TARDÍGRADOS

Ciencia en español

Tecnología alienígena: El proyecto Prometeo IA, o cómo hacer fuego en un desierto

Posted by Albert Zotkin en junio 14, 2018

Hola amigos de Tardígrados. Hoy voy a hablar de cómo hacer fuego en el desierto, pero no será un fuego ordinario, sino termonuclear de fusión. Efectivamente, las reacciones termonucleares de fusión se parecen mucho a esas reacciones químicas de combustión (oxidación-reducción) que llamamos fuego. La pregunta del millón es ¿porqué aún no se ha conseguido energía aprovechable de las reacciones termonucleares de fusión?. Las respuestas no son sólo de índole técnica o tecnológica, sino de fundamentos teóricos de la física y la química en relación al cuarto estado de la materia que llamamos plasma. Si la teoría ofreciera modelos muy concordantes con la realidad de la naturaleza del plasma, los problemas técnicos y tecnológicos a resolver serían menores. Por lo tanto, el problema principal radica en la teoría, o peor aún, en estar en la creencia absoluta de que la teoría actual es la correcta, y que todos los problemas son solo técnicos o tecnológicos.
Los primitivos seres humanos aprendieron a usar el fuego antes que a hacerlo partiendo de cero. Es decir, aprendieron a “robar fuego” natural, producido por rayos, y demás fenómenos naturales, y llevar ese fuego a otros lugares donde alimentar otros fuegos distintos al original, amontonando combustible (leña). Pero, hacer fuego desde cero es más complicado que el método del “robatorio“, y más si los materiales usados están húmedos. La dificultad actual que se presenta a la hora de iniciar una reacción termonuclear de fusión, que sea sostenible y aprovechable, se parece mucho a la dificultad de hacer fuego desde cero en un desierto helado, donde todos los materiales para la ignición y mantenimiento están húmedos o son inadecuados. Alguien podría pensar que si es posible iniciar una reacción termonuclear de fusión sostenible en el tiempo, se podría aplicar el método del “robatorio” para prender una especie de antorchas termonucleares con las que encender otros fuegos en otros sitios. Evidentemente, inyectando plasma, que está ardiendo termonuclearmente, en otras vasijas, se podrían multiplicar las hogueras, sin necesidad de encender desde cero cada una de ellas.

El Proyecto Prometeo IA: ¿En qué consiste muy esquemáticamente el Proyecto Prometeo?. Este proyecto tendría como misión, enviar una sonda espacial hacia el Sol, ponerla en una órbita excéntrica alrededor y muy próxima a él, para conseguir encender un reactor termonuclear (antorcha) y traerlo de vuelta a la Tierra, o dejarla en una órbita más accesible y cercana, una vez que arda de forma sostenible y segura. Sí, Prometeo era un titán que le robó fuego a los dioses para dárselo a la humanidad. La pregunta es ¿sería eso más fácil que iniciar en la Tierra una fusión termonuclear desde cero?. Si el problema que están intentando afrontar actualmente es cómo confinar plasma, sin que las paredes de las vasijas se fundan y hacer eso sostenible en el tiempo, en el Proyecto Prometeo IA el problema sería también el inverso, es decir, además de confinar plasma sería ver cómo evitar que el plasma del Sol destruya el reactor enviado a su atmósfera. El problema sería el inverso, es decir, cómo mantener controlado el plasma solar que rodea la sonda espacial, cuando esta se sumerge en su atmósfera, y dejar que sólo incidiera en ciertos puntos especiales donde la ignición podría tener lugar.
¿Sería viable el proyecto Prometeo IA, o sólo sería ciencia ficción?. De momento es sólo ciencia ficción. Muchas preguntas técnicas han de hacerse y responderse para empezar a vislumbrar la viabilidad de ese proyecto. Por ejemplo estas:
  • ¿Hasta qué profundidad en la atmósfera solar habría que sumergir la sonda para poder captar suficiente plasma, producir la reacción de su reactor interno, y una vez conseguido el fuego poder escapar intacta y regresar a órbitas más cercanas y amables para el ser humano?.
  • ¿Qué tipo de escudo plasma-dinámico podría evitar la destrucción total o parcial, o en el mejor de los casos, evitar averías técnicas al entrar en la atmósfera solar?.
  • ¿Sería suficiente sumergir la sonda hasta zonas puntuales de la corona solar, o habría que dejarla caer más abajo?.
  • ¿En su entrada, cómo soportaría la sonda las enormes presiones fotónicas que emanan de la fotosfera?. Para escapar gravitatoriamente del Sol, bastaría desplegar unas pequeñas velas solares.
  • ¿Para que la sonda pudiera escapar gravitatoriamente del Sol, bastaría desplegar unas pequeñas velas solares, o bastaría con la inercia de su trayectoria orbital hiper-elíptica?.

Saludos plasmáticos a todos
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537 ejercicios con soluciones: función Tahawus

Posted by Albert Zotkin en junio 10, 2018

A continuación presento una serie de ejercicios con ecuaciones exponenciales y funciones polinómicas super cuadráticas, en los que hallaremos las respectivas funciones inversas. Al hallar una función inversa estamos implícitamente hallando sus raíces, ya sean reales o imaginarias.

Definamos la función Tahawus, \mathcal{T} ,como la función inversa de

\displaystyle  y = \frac{x^{x}-1}{x} \\ \\
es decir,
\displaystyle  x=\mathcal{T}(y)
De la misma forma que la función W de Lambert, W, es la función inversa de:

\displaystyle  y = x \; e^x \\ \\
es decir,
\displaystyle  x=W(y)
1 Despeja la x en la siguiente ecuación:

\displaystyle  x^x=y

\displaystyle  \log(x^x) = \log y \\ \\   \log(x)x = \log y \\ \\  \log(x)e^{\log x} = \log y \\ \\  \log(x) = W(\log y)

\displaystyle  x=e^{W(\log(y))} \\   x=\textbf{ssrt}(y)
donde ssrt(y) es la super-raíz cuadrada de y.

2 Despeja la x en la siguiente ecuación:

\displaystyle  e^x +x =y

\displaystyle  e^{e^x}e^x=e^y \\ \\   z=e^x \\ \\  e^{z}z =e^y  \\ \\  z =W(e^y)  \\ \\  e^x =W(e^y)  \\ \\

\displaystyle  x =\log W(e^y) \\ \\   x =y-W(e^y)

3 Expresa la función W de Lambert, W(z), desde la super-raíz cuadrada ssrt(z)

\displaystyle  x=e^{W(\log(y))} \\ \\  x=\textbf{ssrt}(y)\\ \\  e^{W(\log(y))}=\textbf{ssrt}(y)\\ \\   W(\log(y)) =\log \textbf{ssrt}(y)\\ \\   z= \log(y)

\displaystyle  W(z)=\log \textbf{ssrt}(e^z)

4 Despeja la x en la siguiente ecuación:

\displaystyle  e^{e^{e^{-x} \left(-1+\left(e^x\right)^{e^x}-e^x x\right)} \left(-1+\left(e^x\right)^{e^x}\right)} =y

\displaystyle  x = \log \mathcal{T}(W( \log y))

5 Despeja la x en la siguiente ecuación:

\displaystyle  \mathcal{T}(x)^{\mathcal{T}(x)}=y

\displaystyle  \mathcal{T}(x) =\text{ssrt}(y) \\ \\   x =\frac{\text{ssrt}(y)^{\text{ssrt}(y)} -1}{\text{ssrt}(y)} \\ \\

\displaystyle  x =\frac{y -1}{\text{ssrt}(y)} \\ \\

6 Despeja la x en la siguiente ecuación:

\displaystyle  \frac{\mathcal{T}(x)^{\mathcal{T}(x)}-1}{\mathcal{T}(x)}=y

\displaystyle  \mathcal{T}(x) =\mathcal{T}(y) \\ \\

\displaystyle  x = y

7 Despeja la x en la siguiente ecuación de la torre infinita (Iteración exponencial de Euler):

\displaystyle  x^{x^{x^{.^{.^{.}}}}}=y

\displaystyle  x^{x^{x^{.^{.^{.}}}}} \log x= \log y \\ \\   y \log x= \log y \\ \\    \log x= \frac{\log y}{y} \\ \\   \log x= \log y ^{\frac{1}{y}} \\ \\

\displaystyle  x = \sqrt[y]{y}

8 Sabiendo el valor de x calcula el valor de y en la torre infinita anterior (Iteración exponencial de Euler):

\displaystyle  x^{x^{x^{.^{.^{.}}}}}=y \\ \\   x^{x^{x^{.^{.^{.}}}}} \log x= \log y \\ \\    \log y = y \log x \\ \\   y = e^{y \log x}  \\ \\   y e^{-y \log (x)}=  1 \\ \\   - y  \log (x) e^{-y \log (x)} =  -\log (x) \\ \\   - y  \log (x)  =W (-\log x)

\displaystyle  y = \frac{W (-\log x)}{-\log x}

9 Despeja la x en la siguiente ecuación de la torre infinita (Iteración exponencial de Euler modificada):

\displaystyle  x^{x^{x^{.^{.^{.}}}-1}-1}-1=y

\displaystyle  (x^{x^{x^{.^{.^{.}}}}-1}-1)\log x= \log (y+1) \\ \\   y\log x=\log (y+1) \\ \\    \log x= \frac{\log (y+1)}{y} \\ \\   \log x= \log (y+1) ^{\frac{1}{y}} \\ \\

\displaystyle  x = \sqrt[y]{y+1}

10 Sabiendo el valor de x, calcula el valor de y en la torre infinita anterior (Iteración exponencial de Euler modificada). O lo que es lo mismo, encuentra una forma cerrada para esa iteración infinita:

\displaystyle  x^{x^{x^{.^{.^{.}}}-1}-1}-1=y \\ \\   (x^{x^{x^{.^{.^{.}}}-1}-1}-1) \log x= \log (y+1) \\ \\    \log (y+1) = y \log x \\ \\   y+1 = e^{y \log x}  \\ \\   (y+1) \; e^{-y \log x}=  1 \\ \\   -(y+1) \log(x) \; \;  e^{-y \log x} \; e^{-\log (x)} =  -\log(x) \;e^{-\log x} \\ \\   -(y+1) \log(x) \;  e^{-(y+1) \log (x)} = -\log (x) e^{-\log x} \\ \\   -(y+1)\log x = W(-\log (x) e^{-\log x}) \\ \\   y+1 = \frac{W(-\log (x) e^{-\log (x)})}{-\log x} \\ \\ \\  y = \frac{W(-\log (x) e^{-\log (x)})}{-\log x}-1 \\ \\ \\  y = \frac{W(-\frac{\log x}{x})}{-\log x}-1

\displaystyle  y = \frac{W(-\log \sqrt[x]{x})}{-\log x}-1

11 Despeja la x en la siguiente ecuación:

\displaystyle  \log \left(\frac{e^{x e^x}-1}{e^x}\right) =y

\displaystyle  \frac{e^{x e^x}-1}{e^x} =e^y \\ \\  \frac{(e^x)^{e^x}-1}{e^x} =e^y \\ \\  e^x = \mathcal{T}(e^y)

\displaystyle  x=\log \mathcal{T}(e^y)

