TARDÍGRADOS

Ciencia en español

Método de auto-similaridad para detectar teorias falsas de la relatividad

Posted by Albert Zotkin en octubre 24, 2013

En mi anterior post, un amable lector me reprochó en un comentario suyo que yo no había tenido en cuenta la ley de composición de velocidades de Einstein cuando afirmé que la relatividad especial carecía de consistencia interna porque su ecuación del efecto Doppler para ondas electromagnéticas no era auto-similar. Efectivamente esa ecuación no es auto-similar si aplicamos una suma canónica de velocidades (v = v1 + v2), pero si aplicamos la ley de composición de velocidades de Einstein conseguimos que dicha ecuación sea auto-similar. ¿Por qué se consigue tal proeza?. En realidad no es ninguna proeza, sino que cualquier teoría de relatividad que posea una ecuación para el efecto Doppler de ondas electromagnéticas puede ser declarada como auto-similar si se define cómo ha de ser la composición de velocidades en dicha teoría. Toda teoría de relatividad posee la siguiente ecuación genérica para el Doppler:

\displaystyle  f = f_0 \exp \left (\mathrm{S}(\beta)\right )  (1)

donde obviamente \beta=\frac{v}{c} y \mathrm{S}(\beta) es una función de \beta. Puesto que la relatividad especial posee la siguiente ecuación para el Doppler

\displaystyle  f = f_0 \sqrt{\cfrac{1+\beta}{1-\beta}}  (2)

eso significa que la función \mathrm{S}(\beta) para la relatividad especial debe ser

\displaystyle   \exp \left (\mathrm{S}(\beta)\right )= \sqrt{\cfrac{1+ \beta}{1-\beta}} \\ \\ \\   \mathrm{S}(\beta)=\ln \sqrt{\cfrac{1+ \beta}{1-\beta}} \\ \\ \\   \mathrm{S}(\beta)= \frac{1}{2} \ln \cfrac{1+ \beta}{1-\beta}  \\ \\ \\
\displaystyle  \mathrm{S}(\beta)=\mathrm{artanh}\ (\beta)  (3)
Vemos claramente que al aplicar el Doppler genérico al caso de la relatividad especial obtenemos automáticamente una ley de composición de velocidades para ella tal que la hace auto-similar. Es decir, supongamos que queremos componer dos betas distintas \beta_1 y \beta_2, entonces tendríamos

\displaystyle   \exp \left (\mathrm{S}(\beta_1)\right )\exp \left (\mathrm{S}(\beta_2)\right ) = \exp \left (\mathrm{S}(\beta)\right )\\ \\ \\  \exp \left (\mathrm{S}(\beta_1)+ \mathrm{S}(\beta_2) \right )=\exp \left (\mathrm{S}(\beta)\right ) \\ \\ \\
\displaystyle  \mathrm{artanh}\ (\beta_1) +\mathrm{artanh}\ (\beta_2) = \mathrm{artanh}\ (\beta)  (4)

es decir, tenemos cláramente que

\displaystyle  \beta =\cfrac{\beta_1 +\beta_2}{1+ \beta_1\beta_2}  (5)

es la suma de velocidades según la ley de composición de Einstein.

Anteriormente vimos que la ecuación para el Doppler de la mecanica clásica la cual es

\displaystyle  f = f_0  \left (1+\beta \right )  (6)
no es auto-similar si aplicamos la suma canónica de velocidades. Pero curiosamente la podemos hacer auto-similar, igual que hicimos con la relatividad especial, si hallamos una ley de composición no canónica de velocidades para ella. Veamos cuál sería:

\displaystyle   \left (1+\beta \right ) = \exp \left ( \mathrm{S}(\beta) \right ) \\ \\ \\
\displaystyle  \mathrm{S}(\beta) =\ln \left (1+\beta \right )   (7)

con lo cual la suma de betas quedaria asi:

\displaystyle  \mathrm{S}(\beta_1) +\mathrm{S}(\beta_2)=\mathrm{S}(\beta) \\ \\ \\  \ln \left (1+\beta_1 \right ) +\ln \left (1+\beta_2 \right ) = \ln \left (1+\beta \right )  \\ \\ \\  \left (1+\beta \right )=\left (1+\beta_1 \right )\left (1+\beta_2 \right ) \\ \\ \\  \beta =\left (1+\beta_1 \right )\left (1+\beta_2 \right )-1
\displaystyle  \beta =\beta_1 +\beta_2 +  \beta_1 \beta_2  (8)
Esa sería la ley de composición de velocidades en mecánica clásica si la queremos hacer auto-similar, es decir no sería una suma canónica (\beta=\beta_1+\beta_2). Lógicamente, si dotamos a la mecánica clásica de esa ley de composición, ya sería otra teoría distinta, y habría que llamarla de otra forma. En cualquier caso, ahora es fácil demostrar que la única teoría de la relatividad auto-similar que admite una suma canónica de velocidades es la que posee el Doppler

\displaystyle  f=f_0 \exp \left (\beta \right )  (9)
Y para su deducción me remito a mi anterior post.

Saludos

2 comentarios to “Método de auto-similaridad para detectar teorias falsas de la relatividad”

  1. Auxiliadora said

    Tremendo blog.

    Pero si tu teoría es cierta, se podrían sumar canónicamente velocidades y por tanto se podría superar la velocidad de la luz además de observarse variación en la velocidad de la luz en función del observador. Entonces, a pesar de ser “autosimilar”, esa fórmula doppler que has obtenido viola el principio de constancia de la velocidad de la luz y Einstein nos la habría dado con queso, no?

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

 
A %d blogueros les gusta esto: