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Un pequeño apunte sobre el Premio Nobel de Física 2015: oscilación de neutrinos

Posted by Albert Zotkin en febrero 4, 2016

El año pasado la Real Academia de las Ciencias de Suecia entregó el Premio Nobel de Física 2015 al japonés Takaaki Kajita y al canadiense Arthur B. McDonald “por el descubrimiento de las oscilaciones de neutrinos que demuestran que estas partículas subatómicas tienen masa” (Rey Carlos Gustavo de Suecia entrega los Premios Nobel 2015).

Los neutrinos son unas minúsculas partículas elementales que no poseen carga eléctrica, pero poseen algo extraño llamado sabor (flavor). Existen tres clases de sabores, electrónico, muónico y tauónico. Es decir, estas diminutas partículas son como unas pequeñas chuches de tres colores o sabores. neutrinos1

Viajan por el espacio a velocidades ultrarápidas y casi constantes, sin que a penas se vean frenadas ni desviadas al atravesar la materia. Se ha calculado que por cada centímetro cuadrado de la superficie terrestre pasan unos 6.5 × 1010 neutrinos por segundo procedentes del sol (para superficies que apunten hacia él). Se sabe que los neutrinos que salen del Sol son todos de sabor eléctrónico, pero al ser detectados algunos en la Tierra se comprueba que hay de los tres sabores en diferentes proporciones. Eso quiere decir que durante su viaje hacia la Tierra algunos neutrinos eléctrónicos oscilaron y se convirtieron en muónicos o tauónicos. Pero para que un neutrino pueda oscilar necesita tener masa, por muy pequeña que esa sea.

Sorprendentemente, hay muchas evidencias de que el cuadrado de las masas de los neutrinos es negativo. Eso es bastante exótico, por no decir intrigante. ¿Qué significa que los cuadrados de las masas de los neutrinos sean valores negativos?. Pues sencillamente que dichas masas son números imaginarios (números complejos puros). Y la primera consecuencia de eso es que son partículas que viajan a una velocidad superior a la de la luz en el vacío. ¿Por qué ocurre eso?. En los experimentos diseñados para medir las masas de los neutrinos, se obtienen esos resultados porque se usan los formalismos matemáticos de la Relatividad Especial. Más exactamente sus relaciones de dispersión entre energía total (E) y momento (p):

\displaystyle E^2 = m_0^2c^4 + (pc)^2 \\ \\  E = m_0 c^2 \gamma \\ \\  \gamma = \cfrac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} (1)
La energía total E es siempre un escalar, un número real positivo. Si una partícula supera la velocidad de la luz en el vacío, v>c, entonces desde la Relatividad Especial de Einstein se obtiene un factor de Lorentz γ imaginario. Pongamos primero el factor de Lorentz de esta forma:

\displaystyle\gamma=\cfrac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = \cfrac{1}{\sqrt{-1}\sqrt{\frac{v^2}{c^2}-1}}= \\ \\  = \pm \cfrac{i}{i^2 \sqrt{\frac{v^2}{c^2}-1}}=\mp \cfrac{i}{\sqrt{\frac{v^2}{c^2}-1}} (2)

porque \sqrt{-1}=\pm i

y eso significa que, si asumimos que la energía total es siempre un escalar positivo, la masa de un neutrino será un número imaginario (o lo que es lo mismo, un neutrino es un tachión):

\displaystyle E= m_0 c^2 \gamma \\ \\  m_0 \gamma = \frac{E}{c^2} \\ \\  m_{\text{neutrino}}= m_0  i (3)
Observamos con estupor cómo la Relatividad Especial no es la mejor teoría del mundo para analizar la cinemática ni la dinámica de partículas superlumínicas. Para analizar mejor ese tipo de partículas, de las que los neutrinos parecen formar parte, he desarrollado las siguientes relaciones de dispersión que se enmarcan dentro de la Relatividad Galileana. La energía total de una partícula con masa en reposo m0 es :

\displaystyle E = m_0 c^2 \cosh\left( \frac{v}{c}\right) (4)

y su momento lineal viene expresado así:

\displaystyle p= m_0 c \sinh \left( \frac{v}{c}\right) (5)
Esto implica, ni más ni menos, que la relación energía-momento sigue poseyendo la misma forma que la de la Relatividad Especial, pero con el significativo hecho de que no existe ninguna velocidad superior límite:

\displaystyle E^2 = m_0^2c^4 + (pc)^2 \\ \\  E^2 -(pc)^2  = m_0^2c^4  \\ \\   m_0^2c^4 \cosh^2 \left( \frac{v}{c}\right) -  m_0^2c^4 \sinh^2 \left( \frac{v}{c}\right) = m_0^2c^4 \\ \\   \cosh^2 \left( \frac{v}{c}\right) -   \sinh^2 \left( \frac{v}{c}\right) = 1 (6)
que es estricta y matemáticamente la relación existente entre coseno y seno hiperbólicos. Vemos desde esta Relatividad Galileana, cómo cuando una partícula iguala la velocidad de la luz en el vacío, su energía total no es infinita, como predice la Relatividad Especial, sino que es un escalar finito:

\displaystyle E_c = m_0 c^2 \cosh\left( \frac{c}{c}\right) = m_0 c^2 \cosh 1 = \\  E_c = m_0 c^2 1.543080634815243778477905620757061682601529112365[9] (7)
Los neutrinos pueden ser tratados desde esta teoría de una forma más natural que desde la Relatividad Especial. Es decir, ya no surge ninguna masa imaginaria, es todo real y natural. Las predicciones teóricas con estos nuevos formalismos se ajustan a los resultados experimentales de la misma forma que las de de la Relatividad Especial. Dicho de otro modo, no hay, hoy por hoy, con la tecnología actual más avanzada, forma alguna de llegar a un punto donde se pueda afirmar con rotundidad que el experimento diferencia entre una y la otra teoría. Para poder distinguir experimentalmente una predicción entre estas dos teorías antagónicas, habría que poder discriminar con precisiones de medida tales que, a partir de un punto, el valor del factor relativista de Lorentz y el del coseno hiperbólico de la beta, β = v/c, fueran visiblemente distintos. Esto encierra una discriminación en expansiones de series de Taylor como la siguiente:

\displaystyle \cosh \beta =1+\frac{\beta ^2}{2}+\frac{\beta ^4}{24}+\frac{\beta ^6}{720}+\frac{\beta ^8}{40320}+\frac{\beta ^{10}}{3628800}\dots \\ \\  \gamma = 1+\frac{\beta ^2}{2}+\frac{3 \beta ^4}{8}+\frac{5 \beta ^6}{16}+\frac{35 \beta ^8}{128}+\frac{63 \beta ^{10}}{256}\dots (8)
Es decir, para poder afirmar que una de esas dos teorías pasa el test experimental y la otra no, habría que alcanzar una precesión experimental tal que se discriminara entre las cuartas potencias de la beta, β = v/c: cosh
Alguien escéptico de lo que aquí afirmo podría decir que en el acelerador de partículas más puntero, el LHC, se alcanzan velocidades del orden de v = 0,999999991c, que equivale a un factor de Lorentz de γ = 7460. Por lo que en ningún caso se observan velocidades superlumínicas. Pero, eso no es exactamente así, porque lo que se miden en el LHc no son velocidades, sino energías y momentos. Las velocidades de los protones que circulan por el LHC son deducidas teóricamente aplicando los formalismos matemáticos de la Relatividad Especial. En modo alguno, esas velocidades son medidas directamente. Veamos qué velocidad predice la Relatividad Galileana cuando aplicamos sus formalismos expresados arriba en (4) y (5), para una energía total de un protón de 7 TeV:

\displaystyle v = c\; \text{arcosh} \left( \cfrac{E}{m_0 c^2}\right) (9)

La masa del protón es m_0 = 938.3\; \text{MeV}/c^2. Por lo tanto, m_0 c^2 = 9.383 \times 10^{-4} \; \text{TeV}. Esto da un valor para la velocidad de:

\displaystyle v = c\; \text{arcosh} \left( \cfrac{7}{9.383 \times 10^{-4}}\right)=9.6105\;c (10)
Pero volviendo al tema de la velocidad de los neutrinos, hace ya algunos años se hizo un experimento para medir dicha velocidad, y el resultado fue muy polémico, ya que concluía que antineutrinos muónicos daban velocidades ligeramente superior a la de la luz en el vacío. Este experimento se llamó OPERA, y afirmaba haber medido velocidades superlumínicas en un chorro de antineutrinos muónicos emitido desde el CERN hasta Gran Sasso, viajando una distancia de 730 km. Se observó con sorpresa que dichos neutrinos llegaban antes que si viajaran a la velocidad de c = 299792458 m/s. Esa desviación respecto de c correspondía exactamente a:

\displaystyle \cfrac{v-c}{c}=2.37\pm 0.32 \times 10^{-5} (10)
Esa es una desviación demasiado grande respecto a c, por lo que indicaría que la Relatividad Especial está acabada. Mucho mas tarde se “comprobó” (lo pongo entre comillas porque siempre queda un olorcillo conspiratorio) que todo se debía a un error sistemático. Se comprobó que un cable de fibra óptica mal conectado era el responsable principal de esa desviación. ¿Cuál es el problema de todo esto?. El problema del cable mal apretado consiste básicamente en que no es ciencia es sólo tecnología, y eso da pie a que la conspiración aflore de forma natural. ¿Cuántos notarios constataron que el cable estaba mal apretado?. ¿Cuántos testigos había en el momento en que se descubrió que un cable estaba mal conectado?. Eso no es ciencia, es tecnología llevada al juzgado de guardia. Por eso, siempre está la sombra de la sospecha de la conspiración para dar carpetazo al tema de la velocidad de los neutrinos. Todos nos creemos que los neutrinos no superaron nunca la velocidad c, la Relatividad Especial permanece tan válida como siempre, y todos tan contentos. A nadie se le volverá a ocurrir nunca repetir ese experimento con los cables bien apretados, no sea que vuelva el fantasma de la velocidad superlumínica, y entonces haya que ver a qué aparato endosamos el error sistemático para que la eterna Relatividad Especial siga siendo nuestra única teoría.

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El origen del universo: El principio de Mach nos dice que el universo es eterno e infinito

Posted by Albert Zotkin en julio 29, 2015

El principio de Mach nos ilumina con algo casi esotérico pero indiscutible, a saber, que la fuerzas centrífugas tienen su causa en la rotación de los cuerpos respecto de las estrellas distantes, que son consideradas como fijas. Esa influencia es “instantánea”. Si un cuerpo está rotando respecto a las estrellas remotas y mágicamente estas desaparecieran, entonces de forma instantánea la fuerza centrífuga que experimenta ese cuerpo desaparecería también. Este principio tiene no sólo implicaciones para los momentos de inercia de los cuerpos, sino que también explica sus movimientos rectilíneos uniformes y otras muchas cosas más. En particular, veremos cómo el origen de la masa de las partículas se debe fundamentalmente a la existencia de materia bariónica remota (estrellas distantes). Es decir, que lo que otorga masa a las partículas fundamentales no es ningún bosón de Higgs sino la materia circundante a dicha partícula fundamental. Veamos cada uno de estos puntos.

El momento de inercia es equivalente a la masa cuando un cuerpo posee rotación, y por lo tanto la masa de un cuerpo es equivalente a un momento de inercia cuando dicho cuerpo se mueve inercialmente (movimiento rectilinea uniforme). La masa inercial del cuerpo (su inercia) es la resistencia que ofrece el cuerpo a ser acelerado rectilíneamente en un ambiente donde las fuerzas gravitacionales no son significativas. Mientras que el momento de inercia es la resistencia que presenta ese cuerpo a ser acelerado en rotación. Vemos pues que masa inercial y momento de inercia son equivalentes, cada uno en su respectivo tipo de movimiento. Obviamente, el movimiento rectilineo uniforme puede ser visto como un movimiento rotatorio alrededor de un eje situado a una distancia infinita (allá donde están las estrellas remotas de que habla el Principio de Mach). Luego si el radio de curvatura de la rotación va aumentando vemos que el momento de inercia se va transformando progresivamente en masa inercial. Por lo tanto, el principio de Mach puede formularse matemáticamente de muchas formas. Una de ellas es la definición del momento de inercia I de un cuerpo de masa M:

\displaystyle I = Mr^2  (1)

donde r es la distancia al eje de rotación. Y para un sistema de cuerpos dicho momento inercial sería la suma

\displaystyle I = \sum m_ir_i^2  (2)

Si el universo no fuera infinito en todas las direcciones espaciales, una partícula de pruebas podria sentir más atracción gravitatoria en una dirección que en otras y eso implicaría que en esa región del universo no sería posible el movimiento inercial uniforme, ya que los sistemas de referencia serian no inerciales. En realidad, sería mucho peor que eso: el cuerpo no podría girar inercialmente según ciertos ejes de simetria y acabaría parándose en su giro como si existiera alguna fuerza de rozamiento. Pero, tal fuerza de rozamiento no existiria, implemente ese cuerpo estaría en una ubicación cósmica asimétrica, con más materia hacia un lado que en el opuesto, y eso sería la causa de su deficiente rotación inercial.

La materia que rodea a una partícula crea su masa. La masa y el espacio están íntimamente unidos. Allí donde hay mucha concentración de masas se podría afirmar que existe “mucha densidad de espacio”. En otras palabras, la unidad de medida de longitud llamada metro no sería algo constante, invariante, sino que estiraría o se contraería dependiendo de la densidad de materia en una región de espacio. Eso explicaría la gran distancia que existe entre estrellas dentro de una galaxia, o las inmensas distancias intergalácticas entre cúmulos de galaxias. Según esta hipótesis, la distancia de 1 metro en el punto intermedio entre dos estrellas sería mayor comparado con 1 metro en las proximidades de una de ellas. Una nave espacial interestelar que viajara desde una estrella hacia la otra tardaría mucho menos tiempo en recorrer x metros en la zona intermedia que esos mismos x metros en una zona mas próxima a una de esas estrellas. Las masas contraen el espacio en sus proximidades y lo expanden (“estiran”) en regiones mas alejadas de su centro. Todo esto traducido a cinemática y dinámica indica que si un móvil tarda más tiempo en recorrer x metros en una determinada región que en otra anterior o posterior por la que pasó o pasará, quiere decir que lo que se observa es una aceleración. Pero, todo es mas complejo que una mera expansión o contracción estática del espacio debido a la presencia de masas. El hecho sería similar a un flujo de espacio que se dirige hacia el centro de la masa. Así, ese flujo sería de mayor “densidad” en las proximidades de las masas y de menor “densidad” en las regiones más alejadas del centro. El símil hidráulico aquí nos sirve. El agua de un río fluye a cierta velocidad promedio, que podría ser casi nula en la lejanía, pero cuando el cauce del río se estrecha en cierto punto, la velocidad del agua aumenta. La materia estrecharían esos cauces por los que fluye espacio.

Tampoco sería posible concebir un universo vacio de materia. Un universo vacío, sería un universo inexistente porque sería la materia la que crea la extensión. Sin materia no habría extensión espacial. Cabe pues preguntarse cuánto espacio crearía a su alrededor 1 kilogramo de masa. La respuesta nos la da la siguiente ecuación:

\displaystyle r = \cfrac{2GM}{c^2} (3)
por lo tanto,si toda esa masa estuviera concentrada en su centro, una masa de pruebas no podría alejarse mas allá de

\displaystyle r = 1.485227603223509 \times 10^{-27} \  \mathrm{metros}
porque, sencillamente, no habría más espacio disponible en dicho universo.¿De donde sale esa ecuación (3)?. Es una ecuación de la velocidad de escape de un campo gravitatorio cuando dicha velocidad de escape es la velocidad de la luz. Veamos. Cuando igualamos la energía cinética de la masa de pruebas m con su energía gravitacional en el campo gravitatorio creado por la masa M, obtenemos lo que se llama velocidad de escape:

\displaystyle \cfrac{mv^2}{2} - \cfrac{GMm}{r}=0 \\ \\  \cfrac{v^2}{2}  =\cfrac{GM}{r} \\ \\  v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}} (4)
Es decir, si la masa de pruebas, m, supera la velocidad de escape ve a la distancia r y en dirección radial centrífuga, dicha masa continuaría alejándose de la masa M a dicha velocidad constante de escape. Pero, eso sólo sería posible si el universo tuviera más masa que la suma M + m. Es decir, en un universo con masa total M + m, la masa de pruebas m no podría llegar muy lejos, aunque igualara o superara esa velocidad de escape. Pues, esa distancia r sería ni más no menos que el radio de dicho universo si la velocidad de escape igualara la velocidad de la luz.

El radio de r = 1.485227603223509×10-27 metros, que he calculado arriba para una masa de M = 1 Kg, sería menor que el radio de un protón, el cual está entre 0.84 y 0.87 femtómetros (1 fm = 1×10-15 m).

Saludos

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Velocidades superlumínicas en el LHC del CERN

Posted by Albert Zotkin en marzo 30, 2015

El Gran Colisionador de Hadrones (LHC) tiene previsto este año (2015) reiniciar sus colisiones protón-protón, después de dos años de parada técnica por tareas de mantenimiento. En principio se tenia previsto llegar a colisiones con el máximo de energía para la que fue diseñada la compleja máquina. Esa máxima energía es de 14 TeV (14 Tera-electrón-voltios), pero por razones de optimización posterior, y atendiendo a las características técnicas de los 1232 imanes dipolares superconductores de que está dotado el anillo de 27 kilometros de circunferencia del LHC, la energía a la que llegarán las colisiones este año será de 13 TeV. Aun así, esa energía es significativamente mayor que la que se utilizó al principio, que fue de 7 TeV, llegando después hasta 8 TeV.

Según la Relatividad Especial, la energía total E de una partícula de masa m se expresa así:

\displaystyle E = \gamma mc^2

siendo γ el famoso factor de Lorentz

Si la energía total a desarrollar para los dos protones que colisionan en el LHC es de 13 TeV, entonces para uno de esos protones, y en un sistema de referencia centrado en el centro de masas de ambas partículas, la energía sería de 6.5 TeV y le correspondería un factor de Lorentz de:

\displaystyle    6.5 \times 10^{12} \;  \mathrm{eV} \times 1,602 \times 10^{-19} \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{eV}} = \gamma \; 1,67 \times 10^{-27} \; \mathrm{Kg} \times 3 \;10^8 \; \left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right )^2  \\ \\  \gamma = 6937.7

y ese factor de Lorentz representaría una velocidad de :

\displaystyle   v = c\sqrt{1-\frac{1}{\gamma^2}}= 0.9999999896c

muy próxima a c, pero sin superarla, como dicta la Relatividad Especial.

La velocidad de la luz es, si cabe, uno de los fenómenos físicos más extraños y menos entendidos desde el punto de vista científico. Ni siquiera nadie puede afirmar con rotundidad que esa sea una verdadera velocidad de algo (un fotón) que se desplace por el llamado espacio-tiempo (constructo teorético que también se las trae como concepto bastante artificioso).
Veamos ahora cómo se modela el movimiento de un protón desde otra teoría de la relatividad, en la que la dilatación del tiempo, y/o del espacio, no es necesaria para explicar nada. En dicha teoría la energía total viene definida así:

\displaystyle E = mc^2 \cosh \left(\frac{v}{c}\right)

con lo que obtenemos una velocidad para un único protón de:

\displaystyle   v = 9.5378784612c

proton-proton

es decir, ¡nueve veces y media la velocidad de la luz! Representemos en dos gráficas comparativas el factor de Lorentz γ y el factor coseno hiperbólico, el cual pertenece a la teoría de la relatividad Galileana:

sl

¿A partir de qué energía total un protón superaría la velocidad de la luz c?

