TARDÍGRADOS

Ciencia en español

Cómo romper los códigos criptográficos RSA: factorizacion de semiprimos y las raices rectangulares

Posted by Albert Zotkin en noviembre 18, 2016

riemann-estela
En la actualidad, usamos algunas de las propiedades de los números primos para codificar mensajes, de modo que ningún intruso pueda leer fácilmente nuestras comunicaciones. Para ello usamos la propiedad siguiente de los número semiprimos: Elegimos dos números primos suficientemente grandes, y obtenemos el semiprimo multiplicándolos. El número semiprimo será parte de la llave pública para nuestro método de encriptación, y con los dos números primos se construyen las llaves privadas. Dado un semiprimo suficientemente grande, es prácticamente imposible hallar en tiempo razonablemente corto, sus dos factores primos. Eso es incluso casi intratable usando supercomputadores. esta dificultad se llama Problema RSA.
Si estás interesado en desencriptar los códigos que protegen el acceso a tarjetas de crédito bancarias o a páginas web seguras, quizás estés interesado en participar en esta clase de Competición de factorización RSA. Veamos un semiprimo catalogado por la RSA y que tiene un premio de 100.000 dólares para quien halle sus dos factores primos. Este semiprimo es el RSA₁₀₂₄, es decir, posee 1024 cifras binarias (309 cifras decimales):

\displaystyle  \text{RSA}_{1024} = \\  13506641086599522334960321627880596993888147560566702752448514385152651060 \\  48595338339402871505719094417982072821644715513736804197039641917430464965 \\  89274256239341020864383202110372958725762358509643110564073501508187510676 \\  59462920556368552947521350085287941637732853390610975054433499981115005697 \\  7236890927563
Si queremos factorizar con éxito un número semiprimo de la RSA, lo primero que debemos hacer es estimar lo grande que serán sus dos factores primos. Así, para ese RSA₁₀₂₄, los dos factores primos estarán muy cerca relativamente de su raíz cuadrada, es decir, números primos cercanos a las 154 cifras decimales, o lo que es lo mismo, números primos de entre 100 y 200 cifras decimales. Por ejemplo, si uno de los primos resulta tener 120 cifras decimales, el otro estaría muy próximo a las 188. Pero, veamos, ¿cuántos números primos hay que tengan entre 100 y 200 cifras decimables?. Usemos la función contador de números primos, π(x), aproximémosla a x/log(x), porque según Gauss, esa es una buena aproximación para un x suficientemente grande. Así los números primos que tienen entre 100 y 200 cifras decimales son aproximadamente :

\displaystyle  2.17 \times 10^{197}
Supongamos que disponemos del superordenador más potente del mundo, el reciente Sunway TaihuLight, capaz de operar a máximo rendimiento, que es de 125.43 petaFLOPS. Conseguiría resolver el número RSA₁₀₂₄ 1 petaFlop es 1 opración de coma flotando por cada femtosegundo. 10¹⁵ femtosegundos son 1 segundo. En total tardaríamos un maximo de :

\displaystyle  2.17 \times 10^{197} \times 10^{-15} = 2.17 \times 10^{182} \; \text{segundos,}
un tiempo demasiado largo como para tener alguna esperanza de llegar en vida hasta el final del cálculo y verlo con nuestros propios ojos😛

Veamos ahora qué es una raíz rectangular. Cuando calculamos una raíz cuadrada en realidad estamos calculando dos números, pero como ambos son iguales, no nos damos cuenta que en realidad es un par de números. Por ejemplo, la raices cuadradas de 64 son el par (8, 8):

\displaystyle  \sqrt{64}=(8,8)
Podemos calcular para 64 su raices rectangulares, ya que si nos fijamos 64 puede escribirse como 2 elevado a diferentes exponentes, es decir:

\displaystyle  64 = 2^6 = 2^3 \times 2^3 =  2^2 \times 2^4 = 2^1 \times 2^5
Es decir, el número 64 posee 2 pares de raices rectangulares y 1 par de raices cuadradas:

\displaystyle  64 = (8,8) = (4,16) = (2,32)
Así, para entendernos, pondremos el par de exponentes de las raices rectangulares entre corchetes, de modo que siempre tendremos la equivalencia:

\displaystyle  1 = \left[\frac{3}{6}, \frac{3}{6}\right] = \left[\frac{2}{6}, \frac{4}{6}\right] = \left[\frac{1}{6}, \frac{5}{6}\right]
Con esto, lo único que estamos haciendo es dividir la unidad en dos partes, de modo que su suma sea esa misma unidad. ¿Por qué el número 64 posee esas raices rectangulare y no otras?. En realidad posee muchas más, pero las que he escrito arriba son las que dan raices enteras. Veamos estos casos:

\displaystyle  64 = 64^{\tfrac{1}{4}}\times 64^{\tfrac{3}{4}}= (2\sqrt{2}) (16\sqrt{2}) \\   64 = 64^{\tfrac{1}{5}}\times 64^{\tfrac{4}{5}}= (2\sqrt[5]{2}) (16\sqrt[5]{2}) \\
en general, para cualquier par de número enteros m y n, que sean coprimos,tendremos las raices rectangulares de un número N:

\displaystyle  N= N^{\tfrac{m}{n}}\times N^{1-\tfrac{m}{n}}
Veamos ahora cómo aplicamos esto a la factorizaación de números RSA: sean los números primos p = 486023 y q = 598727, por lo que su producto es N = 290995092721. Empezaremos nuestros cálculos con su raíz cuadrada:

\displaystyle  \sqrt{N}=539439.60989252541168458987732327730802813682656081\ldots
Igualmente sabemos que ha de ser:

\displaystyle  p= N^{\tfrac{m}{n}} \\   q= N^{1-\tfrac{m}{n}}

y puesto que sabemos los valores de p y q, es fácil resolver m y n:

\displaystyle  \frac{m}{n}=\frac{\log p}{\log(pq)} \\ \\ \\   1-\frac{m}{n}=1-\frac{\log p}{\log(pq)}=\frac{\log q}{\log(N)}
Por otro lado, si pensamos un poquito, nos daremos cuenta de que factorizar un número RSA no es muy difícil en principio, la dificultad reside en que los números primos, p y q, que forman el semiprimo N, sean muy grandes. Así, es incluso posible presentar una ecuación matemática con la que podemos resolver cualquier número RSA, y es esta:

\displaystyle  \mathrm{mcd} (N, \lfloor\sqrt{N}\rfloor !)=\min (p,q)  (1)
Aquí N es producto de los dos primos p y q, mcd es el máximo común divisor de dos números, \lfloor\ r\rfloor ! es el factorial de la parte entera del número real r. Podemos incluso optimizar un poco esa ecuación (1) si usamos el primorial en lugar del factorial,

\displaystyle  \mathrm{mcd} (N, \lfloor\sqrt{N}\rfloor \#)=\min (p,q)  (2)
Si N ya es en principio un número muy grande (más de 1024 digitos binarios), el factorial (o el primorial) de la parte entera de su raíz cuadrada será incluso más grande aún, prácticamente intratable. De ahí que las fórmulas (1) y (2) aunque sean correctas, no son muy útiles para el cálculo. En realidad, para calcular un mcd de dos números primero hay que factorizar esos dos números. Es evidente que factorizar N es más fácil que factorizar el primorial de la parte entera de su raíz cuadrada.

