TARDÍGRADOS

Ciencia en español

La identidad de Euler como suma de opuestos del inframundo

Posted by Albert Zotkin en septiembre 8, 2014

Hola incondicionales de Tardígrados. Hoy voy a escribir un pequeño apunte sobre la identidad de Euler, y de cómo puede ser expresada como una suma de opuestos de orden -1. La suma y la resta de orden -1 quedó definida en mis últimos dos posts de esta forma:

\displaystyle  x \oplus y =\log(\exp(x) + \exp(y) ) \\ \\  x \ominus y =\log(\exp(x) - \exp(y) )  (1)

La identidad de Euler sabemos que es:

\displaystyle  e^{\mathrm{i}\pi} =-1 \,\!  (2)
Por lo tanto, pasando el -1 a la parte izquierda de la ecuación queda

\displaystyle  e^{\mathrm{i}\pi}+1  = 0  (3)
es decir, podemos escribir la identidad de Euler así:

\displaystyle  e^{\mathrm{i}\pi}+e^{0}= e^{-\infty}  (4)
El opuesto en la suma de orden -1 de un número real x es un número complejo x’ cuya parte real es x, y cuya parte imaginaria es π. Con lo cual la suma de orden -1 de x con su opuesto x’ siempre dará el elemento neutro de esa suma de orden -1, es decir:

\displaystyle  x \oplus x' =-\infty  (5)

ya que -∞ es dicho elemento neutro de la suma de orden -1. Esto significa, que podemos escribir la identidad de Euler así

\displaystyle  0 \oplus i\pi = -\infty  (6)
porque en general la suma de un número y su opuesto siempre es el elemento neutro de dicha suma. Y en el caso de la suma de orden -1 siempre tenemos que:

\displaystyle  x\oplus (x + i\pi) = -\infty  (7)

Saludos

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