\displaystyle   E=m c^2\cosh 1=1.4457 \;\mathrm{GeV}
A los incrédulos les diré que para comprobar si una partícula supera o no la velocidad de la luz, lo primero que hay que hacer en el experimento es sincronizar dos o más relojes distantes. Ahí está la clave de todo este meollo. La sincronización de relojes es algo absolutamente convencional, es decir, algo arbitrario que ha emanado de la invención humana. La naturaleza no necesita sincronizar relojes para poder funcionar ni comprobar nada, simplemente funciona. En cambio, dependiendo de qué convención arbitraria utilicemos para sincronizar dos o más relojes distantes, obtendremos diferentes resultados dispares en las mediciones de las velocidades. Hay que saber que existen infinitas convenciones de sincronización de relojes, todas ellas igual de válidas. Elije una de ellas y estarás creando una teoría de la relatividad ni más ni menos válida que la actualmente reinante en el mundo de la física.

Pero, los físicos de partículas no son tontos, no se complican la vida afirmando o negando que una partícula, o un puñado de ellas, supera la velocidad de la luz en el vacío. Los físicos de partículas simplemente usan algo llamado rapidez, que se aproxima algo al concepto de velocidad, pero no es igual. Sólo decir, por último, que si llamamos f a dicha rapidez, entonces la velocidad v, que consideramos en la teoría de la relatividad Galileana, se relaciona con ella de la siguiente forma:

\displaystyle   v = c\varphi

Saludos

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Colisiones protón-protón en el LHC modeladas mediante Relatividad Galileana Completa

Posted by Albert Zotkin en octubre 7, 2012

En el LHC cada protón puede alcanzar una energía total de 7 TeV. Eso significa que en el contexto de la RGC (Relatividad Galileana Completa), podemos escribir dicha energía total como:

\displaystyle E= mc^2 \cosh\left (\cfrac{v}{c} \right )

https://www.youtube.com/watch?v=9hvd1F3GvaQ

ATLAS Experiment © 2012 CERN

Con lo cuál podemos calcular la \beta=v/c  ,

\displaystyle \cfrac {v}{c} = \cosh^{-1} \left (\cfrac{E}{mc^2} \right )

Que para esa energía de 7 TeV, será

\displaystyle \cfrac {v}{c} = \cosh^{-1} \left (\cfrac{7\times 10^{12}\; \mathrm{eV}\times 1.602\times 10^{-19}\; \mathrm{J/eV} }{1.67\times 10^{-27}\; \mathrm{kg}\; (3\times 10^8\; \mathrm{m/s})^2} \right )   \\ \\ \displaystyle \cfrac {v}{c} = \cosh^{-1} \left (7461.08 \right ) = 9.6106

Y eso quiere decir que tenemos una velocidad de uno de los protones respecto al centro de masas de

\displaystyle v \approx 9.61 \; c

O una velocidad de aproximación de un protón respecto del otro de:

\displaystyle v' = 2 v \approx 19.22 \; c

Algún apasionado de la relatividad de Einstein podría acalorarse, al leer lo que hay escrito arriba, podría perder la compostura y lanzar un berrido del tipo:

“!Eso es mentira!!!!!! !Nada puede viajar más rápido que la luz en el vacio!!!”

Pero entonces yo le invitaría a que se calmara, porque el contexto no es el de la Relatividad Especial (RE), sino como he dicho arriba el de la RGC. Es posible establecer una relación entre ambas teorías. Lo que en la RGC es una \beta=v/c  , en la RE es una rapidez (rapidity), \theta  . La relación matemática entre ambas magnitudes que, hay que dejar bien claro, pertenecen a teorías distintas, es \beta=\tanh(\theta)  .
¿Cuántas vueltas dará al cabo de 1 segundo uno de esos protones circulando por el LHC a 7 TeV?. Sabiendo que la longitud de la circunferencia del LHC es L = 2\pi r = 26679 \;\mathrm{m} , tenemos

\displaystyle N = \cfrac{v}{2\pi r} \\ \\ \\ N = \cfrac{299792458 \times 9.6106 }{26659} \\ \\ N = \cfrac{2881185396.8548}{26659} = 108075.524 \; \mathrm{vueltas/segundo}

Obviamente, 9.61 veces más vueltas que las que se predicen desde la RE. La frecuencia de circulación es pues aproximadamente de

\displaystyle f \approx 108 \;\mathrm{kHz}

Si cada t=24.95\; \mathrm{ns} se inyecta un nuevo haz de protones, entonces la distancia entre dos haces consecutivos será de

\displaystyle d = v t \approx 71.883 \; \mathrm{m}

Otro interesante problema es saber cuántas vueltas al LHC podrá dar un protón de un haz antes de que la gravedad lo desvie y lo haga colisionar contra las paredes del tubo de vacio por el que circula. Sabemos que el radio de ese tubo de vacio es aproximadamente de h \approx 28 \;\mathrm{mm} , por lo tanto tenemos que

\displaystyle t = \sqrt{\cfrac{2h}{g}} \\ \\ \\ t=76 \;\mathrm{ms}

que multiplicado por el número de vueltas por segundo, N, tenemos

\displaystyle n = N t =108075.524 \times 76 \times 10^{-3} \approx 8213.74 \;\mathrm{vueltas}

Calculemos ahora cuál sería la aceleración centrípeta de un protón que circula a 7\; \mathrm{TeV}. La ecuación de la aceleración centrípeta es

\displaystyle a_c = \cfrac{v^2}{r}

donde v es la velocidad tangencial y r es el radio de la trayectoria circular por la que se mueve el protón. Como dicha velocidad v se ha calculado anteriormente, siendo v\approx 9.61c, y el radio es r = 4242.91 \mathrm{m}, tenemos,

\displaystyle a_c = \cfrac{(9.61c)^2}{4242.91} = 1.95625\times 10^{15} \;\mathrm{m/s^2} \\ \\ \\

Por lo tanto sería 1.99617\times 10^{14} veces la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre.

