TARDÍGRADOS

Ciencia en español -ʟᴀ ʀᴀᴢóɴ ᴇsᴛá ᴀʜí ғᴜᴇʀᴀ-

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Supercomputación tetrádica: primera aproximación hacia una Teoría de la Super-Relativididad

Posted by Albert Zotkin en abril 22, 2018

En este pequeño artículo voy a definir una nueva clase de derivada de una función, y como corolario veremos cómo surge también una nueva variedad de superintegral indefinida.

La forma estándar de definir la derivada de una función f, para un valor x, es la siguiente

\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}} (1)
De esta forma, la derivada es una especie de medida de la rapidez con la que cambia esa función f. Lo que hemos hecho es incrementar la variable independiente x con un número infinitesimal h. Incrementar aquí es sumar. Pero también podríamos haber incrementado la x con otras operaciones, no sólo con una suma. Por ejemplo, podemos incrementarla mediante la multiplicación por un número muy próximo a la unidad. Definamos la superderivada de la función f de x de la siguiente forma:

\displaystyle \text{SD}(f(x))=\lim _{h\to 0} { \sqrt[h]{ \frac{ f(x(1+h)) }{f(x)} }} (2)
Esta superderivada, al definirla de esta forma, también es una especie de medida de la rapidez con la que cambia esa función f. Se puede demostrar fácilmente que esta superderivada está relacionada con la derivada estándar de esta forma:

\displaystyle \text{SD}(f(x))= \exp\left({ x \frac{f'(x)}{f(x)}}\right) (3)

Por lo tanto es posible hallar la superintegral indefinida de una función f(x), si podemos resolver para y la ecuación diferencial siguiente:

\displaystyle x y' = y \log f(x) (4)
Es decir, tenemos la exponencial siguiente y resolvemos para y:
\displaystyle f(x) = \exp\left(\frac{x y'}{y} \right) (5)
Pongamos un pequeño y simple ejemplo: Sea la función:

\displaystyle f(x) = x^2
Hallemos su superderivada primera:
\displaystyle \text{SD}(f(x))= \exp\left(\frac{x y'}{y} \right) = \\ \\   =\exp\left(\frac{2x^2}{x^2} \right) =  e^2   (6)
y vemos que es la constante e elevada al cuadrado. Hallemos ahora la superintegral indefinida de esa constante e2 (se trata de hallar la función y desde la ecuación diferencial:
\displaystyle  e^2  = \exp\left(\frac{x y'}{y} \right)  \\ \\  y = x^2 \\ \\  y =\text{SI}(e^2)=x^2 (7)
Igualmente, la superintegral indefinida de x2 es:
\displaystyle \text{SI}(x^2)=e^{\frac{1}{4} \log \left(x^2\right)^2} (8)

Las representaciones gráficas de estas tres funciones son así:

Alguien siempre puede decir,”muy bien, todo eso es muy bonito, pero ¿qué aplicaciones nos propones para esa supuesta teoría de la super-relatividad de la que hablas?“.

La primera, y más intuitiva, de las aplicaciones de la supercomputacion, en el terreno del modelado de fenómenos físicos, es el cálculo del efecto Doppler, de la luz que observamos, emitida por un objeto que se mueve respecto a nosotros con una velocidad constante, v, y en un entorno inercial. Acostumbramos a pensar que esa velocidad v es simplemente la primera derivada del espacio respecto al tiempo, y para calcular cómo varía la frecuencia de la luz observada, que fue emitida por ese objeto, debemos aplicar una teoría. pero, ninguna teoría nos estaba diciendo hasta ahora que la frecuencia Doppler observada es simplemente directamente proporcional a la primera superderivada del espacio respecto al tiempo. Es decir:

