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Ciencia en español

Longitud de una elipse

Posted by Albert Zotkin en mayo 2, 2014

Resulta bastante extraño que la longitud de una elipse no pueda ser calculada de forma exacta nunca. Existen fórmulas que dan valores aproximados, y fórmulas exactas, pero son series infinitas cuyas sumas no pueden ser expresadas de forma genérica en función de valores conocidos. Hay que decir que el cálculo de la longitud de una elipse nos presenta el problema de calcular una integral elíptica completa de segunda especie, la cual está definida en función de la excentricidad k de la elipse así:

\displaystyle                 E(k) = \frac{\pi}{2} \left(1- \sum _{i=1}^{\infty } \frac{(2 i -1)\text{!!}^2\; k^{2 i}}{(2\text{  }i)\text{!!}^2 \;(2 i-1)}\right)     (1)
y la longitud total de una elipse sería entonces:

\displaystyle                 L= 4\ a\ E(k)   (2)

siendo la excentricidad

\displaystyle                 k= \cfrac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}  (3)

donde a es el eje mayor de la elipse, y b es el eje menor.

La función (1) tambien puede ser expresada de esta forma:

\displaystyle                 E(k) = \frac{\pi}{2} \left(1- \sum _{i=1}^{\infty } \frac{(2 i)!^2 \; k^{2 i}}{\left(2^i\text{  }i!\right)^4 (2 i-1)}\right)     (4)

la cual se expande en sus primeros términos así:

\displaystyle                 E(k) =\frac{\pi  }{2}\left[1- \left(\frac{1}{2}\right)^2k^2 - \left(\frac{1 \times 3}{2 \times 4}\right)^2\frac{k^4}{3}- \left(\frac{1 \times 3  \times5}{2 \times 4 \times 6}\right)^2\frac{k^6}{5}- \text{...}\right]  (5)

O sea la longitud total de la elipse es:

\displaystyle                 L= 2 \pi a\left[1- \left(\frac{1}{2}\right)^2k^2 - \left(\frac{1 \times 3}{2 \times 4}\right)^2\frac{k^4}{3}- \left(\frac{1 \times 3  \times5}{2 \times 4 \times 6}\right)^2\frac{k^6}{5}- \text{...}\right]  (6)

esto significa que la longitud de una elipse es igual a la longitud de una circunferencia de radio a menos la longitud de una circunferencia de radio

\displaystyle               r= a\left[ \left(\frac{1}{2}\right)^2k^2 + \left(\frac{1 \times 3}{2 \times 4}\right)^2\frac{k^4}{3}+ \left(\frac{1 \times 3  \times5}{2 \times 4 \times 6}\right)^2\frac{k^6}{5}+ \text{...}\right]  (7)
HACIA LA COMPRESIÓN GEOMÉTRICA DE LA LONGITUD DE LA ELIPSE

Fijémonos ahora en la gráfica de la elipse inscrita en el círculo cuyo radio es el eje mayor a de dicha elipse

e-1

dibujemos seguidamente el circulo de radio eje menor b, e inscribamos en él una elipse más pequeña, pero de igual excentricidad que la original:

e-2

Para no liarnos mucho podemos usar subindices para los sucesivos ejes. Así, podemos llamar al eje mayor

\displaystyle a = b_0

y al eje menor

\displaystyle b = b_1

Así, podemos seguir profundizando en la inscripción de círculos, y ahora para el siguiente, el eje menor b1 pasa a tomar el papel de eje mayor, con lo cual la siguiente elipse inscrita de igual excentricidad que las dos anteriores, tendrá como eje menor b2

e-3

En general, tendremos que la n-ésima elipse inscrita de esta clase poseerá un eje menor que puede ser expresado así:

\displaystyle b_n = \cfrac{b_{n-1}^2}{b_{n-2}}

lo cual implica que puede ser expresado en función de b0 y b1 así:

\displaystyle b_n = \cfrac{b_1^{n-1}}{b_0^{n-2}}

Supongamos ahora que a la longitud de la circunferencia original, le restamos y sumamos alternativamente las sucesivas longitudes de las circunferencias inscritas. Sabemos que la longitud de la circunferencia original es

\displaystyle l_0 = 2\pi b_0

Por lo tanto, tendremos la suma infinita:

\displaystyle L' = 2\pi b_0 - 2\pi b_1 +  2\pi\sum _{n=2}^{\infty } \frac{b_1^{n-1}}{ b_0^{n-2}}(-1)^n (8)
Atención, pregunta: ¿tiene algo que ver el valor L’, expresado en (8), con el valor L de la longitud de una elipse expresado en (6)?

Pogámoslo un poco más claro. Deshagamos los subíndices, así podemos expresar:

\displaystyle b_n = \cfrac{b^{n-1}}{a^{n-2}}

y sabiendo que:

\displaystyle b = a \sqrt{1-k^2}

tenemos

\displaystyle b_n = a (1-k^2)^{\frac{n-1}{2}}

con lo cual tenemos

\displaystyle   \boxed{L' = 2\pi a  \left(1- \sum _{n=2}^{\infty } (1-k^2)^{\frac{n-1}{2}} \; (-1)^{n}\right)}
\displaystyle     \boxed{L = 2\pi a \left(1- \sum _{n=1}^{\infty } \frac{(2 n)!^2 \; k^{2 n}}{\left(2^n\text{  }n!\right)^4 (2 n-1)}\right)}
(9)
Atención, pregunta: . Demostrar que:

\displaystyle      \left(\sum _{n=1}^{\infty } (1-k^2)^{\frac{n-1}{2}}\right) \left(\sum _{n=1}^{\infty } \cfrac{(2 n)!^2 k^{2 n}}{\left(2^i\text{  }n!\right)^4 (2 n-1)}\right) = \cfrac{1}{2}  (10)
Es fácil demostrar que (10) no es cierto, ya que

\displaystyle   \sum _{n=1}^{\infty } (1-k^2)^{\frac{n-1}{2}} =\cfrac{1}{1-\sqrt{1-k^2}}

Cuando nos adentramos hacia la comprensión de la interpretación geométrica de la longitud de una elipse, vemos que no había que ir sumando alternando sumas y restas de las longitudes de los círculos concéntricos de esa clase definida arriba, sino que más bien había que restar de la longitud original la suma de todas las restantes longitudes de los círculos concéntricos inscritos. Todo queda en una aproximación:

\displaystyle   L \approx \pi a  \left(1+ \sqrt{1-k^2}\right)   (11)

Saludos

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