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Negacionismo del Big Bang, ¿qué es el tiempo?, elongación espacio temporal o mengua matérica universal

Posted by Albert Zotkin en octubre 6, 2016

Dicen que nuestro universo se expande. Peor aún, dicen que se expande aceleradamente, y nos muestran las evidencias. A menudo, en física y otras disciplinas, no sólo científicas, las evidencias son sólo interpretaciones o medias verdades. ¿Hacia dónde se expande nuestro universo?. Como la respuesta a eso es simplemente “hacia ningún sitio”, y como pretenden mantener como cierta la afirmación de que el universo se expande aceleradamente, sólo les queda argumentar que lo que se expande realmente es el espacio-tiempo, por lo que la materia que se encuentra enclavada en él formando cúmulos está en proceso de recesión relativa. Por lo tanto, la elongación espacio-temporal parece ser un hecho irrefutable, pero no, no es irrefutable. Ese supuesto hecho se basa en el desplazamiento hacia el rojo de las rayas espectrales de la luz de galaxias y cúmulos de galaxias que nos está llegando. Ese desplazamiento al rojo se interpreta como si fuera un efecto Doppler, y por lo tanto, se interpreta que existe una velocidad de recesión de cada galaxia que es aproximada y directamente proporcional a la distancia. Pero a mi me surgen muchas dudas sobre todas esas afirmaciones. La primera es si es cierto que el espacio-tiempo se expande y de forma acelerada ¿por qué han de separarse unas de otras las partículas materiales?. O dicho de otra forma. ¿Dónde y qué clase de ancla tiene cada partícula material clavada en ese espacio-tiempo para que sea arrastrada con su expansión?. Alguien puede argumentar con el ejemplo de un gas dentro de un recipiente. Si el recipiente se expande el gas se expande con él, enfriándose y disminuyendo su presión. Pero yo puedo argumentar también que ese gas se expande acompañando al recipiente porque las partículas de ese gas impactan y rebotan continuamente en las paredes del recipiente. Las partículas del gas intercambian calor continuamente con las paredes del recipiente. Pero, ¿dónde están las paredes de nuestro universo?, o peor aún, ¿alguien ha visto alguna vez que las galaxias reboten contra unas supuestas paredes universales?. Nuestro universo no posee bordes materiales, fronteras, barreras sobre las que impactar, colisionar. Parece ser un universo infinito espacial y temporalmente, por lo tanto, cualquier supuesta expansión del espacio-tiempo no arrastraría materia, no puede haber anclaje de la materia en el espacio-tiempo. Cuando matemáticamente sumas a infinito cualquier número real, sigue dando infinito.

big-bang-camelo

Esta reflexión nos lleva inexorablemente a la pregunta: ¿qué es el tiempo?. El tiempo es simplemente el método que utiliza nuestro cerebro para ordenar nuestras experiencias en la memoria. El tiempo es la acción de un librero numerando las páginas del libro de nuestra vida. Objetivamente, el tiempo no existe. En la naturaleza sólo hay presente, y no hay ni futuro ni pasado. Por esa razón los viajes en el tiempo (como los de las pelis de ciencia-ficción) son realmente imposibles. No se puede viajar a un tiempo futuro por la sencilla razón de que no se puede viajar hacia algo que aún no existe. Igualmente, no se puede viajar a un tiempo pasado por la sencilla razón de que ese tiempo pasado no existe. Evidentemente si pudieras viajar a un tiempo pasado te encontrarías con una duplicación de materia, salida de la nada. Pero no hay atajos ni caminos por los que pueda transcurrir la materia hacia tiempos pasados o futuros. Cuando los físicos teóricos actuales entiendan mejor qué es el tiempo y por qué el tiempo no es sólo esa cosa que miden los relojes, estarán en mejores condiciones de elaborar teorías más certeras sobre la naturaleza. Otra característica que define al tiempo es su inexorabilidad: dime cualquier fecha en el pasado y siempre es imaginable saber que esa fecha ocurrió realmente. Dime cualquier fecha en el futuro y te puedo asegurar que esa fecha llegará. Es como el juego de escribir un número real, siempre podemos escribir otro número real mayor o menor que ese. O al escribir dos números reales, siempre podemos encontrar otro distinto entre ambos. Por lo tanto, el tiempo es cuantificable, y para ello usamos los relojes.

Respecto a la pregunta ¿qué es el espacio?, cabe responder de una forma muy análoga a como lo hemos hecho con el tiempo. Pero el espacio no se nos presenta como el tiempo. Nuestros cerebros no ven al espacio como algo que transcurre, sino literalmenete como un recipiente donde están las cosas que percibimos. El tiempo pasa (siempre hay tiempo pasando, nunca se acaba), el espacio permanece. Percibimos el tiempo como algo dinámico y al espacio como algo estático. Pero ambas cosas son productos imprescindibles para ordenar nuestra experiencia.

¿Por qué percibimos el espacio como poseyendo tres dimensiones?. Cuando algunos físicos teóricos nos hablan de otras dimensiones espaciales extra, además de las tres clásicas (ancho, alto y profundo), para esconder su falta de evidencia científica, nos cuentan que esas dimensiones están como enrolladas sobre sí mismas, plegadas microscópicamente y por eso no podemos verlas. Todos sabíamos desde el principio, porque lo aprendimos bien, que lo que caracteriza a un sistema espacial de referencia es la ortogonalidad de sus ejes. Si una dimensión está plegada, retorcida microscópicamente, creo yo que no es una buena opción para un sistema espacial de referencia, porque ese “enrollamiento” no es precisamente la mejor definición de ortogonalidad. Evidentemente, nuestro espacio puede ser descrito matemáticamente mediante muchos ejes (no sólo tres) que no sean ortogonales, pero todos pueden ser reducidos a tres ejes ortogonales desde los que nuestras ecuaciones se simplifican drásticamente para describir lo mismo con igual éxito. El espacio que percibimos posee infinitas direcciones desde las que nos puede llegar el peligro o la salvación. Son infinitas direcciones por las que podemos huir del peligro, o estar alerta, por las que nos puede llegar el depredador a cazarnos. Nuestras tres dimensiones espaciales tienen mucho más que ver con las características de nuestro cerebro (de nuestra mente), que de algo externo. Nuestros antecesores, simios arborícolas, vivían casi todo el día encaramados a sus ramas, y el alimento lo conseguían desplazándose de rama en rama, al mismo tiempo que miraban en todas direcciones para estar alerta de los acechadores. Nuestro sentido de la vista es capaz de percibir con tres colores básicos de los que se derivan todos los demás. Eso es así por evolución natural. Nuestros parientes ancestrales necesitaban distinguir qué fruta estaba madura por su color, qué alimento era aparentemente comestible por su color y cual no. Del mismo modo que nuestro cerebro y nuestros órganos sensoriales han evolucionado para percibir todos los colores de las cosas que pueden ser expresados mediante esos tres colores básicos, una evolución similar se ha producido para percibir lo que llamamos el espacio. Al igual que los tres colores básicos desde los que podemos percibir cualquier otro color, nuestro cerebro percibe el espacio desde tres direcciones básicas, y cualquier otra dirección puede ser expresada mediante ellas. Así pues, cuando nos preguntamos por qué tres dimensiones espaciales, hay que preguntarse por qué tres colores básicos, y la respuesta es más de fisiología humana que de física universal.

El llamado espacio-tiempo, es pues un constructo, algo más teórico que real. Nuestro cerebro casa muy mal el espacio y el tiempo como un espacio de cuadro dimensiones. Nuestro cerebro no admite como muy natural que el tiempo sea un eje más como los otros tres ejes espaciales. Notamos muy bien qué es intuitivamente el tiempo, y por qué no puede ser una dimensión espacial más. La flecha del tiempo es algo muy subjetivo. El futuro es algo que aún no existe y por lo tanto no puede ser apuntado por ninguna fecha con certeza. El pasado es algo que ya no existe, y por lo tanto ninguna flecha pudo apuntar con certeza hacia nuestro presente.

Y por ultimo. ¿Qué hacemos con el Big Bang?. Puesto que toda la evidencia nos viene de supuestos desplazamientos al rojo de lineas espectrales, y que los santones del paradigma cosmológico actual se han encargado de darnos de comer ese fenómeno como si fuera un efecto Doppler cosmológico, lo que tenemos es un universo en creciente estampida. Pero si pensamos un poquito vemos, que ese efecto Doppler, que también se da en las díferencias de potencial gravitatorio, es simplemente algo relativo, de perspectiva, de horizonte, más que ningún supuesto Big Bang. La distancia a escala cosmológica produce sencillamente una diferencia de potencial gravitatorio, pero esa diferencia de potencial no significa ninguna expansión ni ningún alejamiento de las galaxias. Toda la materia permanecería esencialmente estática en nuestro universo, y lo único que cabría explicar es ¿por qué la distancia cosmológica produce diferencias relativas de potencial gravitatorio?. Cuando dibujamos la gráfica de un potencial gravitatorio producido por una masa puntal, lo solemos hacer como una curva en forma de campana invertida cuyos bordes se aproximan infinitamente hacia un eje horizontal, el cual marca un potencial nulo (potencial cero). Es decir, ese potencial es una curva gaussiana invertida, que posee valores negativos, y que se hacen menos negativos a medida que se aproximan al eje horizontal de potencial cero. Pero a escala cosmológica, esa linea de potencial cero podría ser más un arco de circunferencia que una recta real, por lo que además de las diferencias locales de potencial debido a la presencia cercana de materia, existirían diferencias relativas de potencial gravitatorio debido a la distancia.

Supongamos que un Radio de Hubble, es la mayor distancia cosmológica de la que nos puede llegar luz. Existe pues un horizonte cósmico, que podemos cuantificar de la siguiente forma: Supongamos que el potencial cosmológico es la superficie lisa de una esfera, y que los potenciales gravitatorios locales son pequeños montículos que destacan sobre esa superficie. Cuando nos situamos en un montículo se crea un horizonte desde el cual podemos percibir luz procedente de puntos de otros montículos. Si nos situamos en un punto de la superficie el radio de nuestro horizonte se reduce, y solo podremos ver luz procedente de montículos muy promimentes y cercanos. Pero, si nos situamos en una montaña de potencial local muy grande, nuestro horizonte para ver luz será muy grande. Esto resuelve la Paradoja de Olbers. En otras palabras, vemos el número de estrellas y galaxias que vemos por nuestra posición peculiar dentro de nuestra galaxia. Si estuvíéramos en una región remota, muy alejada de cúmulos grandes de materia, como son las galaxias, es decir, en una región muy cercana al potencial cero, veríamos muy pocas estrellas y galaxias en el cielo, menos de las que somos capaces de ver, porque nuestro horizonte observacional sería mas reducido.

Esto significaría que cuanto más cercanos estamos de una gran masa nuestro horizonte cósmico (observacional) será mas grande. Así, nuestra distancia al nuestro horizonte será:

\displaystyle  d={\sqrt {(R+h)^{2}-R^{2}}} \\ \\  s=R\arccos {R \over R+h} (1)
donde R el radio de Hubble, h nuestra altura local de potencial gravitatorio, s la distancia real al punto H, d la distancia tangencial que recorre la luz.

Figura 1

Figura 1

Esto significa que, según esta teoría del potencial cosmológico, que me estoy inventando, no sólo existe por la misma linea de vision el punto H del horizonte, sino otros más remotos, H1, H2, etc, si están situados sobre potenciales gravitatorios de cierta altura.

Luego en una esfera universal, sin defectos topológicos (como los campos gravitatorios locales), el potencial de deriva cósmica vendrá expresado por la ecuación:

\displaystyle  \phi (r) = c^2  \left (1-\sqrt {1- \frac{r^2}{R^2}}\right ) \\ \\   (2)

cuya gráfica es la siguiente:
hemi-circle

Obviamente, si r es muy pequeña respecto a R, ese potencial de deriva cósmica se reduce a cero. Y cuando r tiende a R, el potencial φ tiende a c². En un campo de potencial gravitatorio local, los valores son escalares negativos que crecen con la distancia hacia cero. Pero, en el campo de potencial de deriva cósmica los valores escalares son positivos y tienden con la distancia r hacia el cuadrado de la velocidad de la luz en el vacío.

Desde esa expresión explicita de potencial de deriva cósmica es fácil descubrir que el desplazamiento al rojo de las rayas espectrales de la luz de galaxias remotas es el siguiente:

\displaystyle  z=\frac{\Delta\lambda}{\lambda} = \exp\left( \frac{\phi (r)}{c^2}\right) -1 (3)
donde λ es la longitud de onda original (emitida), y Δλ es la diferencia entre la longitud de onda observada y la emitida. Y si queremos expresar la distancia r en función del desplazamiento al rojo z y del radio de Hubble, tendremos:

\displaystyle  z+1= \exp\left( 1-\sqrt {1- \frac{r^2}{R^2}}\right) \\ \\ \\  \ln (z+1)=  1-\sqrt {1- \frac{r^2}{R^2}} \\ \\ \\
\displaystyle  r = R\sqrt{2\ln (z+1)-\ln^2 (z+1) } (4)
Esto cambia drásticamente las distancias estándar calculadas hasta ahora para las galaxias y cúmulos remotos. Por ejemplo, se ha observado que los desplazamientos al rojo más grandes corresponden a unos extraños objetos remotos que se llaman cuásares. Estos extraños objetos nos ofrecen desplazamientos al rojo que van de z = 0.16 hasta z = 3.53. Lo cual, según mi hipótesis, implica distancias entre r = 0.524R y r = 0.875R.

Mi hipótesis tiene una serie de ventajas frente a las teorías del Modelo Cosmológico Estándar. En mi hipótesis:

  1. No existe recesión de galaxias y demás objetos remotos, sino que permanecen esencialmente en reposo. Ese desplazamiento al rojo se debe casi en su mayoría a la diferencia de potencial de la deriva cósmica. Después hay que sumar o restar otros efectos Doppler, debidos a potenciales gravitatorios locales, y/o a velocidades cinemáticas.
  2. La localización de la fuente emisora y la del observador en sus respectivos potenciales gravitatorios locales contribuyen al efecto de desplazamiento al rojo, ya que hay que calcular sobre la diferencia neta de potencial (sumando y/o restando potenciales locales y cinemáticos al potencial cosmológico).
  3. La Radiación de fondo de Microondas sería según mi hipótesis vulgares fontones emitidos mayoritariamente por átomos de hidrógeno procedentes de galaxias y cúmulos en el horizonte H, incluso más allá de él, en una franja cercana. Es decir de puntos H1, H2, etc, tal como los he dibujado en la figura 1.
  4. Los cuásares serían, ni más ni menos que galaxias y cúmulos con alta acumulación de materia y muy cercanos al horizonte cósmico H, pero dentro (no fuera) de la esfera de Hubble.
Por lo tanto, según mi hipótesis cosmológica, nuestro universo observable sería tan sólo un hemisferio de la gran esfera cósmica, esfera universal (no confundir con la esfera de Hubble), que tendría cuatro dimensiones espaciales. El otro hemisferio quedaría inaccesible, en su mayor parte, a nuestra observación de ondas electromagnéticas. Esa cuarta dimensión espacial es sobre la que se curva la linea de potencial cero. Es decir, nuestro universo (el observable y el no observable) sería simplemente la superficie de una hiperesfera de cuatro dimensiones espaciales.

figura 2 (Esfera universal)

Figura 2 (Esfera universal)

Si queremos traducir los potenciales a velocidades de recesión o viceversa debemos establecer la siguiente equivalencia, la cual es posible porque se usan coordenadas cosmológicas:

\displaystyle   \exp\left( \frac{v}{c}\right) =z+1= \exp\left( 1-\sqrt {1- \frac{r^2}{R^2}}\right) \\ \\ \\   \frac{v}{c}=\ln (z+1)=  1-\sqrt {1- \frac{r^2}{R^2}} \\ \\ \\
\displaystyle   v =c \ln (z+1) =  c \left(1-\sqrt {1- \frac{r^2}{R^2}}\right) \\ \\ \\ (5)
Por ejemplo. Se observó que la galaxia 8C1435+635 posee un corrrimento al rojo de z = 4.25, que es el más grande que se ha conseguido ver hasta ahora. Así desde el Modelo Estándar, ese desplazamiento correspondería a una velocidad de recesión de v = 0.93c. Pero, si usamos las coordenadas cosmológicas tenemos una velocidad de recesión de:

\displaystyle   v = c \ln (z+1) = = c \ln (5.25) = 1.70475 c (6)
es decir, una velocidad superlumínica. Y en terminos de diferencia de potencial cosmológico tendriamos:

\displaystyle  \Delta\phi = c^2\ln(z+1) = 1.70475 c^2 (7)
Por lo que esta lejana galaxía estaría algo más allá de nuestro horizonte cósmico. Pero nuestros telescopios la pueden ver porque es una gran acumulación de materia, ya que su altura de potencial gravitatorio sobresaldría un poco por encima de nuestro horizonte cósmico. Toda galaxia o cúmulo más allá de nuestro horizonte que no posea suficiente altura de potencial para destacar, sino que estuviera a ras de él. solo puede ser vista como formando parte de la Radiacíón Cósmica de Fondo. Esto significa que cuando una fuente emisora de luz cercana al horizonte posee poca altura de potencial, no sólo su luz nos llegaría con desplazamiento al rojo, sino con poca intensidad (pocos fotones), y cuanto más grande sea su potencial gravitatorio local más intensa veremos su luz y bien diferenciada del ruido de fondo cósmico.