12 Despeja la x en la siguiente ecuación:

\displaystyle  x\; e^{-1+x+e^x x}\;-e^{-1+e^x x} -1=y \\ \\

\displaystyle  x\; e^{-1+x+e^x x}\;-e^{-1+e^x x} -1=y \\ \\   (x e^x-1)e^{x e^x-1}-1=y\\ \\  x e^x-1 = W(y+1)\\ \\  x e^x = W(y+1)+1\\ \\

\displaystyle  x e^x = W(W(y+1)+1)

13 Despeja la x en la siguiente ecuación:

\displaystyle    e^{\log (x+1) e^{\log (x+1)}}=y \\ \\

\displaystyle   \log (x+1) e^{\log (x+1)}=\log y \\ \\   \log (x+1) =W(\log y) \\ \\  x+1=e^{W(\log y)}

\displaystyle  x=e^{W(\log y)}-1

14 Calcula \sqrt[x]{x}  en función de y, de la forma más simplificada posible, sabiendo que:

\displaystyle   x=\frac{W(y)}{y} \\ \\

\displaystyle  xy= W(y) \\ \\  xy e^{xy}= y \\ \\  x e^{xy}= 1 \\ \\  e^{xy}=\frac{1}{x} \\ \\  xy=\log \left(\frac{1}{x}\right) \\ \\  \frac{1}{x}\log \left(\frac{1}{x}\right)=y \\ \\  \frac{1}{x}\log (x)=-y \\ \\  \log (x^{\frac{1}{x}})=-y \\ \\  x^{\frac{1}{x}}=e^{-y} \\ \\

\displaystyle  \sqrt[x]{x}=e^{-y}

15 Relaciona la función W de Lambert con la función Tahawus.

\displaystyle  \frac{x^x-1}{x}= y \\ \\  x= \mathcal{T}(y) \\ \\ \\  x^x = y x +1 \\ \\  x= e^{W(\log (y x +1))}\\ \\ \\

\displaystyle  \mathcal{T}(y) = e^{W(\log (y \mathcal{T}(y) +1))}\\ \\
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La velocidad de la luz no es una verdadera velocidad, es una latencia

Posted by Albert Zotkin en mayo 25, 2018

Hola amigos de Tardígrados. Hoy vamos a estudiar algunos aspectos de uno de los fenómenos más extraños y misteriosos de nuestro universo, la luz. Tambíén llamada fotones, ondas, energía o radiación electromagnética. La luz es, junto con la gravedad, uno de los misterios más grandes de la física. Aunque pudiera parecer que las ondas electromagnéticas ya no poseen ningún misterio para la Física, en realidad si los posee, y profundos. ¿Qué es la luz?, ¿Es una onda o es una partícula?. Depende (como diría un gallego). Depende, del instrumento y el experimento que realicemos, la luz nos aparecerá como partícula o como onda, pero nunca como una mezcla de las dos. En un experimento nos parecerá que es una partícula que llamamos fotón, y en otro bien distinto, como una onda electromagnética de cierta frecuencia y longitud de onda. Eso es ya bien conocido en la Física, y se llama dualidad onda-partícula. Sin embargo, independientemente del experimento que realicemos para saber si la luz es partícula o es onda, lo que sí parece ser invariante es que se nos manifiesta siempre como propagándose a cierta velocidad finita. Según el medio en que se propague, dicha velocidad tendrá un valor u otro, pero siempre el mismo si el medio es el mismo.

El vacío puede también ser considerado un medio. El realidad el vacío sería el único medio por el que puede propagarse la luz, y su velocidad sería la constante c. Sería pues una especie de éter, aunque la palabra éter es una palabra maldita para los maintreamófilos, ya que suplantaría al sacrosanto espacio-tiempo de la relatividad Einsteniana, y eso sería un sacrilegio (Einstein dijo: “no hay éter“, y eso es Verbum Dei). Cualquier otro medio distinto al vacío ya implica la existencia de materia intermedia entre emisor y receptor, con lo cual, la velocidad de propagación, en ese medio distinto al vacío, sería siempre menor a la original c. Pero, un fotón no debe ser nunca visto como una “pelotita” que revolotea por ahí, desde que es lanzada por el emisor hasta que es captada por el receptor. Los fotones, no son partículas libres, sino partículas virtuales. ¿Qué significa que una partícula sea virtual en lugar de libre?. La principal propiedad es que una partícula virtual parece haber sido emitida “hacia atrás en el tiempo” a la vez que “hacia adelante“. Existe una especie de transacción secreta entre el emisor del fotón y el receptor. Y esa transacción (“papeleo burocrático“) empieza a tener lugar mucho antes de que la partícula sea emitida realmente. ¿Por qué es eso así?. Imagina que una fuente emisora de fotones los lanzara al medio (el vacío), sin que existiera un receptor para cada una de esas partículas emitidas. Esos fotones, o algunos de ellos, nunca serían absorbidos. Y si un fotón no es absorbido no existe transferencia de energía, con lo cual, el fotón virtualmente nunca habría sido emitido. Esa es la razón por la cual, cuando un fotón es emitido, será con absoluta seguridad absorbido eventualmente por algún sistema material. ¿Qué ocurriría si una fuente emite realmente un fotón que nunca será absorbido?. Pues sencillamente que esa energía se perdería, y eso significaría, que el universo perdería energía, se enfriaría, sería un sistema termodinámico abierto. Seria un absurdo más. Pensemos por ejemplo, el caso contrario, un sistema material que absorbe un fotón, el cual nunca fue emitido por ninguna fuente. Señoras y señores, estamos ante la presencia de las famosas paradojas que tanto les gustan a los Einsteinianos y demás especímenes, mainstreamófilos. Esa energía, que salió del emisor, no llegaría a ninguna parte, sería como si la energía pudiera destruirse. Puesto que la energía no puede destruirse ni perderse para siempre, cuando un fotón es emitido es porque será absorbido con total seguridad tarde o temprano, y cuando un fotón es absorbido es porque antes fue emitido por una fuente. Ese es el realismo que hay que imponer en la física, el sentido común, nada de paradojas ni viajes en el tiempo.

Enfoquemos nuestra atención un poco más en el punto del que estamos hablando hoy: la velocidad de la luz en el vacío, c. De hecho, esa supuesta velocidad sería una velocidad de fase, c = vp, en contraposición a la velocidad de grupo, vg. Es decir, según el conocimiento de la Física oficial, la mainstreamófila, la del Libro Sagrado, toda onda posee una velocidad de fase y una velocidad de grupo, las cuales no siempre coinciden en un mismo valor. La velocidad de fase está definida como el cociente entre la longitud de onda y el periodo, vp = λ / T, o lo que es lo mismo, el cociente entre la frecuencia angular y el número de ondas, vp = ω / k. En cambio, en el Libro Sagrado de la Física Mainstreamófila, la velocidad de grupo se define como la derivada parcial de esa frecuencia angular respecto del número de ondas, es decir, vg = ∂ω / ∂k. Luego la información y la energía que transporta una onda electromagnética, viajarían por el espacio según la velocidad de grupo. Pero, si nada hay que disperse en el vacío a dicha onda electromagnética, entonces esa velocidad de grupo coincidiría con su velocidad de fase, vp = vg. Y eso siempre ocurre cuando la frecuencia angular, ω, es directamente proporcional al número de ondas, k.

Veamos ahora que significaría que esa velocidad de la luz en el vacío sea una constante c = 299792458 m/s, siempre la misma, independientemente del sistema de referencia desde el cual la midas. Imagina que viajas cómodamente en tu coche por la autopista, y cada cierto tiempo miras el velocímetro, (sobre todo para controlar que no te cace uno de esos radares ocultos y te pongan una multa por exceso de velocidad). Compruebas que tu velocidad es constante v = 90 km/h. Sin embargo, tu velocidad real podría ser otra muy distinta a esa que lees en el velocímetro del tu coche. Matemáticamente hablando, la velocidad que lees en tu velocimétrico es un residuo o resto. Imagina que tu velocímetro es como la esfera de un reloj, pero en lugar de tener 12 divisiones, una por cada hora, posee 299792458, una por cada metro por segundo. Cuando tu velocímetro marca el cero, entonces eso indicaría que tu coche está parado, o también que tu coche viaja a la velocidad de la luz, c. Pero, eso parece imposible, ¿no?. Si algo está parado, no puede estar viajando a la vez a otra velocidad distinta a cero, si se mide en el mismo sistema de referencia, ¿verdad?.

El problema es que el velocímetro de nuestro coche es circular, y sólo posee 299792458 divisiones, una por cada metro por segundo. Por lo tanto, toda velocidad v, superior a c, será matemáticamente truncada a su residuo:

\displaystyle  v\equiv 0{\pmod {c}}
Hay una clase de partículas elementales llamadas leptones. Y nos preguntamos: ¿qué ocurriría si un electrón, que es un leptón, supera la velocidad de la luz, c?. Sí, ya sé que eso, en el libro gordo de los maintreamófilos, se dice que es imposible. Pero, ¿qué apariencia tendría en nuestro universo relativista tal “imposible fenómeno“?. Pues, si eso ocurriera, lo que veríamos sería un muón, viajando a una velocidad residual, es decir, una velocidad sublumínica. Y en contrapartida por truncar su velocidad superlumínica, su masa se incrementaría, de tal forma que la energía total de la partícula siguiera siendo la misma. Eso explicaría por qué vemos hasta tres generaciones de leptones, pero claro, esa explicación tan bizarra y estúpida está descartada por la sacrosanta verdad absoluta del libro gordo de los maintreamófilos.

Profundicemos un poco en esta idea de los leptones superlumínicos. Supongamos que un electrón supera la velocidad de la luz en el vacío, llegando hasta una

\displaystyle  v_e = k c + \frac{c}{n}

Donde k y n son enteros positivos mayores que la unidad. Esto significa que el residuo es

\displaystyle  \frac{c(k n + 1)}{n}\equiv 0{\pmod {c}} = \frac{c}{n}
Eso quiere decir que, en nuestro universo observable, lo que veríamos sería un muón viajando a una velocidad sublumínica, el residuo vμ = c/n. Luego la energía total del electrón superlumínico debe ser igual a la energía total del muón sublumínico (la energía total de una partícula es la suma de su energía potencial y su energía cinética):

\displaystyle  m_e c^2 + K_e = m_{\mu}c^2 + K_{\mu}

Dividamos ambos lados de la ecuación por la energía potencial del electrón, m_e c^2:

\displaystyle  1+ \frac{K_e}{m_e c^2} = \frac{m_{\mu}}{m_e} + \frac{K_{\mu}}{m_e c^2}
Si aproximamos clásicamente la energía cinética del electrón y la del muón tendremos:

\displaystyle  K_e=   \frac{m_e v_e^2}{2} = \frac{m_e c^2 (kn+1)^2}{2n^2}\\ \\  K_{\mu}=   \frac{m_{\mu} v_{\mu}^2}{2} =  \frac{m_{\mu} c^2}{2n^2}
Con lo cual, la relación entre la masa del electrón y la del muón sería:

\displaystyle  1+ \frac{(kn+1)^2}{2n^2}=  \frac{m_{\mu}}{m_e} + \frac{m_{\mu}}{m_e}\left(\frac{1}{2n^2}\right) \\ \\ \\   \frac{m_{\mu}}{m_e} = \frac{1+2 k n+2 n^2+k^2 n^2}{1+2 n^2}
Por otro lado, sabemos experimentalmente que la ratio entre la masa del muón y la del electron es:

\displaystyle   \frac{m_{\mu}}{m_e} = \frac{105.6583745}{0.510998928}=206.768
Eso significa que, desde la aproximación clásica, un electrón sólo podría superar la velocidad de la luz en el vacío (n = 1) a partir de cierto número de ciclos k de c, que serían:

\displaystyle  k =-1\pm \sqrt{3\frac{m_{\mu}}{m_e} -2}=-1 \pm 24.8657
Luego, desde la aproximación clásica, para que un electrón emerja como un muón debe adquirir una velocidad superlumínica base de:

\displaystyle  v_e = c(k + 1)= 25.8657 c
Pero, ¿por qué digo en el título de este artículo que “La velocidad de la luz no es una verdadera velocidad, es una latencia?. Pues lo digo, porque, no es la velocidad clásica con la que imaginamos a un objeto moverse en el espacio. Lo que llamamos luz no se mueve por ningún espacio, es simplemente una transacción cuántica no-local entre dos o más sistemas materiales. Es no-local porque se produce a distancia, sin que el intermediario, el fotón, tenga que pasar por todos los puntos intermedios del intervalo espacial que los separa. Por eso, esa transacción posee una latencia, es decir, un retardo. Al dividir el intervalo espacial por el retardo siempre obtendremos la constante c, si esa transacción es en el vacío. Y para que esa constante sea una verdadera constante, debe ocurrir que la latencia (el retardo) sea directamente proporcional al intervalo espacial. La implicación más interesante de que esto sea así es que esa transacción empieza instantaneamente, sin demora.

Por ejemplo, supongamos que hacemos un ping (eco) con un rayo láser sobre la superficie de la Luna.

Tardaremos aproximadamente 2.5 segundos en ver nuestro rayo Laser reflejado, es decir, que la transacción electromagnética duró (tuvo una latencia de) 1.25 segundos en la ida, y otros tantos 1.25 segundos en la vuelta (reflejo). Pero, la transacción en la ida comenzó instantaneamente desde el mismo momento en que el rayo láser es lanzado desde la superficie de la Tierra, y dicha transacción termina exactamente a los 1.25 segundos. ¿Qué significa esto?. Significa que si supiéramos y pudiéramos construir un detector de media transacción (ansible), nuestro ping lunar sería detectado en la mitad de tiempo. Sería como si el fotón emitido por el láser hubiera viajado a dos veces la velocidad de la luz en el vacío. Pero, esa tecnología de los detectores de submúltiplos de transacción electromagnética no parece que se vaya a hacer realidad pronto, sobre todo si tenemos en cuenta qué teorías físicas imperan en la actualidad, y cuánto tiempo queda aún para que sean desterradas definitivamente. Los detectores de submúltiplos no serán realidad al menos hasta dentro de 1000 años o más, si tenemos en cuenta el ritmo real al que avanza la ciencia y la tecnología humanas.

Pero, podemos entrever cómo funcionaría un detector de submúltiplos. Cuando hacemos ping sobre la Luna, sabemos que observaremos el fotón reflejado al cabo de 2.5 segundos, y ese sería un suceso seguro, es decir, existiría una probabilidad p = 1 de que al cabo de 2.5 detectaremos el reflejo. Con un detector de submúltiplos de media onda, esa probabilidad se reduciría a la mitad si queremos detectarlo al cabo 1.25 segundos. Supongamos que nuestro ping contiene la información de un bit, representado por un 1. Entonces para detectar el submúltiplo con probabilidad segura, p = 1, necesitaríamos más de una antena, separadas espacialmente cierta distancia, cuantas más mejor. Pero, el problema se complica, ya que al estar separadas las antenas, no podremos integrar clásicamente la información completa en tiempos inferiores al de la latencia de la transacción.

¿Qué sería básicamente un ansible de submúltiplos (detector)?. Básicamente sería una antena multibanda. Supongamos que una antena normal, estándar, emite un único fotón hacia un ansible que se encuentra a 299792458 metros en el vació, y lo sintonizamos a media onda. Entonces, ¿seremos capaces de detectar el fotón en la mitad de tiempo, es decir, en 0.5 segundos¿. El ansible conseguiría ver un submúltiplo de ese fotón, no el de la frecuencia principal, con lo cual, la información sería redundante en todos y cada uno de sus múltiplos y submúltiplos, y cada uno llegaría a su ansible detector (no necesariamente el mismo) a un tiempo distinto.

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¿Qué es el universo?, ¿por qué existe?, ¿tuvo realmente un principio?

Posted by Albert Zotkin en abril 24, 2018

Hola amigos de Tardigrados. Hoy os voy a regalar algunas pinceladas autobiográficas, no exentas de sorna.

Cuando nací, hace ya muchos años, tuve una sensación muy desagradable, y lo recuerdo perfectamente. Alguien me azotó con fuerza, me puse a llorar, abrí los ojos y me vi boca abajo cogido por los pies, con el cordón umbilical ya cortado, y me pregunté que coño era todo esto. Cuando me di cuenta, mi llanto se agudizó con rabia. Me había dado cuenta de que había nacido el universo y de que me esperaba un arduo camino lleno de vicisitudes, hasta llegar a comprender totalmente el sentido que tenía todo esto.

Cuando llegué a los tres años de vida, un día me encontré jugando, en la calle de tierra, con un juguete de madera que mi padre había fabricado para mí. En un descuido, cuando me aburrí del juguete, alguien me lo robó. Mi madre me preguntó dónde estaba el juguete, qué había hecho con él, pero no supe qué responder. Me quedé un rato más sentado en la calle de tierra, miré hacia el final de la calle y vi al hijo del vecino jugando en la puerta de su casa con mi juguete, que ahora era suyo, porque mi juguete al ser abandonado por mi, tuvo la suerte de conseguir ser adoptado por un nuevo dueño. Nunca lo recuperé, ni supe más de él. Pero, aquel mismo día tuve un pensamiento lleno de lucidez en el mismo sitio donde me robaron el juguete. Ese pensamiento tan lúcido era el siguiente: “todo lo que existe, (que ahora llamamos universo) nunca tuvo un principio y nunca tendrá un final. Y esa es la razón más simple que explica todo lo complejo. Algo que es eterno no tiene necesidad de ser creado“.

Amigo lector, te estarás preguntado, cómo es posible que a mi corta edad, yo pueda haberme preguntado esas cosas tan profundas o incluso recordar el momento de mi nacimiento. El momento de nuestro nacimiento constituye un cambio de medio muy brusco. Es como darse un chapuzón en agua helada, el auténtico bautismo. A esa sensación, tarde o temprano la vistes con elementos reconocibles para poder ser recordaba. En cambio, el pensamiento cosmogónico que elaboré a los tres años de edad, no es la típica clase de pensamientos que se suelen tener los niños de esa edad, lo reconozco. También puede ser que todo haya sido un cúmulo de falsos recuerdos, y yo esté alucinando con ellos, creyendo que fueron reales alguna vez en mi experiencia vital.

Nacimiento del Universo

Siguiendo este razonamiento cosmogónico, podemos afirmar que todo lo que existe en el universo, no es que esté conectado de alguna manera, sino que es la misma cosa, aunque observada parcialmente y desde puntos de vista diversos. Por lo tanto, no es extraño, que lo que en física cuántica se llama “entrelazamiento cuántico“, sea en realidad, no entrelazamiento, sino la constatación de que todo en este universo es parte de todo. Nada está conectado, porque el concepto de conexión implica la existencia previa de entidades separadas, aisladas. El nexo universal, es pues la interconexión necesaria de algo que nunca estuvo separado, sino que cualquier parte es necesariamente coherente con todas las demás.

¿Por qué existe el universo?. Existe una corriente de consenso oficial, que yo suelo llamar sarcásticamente “mainstreamófila“, en la cual algunos de sus gurús exponen con orgullo preguntas estúpidas a cerca del universo, como por ejemplo esta: ¿”Por qué hay algo donde no debería haber nada“?. Es más que evidente que toda pregunta estúpida tiene la interesante propiedad de contestarse a sí misma. “Mire usted, hay algo, porque si no hubiera nada, nadie tendría la posibilidad de hacerse esa pregunta estúpida, ¿ok, tonto del culo?“. Preguntas de este estilo se las he oído a muchos “gurús“, que van por ahí dando charlas, y participando en debates, entrevistas, etc, y cobrando dinero por todo ello, y haciéndose los interesantes y super-inteligentes gallitos que todo lo saben. Uno de esos gallitos, es Bryan Greene, y en youtube puedes encontrar miles de videos, como este que pongo de muestra,

mostrando lo super-inteligentes que son todos estos “gurús” del “universo de pacotilla” que nos explican. La lista de estos gurús mainstreamófilos, que están ahí para darnos lecciones a todos, se extiende casi hasta el infinito. Además de Bryan Green, están Sean Carroll, Max Tegmark, y miles más.

Básicamente, todos son “influencers” de la corriente yanqui de la posverdad, donde el multiverso, la teoría de cuerdas, la supersimetría, y las ondas gravitacionales son algunos de sus pilares de sustentación, de sus carteras repletas de billetes, por adoctrinar a las masas con sus mierdas. He elegido ese video de youtube, al azar. Entras en youtube, escribes en la barra de búsquedas el nombre de algunos de estos gurús y te salen miles de videos encontrados, todos hablando de la misma mierda ( el Big Bang, las materia oscura, la energía oscura, los agujeros, negros, el multiverso, las ondas gravitacionales, etc, etc, etc). Y lo más gracioso de todo es que te lo venden como si fuera la Verdad Absoluta e Indiscutible. Respecto a la inflación cosmica, lo único que está inflado realmente es el ego de todos estos gurús, y sus respectivas billeteras.

Transcribramos y analicemos brevemente ese video que he puesto de muestra, de todos estos “gurús tan geniales“:

“La ultima pregunta”: ¿Por qué hay algo en lugar de nada”. Por todos los países esta cuestión ha desconcertado e intrigado a muchos filósofos, científicos y teólogos. Si resulta que es un universo eterno, o es una deidad eterna, parece que nadie ha podido responder con coherencia por qué eso debe ser así, en un sentido u otro. Sin embargo, hay al menos algo que sí podemos saber, algo que tiene una existencia innata, algo que se deja capturar racionalmente.

Max Tegmark: Por su puesto, si dices que existimos porque algo nos creó, y que antes otra causa creó a esa, etc. Entonces, siempre estarás buscando la siguiente causa que creó la causa anterior, nunca acabarás de buscar. Pero, yo creo que hay una especie de objeto real ahí afuera que fue claramente no creado. Y hay objetos matemáticos, como el cubo, por ejemplo, y no estoy hablando de cubos como terrones de azúcar, o que sea una especie de combustible físico, sino de un objeto matemático, conocido por los matemáticos como el cubo sobre un dodecahedro, sobre una esfera, o un espacio vectorial. Todos estos objetos existen, independientemente del espacio y el tiempo, existen claramente fuera de ese universo espacio-temporal. Ese cubo no fue creado hace 14 millones de años en el Big Bang, ¿verdad?. Y sin embargo, ves que ese objeto ya existe ahí, inmutable, perfecto siempre. Existe, y tienes la impresión de que ese objeto ya existía antes de que pensáramos en él, que nosotros no hemos inventado ese cubo. La idea de que ese objeto es un cubo no es una idea arbitraria, una idea que pueda ser inventada.