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Deducción de la fórmula del Doppler Completo usando un telescopio reflector Newtoniano

Posted by Albert Zotkin en octubre 2, 2012

Consideremos un telescopio reflector newtoniano, por el que entra luz procedente de una fuente emisora que se aleja inercialmente por la misma linea de visión. La luz que refleja el espejo parabólico primario posee pues una frecuencia f, la cual, por el efecto Doppler, es  menor que la frecuencia original f0 que emite la fuente. Aceleremos ahora un diferencial de velocidad dv el espejo parabólico primario hacia el espejo central diagonal.

Eso significa que el espejo central diagonal está reflejando ahora luz hacia el objetivo con una frecuencia ligeramente mayor a f, es decir, esa frecuencia será f’ = f + df. Por lo tanto podemos escribir la siguiente ecuación diferencial y hallar su solución:

f+df = f \left(1 + \cfrac{dv}{c}\right) \\ \\ f+df = f + \cfrac{f\;dv}{c} \\ \\ df = \cfrac{f\;dv}{c} \\ \\ \cfrac{df}{f} = \cfrac{dv}{c} \\ \\ \ln \left (\cfrac{f}{f_0} \right) = \cfrac{v}{c} \\ \\ f = f_0\exp \left(\cfrac{v}{c}\right) \\ \\

Con lo cual hemos hallado la fórmula del Doppler completo.

En la ecuación diferencial inicial he usado la fórmula del efecto Doppler de primer orden de aproximación, es decir la clásica no relativista. Es importante recalcar que cuando se integra un diferencial de velocidad lo que se está haciendo es sumar infinitas cantidades infinitamente pequeñas, es decir, en el proceso de integración se está acelerando constantemente al sistema material, y al final de la integración el sistema material aceleró desde 0  hasta v  ,

\displaystyle\int \cfrac {dv}{c} = \cfrac{1}{c}\left(dv+dv+dv+... \right) =\cfrac{v}{c}

Alguien que se suponía entendido en la matería alegó que usar dicha fórmula de primer orden de aproximación para deducir una fórmula de Doppler completo no es correcto, porque desde ella  no es posible hallar ninguna fórmula que posea los infinitos órdenes. Por supuesto, dicha persona está muy equivocada al respecto. Ya Euclides demostró que es posible aproximarse al área de un circulo mediante rectángulos con la longitud de uno sus lados siendo un infinitesimal. En esta deducción, se aplica algo muy similar y que está en la naturaleza de la propia definición de integral. De hecho la solución hallada vemos que es un área. Dicha área es precisamente \beta=v/c  , que se corresponde con el área \ln(f/f_0)  .
Después vino otro supuesto entendido en la materia y afirmó que yo estaba muy confundido, porque lo que en esa fórmula aparece como \beta=v/c  es en realidad una  rapidez (rapidity). Esta persona me indicó que lo que yo llamo velocidad v  es en realidad una velocidad hiperbólica, tal y como está definida en la teoria de la relatividad especial de Einstein. Efectivamente, la velocidad hiperbólica de la relatividad especial, que también se llama celeridad, es igual a la rapidez multiplicada por c  . Efectivamente, si sustituimos en la exponencial que he hallado la \beta=v/c  por la  rapidez, \theta = \tanh^{-1}\beta  , obtenemos la famosa fórmula relativista del Doppler, f= f_0\sqrt{(1+v/c)/(1-v/c)}  . Pero, a este último supuesto experto en la materia le dije que, puesto que yo no estaba usando la relatividad especial, sino la relatividad Galileana, no hay confusión posible, por lo tanto la  velocidad v  , se postula como una velocidad real, y nunca como una velocidad hiperbólica.
Todos esos supuestos entendidos en la materia intentan refutar la fórmula del Doppler Completo hallada arriba, afirmando que los experimentos validan todos la relatividad especial pero invalidad la fórmula que yo hallé. Eso que afirman, es, por supuesto, una gran mentira. Lo dicen únicamente porque se dejan influenciar por su primera impresión de que yo debo de estar confundidísimo y la relatividad especial tiene que seguir siendo la mejor y más testada teoría al respecto. Pero si comparamos las expansiones en series de potencias (series de Taylor) en ambas fórmulas, tenemos:

\cfrac{f}{f_0} = \exp \left (\cfrac{v}{c}\right )= 1+\cfrac{v}{c}+\cfrac{v^2}{2 c^2}+\cfrac{v^3}{6 c^3}+\cfrac{v^4}{24 c^4}+... \\ \\ \\ \cfrac{f}{f_0} = \sqrt{\cfrac{1+v/c}{1-v/c}} = 1+\cfrac{v}{c}+\cfrac{v^2}{2 c^2}+\cfrac{v^3}{2 c^3}+\cfrac{3 v^4}{8 c^4}+...

Es decir, se necesitaría un experimento que pudiera discriminar ambas predicciones con una precisión tal que llegara hasta el tercer orden de aproximación, pero eso no es posible realizarlo con la tecnología actual. La precisión actual en los tests experimentales sólo llega hasta el segundo orden, v^2/2 c^2  .
Corolario 1: Es fácil  deducir el momento de una partícula desde el efecto Doppler :

\textbf{p} = \cfrac {m\textbf{c}}{2} \left (\mathrm{D}(v/c) - \mathrm{D}(-v/c) \right )

esta ecuación genérica del momento se cumple siempre para cualquier factor Doppler \mathrm{D}(v/c)  de cualquier teoría. Donde \textbf{c}  es un vector en la dirección del movimiento de la partícula. El factor Doppler Completo arriba deducido es \mathrm{D}(v/c) =\exp(v/c)  , por lo tanto, el momento que se deduce desde ese factor Doppler es:

\textbf{p} = m\textbf{c} \sinh \left ( \cfrac{v}{c} \right )

De igual forma, la energía total de una partícula deducida desde el Doppler saldría de la ecuación genérica:

E = \cfrac {m c^2}{2} \left (\mathrm{D}(v/c) + \mathrm{D}(-v/c) \right )

Por lo tanto, tenemos:

E = m c^2 \cosh \left ( \cfrac{v}{c} \right )

También es fácil ver que para el caso de la relatividad especial, tendriamos \mathrm{D}(v/c) =\sqrt{(1+v/c)/(1-v/c)}  . Por lo tanto, después de algunas manipulaciones algebráicas obtenemos E = mc^2 \gamma   y p = mv\gamma  , donde \gamma  es el factor de Lorentz.
Y por supuesto, tambien es fácil ver que las ecuaciones genéricas de arriba satisfacen la relación E^2 -c^2p^2 = m^2c^4  , si la función genérica \mathrm{D}(v/c)  posee la propiedad \mathrm{D}(v/c)\mathrm{D}(-v/c) =1  , propiedad que debe poseer todo factor Doppler que pretenda no ser inconsistente con el efecto físico que modela.

Corolario 2:  Este problema me lo planteó amarashiki, en una discusión dentro de un thread del blog Francis (th)E mule Science’s News, con la malsana intención de refutar definitívamente el modelo que yo propongo:

Ejercicio: calcula, usando TU definición de energía y momento, la energía mínima y la energía cinética mínima para crear un par protón antiprotón en la colisión de un protón A con un protón B en reposo. Nota, no puedes usar la definición relativista de energía E=m\gamma c^2 ni p=m\gamma v, sino que tienes que usar tus ecuaciones, a saber E=mc^2\cosh(v/c) y p=mc\sinh(v/c). Yo ya he hecho los cálculos. En relatividad especial sale que la energía mínima es 7mc^2 (donde m es la masa del protón), y la energía cinética mínima es 6mc^2. En tu teoría con TUS definiciones de energía y momento, antes escritas, yo digo que es IMPOSIBLE la creación de pares. Como la creación de pares se observa experimentalmente, entonces tu teoría es un cuento chino. Refútame, si puedes…Con ecuaciones…

Lo que sigue fue lo que yo le contesté:

Este ejercicio lo voy a resolver primero usando un sistema de referencia centrado en el centro de masas de los dos protones, por lo tanto el momento total será nulo. Primero voy a calcular suponiendo que la reacción creará un pión, \pi^0, con todas las partículas finales en reposo tras la colisión, (p,p,\pi^0). Usando mi modelo, la energía total del sistema será:

E = 2mc^2 = 2m_p c^2 + m_\pi c^2

donde

m = m_p \cosh(v/c)

por lo tanto para la creación de ese \pi^0 la velocidad de aproximación de cada protón hacia el centro de masas debe ser de

v = c \cosh^{-1} \left ( 1+ \cfrac{m_\pi}{2m_p} \right )

Y como en mi modelo las velocidades se suman trivialmente como suma de vectores, tenemos que la velocidad, v', de aproximación de uno de los protones en el sistema de referencia donde el otro protón está en reposo sería de

v' = v+ v = 2c \cosh^{-1} \left ( 1+ \cfrac{m_\pi}{2m_p} \right )

Esto sería para la reacción que crea un pión, p + p \rightarrow p+p+\pi^0. Y es muy fácil ver ahora que la reacción que crea un par protón-antiprotón, p + p \rightarrow p+p+p+\bar{p}, debe implicar una velocidad de aproximación de un protón hacia el otro de:

v' = 2c \cosh^{-1} \left ( 1+ \cfrac{2m_p}{2m_p} \right ) = 2c \cosh^{-1}(2) = 2.63392c

