TARDÍGRADOS

Ciencia en español

Aritmética del inframundo y del ultramundo

Posted by Albert Zotkin en agosto 24, 2014

Definamos la suma y la resta como operadores aritméticos de orden cero, que escritos con subíndices serian:

\displaystyle  + = \oplus_0 \\ \\   -= \ominus_0 \\ \\   (1)

Así, la multiplicación y la división serian operadores de orden 1, y los escribiriamos así:

\displaystyle  \times = \oplus_1 \\ \\   /= \ominus_1 \\ \\   (2)
En cuanto a la infrasuma y la infrarresta, que definí en mis dos anteriores posts, aqui y aqui, sus operadores escritos con subíndices serían de orden -1. Por lo tanto, toda operación aritmética de orden k puede ser expresada mediante operaciones aritméticas de orden inmediato superior k+1, así:

\displaystyle  x \oplus_k y =\log(\exp(x) \oplus_{k+1} \exp(y) ) \\ \\  x \ominus_k y =\log(\exp(x) \ominus_{k+1} \exp(y) )    (3)
Supongamos que tenemos curiosidad por saber cómo son los operadores suma y resta inframundados de orden -2. Escribimos:

\displaystyle  x \oplus_{-2} y =\log(\exp(x) \oplus_{-1} \exp(y) ) \\ \\  x \ominus_{-2} y =\log(\exp(x) \ominus_{-1} \exp(y) )  (4)
y si queremos expresarlos en función de la suma y la resta de orden 0, como sabemos que

\displaystyle  x \oplus_{-1} y =\log(\exp(x) + \exp(y) ) \\ \\  x \ominus_{-1} y =\log(\exp(x) - \exp(y) )  (5)

tendremoa que

\displaystyle  x \oplus_{-2} y =\log(\log(\exp(\exp(x))) + \exp(\exp(x))))  \\ \\  x \ominus_{-2} y =\log(\log(\exp(\exp(x))) - \exp(\exp(x))))  (6)
Cabe también preguntarse cómo se expresa una operación aritmética de orden k en función de su operadores de orden inmediato inferior, k-1. La respuesta es sencilla:

\displaystyle  a \oplus_k b =\log(\exp(a) \oplus_{k+1} \exp(b) ) \\ \\  \exp(a \oplus_k b) =\exp(a) \oplus_{k+1} \exp(b)  \\ \\  x= \exp(a)  \\ \\ y=\exp(b) \\ \\  a= \log(x) \\ \\ b=\log(y) \\ \\  x \oplus_{k+1} y = \exp(\log(x) \oplus_k \log(y))   (7)
Ahora podríamos hacernos la misma pregunta que antes, pero hacia arriba. ¿Cómo expresamos una operación aritmética ultramundana de orden 2 con los operadores de orden inferior?:

\displaystyle  x \oplus_{2} y = \exp(\log(x) \oplus_1 \log(y))  \\ \\   x \oplus_{1} y = \exp(\log(x) + \log(y)) \\ \\  \\ \\   x \oplus_{2} y = \exp(\log(x) \log(y))  \\ \\   x \oplus_{2} y = x^{\log(y)}  (8)

o también

\displaystyle  x \oplus_{2} y = y^{\log(x)}  (9)

Lo cual produce el notable resultado:

\displaystyle  x^{\log(y)} =  y^{\log(x)}  (10)

que siempre es cierto para cualesquiera números reales x e y.

Una resta de orden 2 sería asi:

\displaystyle  x \ominus_{2} y = \exp(\log(x) \ominus_1 \log(y))  \\ \\   x \ominus_{1} y = \exp(\log(x) - \log(y)) \\ \\  \\ \\   x \ominus_{1} y = \exp \left (\log \frac{x}{y}\right )  \\ \\   x \ominus_{1} y = \frac{x}{y} \\ \\   x \ominus_{2} y = \exp \left (\frac{\log(x)}{\log(y)}\right ) \\ \\ \\ \\  x \ominus_{2} y = \left (x \right )^{\frac{1}{\log(y)}}    (11)

Saludos

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