Esto explica por qué los objetos matemáticos existen, pero ¿por qué existen los planetas, las mentes, las rocas?

Bryan Greene: El multiverso simulado, aunque viene con mucho razonamiento directo en la matriz cuyos cerebros están siendo estimulados para pensar que están en una determinada realidad, aunque no lo estén, sino que son entidades simplemente instaladas en receptáculos de hardware, conectadas a un computador central. Ese podría ser el caso. La razón por la que yo hablo de esta idea en mi libro, no es porque me la tome en serio. Pero hay una conclusión interesante: que esta clase de razonamiento te permite hacerte la siguiente: pregunta ¿son las matemáticas una descripción de la realidad, o son por sí mismas la misma realidad?. ¿Son las matemáticas algo inventado, o es algo descubierto, algo que ya estaba ahí antes de que se nos ocurriera pensar en ello? ¿Son algo preexistente que ya formaba parte del tejido del tapiz que es la realidad?. El multiverso simulado del que hablo en mi libro, te da la posibilidad de hacerte es pregunta. Porque si tu y yo, formamos parte ahora mismo de la misma simulación informática. Eso esta muy bien, siento que es real para mí, y es un buen disfraz con el que la realidad nos quiere hacer creer que no estamos en ninguna simulación informática. Pero, imagina que abrimos ese computador donde se está ejecutando la simulación, y miramos lo que hay dentro, ¿qué veremos?. Lo que veríamos sería algo muy parecido a infinidad de ceros y unos siendo manipulados mediante infinidad de ecuaciones matemáticas. Por lo tanto, si eso es lo que somos, entonces, seríamos sólo matemáticas. Seriamos solo el despliegue, el resultado de aplicar ecuaciones matemáticas sobre objetos matemáticos, para transformarlos o crear otros nuevos. Y eso significaría que las matemáticas serían la misma realidad, la realidad misma.

Max Tegmark: Una de las cosas mas interesantes que hemos descubierto, a lo largo de los siglos, es que las matemáticas están por todas partes. Ya Galileo nos explicaba que la naturaleza, el libro de la naturaleza, está escrito en el lenguaje de las matemáticas, y después de que él hiciera esa observación, la gente fue descubriendo más y más regularidades, más simetrías, maravillosas relaciones matemáticas. Descubrieron y se sorprendieron de ver cómo con las matemáticas se podía modelar tan bien la realidad. Después se descubrió el Modelo Estándar de la Física de Partículas, Y la razón por la que yo creo que la naturaleza puede ser descrita tan bien mediante las matemáticas es que, en una ultima y muy profunda instancia, la naturaleza son matemáticas.
Y ahí está la respuesta a tu pregunta.
No, ni la naturaleza es en sí misma matemáticas, ni estamos en una simulación informática. Por mucho que se empeñen Bryan Green, Max Tegmark, y muchos otros gurús de la posverdad, en adoctrinarnos con sus ideas, nuestro universo, es real, no es una simulación, y tampoco está hecho de matemáticas. Si el universo fuera matemáticas, entonces sí habrían muchas probabilidades de que todo fuera una simulación informática. La prueba de que nuestro universo no es matemáticas está en que hay cosas que las matemáticas no puede modelar. Por ejemplo, la emergencia de la consciencia humana, no puede ser simulada desde procesos y estructuras matemáticas.

La mente humana nunca podrá comprenderse totalmente a sí misma, siempre quedarán recintos psíquicos inaccesibles. Pero, no hace falta ejemplos tan rebuscados para darse cuenta que las matemáticas no pueden modelar perfectamente la naturaleza, y menos identificarse con ella. El ejemplo más simple que se me ocurre es la suma 1 + 1 = 2. En esa sencilla ecuación hay un ejemplo perfecto de pérdida de información. Si nos dan el resultado, 2, y nos piden que hallemos los números desde los que alguien realizó la suma, nunca podremos saber qué sumandos fueron utilizados. Esa información se pierde de forma irreversible cuando se realiza la suma. Luego, las matemáticas no tienen memoria. Si la naturaleza fuera sólo matemáticas, sería un ente sin memoria. Supongamos, ahora, que la naturaleza, el universo, fuera el continuo resultado de una simulación informática ejecutándose en una especie de super-ordenador. Lo más parecido a eso que podemos imaginar sería un fractal infinito, como el que realicé hace ya algunos años con el titulo de “fragmento de Arrenia II

Yo poseo todo el código fuente, y todas las ecuaciones matemáticas necesarias para generar esa clase de fractales infinitos. Navegar por un mundo infinito de esas características, un mundo sin bordes, es muy aburrido. Cualquier parte se parece a cualquier otra, nada es especialmente interesante, todo aparece básicamente inerte y estático. La tercera dimensión se confunde con la cuarta, es decir, con la escala. Los colores son falsos. En un fractal solo existe la información de qué puntos pertenecen al conjunto y cuales no. Un punto está dentro o fuera del conjunto que caracteriza al fractal si cumple una serie de propiedades al ser evaluado desde una ecuación matemática. El fractal infinito Arrenia II podría perfeccionarse, y conseguir que aparecieran estructuras dinámicas, transformándose, naciendo unas de otras, incluso se podría conseguir que el observador que lo navegue sienta las texturas, la dureza o blandura, de las superficies de ciertas estructuras, o si están más calientes o frías que su tacto. Incluso podríamos conseguir introducir leyes físicas como la de la gravedad. Pero, Arrenia II seguiría siendo un fractal, infinito, pero fractal. Eso sí, sería más interesante de navegar ahora que antes, porque podrían existir zonas sorprendentes dispuestas a ser descubiertas, muy distintas a las zonas más comunes. Incluso podrían existir zonas que quedarían inaccesibles, eterna o temporalmente, para cualquier navegante-observador. ¿Cual es el problema con Arrenia II y con todo fractal infinito que intente ser una simulación de la realidad?. El problema esencial es ontológico. ¿Qué ocurre si un navegante-observador de esa simulación se encuentra con otro navegador-observador?. ¿puede eso ocurrir?. Y en el caso de que si pudiera ocurrir, ¿podrían interactuar?.

La prueba de que nuestro universo no es una simulación informática, ni nada parecido, es que los navegantes-observadores pueden encontrarse realmente e interactuar. Seres con su propia conciencia, seres inteligentes que te observan, mientras tú les observas a ellos, que te saludan, que te hablan. En una simulación, sólo navega-observa el que está fuera de la simulación. nunca quien está dentro de ella. No se puede nadar y guardar la ropa al mismo tiempo.

Saludos

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Supercomputación tetrádica: primera aproximación hacia una Teoría de la Super-Relativididad

Posted by Albert Zotkin en abril 22, 2018

En este pequeño artículo voy a definir una nueva clase de derivada de una función, y como corolario veremos cómo surge también una nueva variedad de superintegral indefinida.

La forma estándar de definir la derivada de una función f, para un valor x, es la siguiente

\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}} (1)
De esta forma, la derivada es una especie de medida de la rapidez con la que cambia esa función f. Lo que hemos hecho es incrementar la variable independiente x con un número infinitesimal h. Incrementar aquí es sumar. Pero también podríamos haber incrementado la x con otras operaciones, no sólo con una suma. Por ejemplo, podemos incrementarla mediante la multiplicación por un número muy próximo a la unidad. Definamos la superderivada de la función f de x de la siguiente forma:

\displaystyle \text{SD}(f(x))=\lim _{h\to 0} { \sqrt[h]{ \frac{ f(x(1+h)) }{f(x)} }} (2)
Esta superderivada, al definirla de esta forma, también es una especie de medida de la rapidez con la que cambia esa función f. Se puede demostrar fácilmente que esta superderivada está relacionada con la derivada estándar de esta forma:

\displaystyle \text{SD}(f(x))= \exp\left({ x \frac{f'(x)}{f(x)}}\right) (3)

Por lo tanto es posible hallar la superintegral indefinida de una función f(x), si podemos resolver para y la ecuación diferencial siguiente:

\displaystyle x y' = y \log f(x) (4)
Es decir, tenemos la exponencial siguiente y resolvemos para y:
\displaystyle f(x) = \exp\left(\frac{x y'}{y} \right) (5)
Pongamos un pequeño y simple ejemplo: Sea la función:

\displaystyle f(x) = x^2
Hallemos su superderivada primera:
\displaystyle \text{SD}(f(x))= \exp\left(\frac{x y'}{y} \right) = \\ \\   =\exp\left(\frac{2x^2}{x^2} \right) =  e^2   (6)
y vemos que es la constante e elevada al cuadrado. Hallemos ahora la superintegral indefinida de esa constante e2 (se trata de hallar la función y desde la ecuación diferencial:
\displaystyle  e^2  = \exp\left(\frac{x y'}{y} \right)  \\ \\  y = x^2 \\ \\  y =\text{SI}(e^2)=x^2 (7)
Igualmente, la superintegral indefinida de x2 es:
\displaystyle \text{SI}(x^2)=e^{\frac{1}{4} \log \left(x^2\right)^2} (8)

Las representaciones gráficas de estas tres funciones son así:

Alguien siempre puede decir,”muy bien, todo eso es muy bonito, pero ¿qué aplicaciones nos propones para esa supuesta teoría de la super-relatividad de la que hablas?“.

La primera, y más intuitiva, de las aplicaciones de la supercomputacion, en el terreno del modelado de fenómenos físicos, es el cálculo del efecto Doppler, de la luz que observamos, emitida por un objeto que se mueve respecto a nosotros con una velocidad constante, v, y en un entorno inercial. Acostumbramos a pensar que esa velocidad v es simplemente la primera derivada del espacio respecto al tiempo, y para calcular cómo varía la frecuencia de la luz observada, que fue emitida por ese objeto, debemos aplicar una teoría. pero, ninguna teoría nos estaba diciendo hasta ahora que la frecuencia Doppler observada es simplemente directamente proporcional a la primera superderivada del espacio respecto al tiempo. Es decir:

\displaystyle f= f_0 \;SD(r(x))= f_0 \; e^{\frac{x r'(x)}{r(x)}}
donde f0 es la frecuencia de la luz en el marco de referencia de la fuente y r(x) es la función desplazamiento, es decir, un vector que nos indica la posición de la fuente en nuestro marco de referencia. Veamos más específicamente cómo es este cálculo en un entorno inercial. En tal entorno inercial, la función desplazamiento r(x) es simplemente la función identidad. Es decir, r(x) = x. Por lo tanto la frecuencia Doppler, f, observada es directamente proporcional a la superderivada:

\displaystyle f=  f_0 \; e^{r'(x)} \\ \\  \text{\small donde obviamente } \\ \\  r'(x)= \frac{v}{c}=\beta, \; \text{\small es la beta de la velocidad inercial del objeto}
y c es la velocidad de la luz en el vacío. Más exactamente, se puede afirmar que, en un entorno inercial, se cumple la identidad diferencial:

\displaystyle \frac{x r'(x)}{r(x)} = \frac{v}{c} (9)
Es evidente, que todo esto tiene que ver con las hiperoperaciones y la función de Ackermann. Pero, sigamos con nuestras aplicaciones en el modelado de los fenómenos físicos. ¿Cuál sería nuestra ecuación diferencial equivalente a la (9) de movimiento en un entorno no-inercial?. Un entorno no-inercial, quiere decir, una región espacio-temporal donde la influencia de la gravedad es significativa respecto al movimiento de los objetos. Por ejemplo, en un entorno donde existe un campo gravitatorio significativamente grande, entre objeto que emite la luz y el observador pueden existir una diferencia significativa de potencial gravitatorio. En tal caso la ecuación diferencial de nuestra superderivada se hace “cuadrática”, es decir:

\displaystyle \frac{x r'(x)}{r(x)} = \frac{v^2}{c^2}= \frac{\phi}{c^2} (10)
donde es más que obvio que v2 se identifica con la diferencia de potencial gravitatorio, φ, entre objeto y observador.

