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Un intento de investigar la profundidad computacional de nuestro universo

Posted by Albert Zotkin en septiembre 16, 2015

fractal-univser

Hace ya algún tiempo hice una pequeña animación en flash, en la que mostraba cómo una pequeña simulación de interacción gravitatoria entre dos cuerpos es suficiente para convencernos de que existe pérdida de información, y eso se traduce en decaimiento orbital (acortamiento del periodo orbital, estrechamiento de la órbita): Aquí os dejo una pequeña captura del programa SWF en acción, que he subido a youtube:

Esa animación está gobernada por un sencillo programa informático (escrito en actionscript). En dicho programa uso la clásica ecuación de Newton de la gravitación universal para el cálculo de la aceleración. Las coordenadas espaciales de los dos cuerpos, calculadas fotograma a fotograma, deberían de dar trayectorias elípticas estables según las leyes de Kepler, pero se observa cómo poco a poco los cuerpos aproximan sus periastros hasta llegar a colisionar. Lo curioso de todo eso es que esa aproximación progresiva, que se puede traducir como pérdida de energía gravitacional, no está programada en el actionscript, sino que emerge por la imprecisión de los registros informáticos que almacenan los datos de la computación. Es decir, aunque las ecuaciones matemáticas que expresan la ley de gravitación son exactas y dan órbitas estables, su ejecución en un ordenador con registros finitos deja de ser exacta para pasar a mostrar degeneración orbital a lo largo del periodo de evolución del sistema gravitacional binario que simula.

Para los incrédulos, mostraré sucintamente las rutinas que escribí en el actionscript de la animación. En primer lugar presento la función que actualiza las coordenadas espaciales de cada uno de los dos cuerpos del sistema binario (podría ser un pulsar binario, como el PSR B1913+16, por ejemplo). Esta rutina es llamada siempre antes de que el programa dibuje cada fotograma:

function update2(m)
{

var cm_x;
var cm_y;
if(_root.r_frame==null){
cm_x=Stage.width/2;
cm_y=Stage.height/2;
}else{
cm_x=_root.r_frame._x;
cm_y=_root.r_frame._y;
}

var r = Math.sqrt(Math.pow((m._x-m.target_body._x),2)+Math.pow((m._y-m.target_body._y),2));
var accel = 30*m.mass*m.target_body.mass/Math.pow(r,2);
var cosx=(m._x-m.target_body._x)/r;
var cosy=(m._y-m.target_body._y)/r;
var accel_x = accel*cosx;
var accel_y = accel*cosy;
var s=1;
m.speed.x-=accel_x;
m.speed.y-=accel_y;
m._x+=m.speed.x-cm_x+Stage.width/2;
m._y+=m.speed.y-cm_y+Stage.height/2;

s=(m._y-m.target_body._y)<0?-1:1;
m._rotation=s*Math.acos(cosx)*180/Math.PI-90;

}

y seguidamente, presento las rutinas de lo que tiene que hacer cada cuerpo en cada frame, así como sus condiciones iniciales:

onClipEvent (load) {
speed = new Object;
speed.x=0;
speed.y=0.1;
mass=3.0;
density =1;
_width=20*Math.pow((3/(4*Math.PI))*mass/density,1/3);
_height=_width;
/*
_width=mass*4;
_height=mass*4;
*/
target_body=_root.a2;
//_visible=false;
body_type=1;//2 star, 1 planet
gotoAndStop(body_type);
this.rx=this._x;
this.ry=this._y;

