TARDÍGRADOS

Ciencia en español -ʟᴀ ʀᴀᴢóɴ ᴇsᴛá ᴀʜí ғᴜᴇʀᴀ-

Hola, os presento a Tahawus: una extensión de la función W de Lambert

Posted by Albert Zotkin en abril 3, 2018

Hola, amigo incondicional de tardígrados. En mi artículo anterior, hablé entre otras cosas de una constante matemática, a la cuál tuve el atrevimiento de bautizar con el nombre de Tahawus. Se me ocurrió ese nombre por que fue el matemático Richard P. Stanley el primero que demostró hace poco que esa constante es un número transcendente. Le puse Tahawus porque Stanley nació y se crió en un pequeño pueblo minero, del estado de Nueva york, que ya no existe, llamado Tahawus. Ahora es más un pueblo fantasma que otra cosa, ya que sus pocos habitantes se trasladaron a Newcomb. Pero, aquí lo que nos interesa es hablar de ese número y de sus propiedades. La constante que llamé Tahawus, es en realidad una de las raíces reales de la ecuación:

\displaystyle x^x - x-1 = 0 (1)
y su valor es en sus primeros digitos decimales este:

\displaystyle \text{\small Tahawus}= 1.7767750400970546974797307440387567486374110343292961390843740\ldots (2)
La ecuación (1) no puede ser resuelta fácilmente en forma cerrada, ni siquiera usando la conocida función W de Lambert. Sólo puede ser resuelta de forma cerrada mediante una nueva función, que, como no podía ser de otra forma, llamaré Tahawus (x), y la designaré con la letra griega ?. Por lo tanto, lo que antes llamaba la constante Tahawus, ahora pasará a ser el valor que toma esa función para x = 1. Es decir, tendremos:

\displaystyle \mathcal{T} (1) = 1.7767750400970546974797307440387567486374110343292961390843740\ldots (3)
No sin mucho esfuerzo, descubrí que esta función Tahawus, ?, es simplemente la función inversa de

\displaystyle y = \frac{x^{x}-1}{x} \\ \\ (4)
Es decir, sólo podemos despejar la x de esa ecuación mediante la función inversa Tahawus,

\displaystyle x=\mathcal{T}(y) (5)
Las representaciones gráficas de estas dos funciones, (4) y (5) son así:

Vemos que cada una es la imagen especular (reflejada) de la otra, respecto de la recta identidad y = x, porque esa es la característica principal de todas las funciones con sus inversas. Si intentamos hallar una forma cerrada de la función Tahawus, comprobaremos nuestra frustración pronto, por que es muy difícil. Aún, no se ha descubierto una forma cerrada para esa función. Por ejemplo, sabemos hallar una forma cerrada para la función inversa de y = xx, utilizando la función W de Lambert, y es esta:

\displaystyle x = e^{W(\log (y))} (6)
Esta función inversa de y, se llama super raíz cuadrada, ya que la función y = xx, es una tetración cuadrática, es decir la variable x exponenciada así misma una vez. Esta tetración la podemos escribir también mediante super índices que preceden a la variable. Por ejemplo:

\displaystyle y = {^{2}x}=x^x  (7)
Super raíz cuadrada

Podríamos pensar que la función (4) inicial, la que tiene como inversa a la función Tahawus, como tiene incluida una tretación cuadrática, la (7), podríamos conseguir explicitar su inversa mediante esas super raíces cuadradas. Es decir, sería algo así como resolver una ecuación cuadrática estándar, pero con super raíces cuadradas em lugar de las raíces cuadradas. No parece fácil la tarea. Lo primero que intentamos es usar la W de Lambert en una posible resolución explicita de Tahawus . Se trata de intentar despejar la x (ponerla em función de la y). Veamos cómo:

\displaystyle y =\frac{x^x -1}{x}\\ \\ y x =x^x -1 \\ \\ y x + 1 =x^x \\ \\ (8)
Y ahora aplicamos la super raíz cuadrada, para obtener:

\displaystyle x = e^{W(\log (y x +1))} (9)
¿Cuál es el problema?. El problema es que se nos ha quedado una x multiplicando a y en el otro lado, con lo cual hemos “fracasado“. Lo que hemos obtenido es que aparecen infinitas copias de la función dentro de sí misma, a modo de recursión. De hecho la función Tahawus resulta ser una iteración infinita mediante esa super raíz cuadrada:

\displaystyle    x = \mathcal{T}(y)= e^{W(\log (y e^{W(\log (y(\ldots) +1))} +1))} (10)
Por lo tanto nuestro problema de tratar de explicitar una forma cerrada para Tahawus, aún permanece. Pero, ¿en qué consiste exactamente?: Se trata de hallar una de las raíces de esta función super-cuadrática:

\displaystyle {^{2}x} - b x - 1 = 0 (11)
Si su exponente de tetración 2 fuera en realidad un exponente 2 normal, como el de las ecuaciones cuadráticas normales, la solución sería sencilla. A alguien se podría ocurrir una solución estrambótica. Resolver esa ecuación como si fuera una ecuación cuadrática normal, y allí donde aparezca una raíz cuadrada en la solución sustituirla por una super raíz cuadrada. Esa es la típica solución del sueño del sophomore o sueño del pipiolo. La cual, a veces, sorprendentemente funciona, pero por regla general es muy poco probable que tenga éxito esa metodología.

Desde la función Tahawus podemos acceder a infinidad de constantes transcendentes. Estas son algunas que ya están catalogadas en EOIS:

A124930 \displaystyle \mathcal{T}(1) = 1.7767750400970546974797307 \ldots
A226568 \displaystyle   \mathcal{T}(-1) =0.3036591270299660512450180 \ldots
A085846 \displaystyle \frac{1}{\mathcal{T}(-1)}-1= 2.293166287411861031508028291 \ldots
A169862 \displaystyle \frac{1}{\mathcal{T}(-1)}= 3.293166287411861031508028291 \ldots
La propiedad mas impresionante de la constante Tahawus 1, T(1), es que es el único número real que al elevarlo a sí mismo y restarle 1 da el mismo número:

\displaystyle \mathcal{T}(1)^{\mathcal{T}(1)} -1 = \mathcal{T}(1)  (12)
y por esa razón también puede con la torre infinita:

\displaystyle \mathcal{T}(1)^{\mathcal{T}(1)^{\mathcal{T}(1)^{.\cdot{}^{\cdot}} -1} -1} -1 = \mathcal{T}(1)  (13)

Saludos

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