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Archive for 24 agosto 2014

Aritmética del inframundo y del ultramundo

Posted by Albert Zotkin en agosto 24, 2014

Definamos la suma y la resta como operadores aritméticos de orden cero, que escritos con subíndices serian:

\displaystyle  + = \oplus_0 \\ \\   -= \ominus_0 \\ \\   (1)

Así, la multiplicación y la división serian operadores de orden 1, y los escribiriamos así:

\displaystyle  \times = \oplus_1 \\ \\   /= \ominus_1 \\ \\   (2)
En cuanto a la infrasuma y la infrarresta, que definí en mis dos anteriores posts, aqui y aqui, sus operadores escritos con subíndices serían de orden -1. Por lo tanto, toda operación aritmética de orden k puede ser expresada mediante operaciones aritméticas de orden inmediato superior k+1, así:

\displaystyle  x \oplus_k y =\log(\exp(x) \oplus_{k+1} \exp(y) ) \\ \\  x \ominus_k y =\log(\exp(x) \ominus_{k+1} \exp(y) )    (3)
Supongamos que tenemos curiosidad por saber cómo son los operadores suma y resta inframundados de orden -2. Escribimos:

\displaystyle  x \oplus_{-2} y =\log(\exp(x) \oplus_{-1} \exp(y) ) \\ \\  x \ominus_{-2} y =\log(\exp(x) \ominus_{-1} \exp(y) )  (4)
y si queremos expresarlos en función de la suma y la resta de orden 0, como sabemos que

\displaystyle  x \oplus_{-1} y =\log(\exp(x) + \exp(y) ) \\ \\  x \ominus_{-1} y =\log(\exp(x) - \exp(y) )  (5)

tendremoa que

\displaystyle  x \oplus_{-2} y =\log(\log(\exp(\exp(x))) + \exp(\exp(x))))  \\ \\  x \ominus_{-2} y =\log(\log(\exp(\exp(x))) - \exp(\exp(x))))  (6)
Cabe también preguntarse cómo se expresa una operación aritmética de orden k en función de su operadores de orden inmediato inferior, k-1. La respuesta es sencilla:

\displaystyle  a \oplus_k b =\log(\exp(a) \oplus_{k+1} \exp(b) ) \\ \\  \exp(a \oplus_k b) =\exp(a) \oplus_{k+1} \exp(b)  \\ \\  x= \exp(a)  \\ \\ y=\exp(b) \\ \\  a= \log(x) \\ \\ b=\log(y) \\ \\  x \oplus_{k+1} y = \exp(\log(x) \oplus_k \log(y))   (7)
Ahora podríamos hacernos la misma pregunta que antes, pero hacia arriba. ¿Cómo expresamos una operación aritmética ultramundana de orden 2 con los operadores de orden inferior?:

\displaystyle  x \oplus_{2} y = \exp(\log(x) \oplus_1 \log(y))  \\ \\   x \oplus_{1} y = \exp(\log(x) + \log(y)) \\ \\  \\ \\   x \oplus_{2} y = \exp(\log(x) \log(y))  \\ \\   x \oplus_{2} y = x^{\log(y)}  (8)

o también

\displaystyle  x \oplus_{2} y = y^{\log(x)}  (9)

Lo cual produce el notable resultado:

\displaystyle  x^{\log(y)} =  y^{\log(x)}  (10)

que siempre es cierto para cualesquiera números reales x e y.

Una resta de orden 2 sería asi:

\displaystyle  x \ominus_{2} y = \exp(\log(x) \ominus_1 \log(y))  \\ \\   x \ominus_{1} y = \exp(\log(x) - \log(y)) \\ \\  \\ \\   x \ominus_{1} y = \exp \left (\log \frac{x}{y}\right )  \\ \\   x \ominus_{1} y = \frac{x}{y} \\ \\   x \ominus_{2} y = \exp \left (\frac{\log(x)}{\log(y)}\right ) \\ \\ \\ \\  x \ominus_{2} y = \left (x \right )^{\frac{1}{\log(y)}}    (11)

Saludos

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La función Infra-Zeta de Riemann

Posted by Albert Zotkin en agosto 22, 2014

Hola amigos de Tardígrados. Hoy voy a continuar con el tema de las infrasumas e infrarrestas que definí en mi post anterior. Dichas definiones eran así:

\displaystyle  x \oplus y = x+\log \left (1 + \exp (y-x) \right ) \\ \\  x \ominus y = x+\log \left (1 - \exp (y-x) \right )  (1)

en realidad hay una forma más sucinta de definir ambas operaciones, y es esta:

\displaystyle  x \oplus y = \log \left (\exp (x)+\exp (y) \right ) \\ \\  x \ominus y =  \log \left (\exp (x)-\exp (y) \right )  (2)

Vemos pues que el elemento neutro de la infrasuma es u = -∞ (menos infinito):

\displaystyle  x \oplus u = u \oplus x = x \\ \\  x=\log \left (\exp (x)+\exp (u) \right ) \\ \\  \exp(x) = \exp (x) + \exp (u) \\ \\  0 = \exp (u) \\ \\  u = \log(0)= -\infty  (3)

Igualmente, desde la definición de infrarresta podemos ver que cada número real x posee un opuesto x’ tal que:

\displaystyle  x \oplus x' = \log \left (\exp (x)+\exp (u) \right )=-\infty   (4)

es decir:

\displaystyle  x \oplus x' = -\infty \\ \\   (x \oplus x') \ominus x = (\exp (x) + \exp (x'))= -\infty  \ominus x =  x   \\ \\     x \oplus x' = \exp (x) + \exp (x') = -\infty \\ \\   (4)
que es un numero complejo con parte imaginaria π. En realidad para cada número real x existen infinitos números opuestos con parte real igual a x, y parte imaginaria nπi, donde n es un entero impar.

Podemos seguir y definir la operación multiplicación ⊗ así:

\displaystyle  x \otimes n = \underset{n}{\underline{x \oplus x \oplus \dots \oplus x}} = \log(n \exp(x))    (5)
donde n es de momento un número entero, pero vemos que no es una operación conmutativa, ya que por regla general no es cierto que xn = nx. Intentemos, de todas formas encontrar un elemento inverso para esta operacion ⊗:

\displaystyle  x \otimes u  = \log(u \exp(x)) = x \\ \\   u \log(x) = \log(x) \\ \\   u = 1  (6)

luego la operación ⊗ realizada por la derecha posee el elemento neutro u = 1. Pero, si la realizamos por la izquierda obtenemos:

\displaystyle  u \otimes x  = \log(x \exp(u)) = x \\ \\   x \log(u) = \log(x) \\ \\   \log(u) = \frac{\log(x)}{x}\\ \\   u = \sqrt[x]{x}  (7)

lo cual implica que dicha operación realizada por la izquierda no da un elemento inverso único. Pero, podemos ver cuál sería el opuesto de x (por la derecha):

\displaystyle  x \otimes x'  = \log(x' \exp(x)) = 1\\ \\    \log(x' \exp(x)) = \log(\exp(0)) \\ \\    x' \exp(x) = \exp(0) \\ \\   x' = \exp(-x)   (8)

La infra-potenciación ⊛ puede ser definida así:

\displaystyle  x \circledast n = \underset{n}{\underline{x \otimes  x \otimes  \dots \otimes  x}} = \log( \exp(x) x^n) \\ \\  x \circledast n = x + n \log x    (9)
Por lo tanto ya estamos en condiciones de representar la función Zeta de Riemann en el inframundo, es decir, de definir uan función que llamaré infra-Zeta de Riemann. Para empezar fijémonis en la clásica forma de la función Zeta de Riemann:

\displaystyle   \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}  (10)

Expresemos el equivalente a ns en el inframundo así:

\displaystyle  n \circledast s = n + s \log n  (11)

Ahora presentemos el inverso de dicha infra-potencia:

\displaystyle  \exp (-n - s \log n) = \exp (-n) n^{-s}  (12)

y realicemos el infra-sumatorio desde n = 1 hasta ∞, para obtener la función infra-zeta de Riemann, \underset{.}{\zeta}:

\displaystyle   \underset{.}{\zeta}(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{e^{n} n^s}  (13)

Vemos pues que la infra-zeta de Riemann, \underset{.}{\zeta}, es muy parecida a la zeta normal, y la única diferencia visible es que aparece el factor exp(- n), y siempre teniendo en cuenta que el sumatorio son infra-sumas

Saludos

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Logaritmos: definición de infrasuma e infrarresta

Posted by Albert Zotkin en agosto 17, 2014

Hola amigos de Tardígrados. Hoy voy a intentar definir dos nuevas operaciones aritméticas, que llamaré infrasuma e infrarresta. Empecemos. Sabemos que el logaritmo neperiano de un producto de dos números reales es igual a la suma de los logaritmos neperianos de sus factores