}

onClipEvent (enterFrame) {
if(this, hittest(this.target_body))
_root.pause=true;

if(_root.pause or !_visible)return;
_root.update2(this);
}

Señoras y señores, en otras palabras. Lo que hasta ahora se viene llamando ondas gravitacionales es simplemente una falacia más. Dichas ondas no existen en nuestro universo. El decaimiento de las órbitas de los sistemas binarios, y por extensión, de cualquier sistema gravitatorio, es simple y llanamente debido a una pérdida de información cuántica en la computación que la naturaleza hace. Aunque nuestro universo podría ser infinito y eterno, el aumento de entropía en él sería un signo inequívoco de esa pérdida de información cuántica. Nuestro universo es un holograma, un autómata celular, no es la última realidad profunda. Pero, alguien podría preguntarse : “¿cómo es posible que si el universo es infinito y eterno pueda ser al mismo tiempo un holograma, un autómata celular?. Esos automatas celulares requerirían unos registros cuánticos infinitos”. Esa pregunta es muy razonable, pero un universo infinito y eterno no está en contradicción con que sea una simulación ejecutada desde registros cuánticos finitos. Sólo se requiere que la simulación del universo sea un holograma fractal. Veamos, este video de Musicians With Guns en el que nos presenta un fractal infinito, pero obviamente ejecutado desde un ordenador (cuyos registros, sabemos sin duda, que son de capacidad finita):

Un fractal, como el que nos ha presentado Musicians With Guns, no es más que una sencillita ecuación matemática acompañada de una lista de condiciones de inclusividad, y todo ello define lo que es el conjunto fractal (es decir, un conjunto de elementos que cumplen ciertas condiciones). Cuando dibujamos el fractal, los pixeles pertenecientes al fondo (elementos que no pertenecen al conjunto fractal) se pintan con un color y los pixeles que representan a elementos del conjunto se pintan de otro color que contraste con el primero, de modo que podamos destacar con facilidad el fractal del fondo.

Saludos

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Algunas pistas para saber si nuestro universo es una simulación informática

Posted by Albert Zotkin en septiembre 13, 2015

Simulation-Theory

Nuestro universo podría ser una especie de Matrix, es decir, una gigantesca simulación por ordenador. El ordenador donde se estaría ejecutando la simulación de nuestro universo podría ser un ordenador cuántico con una memoria de al menos unos 1080 qubits activos.

¿Podemos investigar si nuestro universo es una simulación creada en un simple ordenador cuántico?. Hay varios caminos para saber si eso es así o no. Una forma, que se me ocurre, sería prestar atención a pulsares binarios. Un pulsar binario es un sistema estelar en el que a menudo un pulsar y una estrella enana blanca orbitan el uno alrededor del otro. Se ha observado que los pulsares binarios pierden energía gravitacional con el tiempo, y eso se ha identificado como una prueba de la existencia de ondas gravitacionales, tal y como predice la Teoría General de la Relatividad. Dicha pérdida de energía gravitacional se evidencia en que la pareja orbital se acerca lentamente, con lo cual el periodo de rotación es cada vez menor. Por ejemplo, para el pulsar binario PSR B1913+16 se ha observado que el periodo orbital decae según esta gráfica de una parábola:

orbital-decay

Veamos ahora si es posible explicar ese decaimiento orbital mediante la hipótesis de que la naturaleza realiza cálculos orbitales cuánticos. Para ello debemos saber cómo trabaja un ordenador cuando hace una computación clásica. Existen una serie de registros en los que el ordenador almacena los datos de entrada, y después cuando aplica unos algoritmos a esos datos obtiene unos datos de salida que también almacena en unos registros. Pero, los registros no poseen precisión infinita, sino que poseen un limite finito. Por ejemplo, el número π sólo podría ser almacenado numéricamente hasta cierta cifra. Y ya empezamos vislumbrar en qué consiste ese decaimiento orbital. Fijémonos en la ecuación clásica del periodo orbital de dos cuerpos de masas M1 y M2 que orbitan, según las leyes de Kepler, a lo largo de una elipse:

\displaystyle T = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{G(M_1+M_2)}} (1)

donde a es es semieje mayor de la trayectoria elíptica.