Saludos

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Expansiones naturales completas de los productos de Euler

Posted by Albert Zotkin en septiembre 11, 2016

Hola amigos de Tardígrados. Siguiendo esta secuencia matemática, hoy vamos a ver cómo expresar un Producto de Euler, de tal forma que el índice del producto corra no únicamente sobre todos los números primos, sino sobre los sucesivos números naturales.

El primer caso que vamos a ver es el Producto de Euler asociado a función Zeta de Riemann. Este producto es:

\displaystyle  \prod _{p}(1-p^{-s})^{-1}=\prod _{p}{\Big (}\sum _{n=0}^{\infty }p^{-ns}{\Big )}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\zeta (s)  (1)
donde el índice del producto corre sobre los sucesivos números primos. Ahora, aprovechando la función característica de los números primos que os presenté en el artículo anterior, vamos a ver cómo es posible hacer que el índice de ese producto infinito (porque sabemos que hay infinitos números primos) corra ahora sobre los sucesivos números naturales. Y la respuesta es simplemente esta:

\displaystyle  \prod_{p}(1-p^{-s})^{-1}=\prod_{n=1}^{\infty}(1-\chi _{{{\mathbb  {P}}}}(n)n^{-s})^{-1}=\zeta (s)  (2)
donde obviamente χP es la función característica de los números primos. Una forma inédita de expresar la función zeta de Riemann, parece, y descubierta por mi😛.Vemos también, que puesto que sabemos usar la función característica de los números compuestos (los números no primos), es posible definir una nueva función zeta relacionada con ellos, así:

\displaystyle  \zeta_{NP} (s)=\prod_{n=2}^{\infty}(1-\chi _{{{\mathbb  {NP}}}}(n)n^{-s})^{-1}  (3)
donde es más que obvio que la función caracteristica χNP es la de los números no primos. Y llegamos a la conclusión de que la función zeta de Riemann y esta ζNP están relacionadas por medio de algún tipo propiedad de complementariedad, que todavía no vislumbro. Esta peculiar función zeta χNP posee un polo en n = 1, por eso el índice del producto empieza a correr desde n = 2. Y lo primero que advertimos en la evaluación de dicha función es el notable y absolutamente increible resultado siguiente:

\displaystyle  \zeta_{NP} (2)= \frac{2}{\zeta(2)}= \frac{12}{\pi^2}  (4)

Saludos

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Conexión entre la Conjetura de Kepler y los números primos através de la Constante tridimensional de Hermite

Posted by Albert Zotkin en septiembre 10, 2016

Hola amigos de Tardígrados. Hoy os voy a presentar un espectacular hallazgo matemático hecho por mí hoy mismo. Os lo presento sin dilación ya mismo:

\displaystyle \sum_{i=1}^\infty \cfrac{(-1)^{\pi(i)-\pi(i-1)}}{i^2}= \frac{\pi}{3\sqrt{2}} (1)
donde π(x) es la función contador de números primos, no confundir con el número irracional trascendente π, el cual aparece en el lado derecho de la fórmula. Es decir, esa función contador nos dice cuántos número primos hay desde 0 hasta el número real x. La identidad que he hallado es simplemente la Constante de Hermite en tres dimensiones, o al menos se le aproxima mucho, pues esa fórmula la he comprobado hasta el término i = 1000000. Parece converger rápidamente hacia ese limite.

Respecto a la función contador de números primos expresada como diferencia:

\displaystyle \chi _{{{\mathbb  {P}}}}(n)=\pi(n)-\pi(n-1)

nos define exactamente una función característica χP(n) de números primos, es decir, una función tal que si n es primo entonces esa función es χP(n) = 1, y en caso contrario es χP(n) = 0.
En cuanto al número

\displaystyle  \frac{\pi}{3\sqrt{2}} = 0.740480489693061041169313495\dots

que es la llamada Constante de Hermite en tres dimensiones, es simplemente, la máxima densidad que se puede alcanzar empaquetando esferas tridimensionales, tal como se explica en la Conjetura de Kepler.

De igual forma que hemos definido una función característica de los número primos, también podemos definir una para los números no primos, es decir, para los números compuestos, así:

\displaystyle \chi _{{{\mathbb  {NP}}}}(n)=1-\pi(n)-\pi(n-1)

La función caracteristica χP(n) define una sucesión de ceros y unos, por lo que podemos considerar que representa a un número real expresado en sistema de numeración de base 2. Si la coma de ese número decimal la ponemos entre el primer digito a la izquierda y el siguiente tendremos en dicha base 2 el número:

\displaystyle \rho' =0.011010100010100010100010000\ldots _{2}

el cual, en base 10, se expresaría así:

\displaystyle \rho' =0.414682509851111660248109622\ldots

A este número real, el cual es fácil demostrar que es un número irracional, se le llama Constante Prima, y puede ser definida asi:

\displaystyle \rho' =\sum _{{p}}{\frac  {1}{2^{p}}}=\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac  {\chi _{{{\mathbb  {P}}}}(n)}{2^{n}}}

Podemos hacer lo mismo con los números compuestos y obtener la constante de los números compuestos asi:

\displaystyle \rho =\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac  {\chi _{{{\mathbb  {NP}}}}(n)}{2^{n}}} =0.085317490148888339751890377845692291634\ldots

Es fácil ver que \rho +\rho'=1/2. Pero, toda esta presentación de estas dos funciones características complementarias viene porque, al igual que hice al principio presentando la identidad (1), ahora también puedo hacer lo mismo, pero con la función caracteristica de los no primos, y obtenemos:

\displaystyle \sum_{i=1}^\infty \cfrac{(-1)^{\chi _{{{\mathbb  {NP}}}}(i)}}{i^2}= \sum_{i=1}^\infty \cfrac{(-1)^{1-\pi(i)-\pi(i-1)}}{i^2}=-\frac{\pi}{3\sqrt{2}} (2)
Intentemos ahora simplificar un poco las identidades (1) y (2). Fijémonos que podemos expresar

\displaystyle (-1)^{\chi _{{{\mathbb  {P}}}}(i)}= 1- 2 \chi _{{{\mathbb  {P}}}}(i) (3)
por lo que (1) puede ser escrita así:

\displaystyle \sum_{i=1}^\infty \cfrac{(-1)^{\chi _{{{\mathbb  {P}}}}(i)}}{i^2}= \sum_{i=1}^\infty \cfrac{1- 2 \chi _{{{\mathbb  {P}}}}(i)}{i^2}=
\displaystyle =\sum_{i=1}^\infty \cfrac{1}{i^2}- 2 \sum_{i=1}^\infty \cfrac{\chi _{{{\mathbb  {P}}}}(i)}{i^2} \\ \\ \\  \sum_{i=1}^\infty \cfrac{1}{i^2} =\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6} \\ \\ \\  2 \sum_{i=1}^\infty \cfrac{\chi _{{{\mathbb  {P}}}}(i)}{i^2} = 2 \sum_{i=1}^\infty \cfrac{i\chi _{{{\mathbb  {P}}}}(i)}{i^3}=2 \sum_p \cfrac {p}{\pi(p)^3}
Por lo que, si la conjetura es cierta, tendremos que el siguiente sumatorio, que corre a lo largo de los infinitos números primos, está bastante relacionado con el número π:

\displaystyle \sum_p \cfrac {p}{\pi(p)^3} = \frac{\pi ^2-\pi \sqrt{2}}{12} (4)
donde, obviamente, π(p) es la función contador del número primo p, es decir, el orden que ocupa ese número primo en la sucesión de números primos.