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Hola, os presento a Tahawus: una extensión de la función W de Lambert

Posted by Albert Zotkin en abril 3, 2018

Hola, amigo incondicional de tardígrados. En mi artículo anterior, hablé entre otras cosas de una constante matemática, a la cuál tuve el atrevimiento de bautizar con el nombre de Tahawus. Se me ocurrió ese nombre por que fue el matemático Richard P. Stanley el primero que demostró hace poco que esa constante es un número transcendente. Le puse Tahawus porque Stanley nació y se crió en un pequeño pueblo minero, del estado de Nueva york, que ya no existe, llamado Tahawus. Ahora es más un pueblo fantasma que otra cosa, ya que sus pocos habitantes se trasladaron a Newcomb. Pero, aquí lo que nos interesa es hablar de ese número y de sus propiedades. La constante que llamé Tahawus, es en realidad una de las raíces reales de la ecuación:

\displaystyle x^x - x-1 = 0 (1)
y su valor es en sus primeros digitos decimales este:

\displaystyle \text{\small Tahawus}= 1.7767750400970546974797307440387567486374110343292961390843740\ldots (2)
La ecuación (1) no puede ser resuelta fácilmente en forma cerrada, ni siquiera usando la conocida función W de Lambert. Sólo puede ser resuelta de forma cerrada mediante una nueva función, que, como no podía ser de otra forma, llamaré Tahawus (x), y la designaré con la letra griega Τ. Por lo tanto, lo que antes llamaba la constante Tahawus, ahora pasará a ser el valor que toma esa función para x = 1. Es decir, tendremos:

\displaystyle \mathcal{T} (1) = 1.7767750400970546974797307440387567486374110343292961390843740\ldots (3)
No sin mucho esfuerzo, descubrí que esta función Tahawus, Τ, es simplemente la función inversa de

\displaystyle y = \frac{x^{x}-1}{x} \\ \\ (4)
Es decir, sólo podemos despejar la x de esa ecuación mediante la función inversa Tahawus,

\displaystyle x=\mathcal{T}(y) (5)
Las representaciones gráficas de estas dos funciones, (4) y (5) son así:

Vemos que cada una es la imagen especular (reflejada) de la otra, respecto de la recta identidad y = x, porque esa es la característica principal de todas las funciones con sus inversas. Si intentamos hallar una forma cerrada de la función Tahawus, comprobaremos nuestra frustración pronto, por que es muy difícil. Aún, no se ha descubierto una forma cerrada para esa función. Por ejemplo, sabemos hallar una forma cerrada para la función inversa de y = xx, utilizando la función W de Lambert, y es esta:

\displaystyle x = e^{W(\log (y))} (6)
Esta función inversa de y, se llama super raíz cuadrada, ya que la función y = xx, es una tetración cuadrática, es decir la variable x exponenciada así misma una vez. Esta tetración la podemos escribir también mediante super índices que preceden a la variable. Por ejemplo:

\displaystyle y = {^{2}x}=x^x  (7)
Super raíz cuadrada

Podríamos pensar que la función (4) inicial, la que tiene como inversa a la función Tahawus, como tiene incluida una tretación cuadrática, la (7), podríamos conseguir explicitar su inversa mediante esas super raíces cuadradas. Es decir, sería algo así como resolver una ecuación cuadrática estándar, pero con super raíces cuadradas em lugar de las raíces cuadradas. No parece fácil la tarea. Lo primero que intentamos es usar la W de Lambert en una posible resolución explicita de Tahawus . Se trata de intentar despejar la x (ponerla em función de la y). Veamos cómo:

\displaystyle y =\frac{x^x -1}{x}\\ \\ y x =x^x -1 \\ \\ y x + 1 =x^x \\ \\ (8)
Y ahora aplicamos la super raíz cuadrada, para obtener:

\displaystyle x = e^{W(\log (y x +1))} (9)
¿Cuál es el problema?. El problema es que se nos ha quedado una x multiplicando a y en el otro lado, con lo cual hemos “fracasado“. Lo que hemos obtenido es que aparecen infinitas copias de la función dentro de sí misma, a modo de recursión. De hecho la función Tahawus resulta ser una iteración infinita mediante esa super raíz cuadrada:

\displaystyle  x = \mathcal{T}(y)= e^{W(\log (y e^{W(\log (y(\ldots) +1))} +1))} (10)
Por lo tanto nuestro problema de tratar de explicitar una forma cerrada para Tahawus, aún permanece. Pero, ¿en qué consiste exactamente?: Se trata de hallar una de las raíces de esta función super-cuadrática:

\displaystyle {^{2}x} - b x - 1 = 0 (11)
Si su exponente de tetración 2 fuera en realidad un exponente 2 normal, como el de las ecuaciones cuadráticas normales, la solución sería sencilla. A alguien se podría ocurrir una solución estrambótica. Resolver esa ecuación como si fuera una ecuación cuadrática normal, y allí donde aparezca una raíz cuadrada en la solución sustituirla por una super raíz cuadrada. Esa es la típica solución del sueño del sophomore o sueño del pipiolo. La cual, a veces, sorprendentemente funciona, pero por regla general es muy poco probable que tenga éxito esa metodología.

Desde la función Tahawus podemos acceder a infinidad de constantes transcendentes. Estas son algunas que ya están catalogadas en EOIS:

A124930 \displaystyle \mathcal{T}(1) = 1.7767750400970546974797307 \ldots
A226568 \displaystyle   \mathcal{T}(-1) =0.3036591270299660512450180 \ldots
A085846 \displaystyle \frac{1}{\mathcal{T}(-1)}-1= 2.293166287411861031508028291 \ldots
A169862 \displaystyle \frac{1}{\mathcal{T}(-1)}= 3.293166287411861031508028291 \ldots
La propiedad mas impresionante de la constante Tahawus 1, T(1), es que es el único número real que al elevarlo a sí mismo y restarle 1 da el mismo número:

\displaystyle \mathcal{T}(1)^{\mathcal{T}(1)} -1 = \mathcal{T}(1)  (12)
y por esa razón también puede con la torre infinita:

\displaystyle \mathcal{T}(1)^{\mathcal{T}(1)^{\mathcal{T}(1)^{.\cdot{}^{\cdot}} -1} -1} -1 = \mathcal{T}(1)  (13)

Saludos

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Matemáticas alienígenas: números primos marcianos

Posted by Albert Zotkin en marzo 28, 2018

Hoy hablaré de los número primos marcianos Fobos y Deimos, que como sabrás, sus nombres son como los dos satélites naturales de Marte. Primero hablaré del número Deimos:

\displaystyle \text{\small Deimos}=2^{127} - 1 =170141183460469231731687303715884105727 (1)
Este número es primo, y además de ser de la clase Mersenne, es de la clase Catalan-Mersenne. El número marciano Deimos hizo un pequeño cameo en la serie de dibujos animados Futurama. Más concretamente, salió en el episodio Futurama: La bestia con un millón de espaldas, película de 2008. Exactamente, la secuencia se puede encontrar en el punto de metraje 01:16:59.178:

en la que el profesor Farnsworth le dice a su rival, el profesor Wernstrom, que ha conseguido una prueba elemental de la Conjetura de Goldbach.

Pero hablemos un poco ahora sobre la sucesión de números llamados de Catalan-Mersenne. Esta sucesión puede ser definida de la forma recursiva siguiente:

\displaystyle a_n= 2^{a_{n-1}}-1 \\ \\ \text{\small donde} \ \; a_0 = 2 \ \;\text{\small tenemos \'orbitas de 2 \textit{ad infinitum}} \\ \\ \text{\small y sus cinco primeros n\'umeros son:}\\ \\ C_n=\{2, 3, 7, 127, 170141183460469231731687303715884105727,\ldots\} (2)
como muy bien los tienen catalogados en la referencia A007013. Por lo tanto, en este catálogo de OEIS, nuestro número Deimos es el C5.

¿Son todos los números de esa sucesión de Catalan-Mersenne primos?. Los cinco primeros que he escrito en (2) son primos, sí. Pero, ¿y el sexto y los siguientes?. El sexto Catala-Mersenme es precisamente, C6, Fobos, nuestro siguiente número marciano:

\displaystyle \text{\small Fobos}=2^{170141183460469231731687303715884105727} - 1 = 111 \ldots 111_2  (3)
La expansión decimal del número Fobos es demasiado larga para ser escrita explicitamente. Pero escrita en base 2 tiene exactamente Deimos 1’s, porque es un número repunit en base 2. Ningún terrícola sabe decir si Fobos es un número primo. Pero, ya te voy a decir yo que Fobos es un número primo. Joerg Arndt sabe muy bien que Fobos, C6, es un número primo. Joerg Arndt afirmaba hace algún tiempo que Fobos sólo podía ser primo, o pseudoprimo de Fermat con factores no menores a 10 elevado a 51. Pero, ahora sabe ya que Fobos es un número primo. De hecho, todos los números de la sucesión Catalan-Mersenne son primos, los infinitos, y eso demuestra que hay infinitos números primos Mersenne. Si Fobos no fuera primo, sería, como he dicho antes, un pseudoprimo de Fermat en base 2, y todos los infinitos siguientes números marcianos (o Catalan-Mersenne, como prefieras) serían también pseudoprimos de Fermat. Pero, alguien en su sano juicio puede creer que un número como C7 (El hijo de Fobos), o superior, no es un número primo?. ¿En qué cabeza cabe?. Por supuesto que el número marciano:

\displaystyle C_7=2^{2^{2^{127} - 1} - 1} - 1 = \\ \\ = 2^{2^{170141183460469231731687303715884105727} - 1} - 1 (4)
es un número primo. Los infinitos Catalan-Mersenne lo son, ¡terrícola de poca fe!. Pero antes de ir a las demostraciones matemáticas, necesitamos unas pocas definiciones y alguna que otra curiosidad sobre esa clase de números. Para ello, amigo terrícola, permíteme que defina primero la Ciclotomia Transcendente de los números Catalan-Mersenne. Al igual que existen los polinomios ciclotómicos, podemos definir algo parecido, pero en el terreno de los números marcianos (Catalan-Mersenne). Para ello, en lugar de un polinomio estándar, nos fijaremos en la sucesión de funciones exponenciales de la siguiente clase:

\displaystyle F(x)_n=\{x,\ x^x-1,\ x^{x^x-1}-1,\ x^{x^{x^x-1}-1}-1,\ {x^{x^{x^{x^x-1}-1}-1}-1},\ldots \} (5)
Esta sucesión es monótona decreciente para ciertos valores reales de x, y monótona creciente para otros. En general, es fácil ver que para valores reales, 0 < x < 1, se obtienen sucesiones que decrecen y convergen hacia ciertos valores, según los casos. En cambio, para números reales x > 2, se obtienen sucesiones que crecen y convergen hacia ciertos valores. Pero, sólo existe un único número real capaz de estabilizar esa sucesión de funciones de modo que se mantiene igual a una constante, o punto fijo. Ese número real lo llamaré Tahawus, y es este:

\displaystyle \text{\small Tahawus}= 1.7767750400970546974797307440387567486374110343292961390843740\ldots (6)
Lo llamo número de Tahawus, por que fue el profesor Richard P. Stanley, otro “alienígena” (aunque de Tahawus), uno de los primeros en demostrar que ese número es transcendente y por lo tanto irracional. ¿Cómo se puede hallar ese número?. Hay muchas formas, pero siempre resulta ser la raíz real positiva de la ecuación:

\displaystyle x^x-1=x (7)
como así nos lo propuso Rick L. Shepherd. pero también es la única raíz real positiva de la función diferencia entre dos funciones consecutivas de F(x)n:

\displaystyle x= x^x-1, \\ \\ x^x-1=x^{x^x-1}-1, \\ \\ x^{x^x-1}-1=x^{x^{x^x-1}-1}-1, \\ \\ x^{x^{x^x-1}-1}-1=x^{x^{x^{x^x-1}-1}-1}-1 \\ \\ \ldots (8)
Estas funciones ciclotómicas transcendentes son extremadamente interesantes. Aquí os presento las representaciones gráficas de sus diferencias, (8), y en las que podemos observar cómo todas intersectan al eje de abscisas en los puntos (0, 0), (1, 0) y (Tahawus, 0):

Observemos ahora las gráficas de los logaritmos de algunas de las funciones F(x)n, en concreto, las de estas:

\displaystyle \log F(x)_4= \log \left(x^{x^{x^{x^x-1}-1}-1}-1 \right), \\ \\ \log F(x)_3= \log \left(x^{x^{x^x-1}-1}-1 \right), \\ \\ \log F(x)_2= \log \left(x^{x^x-1}-1 \right), (9)
vemos que todas tienen un polo en (1,0), y que F(x)3 ni siquiera está definida en el intervalo real [0,1], pues para valores de x, que se aproximan a 1 desde la derecha, la función de aproxima a – ∞, cae al pozo y ya no vuelve.

Amigo terrícola, te estarás preguntando. “Ok, todo muy bonito, pero ¿para qué sirve todo eso?”. Sólo son matemáticas. Además, ¿no te parece interesante que exista un número real, Tahawus, distinto a 0 y a 1, con la propiedad de hacer que cualquier función F(x)n, de esa clase, sea igual a Tahawus?

\displaystyle x=\text{\small Tahawus}= 1.776775040097054697\ldots, \\ \\ F(\text{\small Tahawus})_4=x^{x^{x^{x^x-1}-1}-1}-1=\text{\small Tahawus}, \\ \\ F(\text{\small Tahawus})_3= x^{x^{x^x-1}-1}-1= \text{\small Tahawus}, \\ \\ F(\text{\small Tahawus})_2=x^{x^x-1}-1=\text{\small Tahawus} \ldots (10)
Los números Mersenne poseen una peculiaridad, y es que para que un número Mersenne sea primo debe de serlo el exponente del 2 que lo crea. Pero, eso es sólo una condición necesaria, no suficiente. Esa misma condición es válida para los números Catalan-Mersenne, pero estos últimos tienen además otra peculiaridad añadida, y es que si un número Catalan-Mersenne no es primo, entonces todos los que van tras él (su hijo y demás descendientes) tampoco lo serán. Imagina la sucesión de números catalan-Mersenne como una linea recta horizontal de ladrillos, todos del mismo tamaño, pero los que representan a Catalan-Mersenne primos son de color verde y los que representan a los no primos son de color rojo. Pues bien, si empezamos nuestra obra de albañilería desde la izquierda, veremos que los primeros ladrillos son todos de color verde, es decir, primos. Y si eventualmente uno de los ladrillos no fuera primo entonces todos los infinitos siguientes deberian ser rojos también, como él. Todo eso nos lo contó hace años Leonard Eugene Dickson, cuando hizo referencia a una carta que respondió Catalan a Édouard Lucas, allá por 1876, en la que le decía lo rápido que crecían los números de esa sucesión, y cómo el número C6, Fobos, podía ser muy bien primo también, como su padre (C5 Deimos) y sus abuelos. Landon Curt Noll nos contó hace poco cómo había comprobado que Fobos no posee factores por debajo de 5×1051, y para ello hizo uso de su programa calc.

Intentemos ahora factorizar algunos números que merodean cerca de esos números marcianos.
EL profesor Robert Israel, de Princeton, nos ofreció hace poco una prueba de que si un numero marciano an (fijémonos en la sucesión (2) que escribí arriba, en el sexto párrafo de este artículo) era primo entonces ese an divide a an+1-1 para todo n. Por ejemplo, lo que nos dice R. Israel es que, siendo an = 127, entonces

\displaystyle a_5 = 2^{127}-1 =\text{\small Deimos},

con lo que a_5 -1 =\text{\small Deimos} - 1, debe ser divisible por 127. Y efectivamente lo es

\displaystyle \frac{a_5 - 1}{127} = \frac{2^{127}-2}{127} =1339694357956450643556592942644756738
Lo que no nos dice explícitamente R. Israel es que esos números, que son pares, no sólo son divisibles por el anterior de la sucesión, sino por todos y cada uno de los anteriores Empezaré por la secuencia principal, la de los números marcianos, y la llamaré a(n), y después obtendremos desde ella otras sucesiones cercanas, la b(n) y la d(n):

\displaystyle a_1=2,\\ a_2=2^2-1)=3,\\ a_3=2^{2^2-1}-1))=7,\\ a_4=2^{2^{2^2-1}-1}-1=127,\\ a_5=2^{2^{2^{2^2-1}-1}-1}-1)=170141183460469231731687303715884105727,\\ a_6=2^{2^{2^{2^{2^2-1}-1}-1}-1}-1)=\text{\small Fobos},\\ \ldots \\ \\ b_1=2-1=1,\\ b_2=2^2-2=2,\\ b_3=2^{2^2-1}-2=6,\\ b_4=2^{2^{2^2-1}-1}-2=126,\\ b_5=2^{2^{2^{2^2-1}-1}-1}-2=170141183460469231731687303715884105726,\\ b_6=2^{2^{2^{2^{2^2-1}-1}-1}-1}-2=\text{\small Fobos-1},\\ \ldots \\ \\
Y ahora los dividimos por 2, porque, no sé si lo habrás notado, pero, todos los números exomarcianos bn son pares, y así obtenemos los exomarcianos dn:

\displaystyle  d_2=\frac{2^2-2}{2}=2-1=1,\\ \\ d_3=\frac{2^{2^2-1}-2}{2}=2^{2^2-2}-1= 3,\\ \\ d_4=\frac{2^{2^{2^2-1}-1}-2}{2}=2^{2^{2^2-1}-2}-1=63,\\ \\ d_5=\frac{2^{2^{2^{2^2-1}-1}-1}-2}{2}=2^{2^{2^{2^2-1}-1}-2}-1=\frac{\text{\small Deimos-1}}{2},\\\\ d_6=\frac{2^{2^{2^{2^{2^2-1}-1}-1}-1}-2}{2}=2^{2^{2^{2^{2^2-1}-1}-1}-2}-1=\frac{\text{\small Fobos-1}}{2},\\ \\ \ldots \\ \\
En general tenemos que:

\displaystyle d_n=2^{a_n-1} -1
es divisible por an, si ese exponente pertenece a la sucesión Catalan-Mersenne (número marciano), y además, también será divisible por todos los números que le anteceden, es decir por a1, a2, …, an-1. Eso es así por el pequeño teorema de Fermat. Y si recordamos, a vuelapluma este teorema, que dice:

\displaystyle a^{p-1} \equiv 1 \pmod p.

siempre es cierto, si el entero a no es divisible por el número primo p. O expresado de otra forma:

\displaystyle \frac{d_p}{p}=\frac{a^{p-1} - 1}{p}, \ \; \text{\small es un n\'umero entero distinto de 0.}
En nuestro caso, el de los número Catalan-Mersenne, vemos que es estrictamente cierto, incluso para p = a1 = 2, ya que también es a = 2, y por lo tanto, al ser el mismo número, el pequeño teorema de Fermat nos dice que no dará una división entera. Efectivamente, para ese caso, de p = 2, esa división es d2/p = 1/2.

Ahora vamos a demostrar que todos los números marcianos (Catalan-Mersenne) son números primos. Para ellos debemos fijarnos es la extensión del pequeño teorema de fermat que dice:

\displaystyle A = a^{p^n-1}-1 \equiv  0 \pmod p
Lo cual quiere decir que si el número a no es divisible por el número primo p, el cual aparece elevado a cierto número natural n, entonces en número A es divisible por el número primo p. Dicho de otra forma:

\displaystyle A = a^{n-1}-1 \equiv  0 \pmod p
es siempre divisible por p = cad(n) si ese p es primo, y sabiendo que cad(n) es el radical de n. El radical de un número primo es siempre el mismo número primo. El radical de un número primo elevado a cualquier número natural es también siempre el mismo número primo. El radical de un número cualquiera, sea primo o no, es siempre el producto de sus factores primos despojados de los exponentes mayores a la unidad, Por ejemplo rad(23 × 3 × 54 × 7) = 2 × 3 × 5 × 7 = 210.
Saludos alienígenas a todos

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El conjunto de los números fantásticamente completos y dónde encontrarlo

Posted by Albert Zotkin en marzo 7, 2018

Se me ha ocurrido una idea sencilla para estudiar los números primos desde perspectivas aún inexploradas. Vayamos al conjunto de los números complejos, y definamos el subconjunto de los números “fantástamente completos” así:

El número complejo z pertenecerá al conjunto de los números “fantástamente completos“, {Fc}, si su parte real es un número primo y su parte imaginaria es un número compuesto, o viceversa, y cumplen las siguientes propiedades:

1. Si la parte real de z es el número primo, p, entonces su parte imaginaria sólo podrá ser uno de estos números compuestos: (p+1) ó (p-1). Con lo cual tendremos cuatro valores diferentes:

\displaystyle   z=p +(p+1)i \\   z=p -(p+1)i \\  z=p -(p-1)i \\  z=p +(p-1)i  (1)
2. Si la parte real de z es el número compuesto que dista sólo una unidad de un número primo, entonces tendremos también cuatro posibles números pertenecientes al conjunto Fc:

\displaystyle   z=(p+1)+pi  \\  z=(p+1)-pi  \\  z=(p-1)-pi  \\  z=(p-1)+pi  (2)
3.El tercer caso es para los números complejos cuya parte real es un número compuesto, pero el menor primo mayor que él ya no dista una unidad, o el mayor primo menor que él tampoco. Por ejemplo para los complejo cuya parte real es 8, tendremos que el menor primo mayor que él es el 11, y el mayor primo menor que él es el 7: así tendremos los números:

\displaystyle   z=8+11i  \\  z=8-11i  \\  z=8+7i   \\  z=8-7i  (3)

O para el 15 de parte real tendríamos:

\displaystyle   z=15 + 17i  \\  z=15 - 17i  \\  z=15 + 13i  \\  z=15 - 13i  (4)
Usemos la función cuenta primos π(x). Un número entero positivo, m, es compuesto si π(m) – π(m-1) = 0, y también π(m+1) – π(m) = 0. Por el contrario, si m es primo, entonces π(m) – π(m-1) = 1, y π(m+1) – π(m) = 1. Pero, antes de intentar encontrar una forma cerrada para este último caso de números, debemos preguntarnos, que podríamos hacer con esta clase de números. Ya sabemos que dado un número primo p, podemos definir desde él, al menos, ocho complejos diferentes, los de (1) y (2). Y si tenemos de entrada un compuesto, podemos construir complejos además podrían ser del tercer caso.

