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Elementos neutros y opuestos en las aritméticas de distintos órdenes

Posted by Albert Zotkin en octubre 5, 2014

Hoy voy a escribir un corto apunte sobre cómo calcular el elemento neutro de la suma de una aritmética de orden n si sabes cuál es dicho elemento en la aritmética de orden (n+1). Llamemos en a dicho elemento neutro de la suma ⊕n de orden n. Entonces tendremos que

\displaystyle e_n = \log(e_{n+1}) (1)
Por ejemplo: la multiplicación es la suma de orden 1, y su elemento neutro es el número natural 1. Entonces el elemento neutro de la suma ordinaria (suma de orden 0) es:

\displaystyle e_0 = \log(e_1)= \log(1)=0 (2)
como todos sabemos. El elemento neutro de la infra-suma de orden -1 es:

\displaystyle e_{-1} = \log(e_0)= \log(0)=-\infty (3)
Si ya sabemos calcular el elemento neutro, es fácil calcular el opuesto x’ de cualquier número x:

\displaystyle x \oplus_{n} x' =\log(e_{n+1}) (4)
y como sabemos que la suma de dos números x, y es:

\displaystyle x \oplus_{n} y =\log(\exp(x) \oplus_{n+1} \exp(y) ) \\ \\ (5)

tendremoa que:

\displaystyle \log(\exp(x) \oplus_{n+1} \exp(x'))= \log(e_{n+1}) \\ \\  \exp(x) \oplus_{n+1} \exp(x')= e_{n+1} \\ \\  (6)
Por ejemplo, usemos la suma ordinaria (orden 0) para calcular el opuesto x’ de orden -1 de un número x:

\displaystyle \exp(x) + \exp(x') = 0 \\ \\   \exp(x') = 0 - \exp(x) \\ \\  x' = \log(0 - \exp(x)) = x+ i \pi (7)
es evidente que x’ = x + i π es el opuesto de x en la suma de orden -1, ya que

\displaystyle x \oplus_{-1} (x+ i\pi) = \log(\exp(x) +\exp(x+ i\pi))=  \\ \\  \log(\exp(x)(1+ \exp(i\pi)) = \log(\exp(x)(1-1)) = \log(0)=-\infty (8)
Sigamos con un poco más. El elemento neutro de la suma de orden 2 es e (la base de los logaritmos naturales), ya que

\displaystyle e_1 = \log(e_2) \\ \\  1=\log(e_2)  \\ \\  e_2 = e^1 =e (9)
El opuesto x’ de un número x para dicha suma de orden 2 sería pues un número tal que:

\displaystyle x\oplus_2 x' = e (10)

es decir,

\displaystyle x\oplus_2 x' =\exp(\log(x)\oplus_1 \log(x')) = e \\ \\  \exp(\log(x) \log(x')) = e \\ \\  \log(x) \log(x') = \log(e) \\ \\   x'^{\log(x)} =e  \\ \\   x' = e^{1/\log(x)} (11)

Saludos

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