\displaystyle f= f_0 \;SD(r(x))= f_0 \; e^{\frac{x r'(x)}{r(x)}}
donde f0 es la frecuencia de la luz en el marco de referencia de la fuente y r(x) es la función desplazamiento, es decir, un vector que nos indica la posición de la fuente en nuestro marco de referencia. Veamos más específicamente cómo es este cálculo en un entorno inercial. En tal entorno inercial, la función desplazamiento r(x) es simplemente la función identidad. Es decir, r(x) = x. Por lo tanto la frecuencia Doppler, f, observada es directamente proporcional a la superderivada:

\displaystyle f=  f_0 \; e^{r'(x)} \\ \\  \text{\small donde obviamente } \\ \\  r'(x)= \frac{v}{c}=\beta, \; \text{\small es la beta de la velocidad inercial del objeto}
y c es la velocidad de la luz en el vacío. Más exactamente, se puede afirmar que, en un entorno inercial, se cumple la identidad diferencial:

\displaystyle \frac{x r'(x)}{r(x)} = \frac{v}{c} (9)
Es evidente, que todo esto tiene que ver con las hiperoperaciones y la función de Ackermann. Pero, sigamos con nuestras aplicaciones en el modelado de los fenómenos físicos. ¿Cuál sería nuestra ecuación diferencial equivalente a la (9) de movimiento en un entorno no-inercial?. Un entorno no-inercial, quiere decir, una región espacio-temporal donde la influencia de la gravedad es significativa respecto al movimiento de los objetos. Por ejemplo, en un entorno donde existe un campo gravitatorio significativamente grande, entre objeto que emite la luz y el observador pueden existir una diferencia significativa de potencial gravitatorio. En tal caso la ecuación diferencial de nuestra superderivada se hace “cuadrática”, es decir:

\displaystyle \frac{x r'(x)}{r(x)} = \frac{v^2}{c^2}= \frac{\phi}{c^2} (10)
donde es más que obvio que v2 se identifica con la diferencia de potencial gravitatorio, f, entre objeto y observador.

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Hola, os presento a Tahawus: una extensión de la función W de Lambert

Posted by Albert Zotkin en abril 3, 2018

Hola, amigo incondicional de tardígrados. En mi artículo anterior, hablé entre otras cosas de una constante matemática, a la cuál tuve el atrevimiento de bautizar con el nombre de Tahawus. Se me ocurrió ese nombre por que fue el matemático Richard P. Stanley el primero que demostró hace poco que esa constante es un número transcendente. Le puse Tahawus porque Stanley nació y se crió en un pequeño pueblo minero, del estado de Nueva york, que ya no existe, llamado Tahawus. Ahora es más un pueblo fantasma que otra cosa, ya que sus pocos habitantes se trasladaron a Newcomb. Pero, aquí lo que nos interesa es hablar de ese número y de sus propiedades. La constante que llamé Tahawus, es en realidad una de las raíces reales de la ecuación:

\displaystyle x^x - x-1 = 0 (1)
y su valor es en sus primeros digitos decimales este:

\displaystyle \text{\small Tahawus}= 1.7767750400970546974797307440387567486374110343292961390843740\ldots (2)
La ecuación (1) no puede ser resuelta fácilmente en forma cerrada, ni siquiera usando la conocida función W de Lambert. Sólo puede ser resuelta de forma cerrada mediante una nueva función, que, como no podía ser de otra forma, llamaré Tahawus (x), y la designaré con la letra griega ?. Por lo tanto, lo que antes llamaba la constante Tahawus, ahora pasará a ser el valor que toma esa función para x = 1. Es decir, tendremos:

\displaystyle \mathcal{T} (1) = 1.7767750400970546974797307440387567486374110343292961390843740\ldots (3)
No sin mucho esfuerzo, descubrí que esta función Tahawus, ?, es simplemente la función inversa de

\displaystyle y = \frac{x^{x}-1}{x} \\ \\ (4)
Es decir, sólo podemos despejar la x de esa ecuación mediante la función inversa Tahawus,

\displaystyle x=\mathcal{T}(y) (5)
Las representaciones gráficas de estas dos funciones, (4) y (5) son así:

Vemos que cada una es la imagen especular (reflejada) de la otra, respecto de la recta identidad y = x, porque esa es la característica principal de todas las funciones con sus inversas. Si intentamos hallar una forma cerrada de la función Tahawus, comprobaremos nuestra frustración pronto, por que es muy difícil. Aún, no se ha descubierto una forma cerrada para esa función. Por ejemplo, sabemos hallar una forma cerrada para la función inversa de y = xx, utilizando la función W de Lambert, y es esta:

\displaystyle x = e^{W(\log (y))} (6)
Esta función inversa de y, se llama super raíz cuadrada, ya que la función y = xx, es una tetración cuadrática, es decir la variable x exponenciada así misma una vez. Esta tetración la podemos escribir también mediante super índices que preceden a la variable. Por ejemplo:

\displaystyle y = {^{2}x}=x^x  (7)
Super raíz cuadrada

Podríamos pensar que la función (4) inicial, la que tiene como inversa a la función Tahawus, como tiene incluida una tretación cuadrática, la (7), podríamos conseguir explicitar su inversa mediante esas super raíces cuadradas. Es decir, sería algo así como resolver una ecuación cuadrática estándar, pero con super raíces cuadradas em lugar de las raíces cuadradas. No parece fácil la tarea. Lo primero que intentamos es usar la W de Lambert en una posible resolución explicita de Tahawus . Se trata de intentar despejar la x (ponerla em función de la y). Veamos cómo:

\displaystyle y =\frac{x^x -1}{x}\\ \\ y x =x^x -1 \\ \\ y x + 1 =x^x \\ \\ (8)
Y ahora aplicamos la super raíz cuadrada, para obtener:

\displaystyle x = e^{W(\log (y x +1))} (9)
¿Cuál es el problema?. El problema es que se nos ha quedado una x multiplicando a y en el otro lado, con lo cual hemos “fracasado“. Lo que hemos obtenido es que aparecen infinitas copias de la función dentro de sí misma, a modo de recursión. De hecho la función Tahawus resulta ser una iteración infinita mediante esa super raíz cuadrada:

\displaystyle    x = \mathcal{T}(y)= e^{W(\log (y e^{W(\log (y(\ldots) +1))} +1))} (10)
Por lo tanto nuestro problema de tratar de explicitar una forma cerrada para Tahawus, aún permanece. Pero, ¿en qué consiste exactamente?: Se trata de hallar una de las raíces de esta función super-cuadrática:

\displaystyle {^{2}x} - b x - 1 = 0 (11)
Si su exponente de tetración 2 fuera en realidad un exponente 2 normal, como el de las ecuaciones cuadráticas normales, la solución sería sencilla. A alguien se podría ocurrir una solución estrambótica. Resolver esa ecuación como si fuera una ecuación cuadrática normal, y allí donde aparezca una raíz cuadrada en la solución sustituirla por una super raíz cuadrada. Esa es la típica solución del sueño del sophomore o sueño del pipiolo. La cual, a veces, sorprendentemente funciona, pero por regla general es muy poco probable que tenga éxito esa metodología.

Desde la función Tahawus podemos acceder a infinidad de constantes transcendentes. Estas son algunas que ya están catalogadas en EOIS:

A124930 \displaystyle \mathcal{T}(1) = 1.7767750400970546974797307 \ldots
A226568 \displaystyle   \mathcal{T}(-1) =0.3036591270299660512450180 \ldots
A085846 \displaystyle \frac{1}{\mathcal{T}(-1)}-1= 2.293166287411861031508028291 \ldots
A169862 \displaystyle \frac{1}{\mathcal{T}(-1)}= 3.293166287411861031508028291 \ldots
La propiedad mas impresionante de la constante Tahawus 1, T(1), es que es el único número real que al elevarlo a sí mismo y restarle 1 da el mismo número:

\displaystyle \mathcal{T}(1)^{\mathcal{T}(1)} -1 = \mathcal{T}(1)  (12)
y por esa razón también puede con la torre infinita:

\displaystyle \mathcal{T}(1)^{\mathcal{T}(1)^{\mathcal{T}(1)^{.\cdot{}^{\cdot}} -1} -1} -1 = \mathcal{T}(1)  (13)

Saludos

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Matemáticas alienígenas: números primos marcianos

Posted by Albert Zotkin en marzo 28, 2018

Hoy hablaré de los número primos marcianos Fobos y Deimos, que como sabrás, sus nombres son como los dos satélites naturales de Marte. Primero hablaré del número Deimos:

\displaystyle \text{\small Deimos}=2^{127} - 1 =170141183460469231731687303715884105727 (1)
Este número es primo, y además de ser de la clase Mersenne, es de la clase Catalan-Mersenne. El número marciano Deimos hizo un pequeño cameo en la serie de dibujos animados Futurama. Más concretamente, salió en el episodio Futurama: La bestia con un millón de espaldas, película de 2008. Exactamente, la secuencia se puede encontrar en el punto de metraje 01:16:59.178: en la que el profesor Farnsworth le dice a su rival, el profesor Wernstrom, que ha conseguido una prueba elemental de la Conjetura de Goldbach.

Pero hablemos un poco ahora sobre la sucesión de números llamados de Catalan-Mersenne. Esta sucesión puede ser definida de la forma recursiva siguiente:

\displaystyle a_n= 2^{a_{n-1}}-1 \\ \\ \text{\small donde} \ \; a_0 = 2 \ \;\text{\small tenemos \'orbitas de 2 \textit{ad infinitum}} \\ \\ \text{\small y sus cinco primeros n\'umeros son:}\\ \\ C_n=\{2, 3, 7, 127, 170141183460469231731687303715884105727,\ldots\} (2)
como muy bien los tienen catalogados en la referencia A007013. Por lo tanto, en este catálogo de OEIS, nuestro número Deimos es el C5.

¿Son todos los números de esa sucesión de Catalan-Mersenne primos?. Los cinco primeros que he escrito en (2) son primos, sí. Pero, ¿y el sexto y los siguientes?. El sexto Catala-Mersenme es precisamente, C6, Fobos, nuestro siguiente número marciano:

\displaystyle \text{\small Fobos}=2^{170141183460469231731687303715884105727} - 1 = 111 \ldots 111_2  (3)
La expansión decimal del número Fobos es demasiado larga para ser escrita explicitamente. Pero escrita en base 2 tiene exactamente Deimos 1’s, porque es un número repunit en base 2. Ningún terrícola sabe decir si Fobos es un número primo. Pero, ya te voy a decir yo que Fobos es un número primo. Joerg Arndt sabe muy bien que Fobos, C6, es un número primo. Joerg Arndt afirmaba hace algún tiempo que Fobos sólo podía ser primo, o pseudoprimo de Fermat con factores no menores a 10 elevado a 51. Pero, ahora sabe ya que Fobos es un número primo. De hecho, todos los números de la sucesión Catalan-Mersenne son primos, los infinitos, y eso demuestra que hay infinitos números primos Mersenne. Si Fobos no fuera primo, sería, como he dicho antes, un pseudoprimo de Fermat en base 2, y todos los infinitos siguientes números marcianos (o Catalan-Mersenne, como prefieras) serían también pseudoprimos de Fermat. Pero, alguien en su sano juicio puede creer que un número como C7 (El hijo de Fobos), o superior, no es un número primo?. ¿En qué cabeza cabe?. Por supuesto que el número marciano:

\displaystyle C_7=2^{2^{2^{127} - 1} - 1} - 1 = \\ \\ = 2^{2^{170141183460469231731687303715884105727} - 1} - 1 (4)
es un número primo. Los infinitos Catalan-Mersenne lo son, ¡terrícola de poca fe!. Pero antes de ir a las demostraciones matemáticas, necesitamos unas pocas definiciones y alguna que otra curiosidad sobre esa clase de números. Para ello, amigo terrícola, permíteme que defina primero la Ciclotomia Transcendente de los números Catalan-Mersenne. Al igual que existen los polinomios ciclotómicos, podemos definir algo parecido, pero en el terreno de los números marcianos (Catalan-Mersenne). Para ello, en lugar de un polinomio estándar, nos fijaremos en la sucesión de funciones exponenciales de la siguiente clase:

\displaystyle F(x)_n=\{x,\ x^x-1,\ x^{x^x-1}-1,\ x^{x^{x^x-1}-1}-1,\ {x^{x^{x^{x^x-1}-1}-1}-1},\ldots \} (5)
Esta sucesión es monótona decreciente para ciertos valores reales de x, y monótona creciente para otros. En general, es fácil ver que para valores reales, 0 < x < 1, se obtienen sucesiones que decrecen y convergen hacia ciertos valores, según los casos. En cambio, para números reales x > 2, se obtienen sucesiones que crecen y convergen hacia ciertos valores. Pero, sólo existe un único número real capaz de estabilizar esa sucesión de funciones de modo que se mantiene igual a una constante, o punto fijo. Ese número real lo llamaré Tahawus, y es este:

\displaystyle \text{\small Tahawus}= 1.7767750400970546974797307440387567486374110343292961390843740\ldots (6)
Lo llamo número de Tahawus, por que fue el profesor Richard P. Stanley, otro “alienígena” (aunque de Tahawus), uno de los primeros en demostrar que ese número es transcendente y por lo tanto irracional. ¿Cómo se puede hallar ese número?. Hay muchas formas, pero siempre resulta ser la raíz real positiva de la ecuación:

\displaystyle x^x-1=x (7)
como así nos lo propuso Rick L. Shepherd. pero también es la única raíz real positiva de la función diferencia entre dos funciones consecutivas de F(x)n:

\displaystyle x= x^x-1, \\ \\ x^x-1=x^{x^x-1}-1, \\ \\ x^{x^x-1}-1=x^{x^{x^x-1}-1}-1, \\ \\ x^{x^{x^x-1}-1}-1=x^{x^{x^{x^x-1}-1}-1}-1 \\ \\ \ldots (8)
Estas funciones ciclotómicas transcendentes son extremadamente interesantes. Aquí os presento las representaciones gráficas de sus diferencias, (8), y en las que podemos observar cómo todas intersectan al eje de abscisas en los puntos (0, 0), (1, 0) y (Tahawus, 0):

Observemos ahora las gráficas de los logaritmos de algunas de las funciones F(x)n, en concreto, las de estas:

\displaystyle \log F(x)_4= \log \left(x^{x^{x^{x^x-1}-1}-1}-1 \right), \\ \\ \log F(x)_3= \log \left(x^{x^{x^x-1}-1}-1 \right), \\ \\ \log F(x)_2= \log \left(x^{x^x-1}-1 \right), (9)
vemos que todas tienen un polo en (1,0), y que F(x)3 ni siquiera está definida en el intervalo real [0,1], pues para valores de x, que se aproximan a 1 desde la derecha, la función de aproxima a – 8, cae al pozo y ya no vuelve.

Amigo terrícola, te estarás preguntando. “Ok, todo muy bonito, pero ¿para qué sirve todo eso?”. Sólo son matemáticas. Además, ¿no te parece interesante que exista un número real, Tahawus, distinto a 0 y a 1, con la propiedad de hacer que cualquier función F(x)n, de esa clase, sea igual a Tahawus?

