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Ciencia en español -ʟᴀ ʀᴀᴢóɴ ᴇsᴛá ᴀʜí ғᴜᴇʀᴀ-

Posts Tagged ‘constante de Boltzmann’

El mundo de los muertos y la cinemática de los walking dead (Mecánica estadística)

Posted by Albert Zotkin en octubre 25, 2014

El “mundo de los muertos” es el infra-mundo de orden -1. En ese universo, las cosas son, se mueven y evolucionan de una forma muy peculiar. El “mundo de los muertos” es el reino de los objetos y fenómenos cuánticos por antonomasia. Por otro lado, la definición de función de partición en mecánica estadística es muy importante.

En un sistema de partículas en equilibrio que sólo intercambia energía térmica con su entorno, tenemos que la función de partición para dicho sistema es:

\displaystyle \mathcal{Z} = \sum_{s} e^{\beta \epsilon_s} (1)
donde la suma se ha realizado sobre todos los microestados s, εs representa la energía del microestado s y ß se define como menos el inverso del producto de la temperatura por la constante de Boltzmann:

\displaystyle \beta = -\frac{1}{k_BT}
Así desde estas definiciones podemos por ejemplo expresar la ecuación de estado de los gases ideales así:

\displaystyle \langle PV\rangle=-\frac{\ln(\mathcal{Z})}{\beta} = -\frac{\epsilon_1\oplus\epsilon_2\oplus\epsilon_3\oplus\dots}{\beta}  (2)
donde εi representa la energía del microestado i. Es decir, la energia PV de los gases nobles es simplemente la infra-suma ⊕ de orden -1 de las distintas energias de los micro-estados. En general, toda ecuacion en la que aparezca el logaritmo de la función de partición, ln(Z), implica una infra-suma de energias de micro-estados. Pero alguien diría, muy bien y ¿dónde está el mérito de todo esto?. Pues el mérito de todo esto está en darse cuenta de que la infra-suma de orden -1 de energias de micro estados genera la emergencia de la energia del sistema macroscópico. Clásicamente la energía es una magnitud escalar que se suma o se resta canónicamente, con la aritmética de orden 0, pero lo curioso de todo esto es que las energias de los micro-estados se suman y se restan mediante la aritmética de orden -1. O sea, el macrocosmos (orden 0) emerge como consecuencia de infra-interacciones de orden -1.

infra Saludos

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Número de Avogadro del espacio-tiempo

Posted by Albert Zotkin en julio 14, 2014

Pronto aprenderemos a encapsular el espacio-tiempo como si fueran grageas en una cajita de 60 comprimidos. Pero antes, veamos cómo está codificado el número de Avogadro, NA, en un agujero negro. spacetime
En mi anterior post titulado “Decibelios de un agujero negro” al expresar la Ley de los Gases Nobles cometí un “pequeño error” (aunque imperdonable) cuando escribí la ecuación (11) así:

\displaystyle      PV = kNT   (1)
diciendo que N era el número de moles. Pero, en realidad, N no es el número de moles, sino el número de moléculas, puesto que k es la constante de Boltzmann. Por lo tanto, si queremos expresar esa ley con el número de moles n tendria que haber escrito:

\displaystyle      PV = nRT   (2)

avogadro

donde R es la Constante universal de los gases ideales. Es ahí donde podemos ahora introducir el Número de Avogadro, NA pues sabemos que:

\displaystyle          k = \frac{R}{N_A}  (3)

Es decir, la ecuación de los gases ideales se puede expresar así:

\displaystyle         PV = n k N_A T   (4)
Por lo tanto, y corrigiendo lo anterior dicho en el post de los decibelios de un agujero negro, en la ecuación (12) que expresa la ganancia de antena de un agujero negro,

\displaystyle        \displaystyle    G_{\mathrm{antena}} =\left (\cfrac{\hbar\;\nu}{k\;T_H\;\sqrt{1/e_A}}\right )^2   (5)

la eficacia de Apertura eA se correspondería con el número de moles n y el Número de Avogadro NA, de la siguiente forma:

\displaystyle         n N_A =\cfrac{1}{\sqrt{e_A}}     (6)

Por otro lado podemos definir el número de moles n de un agujero negro así:

\displaystyle         n =\cfrac{M}{m_P}     (7)
donde M es la masa y mP es la masa de Planck, la cual hace la función de constante de masa molar.

Esto significa que para un agujero negro, su eficiencia de apertura eA y su masa M están relacionados mediante el número de Avogrado NA así:

\displaystyle          N_A =\cfrac{1}{n \sqrt{e_A}} = \cfrac{m_P}{M \sqrt{e_A}}    (8)
\displaystyle          N_A = \sqrt{\cfrac{\hbar \ c}{M^2\ G\ e_A}}    (9)

Saludos

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