Enpecemos a jugar un poco con estos números del conjunto de los “fantástamente completos“, {Fc}. Por ejemplo, seleccionemoss números de la forma m = p -(p-1)i, donde p es primo. Elevemos al cubo ese número m:

\displaystyle   m^3 = -3 p + 6 p^2 - 2 p^3 +  (-1 + 3 p - 2 p^3)i  (5)
Observamos claramente que su parte real sólo puede ser un número compuesto o el primo 2, pues es divisible por 2, y su parte imaginaria sí podría ser un número primo, según el valor de p. Además, vemos que sería esa parte imaginaria un número entero negativo. Busquemos que números primos p, producen un número primo en esa parte imaginaria de m. Por mucho que búsquemos, sólo encontraremos el siguiente número complejo:

\displaystyle   m^3 = 2 - 11 i  (6)
El cual, claramente, no pertenece al conjunto Fc. Pero, lo curioso de todo esto es siempre obtenemos el número p = 2. Cuando vamos elevando el número m a las sucesivas potencias, obtenemos los siguientes números cubos vuyas partes imaginarias son números primos:

\displaystyle   m = p - (p-1)\,i \\ \\  p=2,\,\, m = 2 - i \\   p=2,\,\, m^3 = 2 - 11\,i \\   p=2,\,\, m^5 =-38-41\,i\\   p=2,\,\, m^7 =-278-29\,i\\   p=2,\,\, m^{11} =2642-6469\,i\\   p=2,\,\, m^{13} =33802-8839\,i\\   p=2,\,\, m^{17} =-24478-873121\,i\\   p=2,\,\, m^{19} =-3565918-2521451\,i  (7)
Observamos que sólo las potencias impares dan esos números con parte imaginaria prima. Veamos ahora las potencias pares: Veremos que sólo para m al cubo se obtiene 153 números con sucesivos valores de p, desde el 2 hasta el 7867. Los siguientes dos números obtenidos corresponden a las potencias de 5 y de 9

\displaystyle   m = p - (p-1)\,i \\ \\  p=2,\,\, m = 2 - i \\   p=2,\,\, m^3 = 3-4\,i \\ \\   p=3,\,\, m = 3 - 2\,i \\   p=3,\,\, m^3 = 5-12\,i\\   \cdots \\   p=7687,\,\, m^{3} =15373-118164564\,i\\   p=7867,\,\, m^{3} =15733-123763644\,i\\ \\   p=2,\,\, m^{5} =-7-24\,i\\   p=3,\,\, m^{9} =-239+28560\,i  (8)
En resumen, que esta clase de números puede dar un juego bastante bueno, si se investiga un poco. Veamos ahora números de la forma m = p-1 –p i. Obtenemos los siguientes para potencias impares:

\displaystyle   m = p -1 - p\,i \\ \\  p=2,\,\, m = 1 - 2\,i \\   p=2,\,\, m^3 =  - 11+2\,i \\   p=2,\,\, m^5 =-41 -38\,i\\   p=2,\,\, m^7 =-29-278\,i\\   p=2,\,\, m^{11} =-6469+2642\,i\\   p=2,\,\, m^{13} =-8839+33802\,i\\   p=2,\,\, m^{17} =-873121-24478\,i\\   p=2,\,\, m^{19} =-2521451-3565918\,i  (9)
Vemos que el complejo p-1 –p i, como es el conjugado de p -(p-1)i, los números obtenidos de sus potencias, también son conjugados de (9).

Nos faltaba aún encontrar una forma cerrada para el tercer caso que expliqué arriba. Es decir, dado un número entero positivo cualquiera, n, ¿cómo construir desde él los númerod fantásticamente completod, m, con sud parted reales igual a n?. La respuesta no sea hace esperar. Primero hay que hallar las partes imaginarias de esos posibles números. Para ello definimos la siguiente función, que llamaremos PrimeComplexBlock, para la cual introducimos el dato inicial n, y nos devolverá el par de números buscado:

\displaystyle   \text{\textbf{PrimeComplexBlock}}(n)= \begin{cases}  \{n - 1,\, n + 1\}    & \small \text{si \textit{n} es primo} \\  \{p(\pi(n)),\, \text{\small{\textbf{NextPrime}}}(n)\} & \small \text{en caso contrario}  \end{cases}       (10)
Es decir, si n es compuesto entonces nos devuelve el par de números {p(π(n)), NextPrime(n)}. El primer número del par nos da el mayor número primo de todos los primos menores que n. Y el segundo número del par, es decir, NextPrime(n)}, como su propio nombre indica, nos da el menor primo de todos los que son mayores a n. Pongamos un ejemplo. Sea n = 10, entonces tenemos:

\displaystyle   p(\pi(10)) = 7,\,  \text{\small{\textbf{NextPrime}}}(10)=11
la funcion π(n), es la función cuenta primos, es decir, nos dice cuántos números primos hay menores o igual a n. Y la función p(n) nos da el n-ésimo número primo. Por lo tanto, ambas funciones combinadas, en p(π(n)) nos definen una función que nos da el mayor número primo de los menores a n. Así pues, para n = 10, tendremos todos estos números fantásticamente completos:

\displaystyle     10 - 7  i \\   10 + 7  i \\   10 - 11 i \\  10 + 11 i
Fijémonos ahora en los números fantásticaente completos de la forma m = p + (p+1)i, donde p son un número primo. Calculemos los cuadrados de esos números m. Sus cuadrados son también números complejos. Seleccionemos de los sucesivos cuadrados, aquellos cuya parte real es un número primo. La sucesión de esas partes reales primas es lo que se llama números primos seguros:

\displaystyle      \text{Re} ((p +(p+1)i)^2) =\\ \\  \{5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, 167, 179, 227, 263, 347, 359, 383, \\  467, 479, 503, 563, 587, 719, 839, 863, 887, 983, 1019, 1187, 1283, \\  1307, 1319, 1367, 1439, 1487, 1523, 1619, 1823, 1907, 2027, 2039, \\  2063, 2099, 2207, 2447, 2459, 2579, 2819, 2879, 2903, 2963, 2999, \\  3023, 3119, 3167, 3203, 3467, 3623, 3779, 3803, 3863, 3947, 4007, \\  4079, 4127, 4139, 4259, 4283, 4547, 4679, 4703, 4787, 4799, 4919, \\  5087, 5099, 5387, 5399, 5483, 5507, 5639, 5807, 5879, 5927, 5939, \\  6047, 6599, 6659, 6719, 6779, 6827, 6899, 6983, 7079, 7187, 7247, \\  7523, 7559, 7607, 7643, 7703, 7727, 7823, 8039, 8147, 8423, 8543, \\  8699, 8747, 8783, 8819, 8963, 9467, 9587, 9743, 9839, 9887, 10007, \\  10079, 10103, 10163, 10343, 10463, 10559, 10607, 10667, 10799, 10883, \\  11003, 11279, 11423, 11483, 11699, 11807, 12107, 12203, 12227, 12263, \\  12347, 12527, 12539, 12647, 12659, 12899, 12983, 13043, 13103, 13127, \\  13163, 13523, 13799, 13967, 14087, 14159, 14207, 14243, 14303, 14387, \\  14423, 14699, 14867, 15083, 15287, 15299, 15383, 15647, 15683, 15767, \\  15803,\ldots \}  (11)
sucesión A005385 en la biblioteca de secuencias OEIS. Como esas partes enteras son los llamados números seguros, resulta que estos números son a su vez números de la forma 2p + 1, donde p es otro primo, que es llamado número primo de Sophie Germain. Es decir, de la lista de arriba (11), restamos la unidad a cada uno de sus números y dividimos por 2, para obteber estos números primos de Sophie Germain:

\displaystyle      \frac{\text{Re} ((p +(p+1)i)^2) -1}{2} =\\ \\  \{2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, \\  239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, \\  683, 719, 743, 761, 809, 911, 953, 1013, 1019, 1031, 1049, 1103, \\  1223, 1229, 1289, 1409, 1439, 1451, 1481, 1499, 1511, 1559, 1583, \\  1601, 1733, 1811, 1889, 1901, 1931, 1973, 2003, 2039, 2063, 2069, \\  2129, 2141, 2273, 2339, 2351, 2393, 2399, 2459, 2543, 2549, 2693, \\  2699, 2741, 2753, 2819, 2903, 2939, 2963, 2969, 3023, 3299, 3329, \\  3359, 3389, 3413, 3449, 3491, 3539, 3593, 3623, 3761, 3779, 3803, \\  3821, 3851, 3863, 3911, 4019, 4073, 4211, 4271, 4349, 4373, 4391, \\  4409, 4481, 4733, 4793, 4871, 4919, 4943, 5003, 5039, 5051, 5081, \\  5171, 5231, 5279, 5303, 5333, 5399, 5441, 5501, 5639, 5711, 5741, \\  5849, 5903, 6053, 6101, 6113, 6131, 6173, 6263, 6269, 6323, 6329, \\  6449, 6491, 6521, 6551, 6563, 6581, 6761, 6899, 6983, 7043, 7079, \\  7103, 7121, 7151, 7193, 7211, 7349, 7433, 7541, 7643, 7649, 7691, \\  7823, 7841, 7883, 7901,\ldots \}  (12)
sucesión A005384 en la biblioteca de secuencias OEIS. Estos últimos números primos de la lista (12) se llaman primos Sophie Germain, porque fué la matemática francesa Marie-Sophie Germain la primera en demostrar que el Último teorema de Fermat era cierto para esta clase de números primos.