Desafortunadamente la conjetura es falsa, ya que como demuestro en esta pregunta en math.stackexchange,

\displaystyle \sum_{i=1}^\infty \cfrac{(-1)^{\chi _{{{\mathbb  {P}}}}(i)}}{i^2}= \sum_{i=1}^\infty \cfrac{1- 2 \chi _{{{\mathbb  {P}}}}(i)}{i^2} = \sum_{i=1}^\infty \cfrac{1}{i^2}- 2 \sum_{i=1}^\infty \cfrac{\chi _{{{\mathbb  {P}}}}(i)}{i^2} = \\ \\ =\zeta(2)-2 \sum_p \cfrac{1}{p^2} = \zeta(2)-2 P(2)= \\ \\ \\ = 0.7404392267660954394593\ldots
donde P(2) es la función zeta prima de 2. Porque,

\displaystyle \frac{\pi}{3\sqrt{2}}\neq \zeta(2)-2 P(2)

y efectivamente,

\displaystyle \frac{\pi ^2 -\pi \sqrt{2}}{12}<P(2)

Saludos

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Armun, el exoplaneta de las auroras gigantes

Posted by Albert Zotkin en agosto 26, 2016

El alienígena Philip K. Dick nos regaló hace 63 años su relato corto titulado “The Variable Man” (el hombre variable, la variable hombre, el hombre del pasado, la guerra con Centauro, o como quieras traducirlo en español).
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Según nos relató el alienígena Philip K. Dick, Terra está en guerra contra el imperio de Centauro, cuyo cuartel general está en el planeta Armun en Proxima Centauri, a tan sólo 4,2 años-luz del sistema Solar.

Hace tan sólo dos días, astrofísicos del Observatorio Europeo Austral (ESO), dirigidos por el genio español Guillem Anglada-Escudé, nos informaron del descubrimiento de Próxima B, el exoplaneta tipo Terra en zona habitable más cercano a nosotros. La zona habitable de Proxima centauri, está cerca de ella, porque es una estrella enana roja. Por esa razón, Armun (Próxima B) posee una órbita casi circular (<0.35 de excentricidad), con radio de unos 7,4 millones de kilómetros de su centro. Armun posee una masa de casi cuatro tercios la masa de la Tierra, y podría ser un planeta rocoso con densa atmósfera. En condiciones normales, la posible agua existente en su superficie podría estar en estado líquido en su mayor parte. Se ha calculado que posee un periodo orbital de 11,186 días. Pero, dada su proximidad a su estrella, y debido a las fuerzas de marea, es muy probable que el periodo de rotación y el orbital estén acoplados y sean aproximadamente el mismo. Es lo que se llama acoplamiento de marea. Es lo mismo que se pasa a la Luna orbitando alrededor de la Tierra. La Luna siempre nos presenta la misma cara. En el caso de Armun, es muy probable que al presentar la misma cara siempre hacia su estrella, esa zona estaría muy caliente, y la cara oculta relativamente fría y más oscura. Aunque si poseyera una densa atmósfera, el efecto invernadero contribuiría bastante suavizar las temperaturas extremas por toda la superficie del planeta.
La proximidad de Armun a su estrella, una enana roja muy activa, hace que lleguen a él intensas tormentas de rayos X, y radiación ultravioleta, por lo que las condiciones para la vida, tal como la conocemos, no serían muy idóneas con tan peligrosa radiación. Si Armún además, posee una densa atmósfera y una gran magnetosfera, se puede conjeturar que sus auroras boreales y australes serían inmensas, de gran intensidad y bastantes persistentes. Por lo que no sería raro que en la cara oscura de Armun, su zona de noche perpetua, estuviera iluminada en todo momento por la luz fluorescente de sus brillantes auroras gigantes.

Además, siendo Armun un planeta rocoso tipo Terra, y con densa atmósfera, es muy probable que sea un infierno muy semejante a Venus. Un planeta, que aunque está en zona de habitabilidad, sería inhabitable, por sus condiciones más venusianas que terrestres.
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Evidentemente, si el genio Guillem Anglada-Escudé y su equipo científico, hubieran sabido de la existencia del alienígena Philip K. Dick y de su relato bélico interestelar “The Variable Man“, habrían llamado Armun a Proxima B, sin apenas dudarlo. En su descubrimiento usaron el método de la velocidad radial, también conocido como espectroscopia Doppler.

Veamos brevemente en qué consiste este método de espectroscopía Doppler: Mediante un espectógrafo, como por ejemplo el HARPS, instalado en el telescopio de 3.6 m de ESO, se obtiene el espectro de la estrella. Por ejemplo este:

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donde se señalan algunas lineas espectrales de absorción de algunos elementos químicos, y hace un seguimiento espectral a lo largo de un periodo determinado de tiempo, para ver si existen variaciónes ( corrimientos) en esas mismas lineas espectrales. Así pues cuando la estrella se aleja de nosotros a cierta velocidad, las lineas espectrales se verán corridas ligeramente hacia el rojo, y cuando se esté acerca, observaremos cómo esas mismas lineas aparecen ligeramente corridas hacia el azul. Puesto que sabemos la longitud de onda de cada línea cuando la estrella esta en reposo, al aplicar nuestra fórmula del efecto Doppler podremos calcular fácilmente cual es su velocidad radial.

El genio Guillem Anglada-Escudé y su equipo pudieron calcular que la estrella se acerca y se aleja de nosotros con velocidades medias de aproximadamente 5 km/h, debido a que existe ese planeta llamado Armun, orbitando ambos alrededor de un baricentro común.
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Una vez que se ha medido el periodo orbital de la estrella, observando los desplazamientos cíclicos de las lineas espectrales, entonces se aplican las leyes de Kepler del movimiento orbital y las de Newton, para deducir la distancia r al baricentro, la velocidad radial VPL, y la masa MPL del planeta, puesto que estamos ante el simple problema gravitatorio de los dos cuerpos,

\displaystyle r^{3}={\frac {GM_{\mathrm {star} }}{4\pi ^{2}}}P_{\mathrm {star} }^{2}

\displaystyle  V_{\mathrm {PL} }={\sqrt {\frac{GM_{\mathrm {star} }}{r}}}

\displaystyle  M_{\mathrm {PL} }={\frac {M_{\mathrm {star} }V_{\mathrm {star} }}{V_{\mathrm {PL} }}}

donde Mstar es la masa de la estrella, que debe ser conocida por otros métodos astrofísicos. Y el parámetro VPL es la velocidad radial de la estrella, que se deduce de las mediciones del efecto Doppler sobre las variaciones de su espectro:

\displaystyle  K=V_{\mathrm {star} }\sin(i)

donde k es la velocidad, e i es la inclinación del plano orbital respecto a nuestro linea de visión. Esto constituye el mayor inconveniente del método de espectroscopía Doppler: que la determinación de la velocidad radial dependa de saber previamente el ángulo de inclinación del plano orbital de la estrella respecto al observador (que somos nosotros). Si aplicamos una fórmula Doppler clásica, y asumiendo una inclinación orbital de cero grados, tendremos, para cualquier longitud de onda λ0 de linea espectral que se observe con un valor distinto λ

\displaystyle \lambda = \lambda_0 \left(1-\frac{K}{c}\right) \\ \\ \\  K = c \left(1-\frac{\lambda }{ \lambda_0}\right) \\ \\ \\  V_{\mathrm {star}} = K

En resumen: posiblemente Armun sea un infierno, con temperaturas medias de más de 500 grados Kelvin, con días y noches eternas iluminadas con brillantes luces fluorescentes procedentes de gigantes auroras. Sólo un potente campo magnético podría actuar como escudo protector de los rayos x y demás radiación peligrosa para la vida y su diversidad en Armun.

