin \theta_i = \tan \theta_i \\ \\   \sin \theta_r = \tan \theta_r \\ \\   n_w = \cfrac{\sin \theta_r }{\sin \theta_i}  \\ \\
y escribiendo las tangentes tendremos,

\displaystyle    n_w = \cfrac{\tan \theta_r }{\tan\theta_i } \\ \\
pero, es fácil ver que

\displaystyle  \tan \theta_i  =\cfrac{A}{d_r }\\ \\  \tan \theta_r  =\cfrac{A}{d_a }
con lo cual tenemos que,

\displaystyle  n_w = \cfrac{d_r }{d_a}
es decir, la distancia aparente es igual a la distancia real dividida por el indice de refracción del agua,

\displaystyle  d_a = \cfrac{d_r }{n_w}  (2)
y esa distancia aparente será la misma si miramos al pez desde la vertical (\theta_i=0)

Si trasladamos todo esto a la gravitación, podemos pensar que tambien puede existir una distancia aparente en el problema de los tres cuerpos, cuando existe eclipse.

Un campo gravitatorio tambien puede ser descrito mediante un indice de refracción variable, y eso se evidencia por el hecho de que un rayo de luz es deflactado cuando pasa cerca de un objeto de gran masa. Así, podemos indicar que el indice de refracción de un cuerpo de masa M, en función de su distancia al su centro de masas, sería:

\displaystyle  n = \exp \left (-\frac{2\phi(r)}{c^2} \right)  (3)
donde \phi(r) es el potencial gravitatorio a la distancia r, y c es la velocidad de la luz en el vacio.

Esa expresión, junto con lo dicho anteriormente, nos sugiere que en el problema de los tres cuerpos, cuando están en eclipse, si el cuerpo intermedio B posee masa M, entonces el cuerpo C será visto por el A a una distancia aparente de R’ = d + r’ en lugar de a una distancia R = d + r,

\displaystyle  R' = d+r' = d+\cfrac{r}{n}= d+\cfrac{r}{ \exp \left (-\frac{2\phi(r)}{c^2} \right) } = d+r\exp\left ( \frac{2\phi(r)}{c^2} \right ) \\ \\ \\   R' = d+ r\exp\left (-\frac{2GM}{r\ c^2} \right )   (4)
y eso significa, ni más ni menos, que el cuerpo A, en el eclipse, “ve” al C más cerca de lo que la gravitación clásica predice, con lo cual el efecto es que el centro de masas del sistema está más cerca del cuerpo A, a la hora de computar su órbita. De igual forma, el cuerpo C, en el eclipse, “ve” al cuerpo A más cerca de lo esperado por gravitación clásica, con lo que a la hora de computar su órbita, el centro de masa resulta estar más cerca de él. En resumen, podemos ver que la refracción gravitacional es la causante de lo que la ciencia oficial viene llamando materia oscura. Aquí, he demostrado que no existe tal materia oscura, sino tan sólo refracción gravitacional.

Este notable resultado que he obtenido nos conduce sin lugar a dudas a una Teoría de Doble Gravitación con potencial gravitatorio completo, como ya deduje anteriormente y quedó escrito en mi antiguo post.

Saludos

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