Un saludo fantásticamente completo 🙂

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Más allá del último Teorema de Fermat

Posted by Albert Zotkin en marzo 4, 2018

Hola amigo incondicional de Tardígrados. Anoche. como no podía conciliar el sueño, en lugar de contar ovejitas, me puse a calcular mentalmente ternas pitagóricas, y de ahí pasé a mayores evocando el último Teorema de Fermat. Afortunadamente me quedé dormido pronto, pero de todo eso surgieron algunas ideas extravagantes, que más se parecen a cabezonería que a otra cosa. Y me dije para mis adentros: “vale, vale, el último Teorema de Fermat es cierto, no es posible encontrar ternas de números enteros positivos (x, y, z) tal que se cumpla la relación:

\displaystyle     x^n + y^n = z^n  \,  (1)
para todo n > 2. Pero, ¿y si nos emperramos en que esa relación se pueda cumplir para ciertas ternas de enteros positivos?. Es decir, queremos que “el último Teorema de Fermat sea falso“, entre comillas, por supuesto. Queremos ir mas allá. Pensemos por un momento en algo parecido a lo que queremos conseguir. Ese algo puede ser, por ejemplo, la raíz cuadrada de un número real negativo. Por mucho que nos empeñemos, la raíz cuadra de un número real negativo no es un número real, ni negativo ni positivo. Pero alguien se emperró y dijo hacia sus adentros, ¿cómo que no voy a ser capaz de calcular esto?:

\displaystyle     x = \sqrt{-25}  (2)
Para poder resolver esa imposibilidad algebraica se inventaron los números complejos, y más concretamente el número imaginario i = (0, 1), del cual queremos que su cuadrado sea igual a -1. De esa forma tan artificial y forzada tendremos que, efectivamente:

\displaystyle     x = \sqrt{(-1)25 } =\sqrt{-1}\sqrt{25}= i\sqrt{25} \\ \\  i =\sqrt{-1}  (3)
¿Hemos resuelto el problema?. No, pero hemos sabido encapsular el objeto conflictivo, aislarlo de la solución. Los números complejos, visto de esta forma tan extravagante, son como hacer limpieza y meter toda la basura debajo de la alfombra. En realidad, no hemos resuelto el problema de la raíz cuadrada de un numero negativo, simplemente hemos escondido el problema debajo de la alfombra. Pero, al hacer eso, nos hemos visto forzados a definir una nueva clase de números, los números complejos, de la que los números reales es simplemente un subconjunto. Así, con la ecuación (1), que define el teorema de Fermat, pasa algo muy parecido. Supongamos que queremos que exista una solución de ternas enteras para

\displaystyle    x^3 + y^3 = z^3  \,  (4)
Sabemos que no será una solución real. Busquemos ternas de números que podrían servirnos. Y para ello nos basaremos en un método análogo al que utilizó Euclides para encontrar ternas Pitagóricas. Euclides encontró, para para cualquier par aleatorio de números enteros positivos, m y n, con m > n, que es posible definir una terna que cumpla el Teorema de Pitágoras, así;

\displaystyle   x=m^{2}-n^{2},\ \,y=2mn,\ \,z=m^{2}+n^{2}  (5)
y la relación del Teorema de Pitágoras se cumplirá siempre si las ternas están definidas de esa forma, para cualquiera que sean los números aleatorios m y n:

\displaystyle   z^2=x^2+y^2  (6)
Hagamos ahora algo parecido para nuestras ternas de Fermat en la relación cúbica. Es decir, desde dos números aleatorios m y n, definamos nuestras ternas así:

\displaystyle   x=m^3-n^3,\ \,y=\sqrt[3]{2n^9+ 6m^6 n^3},\ \,z=m^3+n^3  (7)
Evidentemente, como el último Teorema de Fermat es cierto, no esperamos que nuestras ternas, definidas de esa forma, cumplan la relación cúbica (4). Pero, las vamos a presentar para a ver qué ocurre:

\displaystyle   x^3+y^3= (m - n)^3+\left(\sqrt[3]{2n^3+ 6m^2 n}\right)^3 = \\ \\   =(m^3 - n^3)^3+ (2n^9+ 6m^6 n^3)^3 = m^9+3 m^6 n^3+3 m^3 n^6+n^9 = \\ \\    =(m^3+n^3)^3=z^3  (8)
Con lo cual hemos demostrado que el último Teorema de Fermat es ¡falso!. ¿Dónde está el error?. El error está en afirmar que, tal y como hemos definido y, desde los enteros positivos aleatorios m y n, debe ser obligatoriamente un entero positivo. De hecho para demostrar que el último Teorema de Fermat es cierto para el caso cúbico basta con demostrar que:

\displaystyle   y =\sqrt[3]{2n^9+ 6m^6 n^3}   (9)
no puede ser entero positivo si m y n lo son. Y eso se demuestra muy rápidamente:

\displaystyle   y^3 = 2n^9+ 6m^6 n^3  (10)
no puede ser un cubo porque el único sería:

\displaystyle   y^3 = n^9+ 6n^9  +  n^9 = 8 n^9 \\   y = 2n^3    (11)
que es una contradicción ya que originalmente m no puede ser igual a n. En general, para demostrar este teorema para todos los casos, basta con demostrar que el número y no puede ser entero si n y m son enteros. El caso general más simple sería:

\displaystyle   x= m-n ,\ \, z= m+n \\ \\   y = \sqrt[k]{(m+n)^k - (m-n)^k }  (12)
y como sabemos que las siguientes expansiones son ciertas:

\displaystyle     (m+n)^k = \sum_{j=0}^k {k \choose j} m^{k-j}n^j \\ \\ \\  (m-n)^k = \sum_{j=0}^k {k \choose -j} m^{k-j}n^j  (13)

tendremos que:

\displaystyle   (m+n)^k -(m-n)^k = \sum_{j=1}^{k-1} {k \choose j} m^{k-j}n^{j} -\sum_{j=1}^{k-1} {k \choose -j} m^{k-j}n^{j} \\ \\ \\  (14)
Es decir, el número y, expresado desde los aleatorios enteros positivos m y n, sería:

\displaystyle   y = \sqrt[k]{\sum_{j=1}^{k-1} {k \choose j} m^{k-j}n^j-\sum_{j=1}^{k-1} {k \choose -j} m^{k-v}n^j} \\ \\ \\  (15)
Con lo cual para demostrar que es cierto el último Teorema de Fermat, basta con demostrar que, en esta última ecuación (14), si m y n son enteros positivos, entonces y no lo es, y eso debe ser cierto para todo k entero positivo.

El caso general algo menos simple que el anterior sería:

\displaystyle   x= m^k-n^k ,\ \, z^k= m^k+n^k \\ \\   y = \sqrt[k]{(m^k+n^k)^k - (m^k-n^k)^k }  (16)
Pero, las expansiones son muy parecidas a las del caso anterior, sólo hay que elevar a k los dos factores que acompañan al binomial, porque es simplemente un vulgar cambo de variable:

\displaystyle     y = \sqrt[k]{\sum_{j=1}^{k-1} {k \choose j} m^{k^2-j k}n^{v k} -\sum_{j=1}^{k-1} {k \choose -v} m^{k^2-j k}n^{j k} }  (17)
Esa diferencia de sumatorios es fácil redcirla, ya que poseen sumandos iguales, pero en el segundo sumatorio hay alternancia de signos ±. Por lo tanto, los sumando en posiciones impares se suman duplicándose, y los de posiciones pares se restan, anulándose. Una forma elegante de expresar esa diferencia de sumatorios es esta:

\displaystyle     y = \sqrt[k]{\sum_{j=1}^{k-1} {k \choose j} (1+e^{i \pi j}) m^{k^2-j k}n^{j k} }  (18)
El último Teorema de Fermat viene a decirnos que el único caso para el que el número y resulta ser entero, siendo los aleatorios enteros m y n, es cuando k = 2. Los casos para k >2, dan todos un número y que no es entero, es decir, le sobra o le falta siempre cierta cantidad para completar un hipercubo.

\displaystyle          k=2,\,y= 2 \sqrt{m^2 n^2} \\    k=3,\,y= \left(6 m^6 n^3+2 n^9\right)^{1/3} \\    k=4,\,y= \left(8 m^{12} n^4+8 m^4 n^{12}\right)^{1/4} \\    k=5,\,y=  \left(10 m^{20} n^5+20 m^{10} n^{15}+2 n^{25}\right)^{1/5} \\   k=6,\,y= \left(12 m^{30} n^6+40 m^{18} n^{18}+12 m^6 n^{30}\right)^{1/6} \\    k=7,\,y= \left(14 m^{42} n^7+70 m^{28} n^{21}+42 m^{14} n^{35}+2 n^{49}\right)^{1/7} \\   k=8,\,y= \left(16 m^{56} n^8+112 m^{40} n^{24}+112 m^{24} n^{40}+16 m^8 n^{56}\right)^{1/8} \\   k=9,\,y=  \left(18 m^{72} n^9+168 m^{54} n^{27}+252 m^{36} n^{45}+72 m^{18} n^{63}+2 n^{81}\right)^{1/9} \\   k=10,\,y=  \left(20 m^{90} n^{10}+240 m^{70} n^{30}+504 m^{50} n^{50}+240 m^{30} n^{70}+20 m^{10} n^{90}\right)^{1/10}

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El desierto 31 de los números primos

Posted by Albert Zotkin en febrero 17, 2018

Hola amigo incondicional de Tardígrados. Hoy vamos a visitar un desierto, descubierto por mí la semana pasada, y que nadie conocía: Lo he llamado Desierto 31. Este peculiar desierto, se trata de una sucesión de números primos de la forma:

\displaystyle  D_{31,n}=2^{p(n)} - 31 (1)
donde p(n) es el n-ésimo número primo.Obviamente, no todos los números primos generarán primos de esa forma. Pero, ¿Por qué digo que D31, n es un desierto?. Si buscamos números esa clase, los primeros que encontramos son estos:

\displaystyle  D_{31,n}= \{97, 2017, 8161, 131041, 524257, 137438953441, 2199023255521,\ldots\} (2)
La sucesión de números primos, exponentes del 2, que genera la sucesión de arriba, es

\displaystyle  p(n)=\{7,11,13,17,19,37,41,61,67,89,109,149,193,383,401,\ldots\} (3)
y a su vez, la sucesión de números naturales que genera la sucesión p(n) de arriba es

\displaystyle  a(n)=\{4, 5, 6, 7, 8, 12, 13, 18, 19, 24, 29, 35, 44, 76, 79,\ldots\} (4)

Aparentemente, D31, n es un desierto, porque aparecen de “golpe” los primeros números primos hasta el a15 = 79, pero más allá de n = 15 parece no haber ninguno más. La conclusión puede ser una de estas:

  • 1. D31, n es realmente un desierto, y sólo existiría el oasis de esos 15 números primos.
  • 2. O bien, he vuelto a ser victima de la Ley de los Números Pequeños (de Richard K. Guy), y en realidad existen muchos más números primos de esa clase, pero están más allá de la capacidad computacional de mis ordenadores.
Si sientes curiosidad y quieres comprobar por ti mismo que esa sucesión puede ser realmente un desierto con sólo 15 números primos, te presento las rutinas que usé en Mathematica para generar las listas:

A = List[]; Do[p = 2^ Prime[m] – 31; If[PrimeQ[p], AppendTo[A, m]], {m, 4, 100}]; A

Clear[A ]; A = List[]; Do[p = 2^ Prime[m] – 31; If[PrimeQ[p], AppendTo[A, Prime[m]]], {m, 4, 100}]; A

Clear[A ]; A = List[]; Do[p = 2^ Prime[m] – 31; If[PrimeQ[p], AppendTo[A, p]], {m, 4, 100}]; A

Puedes hacer que el índice m corra desde 1 hasta el número que tú quieras. Yo he puesto el límite superior de 100 porque ya sé que no he encontrado nada para números entre 100 y 1000.

Saludos

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