Saludos armunianos a todos😛

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El sueño del sofomoro: Las Series Mirabili de Johann Bernoulli

Posted by Albert Zotkin en agosto 20, 2016

EL matemático Johann Bernoulli fue un genio, autor de fascinantes descubrimientos matemáticos. Cuando en 1697 empezaba a trabajar sobre algunas integrales, halló lo que después él mismo llamó las “Series Mirabili“:

\displaystyle \int_0^1 x^x \, dx = 1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^3}-\frac{1}{4^4}+\frac{1}{5^5}-\dots = \sum _{k=0}^{\infty } \frac{(-1)^k}{(k+1)^{k+1}} \\ \\  \int_0^1 x^{-x} \, dx = 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^4}+\frac{1}{5^5}+\dots = \sum _{k=0}^{\infty } \frac{1}{(k+1)^{k+1}}\\ \\  \int_0^1 x^{x^2} \, dx = 1-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^3}-\frac{1}{7^4}+\frac{1}{9^5}+\dots = \sum _{k=0}^{\infty } \frac{(-1)^k}{(2k+1)^{k+1}} \\ \\  \int_0^1 x^{\sqrt{x}} \, dx = 1-\left(\frac{2}{3}\right)^2+\left(\frac{2}{4}\right)^3-\left(\frac{2}{5}\right)^4+\left(\frac{2}{6}\right)^5-\dots = \sum _{k=0}^{\infty } \frac{(-1)^k}{\left(\frac{k}{2}+1\right)^{k+1}}

Es fácil ver (aunque no sé si demostrar también) que estas series Mirabili son casos particulares de esta otra, vislumbrada por mí😛

\displaystyle  \int_0^1 x^{(sx)^r} \, dx = 1-\frac{s}{(r+1)^2}+\frac{s^2}{(2r+1)^3}-\dots = \sum _{k=0}^{\infty } \frac{(-s)^k}{(rk+1)^{k+1}}

para todo número real r, y para todo número real s. Igual que en el sueño del sofomoro, se puede demostrar, en general, esta última identidad. Sólo basta expresar

\displaystyle x^{(sx)^r} = \exp(s x^r \log x )

Saludos

REFERENCIAS:
Paul J. Nahin, Inside Interesting Integrals, Springer 2014, ISBN 978-1493912766.
A253300, A253299, A073009, A083648
William Dunham, The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to Lebesgue, Princeton University Press, Princeton, NJ 2005, page 46-51.
Paul J. Nahin, An Imaginary Tale: The Story of sqrt(-1), Princeton, New Jersey: Princeton University Press (1988) page 146.

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En el cálculo estocástico de las órbitas gravitatorias en el problema de los dos cuerpos, las ondas gravitacionales no existen

Posted by Albert Zotkin en julio 11, 2016

Hola amigo de Tardígrados. Hoy vamos a calcular, de diversas formas, las órbitas de dos cuerpos que gravitan el uno alrededor del otro. En realidad, dos cuerpos de masas m₁ y m₂, gravitan alrededor de un centro común, llamado baricentro (o centro de masas). Si los vectores de posición son r₁ y r₂, el baricentro será el apuntado por el vector:

\displaystyle R =\frac{m_1r_1+m_2r_2}{m_1+m_2}

Voy a programar una simulación (una animación en Flash) escribiendo unas pocas lineas de código en actionscript, en la cual veremos el movimiento orbital de esos dos cuerpos. Para ello, yo usaré el software Flash CS4 de Adobe (Abode Flash Profesional). La intención de diseñar esta pequeña simulación no es sólo ver la evolución gravitatoria del problema de los dos cuerpos, sino de ver cómo las órbitas decaen en dicha simulación debido a algo insólito: la perdida de información computacional. Esto significa que las órbitas de los dos cuerpos pierden poco a poco energía gravitacional, pero esa pérdida no se disipa en forma de ondas gravitacionales, sino que simplemente se expresa en ese decaimiento orbital hasta que los dos cuerpos solisionan.

Pero, empecemos ya a programar nuestra pequeña simulación de los dos cuerpos orbitales: abrimos nuestro programa de Adobe Flash CS4,

1. Creamos una animación en la versión de flashfile (actionscript 2.0).
2. Creamos tres videoclips, dos para cada uno de los dos cuerpos orbitales, y un tercero para el centro de masas. A los videoclips de los cuerpos los llamaremos a1 y a2, y al del centro de masas, cm. Los videoclips a1 y a2 serán dos circulos de distinto color y de pocos pixels de radio. Y el videoclip cm poseerá un radio mínimo, el suficiente para ser visto como un punto destacado sobre el fondo de la animación. Cada videoclip en una animación Flash posee una serie de propiedades, y una de esas propiedades son sus coordenadas espaciales bidimensionales, (_x, _y), dentro del plano de la animación. Por ejemplo, el videloclip correspondiente al primer cuerpo cuya masa es m₁, que hemos llamado a1, posee, en la animación que he hecho yo, las siguientes coordenadas espaciales iniciales: a1._x = 160, a1._y = 185. En el sistema de referencia bidimensional usado en Flash, el origen de coordenadas está en la esquina superior izquierda del plano general, y los valores positivos para la abscisa _x corren hacia la derecha, mientras que los valores positivos de la ordenada _y corren hacia abajo. La unidades de medidas de las distancias se expresan en pixels.

Escribamos ahora todo el código de actionscript para nuestra animación. En primer lugar, escribiremos el código para cada uno de los videoclips cuando se cargan al inicio. Para el viceoclip a1 tendremos las siguientes condiciones iniciales:

load.a1

puesto que hemos definido propiedades como la masa y la densidad para ese cuerpo, dibujaremos el circulo que representa a dicho cuerpo a escala, según el valor relativo de esos paramétros. Así, como escribo en el código de arriba, su anchura a escala, _width (que es de igual valor que su altura, _height), la calculo así:

\displaystyle \mathrm{\_width}=20\sqrt[3]{\frac{4\pi \times \mathrm{mass}}{\mathrm{ density}}}
Igualmente, para el videoclip a2 tendremos el código inicial de carga siguiente:

load.a2

Observamos también, en estos códigos de carga de las condiciones iniciales, que está definida la velocidad inicial para cada cuerpo. Como aún no hemos escrito el código para la interacción gravitatoria, esas velocidades iniciales no serían modificadas, y por lo tanto los dos cuerpos permanecerian en movimiento inercial, rectilíneo uniforme. Cabe reseñar también dos cosas más. Primero, que he introducido unas variables, rx, ry, que uso para guardar los últimos valores de las coordenadas espaciales. Segundo, que la velocidad de cada cuerpo al ser una magnitud vectorial, la he separado en sus dos componentes ortogonales en el sistema de referencia. Así, por ejemplo, para este último videoclip a2, las componentes de su velocidad son speed.x = -1, speed.y = 0, y eso quiere decir que ese cuerpo se movería inicialmente e inercialmente hacia la izquierda, mientras que su componente en el eje vertical, al ser 0, indica que no se movería inercialmente por dicho eje.

Escribamos seguidamente el código de las condiciones iniciales de carga para el videoclip cm, que representa el centro de masas de los dos cuerpos anteriores:

cm

Aquí en este código, vemos cómo hemos escrito las coordenadas del centro de masas de los dos cuerpos. Ahora nos falta la rutina principal de la animación en la que escribiremos las ecuaciones para la interacción gravitatioria de esos dos cuerpos. Puesto que es evidente que estamos usando formalismos de gravitación clásica Newtoniana, hay que decir el movimiento inercial de esos dos cuerpos se rompe cuando interactuan gravitacionalmente, y eso significa que cada uno sentirá una aceleración cuyo valor será directamente proporcional a la masa del otro cuerpo e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia. Es decir, la aceleración gravitatoria que siente el cuerpo a1 debido a la presencia del cuerpo a2 será:

\displaystyle a_{12}= \frac{G m_2}{r^2}

y recíprocamente la aceleración que siente a2 será:

\displaystyle a_{21}= \frac{G m_1}{r^2}
Por lo tanto, ya estamos en condiciones de escribir el código de la rutina principal para la interacción gravitatoria:

update3

Esta rutína (función) la he llamado update3, y posee un único argumento de entrada, el argumento m, que es una referencia a un videoclip, ya sea el a1 o el a2. Esta función devuelve (return) el valor de la variable r, es decir, la distancia actual entre ambos cuerpos. Vemos que la tarea principal de esta rutina es el cálculo de la aceleración del campo gravitatorio, como ya he especificado arriba en a₁₂ y en a₂₁. Una vez que se ha calculado esa aceleración, la descomponemos en sus componentes ortogonales según los dos ejes del sistema de referencia, y convenientemente escaladas, las restamos a las componentes de la velocidad. ¿Por qué hay que restar la aceleración a una velocidad?. Es decir, ¿por qué realizo los cálculos m.speed.x -= accel_x, m.speed.y-=accel_y?. Pues simplemente, se ha de realizar esa resta porque una aceleración no es más que un incremento o decremento de una velocidad por unidad de tiempo. En otras palabras, la aceleración no es más que la primera derivada de una velocidad respecto al tiempo. Después, en el código de esa rutina, igualmente resto la componente de la velocidad de la componente espacial, y se hace por la misma razón. Una velocidad no es más que un incremento o decremento de una distancia por unidad de tiempo, es decir, es la primera derivada del espacio respecto al tiempo. Con esta última substracción ya hemos actualizado las coordenadas espaciales de cada cuerpo según la interacción gravitatoria, aplicada a su movimiento inercial. Este cálculo con la función update3 se ha de hacer en cada uno de los frames (fotogramas) de la animación. En la que yo he realizado, el número de fotogramas por segundo (fps) lo he puesto a 100, y eso quiere decir que cada centésima de segundo hay que actualizar y calcular y dibujar todo para presentar la animación en tiempo real al espectador. Así, la rutina en actionscript para cuando el cursor de la animación pase por cada frame, será la siguiente:

enterframe

donde en la ultima línea de código controlo la posible colisión de los dos cuerpos, parando la animación cuando la distancia r sea menor que los tamaños relativos de cada círculo. El control de colisiones de videoclips en Flash tambíen se puede hacer con una función predefinida que se llama hitTest, pero yo he preferido definir mi propia función de colisión. Pero, aquí está el meollo de toda esta animación del problema de los dos cuerpos. Se supone que las órbitas de los dos cuerpos, que siguen la Ley de la Gravitación Universal de Newton, deberían ser estables, y por lo tanto deberían seguir trayectorias elípticas o circulares si no hay otras fuerzas externas que las perturben. Pero, lo sorprendente de esta pequeña animación que he realizado es que al ver como evolucionan esas órbitas observamos que poco a poco los dos cuerpos se van aproximando el uno hacia el otro hasta que acaban colisionando. ¿por qué ocurre eso?. La clave está en los incrementos (aceleraciones) que he substraido a las velocidades y de los incrementos substraidos (velocidades) a las coordenadas espaciales. Para que las órbitas fueran exactamente estables, sin que decayeran poco a poco, los incrementos a substraer deberían ser infinitesimales, es decir, unas cantidades muy próximas a cero. Pero, entonces deberíamos aumentar el número de frames por segundo hasta valores que no serían computables.

En la animación que yo he realizado hay algunos parámetros auxiliare más, que no he especifico, porque no tienen mucha importancia. Ahora solo resta hacer una captura de pantalla de la animación y convertirla en un gif animado, ya que WordPress ya no admite archivos Flash de extension swf:

tbp

Observamos con estupor que lo que la ciencia actual llama ondas gravitacionales, emitidas por pulsares binarios que son observados decayendo orbitalmente, es simple y llanamente una pérdida de información cuántica. El problema es que la mecánica cuántica no admite que los sistemas puedan perder información de forma irrecuperable, pero en esta pequeña animación Flash vemos cómo eso es posible en un universo cuya evolución es calculada en cada micro-estado y en intervalos infinitesimales de tiempo que quizás coincidan con tiempos de Planck. La conclusión más dramática que hemos de hacer de todo esto es que las ondas gravitacionales no existen en nuestro universo, y por lo tanto que el supuesto observatorio LIGO (advanced LIGO) nos la está metiendo doblada al afirmar que han descubierto evidencias directas de dichas ondas. Sólo una mente ingenua y simple podría creerse semejante patraña. Cualquier persona con una inteligencia mediana podría comprobar por si misma cómo ese supuesto observatorio no puede detectar movimientos vibratorios de amplitudes tan ínfimas como la milésima parte del radio de un protón. ¿Dónde está el Principio de Incertidumbre que es pieza central de la Mecánica Cuántica, y que la Relatividad General parece querer ignorarlo propugnando un espacio-tiempo infinitamente continuo?. Incluso si no fuera un fraude tan brutal ese que nos quiere meter LIGO, tampoco sería una prueba directa de la existencia de esas ondas gravitacionales, por la sencilla razón de que no existe ningún otro medio independiente de saber que esas supuestas ondas vienen de donde dicen ellos que vienen, y producidas por la causa que ellos dicen que son producidas. El único argumento que usan para afirmar tan rotundamente que esas ondas son reales es que coinciden en forma con las de los libros de texto de la Relatividad General. Si existieran otros medios de comprobar esos supuestos hallazgos, como por ejemplo señales luminosas observables con telescopios ópticos o señales radioeléctricas observables con radiotelescopios, de las supuestas fuentes cósmicas generadoras, entonces y sólo entonces podríamos empezar a creer en ellos. Pero mientras sigan diciéndonos los “listillos” de LIGO que esas ondas proceden de la colisión de dos agujeros negros, estarán intentando metérnosla doblada. Cuando digan que han observado la colisión de un pulsar binario, y a LIGO ha llegado la perturbación gravitacional y a los distintos telescopios ópticos el destello luminoso de esa colisión, entonces y sólo entonces, los que no somos idiotas del todo, empezaremos a creer en la existencia de ondas gravitaciuonales. Mientras tanto, hay que conformarse con mirar con estupor a este universo computacional y observar boquiabiertos que no sólo la interacción gravitatoria está sujeta a perdidas de información cuántica, sino todas las demás. Y todo esto nos indica que es muy probable que nuestro universo es simplemente una gigantesca simulación fractal que está siendo ejecutada en un superordenador cuántico. Que nuestro universo sea una gigantesca simulación no significa que no te duela tu dolor de muelas. En realidad ocurriría que todo en este universo simulado seria real para nosotros, pero sólo sería virtual para los hipotéticos espectadores externos a nuestro universo que contemplan esa simulación.

Saludos

.

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Robotización e inducción de Renta Básica Universal

Posted by Albert Zotkin en julio 5, 2016

Hola amigos incondicionales de Tardígrados. Hoy voy a hablar un poco sobre los estragos que la robotización industrial causa en el tejido laboral de un país y analizaré algunas de las soluciones más razonables que no impliquen vuelta atrás sino progreso hacia el bienestar humano.
Primero, recopilemos algunos datos acerca de cómo está el proceso de robotización en algunos sectores del comercio y la industria:
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Empezaré el análisis poniendo un sencillo ejemplo: Supongamos que un empresario construye un invernadero totalmente automatizado para la producción y comercialización de tomates. Todas las fases de producción (abono y acondicionado del terreno,siembra, riego, tratamiento de plagas, recolección) son realizadas por sistemas automático y robots. El agua se extrae del subsuelo automáticamente, la energía se produce allí mismo también mediante fuentes fotoeléctricas y eólicas. El empaquetado y el transporte a centros comerciales también se hace mediante sistemas autónomos. En fin, todo, de tal forma que la mano del hombre se hace innecesaria por completo. Y el empresario ha reducido al mínimo los costes de producción, por lo que sólo debe destinar capital para pagar impuestos, seguros y para amortizar los sistemas y demás herramientas de producción. Con todas estas premisas, nos debemos hacer la siguiente pregunta. ¿qué precio ha de tener un kilo de tomates de esa empresa?. ¿Quién deberá comprar esos tomates?. Algún chistoso diría que esos tomates deben comprarlos los robots que son los verdaderos trabajadores. Pero, no le faltaría razón al chistosos. efectivamente esos robots han “robado” los puestos de trabajo a los humanos, pero un robot no tiene las mismas necesidades vitales que un humano, si es que tiene alguna.
Una solución a la robotización industrial deberá ser inevitablemente una decisión política. La robotización debe inducir renta básica universal. Cuanto más robotizada esté una empresa más alta deberá ser su contribución a la Seguridad Social para implementar una Renta Básica Universal.
En un estadio futurista ideal, donde los robots, las máquinas y los sistemas automáticos y autónomos, hacen todas las tareas y trabajos necesarios para sostener las necesidades materiales de la población humana, es evidente que las personas podrán vivir sin tener que trabajar, si lo desean, y sus actividades estarán enfocadas básicamente hacia el ocio, los deportes y el arte – esperemos que no hacia la guerra😦 -. Es decir, la existencia humana estará dedicada casi enteramente a actividades culturales.
Pero, vivimos en una sociedad capitalista, por lo tanto, cabe el debate de si las empresas, medios de producción que no pertenecen a los estados, sino que son medios de propiedad privada, deben pagar algún tipo impuesto más, destinado renta básica universal. Es decir, si el dueño de esa fábrica de tomates ultra mecanizada y robotizada, del ejemplo anterior, es una persona o grupo humano (sociedad) privado, y no el estado, no parece muy alentador para los negocios ni para los emprendedores que el estado les imponga un impuesto añadidos a los ya muchos que existen, penalizando así la creación de empresas. Pero, estos casos de ultra-robotización de industrias, resulta paradójico que la creación de empresas no conlleve la creación de puestos de trabajo (para humanos, se entiende). En un régimen comunista, sí sería comprensible que la robotización liberara al proletariado de los trabajos más duros y pesados, pero me temo que los beneficios de esa redención irían injustamente, no al trabajador redimido, sino a los privilegiados miembros del Partido Comunista. Como diría Trotsky: “¡Camadaras!, la V internacional supondrá la victoria final de la lucha del proletariado frente a la tiranía capitalista de las máquinas“.