\displaystyle  \log (a \times b) = \log (a) + \log (b)  (1)

y para la división tenemos que

\displaystyle  \log \left (\frac{a}{b}\right ) = \log (a) - \log (b)  (2)

Siguiendo este proceso operativo, nos podemos preguntar si existe un operador binario ⊕ tal que

\displaystyle  \log (a+b) = \log (a) \oplus \log (b)  (3)
Por lo tanto, desde el operador binario suma + deberiamos poder definir ese operador binario ⊕ que llamaríamos infrasuma. De igual forma deberíamos poder definir un operador binario ⊖ tal que

\displaystyle  \log (a-b) = \log (a) \ominus \log (b)  (4)

De hecho es posible expresar esa nuevas operaciones binarias de forma explícita así:

\displaystyle  x \oplus y = x+\log \left (1 + \exp (y-x) \right ) \\ \\  x \ominus y = x+\log \left (1 - \exp (y-x) \right )  (5)

La demostración de esto último es fácil, pues sabemos que:

\displaystyle  x = \log(a) \  \  \  y = \log(b)

con lo cual tenemos que:

\displaystyle  x \oplus y =\log(a) \oplus \log(b) = \log(a+b)= \log(a) +\log \left (1 + \exp (\log(b)-\log(a)) \right ) \\ \\  \log(a+b)= \log(a) +\log \left (1 + \exp (\log\frac{b}{a}) \right ) \\ \\  \log(a+b)= \log(a) +\log \left (1 + \frac{b}{a} \right ) \\ \\  \log(a+b)= \log(a) +\log \left (\frac{a + b}{a} \right ) \\ \\  \log(a+b)= \log(a) +\log (a + b) -\log(a) \\ \\  \log(a+b)= \log (a + b) \\ \\  (6)

La demostración para la infrarresta se hace igual:

\displaystyle  x \ominus y =\log(a) \ominus \log(b) = \log(a-b)= \log(a) +\log \left (1 - \exp (\log(b)-\log(a)) \right ) \\ \\  \log(a-b)= \log(a) +\log \left (1 - \exp (\log\frac{b}{a}) \right ) \\ \\  \log(a-b)= \log(a) +\log \left (1 - \frac{b}{a} \right ) \\ \\  \log(a-b)= \log(a) +\log \left (\frac{a - b}{a} \right ) \\ \\  \log(a-b)= \log(a) +\log (a - b) -\log(a) \\ \\  \log(a-b)= \log (a - b) \\ \\  (7)
A continuación se puede comprobar, por ejemplo, si el operador binario infrasuma ⊕ forma un grupo dentro del conjunto de los números reales. Se han de cumplir las siguientes propiedades.

1. Clausura respecto de la infrasuma ⊕: para dos números reales x e y, xy debe ser un número real Comprobamos que para el caso particular x = 0, y = 0, tendriamos,

\displaystyle  0 \oplus 0 =\log(1) \oplus \log(1) = \log(1+1) = \log(2)   (8)
El caso por el que la clausura no se cumpliría sería para log(0), pero para que eso ocurriese en una infrasuma debería darse el caso especial exp(yx) = -1, pero eso caso sólo resultaria cuando:

\displaystyle  y - x = n i\pi
siendo n un número entero impar. Es decir, y – x sería un número imaginario puro, pero como x e y son números reales, su resta nunca puede ser un número complejo (imaginario puro).

2. Elemento identidad:

\displaystyle  (x \oplus 0) = 0 \oplus x = 0   (9)

Pero, eso no siempre es cierto para todo número real x. Por ejemplo:

\displaystyle  (3 \oplus 0)  = 3.0485873515737420588\dots
Por lo tanto, ya no sería necesario seguir comprobando si se cumplen las demás propiedades de un grupo, como son la propiedad asociativa y el elemento inverso. La infrasuma no formaría un grupo en el conjunto de los números reales, y tampoco la infrarresta. Pero, estamos buscando un número real y tal que xy = x. Con lo cual, sólo para el caso y = -∞ se cumpliría eso. Pero, -∞ (menos infinito) no es ningún número, por lo tamto la infrasuma no posee elemento identidad.

Supongamos que la infrasuma posee elemento identidad – ∞, entonces podemos seguir viendo si se complen las demás propiedades para formar un grupo. Así, para el elemento inverso hay que ver si
xx’ = x’x = – ∞, donde x’ sería el inverso de x. Al resolver esa ecuación obtenemos la solución

\displaystyle  x' = x+i\pi  (10)

Es decir, el inverso de x no sería un número real sino complejo con parte imaginaria \pi.

Saludos

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