TARDÍGRADOS

Ciencia en español

La función Infra-Zeta de Riemann

Posted by Albert Zotkin en agosto 22, 2014

Hola amigos de Tardígrados. Hoy voy a continuar con el tema de las infrasumas e infrarrestas que definí en mi post anterior. Dichas definiones eran así:

\displaystyle  x \oplus y = x+\log \left (1 + \exp (y-x) \right ) \\ \\  x \ominus y = x+\log \left (1 - \exp (y-x) \right )  (1)

en realidad hay una forma más sucinta de definir ambas operaciones, y es esta:

\displaystyle  x \oplus y = \log \left (\exp (x)+\exp (y) \right ) \\ \\  x \ominus y =  \log \left (\exp (x)-\exp (y) \right )  (2)

Vemos pues que el elemento neutro de la infrasuma es u = -∞ (menos infinito):

\displaystyle  x \oplus u = u \oplus x = x \\ \\  x=\log \left (\exp (x)+\exp (u) \right ) \\ \\  \exp(x) = \exp (x) + \exp (u) \\ \\  0 = \exp (u) \\ \\  u = \log(0)= -\infty  (3)

Igualmente, desde la definición de infrarresta podemos ver que cada número real x posee un opuesto x’ tal que:

\displaystyle  x \oplus x' = \log \left (\exp (x)+\exp (u) \right )=-\infty   (4)

es decir:

\displaystyle  x \oplus x' = -\infty \\ \\   (x \oplus x') \ominus x = (\exp (x) + \exp (x'))= -\infty  \ominus x =  x   \\ \\     x \oplus x' = \exp (x) + \exp (x') = -\infty \\ \\   (4)
que es un numero complejo con parte imaginaria π. En realidad para cada número real x existen infinitos números opuestos con parte real igual a x, y parte imaginaria nπi, donde n es un entero impar.

Podemos seguir y definir la operación multiplicación ⊗ así:

\displaystyle  x \otimes n = \underset{n}{\underline{x \oplus x \oplus \dots \oplus x}} = \log(n \exp(x))    (5)
donde n es de momento un número entero, pero vemos que no es una operación conmutativa, ya que por regla general no es cierto que xn = nx. Intentemos, de todas formas encontrar un elemento inverso para esta operacion ⊗:

\displaystyle  x \otimes u  = \log(u \exp(x)) = x \\ \\   u \log(x) = \log(x) \\ \\   u = 1  (6)

luego la operación ⊗ realizada por la derecha posee el elemento neutro u = 1. Pero, si la realizamos por la izquierda obtenemos:

\displaystyle  u \otimes x  = \log(x \exp(u)) = x \\ \\   x \log(u) = \log(x) \\ \\   \log(u) = \frac{\log(x)}{x}\\ \\   u = \sqrt[x]{x}  (7)

lo cual implica que dicha operación realizada por la izquierda no da un elemento inverso único. Pero, podemos ver cuál sería el opuesto de x (por la derecha):

\displaystyle  x \otimes x'  = \log(x' \exp(x)) = 1\\ \\    \log(x' \exp(x)) = \log(\exp(0)) \\ \\    x' \exp(x) = \exp(0) \\ \\   x' = \exp(-x)   (8)

La infra-potenciación ⊛ puede ser definida así:

\displaystyle  x \circledast n = \underset{n}{\underline{x \otimes  x \otimes  \dots \otimes  x}} = \log( \exp(x) x^n) \\ \\  x \circledast n = x + n \log x    (9)
Por lo tanto ya estamos en condiciones de representar la función Zeta de Riemann en el inframundo, es decir, de definir uan función que llamaré infra-Zeta de Riemann. Para empezar fijémonis en la clásica forma de la función Zeta de Riemann:

\displaystyle   \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}  (10)

Expresemos el equivalente a ns en el inframundo así:

\displaystyle  n \circledast s = n + s \log n  (11)

Ahora presentemos el inverso de dicha infra-potencia:

\displaystyle  \exp (-n - s \log n) = \exp (-n) n^{-s}  (12)

y realicemos el infra-sumatorio desde n = 1 hasta ∞, para obtener la función infra-zeta de Riemann, \underset{.}{\zeta}:

\displaystyle   \underset{.}{\zeta}(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{e^{n} n^s}  (13)

Vemos pues que la infra-zeta de Riemann, \underset{.}{\zeta}, es muy parecida a la zeta normal, y la única diferencia visible es que aparece el factor exp(- n), y siempre teniendo en cuenta que el sumatorio son infra-sumas

Saludos

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