Saludos robotizados a todos😛 robots

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Automoción por pantografía inteligente en catenaria

Posted by Albert Zotkin en junio 27, 2016

Hace unos días leí una noticia sobre el proyecto eHighway que Siemens está poniendo en práctica en Suecia. Se trata de electrificar un tramo de carretera pública de modo que por él circulen camiones de mercancías híbridos (con motor eléctrico y convencional de combustión). La clave del éxito de este proyecto está en los pantógrafos inteligentes. Un pantógrafo es ese armatoste plegable, que poseen todos los tranvías y algún que otro tren, para alimentar desde una catenaria (un cable) de energía sus motores eléctricos. Se les llama pantógrafos inteligentes a aquellos que son capaces de conectarse (o desconectarse) a la catenaria por sí mismos, cuando el vehículo entra o sale del alcance de la misma.
304485-944-546
Evidentemente los objetivos de este proyecto eHighway de Siemens son básicamente dos, los cuales se complementan:
1. Liberar a los vehículos (esencialmente camiones pesados de mercancías) del consumo de combustibles fósiles (gasoil, gasolina, etc).
2. Suministrar energía eléctrica a las infraestructuras e catenarias que sea limpia y renovable y libre de emisiones (energías como la eólica, la fotovoltaica, la hidroeléctrica, la geotérmica, etc).
304487-944-450
Pero yo añadiría unos cuantos objetivos y estrategias más. Por ejemplo. Los tramos de autopistas electrificados con catenarias, además de suministrar directamente energía eléctrica a los motores de los vehículos podrían también ir recargando unas baterías, de modo que cuando el vehículo saliera de la catenaria tendría más autonomía y no sólo podría hacer uso del motor de explosión convencional sino que podría seguir usando también su motor eléctrico.
Además, yo añadiría también, una amplia red de estaciones de servicio en las que los vehículos cambiaran sus baterías usadas o semi-usadas por otras del mismo modelo completamente cargadas. He dicho cambiar, no recargar baterías. Eso significa, que los vehículos no pierden tiempo estacionados mientras recargan sus baterías, sino que directamente se les cambia la carga por otra llena en menos de un minuto.
La pantografía inteligente por catenaria será en un futuro próximo la solución mas limpia y eficiente a la escasez de combustibles fósiles.

Saludos pantográficos a todos😛

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NO ESTAMOS SOLOS EN EL UNIVERSO

Posted by Albert Zotkin en junio 16, 2016

Existen muchas civilizaciones alienígenas más avanzadas tecnológicamente que la nuestra, saben que estamos aquí, pero no nos visitan porque no somos nada interesantes para ellos.
1. Búsqueda de Inteligencia Extraterrestre: Existen varios programas SETI de búsqueda de vida inteligente extraterrestre. Dicha búsqueda se hace de forma activa, enviando mensajes al espacio exterior, y de forma pasiva escuchando las señales que nos llegan y analizándolas para saber si tiene origen natural o artificial.
Pero, una civilización extraterrestre muy avanzada tecnológicamente, podría ser potencialmente un peligro inmenso para nuestra propia civilización si nos visitaran. Eso fue lo que nos dijo el prestigioso astrofísico y matemático inglés,Stephen Hawking. El cree firmemente en la existencia no sólo de vida extraterrestre, sino en la existencia de civilizaciones alienigenas muy avanzadas tecnológicamente. Piensa que no sólo la vida en la Tierra estaría en peligro, sino la misma Tierra como planeta, ante una potencial invasión de ingentes enjambres de naves alienígenas formados por cientos de miles de naves nodrizas interestelares, conteniendo cada una miles de drones equipados con armas letales de destrucción masiva. En concreto, el profesor Hawking confesó que: “Quizás esas civilizaciones alienígenas, que viven en colonias nómadas interestelares, estén en constante movimiento por toda la galaxia en busca de recursos materiales y energéticos para construir y mantener sus naves y todos sus sistemas de pervivencia. Una eventual visita a la Tierra de una de esas colonias nómadas resultaría en un cataclismo de proporciones bíblicas …
2. La ecuación de Drake: Según una primera estimación de la ecuación de Drake, existen en nuestra galaxia al menos diez civilizaciones alienígenas más avanzadas tecnológicamente que nosotros. La ecuación de Drake es la siguiente:

\displaystyle N = R^{*} ~ \times ~ f_{p} ~ \times ~ n_{e} ~ \times ~ f_{l} ~ \times ~ f_{i} ~ \times ~ f_{c} ~ \times ~ L

drake

y una primera estimación es la siguiente:

R^* =  10/año (10 estrellas se forman cada año)
f_p =  0.5 (la mitad de esas estrellas cuentan con planetas)
n_e =  2 (cada una de esas estrellas contiene dos planetas)
f_l =  1 (el 100 % de esos planetas podría desarrollar vida)
f_i =  0.01 (solo el 1 % albergaría vida inteligente)
f_c =  0.01 (solo el 1 % de tal vida inteligente se puede comunicar)
L =  10 000 años (Cada civilización duraría 10 000 años trasmitiendo señales)

N =10 \times 0.5 \times 2 \times 1 \times 0.01 \times 0.01 \times 10,000
N =  10 posibles civilizaciones detectables.

3. La paradoja de Fermi: La Paradoja de Fermi nos dirá que si hay al menos 10 civilizaciones alienígenas en nuestra galaxia, ¿dónde están?, no nos han visitado, no dan señales de vida. Esta supuesta paradoja se resuelve muy fácilmente: No nos han visitado porque el planeta Tierra, y en particular la vida en él y nuestra civilización humana, no les motiva especialmente. Es como si nosotros visitamos un desierto donde no hay prácticamente nada de interés. ¿por qué tenemos que aventurarnos hacia lugares remotos si sabemos a ciencia cierta que no tienen nada nuevo allí que no sepamos?. La respuesta a la paradoja de Fermi implica que existe al menos una civilización alienígena cercana muy avanzada, una civilización muy antigua, que quizás ya esté extinguida, que alcanzó su cúspide de avances tecnológicos y científicos hace aproximadamente unos ocho mil millones de años, cuando el sistema solar aún estaba en su más temprana etapa de formación. Quizás, fue esa civilización alienígena la que “sembró” el planeta Tierra de vida, convirtiéndolo en un santuario.
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4. No son como nosotros: ¿Te imaginas a un ser alienígena super inteligente poseyendo el cuerpo de un gusano pestilente del tamaño de una anaconda arrastrándose por el fango?. El contacto con esos seres no sería muy agradable para nosotros, sería algo vomitivo, y lo mismo sentirían ellos de nosotros. Nuestros cuerpos, nuestros hábitats, nuestras costumbres gastronómicas, serían para esos seres algo repulsivo. ¿Te imaginas a un inteligente y avanzado alien con un cuerpo muy semejante al de una cucaracha y del tamaño de un elefante, desprendiendo un insoportable y extraño hedor?. Como poder, sí se puede imaginar, pero no sería algo muy agradable de sentir cerca de nosotros, y ese ser alienígena sentiría algo muy parecido al vernos a nosotros.
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Saludos cucarachescos a todos😛

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