Lo cual significa que la energía cinética mínima será

E_k = m_p c^2 (\cosh (2.63392) -1) = 6 m_p c^2

Y la energía total mínima será de

E = m_p c^2 \cosh (2.63392) = 7 m_p c^2

Traducido al modelo de la SR, donde la constante c juega el rol falso de una velocidad límite, que no puede ser superada por nada, tendriamos una velocidad de

v'' = \tanh (2.63392) c = 0.989743 c

Ese es el engaño que la SR logró colar a toda la física desde hace más de un siglo. Creer que las partículas no pueden superar la velocidad c, cuando de hecho esa velocidad es superada rutinariamente en cualquier acelerador de partículas, incluso en los muones creados por rayos cósmicos en la atmósfera terrestre. Para perpetrar ese engaño, la SR ideó efectos como la dilatación del tiempo, o la contracción de las longitudes, o el más absurdo aún de la relatividad de la simultaneidad de eventos, y trampas teoréticas como la convención de Einstein para la sincronización de dos relojes en reposo muy alejados.
Corolario 3: Veamos cómo la dilatación del tiempo, que se afirma haberse testado con éxito en los muones de rayos cósmicos, es en realidad una gran falacia. Los muones poseen una vida media de 2.19703(4) \; 10^{-6} \; \mathrm{s}. Pero entonces un muón creado en las altas capas de la atmósfera terrestre no tendría suficiente tiempo de llegar a ser detectado en la superficie terrestre, incluso viajando a velocidad de c, o como mucho solo sería detectada una cantidad muy pequeña de muones, la cual no se correspondería con lo que se observa. El razonamiento mainstream es que los muones deben poseer velocidades relativistas muy altas, pero nunca superlumínicas, es decir esos muones deben tener velocidades del orden de 0.999c, o más cerca de caún. Según la SR, a esas velocidades tan cercanas a c, existe una significativa dilatación del tiempo propio del muón, con lo cual su vida media se prolongaría exactamente la cantidad necesaria de tiempo para observar lo que es observado. Se puede comprobar fácilmente que eso es una falacia. Lo que sucede realmente es que los muones conservan constante su vida media de 2.19703(4) \; 10^{-6} \; \mathrm{s} , pero sus velocidades son superiores a c. Veamos con más números por qué es una falacia la interpretación de la SR afirmando que lo que se observa es debido a una dilatación del tiempo. Supongamos que un muón posee, cuando es creado en altas capas de la atmósfera, una energía total de E= 20 \;\mathrm{GeV}. Entonces con esa energía es muy fácil calcular cuál debe ser la velocidad de un muón, pues

E = mc^2 \cosh(\cfrac{v}{c}) \\ \\ \\ v = c \cosh^{-1} \left (\cfrac{E}{mc^2}\right )

y como la energía en reposo de un muón es E_0 = mc^2 = 105.658367(4) \;\mathrm{MeV}, tenemos que

v = c \cosh^{-1} \left (\cfrac{20\; 10^9}{105.6\; 10^6 }\right ) = 5.93697c \approx 6c

O sea, los muones con energía 20 \;\mathrm{GeV} creados en las altas capas de la atmósfera llegan a los detectores en la superficie a tiempo porque poseen una velocidad de unas ¡seis veces la velocidad de la luz!. Esto demuestra también, irrefutablemente que los neutrinos muónicos, resultado de la desintregación de muones, medidos en el experimento OPERA viajaron realmente a velocidades superlumínicas, aunque, como he demostrado de forma fehaciente, es más que evidente que los formalismos de la SR enmascaran esa realidad.
Corolario 4: Podemos ver que la ecuación diferencial desde la cual se podría integrar el Doppler relativista de la Relatividad Especial sería,

\cfrac{df}{f} = \cfrac{dv}{c (1- \frac{v^2}{c^2})}

con lo que si integramos tenemos,

\ln \left (\cfrac{f}{f_0} \right )=\tanh^{-1}\left(\cfrac{v}{c} \right ) \\ \\ \\ \ln \left(\cfrac{f}{f_0} \right)=\cfrac{1}{2}\ln \left\{\cfrac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}\right\} \\ \\ \\ \displaystyle f = f_0 \sqrt{\cfrac{1-\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}}

El problema de esta ecuación de la Relatividad Especial reside en el hecho de que no está del todo claro de qué situación fisica o condición inicial podríamos plantear tal ecuación diferencial para que la deducción tuviera consistencia no sólo matemática sino fisica. De todas formas, intentemos profundizar un poco más en esta última relación. Vemos que al integrar la ecuación diferencial obtenemos \ln (\frac{f}{f_0})=\tanh^{-1}(\frac{v}{c} ), y vemos que esa arcotangente hiperbólica es precisamente la definición de rapidez(rapidity en inglés). O sea,

\theta =\tanh^{-1}\left(\cfrac{v}{c} \right )

Y eso significa que d\theta es un diferencial de rapidez, de tal forma que al integrar

d\theta= \cfrac{dv}{c (1- \frac{v^2}{c^2})}

obtenemos la rapidez \theta. Y este corolario demuestra que en la fórmula de Doppler Completo que deduje arriba no se confunde ninguna velocidad con la velocidad hiperbólica, ni ninguna \beta con la rapidez \theta, porque se ve cláramente que esta última posee su propia ecuación diferencial.

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