¿Por qué, a cada revolución, el periodo T se va acortando?. Por la sencilla razón de que los registros que usa la naturaleza no pueden almacenar toda la información con una precisión infinita. Una parte muy importante de esa imprecisión sucesiva la tiene el número π. Supongamos que por cada revolución completada, la naturaleza debe ajustar el valor del semieje mayor según el ultimo valor obtenido para el periodo orbital. Es decir, la naturaleza debe reajustar la órbita de forma recursiva a cada paso así:

\displaystyle a = \sqrt[3]{\cfrac{G(M_1+M_2)T^2}{4\pi^2}} (2)

gas

El problema es que no hay “registros naturales” que puedan almacenar el valor exacto del número π ni de cualquier otro número irracional, con lo cual la órbita elíptica se reajusta siempre a la baja (decaimiento orbital) en cada revolución.

Para el caso que tratamos, la ecuación recursiva sería la siguiente:

\displaystyle a_n = \sqrt[3]{a_{n-1}^3} (3)
Otra forma de interpretar esa pérdida de información cuántica, que produce decaimiento orbital, es considerar que en nuestro universo se produce siempre un aumento de la entropía. Por otro lado, la mecánica cuántica no admite como correcta ninguna solución que se base en la perdida de información cuántica.

La conclusión terrorífica es que nuestro universo podría ser una gigantesca simulación informática, un gigantesco autómata celular. Todo universo en el que exista aumento global de la entropía tiene bastantes papeletas para ser un universo simulado, un universo virtual.

Saludos

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Longitud de una elipse

Posted by Albert Zotkin en mayo 2, 2014

Resulta bastante extraño que la longitud de una elipse no pueda ser calculada de forma exacta nunca. Existen fórmulas que dan valores aproximados, y fórmulas exactas, pero son series infinitas cuyas sumas no pueden ser expresadas de forma genérica en función de valores conocidos. Hay que decir que el cálculo de la longitud de una elipse nos presenta el problema de calcular una integral elíptica completa de segunda especie, la cual está definida en función de la excentricidad k de la elipse así:

\displaystyle                E(k) = \frac{\pi}{2} \left(1- \sum _{i=1}^{\infty } \frac{(2 i -1)\text{!!}^2\; k^{2 i}}{(2\text{  }i)\text{!!}^2 \;(2 i-1)}\right)    (1)
y la longitud total de una elipse sería entonces:

\displaystyle                L= 4\ a\ E(k)  (2)

siendo la excentricidad

\displaystyle                k= \cfrac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a} (3)

donde a es el eje mayor de la elipse, y b es el eje menor.

La función (1) tambien puede ser expresada de esta forma:

\displaystyle                E(k) = \frac{\pi}{2} \left(1- \sum _{i=1}^{\infty } \frac{(2 i)!^2 \; k^{2 i}}{\left(2^i\text{  }i!\right)^4 (2 i-1)}\right)    (4)

la cual se expande en sus primeros términos así:

\displaystyle                E(k) =\frac{\pi  }{2}\left[1- \left(\frac{1}{2}\right)^2k^2 - \left(\frac{1 \times 3}{2 \times 4}\right)^2\frac{k^4}{3}- \left(\frac{1 \times 3  \times5}{2 \times 4 \times 6}\right)^2\frac{k^6}{5}- \text{...}\right] (5)

O sea la longitud total de la elipse es:

\displaystyle                L= 2 \pi a\left[1- \left(\frac{1}{2}\right)^2k^2 - \left(\frac{1 \times 3}{2 \times 4}\right)^2\frac{k^4}{3}- \left(\frac{1 \times 3  \times5}{2 \times 4 \times 6}\right)^2\frac{k^6}{5}- \text{...}\right] (6)

esto significa que la longitud de una elipse es igual a la longitud de una circunferencia de radio a menos la longitud de una circunferencia de radio

\displaystyle              r= a\left[ \left(\frac{1}{2}\right)^2k^2 + \left(\frac{1 \times 3}{2 \times 4}\right)^2\frac{k^4}{3}+ \left(\frac{1 \times 3  \times5}{2 \times 4 \times 6}\right)^2\frac{k^6}{5}+ \text{...}\right] (7)
HACIA LA COMPRESIÓN GEOMÉTRICA DE LA LONGITUD DE LA ELIPSE

Fijémonos ahora en la gráfica de la elipse inscrita en el círculo cuyo radio es el eje mayor a de dicha elipse

e-1

dibujemos seguidamente el circulo de radio eje menor b, e inscribamos en él una elipse más pequeña, pero de igual excentricidad que la original:

e-2

Para no liarnos mucho podemos usar subindices para los sucesivos ejes. Así, podemos llamar al eje mayor

\displaystyle a = b_0

y al eje menor

\displaystyle b = b_1

Así, podemos seguir profundizando en la inscripción de círculos, y ahora para el siguiente, el eje menor b1 pasa a tomar el papel de eje mayor, con lo cual la siguiente elipse inscrita de igual excentricidad que las dos anteriores, tendrá como eje menor b2

e-3

En general, tendremos que la n-ésima elipse inscrita de esta clase poseerá un eje menor que puede ser expresado así:

\displaystyle b_n = \cfrac{b_{n-1}^2}{b_{n-2}}

lo cual implica que puede ser expresado en función de b0 y b1 así:

\displaystyle b_n = \cfrac{b_1^{n-1}}{b_0^{n-2}}

Supongamos ahora que a la longitud de la circunferencia original, le restamos y sumamos alternativamente las sucesivas longitudes de las circunferencias inscritas. Sabemos que la longitud de la circunferencia original es

\displaystyle l_0 = 2\pi b_0

Por lo tanto, tendremos la suma infinita:

\displaystyle L' = 2\pi b_0 - 2\pi b_1 +  2\pi\sum _{n=2}^{\infty } \frac{b_1^{n-1}}{ b_0^{n-2}}(-1)^n (8)
Atención, pregunta: ¿tiene algo que ver el valor L’, expresado en (8), con el valor L de la longitud de una elipse expresado en (6)?

Pogámoslo un poco más claro. Deshagamos los subíndices, así podemos expresar:

\displaystyle b_n = \cfrac{b^{n-1}}{a^{n-2}}

y sabiendo que:

\displaystyle b = a \sqrt{1-k^2}

tenemos

\displaystyle b_n = a (1-k^2)^{\frac{n-1}{2}}

con lo cual tenemos

\displaystyle  \boxed{L' = 2\pi a  \left(1- \sum _{n=2}^{\infty } (1-k^2)^{\frac{n-1}{2}} \; (-1)^{n}\right)}    \displaystyle    \boxed{L = 2\pi a \left(1- \sum _{n=1}^{\infty } \frac{(2 n)!^2 \; k^{2 n}}{\left(2^n\text{  }n!\right)^4 (2 n-1)}\right)}      (9)
Atención, pregunta: . Demostrar que:

\displaystyle \left(\sum _{n=1}^{\infty } (1-k^2)^{\frac{n-1}{2}}\right) \left(\sum _{n=1}^{\infty } \cfrac{(2 n)!^2 k^{2 n}}{\left(2^i\text{  }n!\right)^4 (2 n-1)}\right) = \cfrac{1}{2} (10)
Es fácil demostrar que (10) no es cierto, ya que

\displaystyle  \sum _{n=1}^{\infty } (1-k^2)^{\frac{n-1}{2}} =\cfrac{1}{1-\sqrt{1-k^2}}

Cuando nos adentramos hacia la comprensión de la interpretación geométrica de la longitud de una elipse, vemos que no había que ir sumando alternando sumas y restas de las longitudes de los círculos concéntricos de esa clase definida arriba, sino que más bien había que restar de la longitud original la suma de todas las restantes longitudes de los círculos concéntricos inscritos. Todo queda en una aproximación:

\displaystyle  L \approx \pi a  \left(1+ \sqrt{1-k^2}\right)  (11)

Saludos

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