TARDÍGRADOS

Ciencia en español

Logaritmos: definición de infrasuma e infrarresta

Posted by Albert Zotkin en agosto 17, 2014

Hola amigos de Tardígrados. Hoy voy a intentar definir dos nuevas operaciones aritméticas, que llamaré infrasuma e infrarresta. Empecemos. Sabemos que el logaritmo neperiano de un producto de dos números reales es igual a la suma de los logaritmos neperianos de sus factores

\displaystyle  \log (a \times b) = \log (a) + \log (b)  (1)

y para la división tenemos que

\displaystyle  \log \left (\frac{a}{b}\right ) = \log (a) - \log (b)  (2)

Siguiendo este proceso operativo, nos podemos preguntar si existe un operador binario ⊕ tal que

\displaystyle  \log (a+b) = \log (a) \oplus \log (b)  (3)
Por lo tanto, desde el operador binario suma + deberiamos poder definir ese operador binario ⊕ que llamaríamos infrasuma. De igual forma deberíamos poder definir un operador binario ⊖ tal que

\displaystyle  \log (a-b) = \log (a) \ominus \log (b)  (4)

De hecho es posible expresar esa nuevas operaciones binarias de forma explícita así:

\displaystyle  x \oplus y = x+\log \left (1 + \exp (y-x) \right ) \\ \\  x \ominus y = x+\log \left (1 - \exp (y-x) \right )  (5)

La demostración de esto último es fácil, pues sabemos que:

\displaystyle  x = \log(a) \  \  \  y = \log(b)

con lo cual tenemos que:

\displaystyle  x \oplus y =\log(a) \oplus \log(b) = \log(a+b)= \log(a) +\log \left (1 + \exp (\log(b)-\log(a)) \right ) \\ \\  \log(a+b)= \log(a) +\log \left (1 + \exp (\log\frac{b}{a}) \right ) \\ \\  \log(a+b)= \log(a) +\log \left (1 + \frac{b}{a} \right ) \\ \\  \log(a+b)= \log(a) +\log \left (\frac{a + b}{a} \right ) \\ \\  \log(a+b)= \log(a) +\log (a + b) -\log(a) \\ \\  \log(a+b)= \log (a + b) \\ \\  (6)

La demostración para la infrarresta se hace igual:

\displaystyle  x \ominus y =\log(a) \ominus \log(b) = \log(a-b)= \log(a) +\log \left (1 - \exp (\log(b)-\log(a)) \right ) \\ \\  \log(a-b)= \log(a) +\log \left (1 - \exp (\log\frac{b}{a}) \right ) \\ \\  \log(a-b)= \log(a) +\log \left (1 - \frac{b}{a} \right ) \\ \\  \log(a-b)= \log(a) +\log \left (\frac{a - b}{a} \right ) \\ \\  \log(a-b)= \log(a) +\log (a - b) -\log(a) \\ \\  \log(a-b)= \log (a - b) \\ \\  (7)
A continuación se puede comprobar, por ejemplo, si el operador binario infrasuma ⊕ forma un grupo dentro del conjunto de los números reales. Se han de cumplir las siguientes propiedades.

1. Clausura respecto de la infrasuma ⊕: para dos números reales x e y, xy debe ser un número real Comprobamos que para el caso particular x = 0, y = 0, tendriamos,

\displaystyle  0 \oplus 0 =\log(1) \oplus \log(1) = \log(1+1) = \log(2)   (8)
El caso por el que la clausura no se cumpliría sería para log(0), pero para que eso ocurriese en una infrasuma debería darse el caso especial exp(yx) = -1, pero eso caso sólo resultaria cuando:

\displaystyle  y - x = n i\pi
siendo n un número entero impar. Es decir, y – x sería un número imaginario puro, pero como x e y son números reales, su resta nunca puede ser un número complejo (imaginario puro).

2. Elemento identidad:

\displaystyle  (x \oplus 0) = 0 \oplus x = 0   (9)

Pero, eso no siempre es cierto para todo número real x. Por ejemplo:

\displaystyle  (3 \oplus 0)  = 3.0485873515737420588\dots
Por lo tanto, ya no sería necesario seguir comprobando si se cumplen las demás propiedades de un grupo, como son la propiedad asociativa y el elemento inverso. La infrasuma no formaría un grupo en el conjunto de los números reales, y tampoco la infrarresta. Pero, estamos buscando un número real y tal que xy = x. Con lo cual, sólo para el caso y = -∞ se cumpliría eso. Pero, -∞ (menos infinito) no es ningún número, por lo tamto la infrasuma no posee elemento identidad.

Supongamos que la infrasuma posee elemento identidad – ∞, entonces podemos seguir viendo si se complen las demás propiedades para formar un grupo. Así, para el elemento inverso hay que ver si
xx’ = x’x = – ∞, donde x’ sería el inverso de x. Al resolver esa ecuación obtenemos la solución

\displaystyle  x' = x+i\pi  (10)

Es decir, el inverso de x no sería un número real sino complejo con parte imaginaria \pi.

Saludos

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