\displaystyle x=\text{\small Tahawus}= 1.776775040097054697\ldots, \\ \\ F(\text{\small Tahawus})_4=x^{x^{x^{x^x-1}-1}-1}-1=\text{\small Tahawus}, \\ \\ F(\text{\small Tahawus})_3= x^{x^{x^x-1}-1}-1= \text{\small Tahawus}, \\ \\ F(\text{\small Tahawus})_2=x^{x^x-1}-1=\text{\small Tahawus} \ldots (10)
Los números Mersenne poseen una peculiaridad, y es que para que un número Mersenne sea primo debe de serlo el exponente del 2 que lo crea. Pero, eso es sólo una condición necesaria, no suficiente. Esa misma condición es válida para los números Catalan-Mersenne, pero estos últimos tienen además otra peculiaridad añadida, y es que si un número Catalan-Mersenne no es primo, entonces todos los que van tras él (su hijo y demás descendientes) tampoco lo serán. Imagina la sucesión de números catalan-Mersenne como una linea recta horizontal de ladrillos, todos del mismo tamaño, pero los que representan a Catalan-Mersenne primos son de color verde y los que representan a los no primos son de color rojo. Pues bien, si empezamos nuestra obra de albañilería desde la izquierda, veremos que los primeros ladrillos son todos de color verde, es decir, primos. Y si eventualmente uno de los ladrillos no fuera primo entonces todos los infinitos siguientes deberian ser rojos también, como él. Todo eso nos lo contó hace años Leonard Eugene Dickson, cuando hizo referencia a una carta que respondió Catalan a Édouard Lucas, allá por 1876, en la que le decía lo rápido que crecían los números de esa sucesión, y cómo el número C6, Fobos, podía ser muy bien primo también, como su padre (C5 Deimos) y sus abuelos. Landon Curt Noll nos contó hace poco cómo había comprobado que Fobos no posee factores por debajo de 5×1051, y para ello hizo uso de su programa calc.

Intentemos ahora factorizar algunos números que merodean cerca de esos números marcianos. EL profesor Robert Israel, de Princeton, nos ofreció hace poco una prueba de que si un numero marciano an (fijémonos en la sucesión (2) que escribí arriba, en el sexto párrafo de este artículo) era primo entonces ese an divide a an+1-1 para todo n. Por ejemplo, lo que nos dice R. Israel es que, siendo an = 127, entonces

\displaystyle a_5 = 2^{127}-1 =\text{\small Deimos},

con lo que a_5 -1 =\text{\small Deimos} - 1, debe ser divisible por 127. Y efectivamente lo es

\displaystyle \frac{a_5 - 1}{127} = \frac{2^{127}-2}{127} =1339694357956450643556592942644756738
Lo que no nos dice explícitamente R. Israel es que esos números, que son pares, no sólo son divisibles por el anterior de la sucesión, sino por todos y cada uno de los anteriores Empezaré por la secuencia principal, la de los números marcianos, y la llamaré a(n), y después obtendremos desde ella otras sucesiones cercanas, la b(n) y la d(n):

\displaystyle a_1=2,\\ a_2=2^2-1)=3,\\ a_3=2^{2^2-1}-1))=7,\\ a_4=2^{2^{2^2-1}-1}-1=127,\\ a_5=2^{2^{2^{2^2-1}-1}-1}-1)=170141183460469231731687303715884105727,\\ a_6=2^{2^{2^{2^{2^2-1}-1}-1}-1}-1)=\text{\small Fobos},\\ \ldots \\ \\ b_1=2-1=1,\\ b_2=2^2-2=2,\\ b_3=2^{2^2-1}-2=6,\\ b_4=2^{2^{2^2-1}-1}-2=126,\\ b_5=2^{2^{2^{2^2-1}-1}-1}-2=170141183460469231731687303715884105726,\\ b_6=2^{2^{2^{2^{2^2-1}-1}-1}-1}-2=\text{\small Fobos-1},\\ \ldots \\ \\
Y ahora los dividimos por 2, porque, no sé si lo habrás notado, pero, todos los números exomarcianos bn son pares, y así obtenemos los exomarcianos dn:

\displaystyle d_2=\frac{2^2-2}{2}=2-1=1,\\ \\ d_3=\frac{2^{2^2-1}-2}{2}=2^{2^2-2}-1= 3,\\ \\ d_4=\frac{2^{2^{2^2-1}-1}-2}{2}=2^{2^{2^2-1}-2}-1=63,\\ \\ d_5=\frac{2^{2^{2^{2^2-1}-1}-1}-2}{2}=2^{2^{2^{2^2-1}-1}-2}-1=\frac{\text{\small Deimos-1}}{2},\\\\ d_6=\frac{2^{2^{2^{2^{2^2-1}-1}-1}-1}-2}{2}=2^{2^{2^{2^{2^2-1}-1}-1}-2}-1=\frac{\text{\small Fobos-1}}{2},\\ \\ \ldots \\ \\
En general tenemos que:

\displaystyle d_n=2^{a_n-1} -1
es divisible por an, si ese exponente pertenece a la sucesión Catalan-Mersenne (número marciano), y además, también será divisible por todos los números que le anteceden, es decir por a1, a2, …, an-1. Eso es así por el pequeño teorema de Fermat. Y si recordamos, a vuelapluma este teorema, que dice:

\displaystyle a^{p-1} \equiv 1 \pmod p.

siempre es cierto, si el entero a no es divisible por el número primo p. O expresado de otra forma:

\displaystyle \frac{d_p}{p}=\frac{a^{p-1} - 1}{p}, \ \; \text{\small es un n\'umero entero distinto de 0.}
En nuestro caso, el de los número Catalan-Mersenne, vemos que es estrictamente cierto, incluso para p = a1 = 2, ya que también es a = 2, y por lo tanto, al ser el mismo número, el pequeño teorema de Fermat nos dice que no dará una división entera. Efectivamente, para ese caso, de p = 2, esa división es d2/p = 1/2.

Ahora vamos a demostrar que todos los números marcianos (Catalan-Mersenne) son números primos. Para ellos debemos fijarnos es la extensión del pequeño teorema de fermat que dice:

\displaystyle A = a^{p^n-1}-1 \equiv  0 \pmod p
Lo cual quiere decir que si el número a no es divisible por el número primo p, el cual aparece elevado a cierto número natural n, entonces en número A es divisible por el número primo p. Dicho de otra forma:

\displaystyle A = a^{n-1}-1 \equiv  0 \pmod p
es siempre divisible por p = cad(n) si ese p es primo, y sabiendo que cad(n) es el radical de n. El radical de un número primo es siempre el mismo número primo. El radical de un número primo elevado a cualquier número natural es también siempre el mismo número primo. El radical de un número cualquiera, sea primo o no, es siempre el producto de sus factores primos despojados de los exponentes mayores a la unidad, Por ejemplo rad(23 × 3 × 54 × 7) = 2 × 3 × 5 × 7 = 210.
Saludos alienígenas a todos

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El desierto 31 de los números primos

Posted by Albert Zotkin en febrero 17, 2018

Hola amigo incondicional de Tardígrados. Hoy vamos a visitar un desierto, descubierto por mí la semana pasada, y que nadie conocía: Lo he llamado Desierto 31. Este peculiar desierto, se trata de una sucesión de números primos de la forma:

\displaystyle  D_{31,n}=2^{p(n)} - 31 (1)
donde p(n) es el n-ésimo número primo.Obviamente, no todos los números primos generarán primos de esa forma. Pero, ¿Por qué digo que D31, n es un desierto?. Si buscamos números esa clase, los primeros que encontramos son estos:

\displaystyle  D_{31,n}= \{97, 2017, 8161, 131041, 524257, 137438953441, 2199023255521,\ldots\} (2)
La sucesión de números primos, exponentes del 2, que genera la sucesión de arriba, es

\displaystyle  p(n)=\{7,11,13,17,19,37,41,61,67,89,109,149,193,383,401,\ldots\} (3)
y a su vez, la sucesión de números naturales que genera la sucesión p(n) de arriba es

\displaystyle  a(n)=\{4, 5, 6, 7, 8, 12, 13, 18, 19, 24, 29, 35, 44, 76, 79,\ldots\} (4)

Aparentemente, D31, n es un desierto, porque aparecen de “golpe” los primeros números primos hasta el a15 = 79, pero más allá de n = 15 parece no haber ninguno más. La conclusión puede ser una de estas:

  • 1. D31, n es realmente un desierto, y sólo existiría el oasis de esos 15 números primos.
  • 2. O bien, he vuelto a ser victima de la Ley de los Números Pequeños (de Richard K. Guy), y en realidad existen muchos más números primos de esa clase, pero están más allá de la capacidad computacional de mis ordenadores.
Si sientes curiosidad y quieres comprobar por ti mismo que esa sucesión puede ser realmente un desierto con sólo 15 números primos, te presento las rutinas que usé en Mathematica para generar las listas:

A = List[]; Do[p = 2^ Prime[m] – 31; If[PrimeQ[p], AppendTo[A, m]], {m, 4, 100}]; A

Clear[A ]; A = List[]; Do[p = 2^ Prime[m] – 31; If[PrimeQ[p], AppendTo[A, Prime[m]]], {m, 4, 100}]; A

Clear[A ]; A = List[]; Do[p = 2^ Prime[m] – 31; If[PrimeQ[p], AppendTo[A, p]], {m, 4, 100}]; A

Puedes hacer que el índice m corra desde 1 hasta el número que tú quieras. Yo he puesto el límite superior de 100 porque ya sé que no he encontrado nada para números entre 100 y 1000.

Saludos

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Los laberintos entéricos de los números grandes

Posted by Albert Zotkin en marzo 17, 2016

Todos sabemos, o deberíamos saber, que la factorización de un número entero es simplemente expresar dicho número mediante el producto de todos los números primos que sean sus divisores, y cada primo elevado a su correspondiente exponente si lo tuviere. Esa tarea de factorización no resulta fácil. Por ejemplo, usando supercomputadoras, es posible factorizar un entero de 200 dígitos decimales en aproximadamente 1 año y medio. Esa inmensa dificultad es la base de muchos algoritmos criptográficos, como el RSA. El mejor algoritmo para factorizar es la Criba General del Cuerpo de Números, pero no reduce la dificultad. Sólo mediante una computadora cuántica sería posible reducir drásticamente los tiempos de cálculos.

Hoy vamos a ver cómo cada uno de los números enteros puede ser por sí mismo un intrincado laberinto de pasillos por los que podríamos perdernos fácilmente si no conocemos las reglas con las que están hechos. Fijémonos en el plano de la siguiente galería de pasillos: corridor1

¿Qué representa?: pues representa a un número entero muy grande. Tal número posee nada menos que 3700544 dígitos en el sistema de numeración decimal, y lo podemos escribir mediante factores primos así:

\displaystyle 2^2 \times 5^{3^2 \times 5 \times 7^{2\times 3}} \times 11^{2\times 5^2}

Existe pues una secuencia principal de números primos que representamos como el pasillo principal de esa galería. Para este caso, esa secuencia principal es 2 ×5×11. Después, cada vez que uno de esos números primeros está elevado a un número entero, se genera una nueva secuencia de números primos, y eso se evidencia por la generación de un pasillo secundario, siempre en el lado derecho según el sentido creciente de la secuencia de primos de la que es exponente. Para mayor claridad, veamos el plano anterior con las secuencias de números primos principal y secundarias:

corridor2

Si aparecemos en el interior de un laberinto entérico de esta clase, y buscamos la salida (que también es la única entrada), lo primero que debemos hacer es avanzar hacia el final del pasillo dejando a la izquierda los pasillos secundarios que encontremos. Y cuando llegamos al final de ese pasillo debemos girar la izquierda para entrar en el pasillo que deberá ser uno inmediato inferior al que estábamos. Siempre procederemos avanzando según ese criterio, hasta llegar a la entrada del laberinto.

Consideremos ahora sólo una clase de números enteros, aquellos que son el producto de números primos sin repetición, es decir, que no posean exponentes. Por ejemplo.

\displaystyle 29\times 23\times 19\times 17\times 13\times 11 = 30808063

El laberinto entérico para esa clase de números es sencillo, ya que sólo existiría el pasillo principal. Es fácil, para esta clase de números expresarlos mediante codificación binaria. Veamos, si la secuencia principal está compactada totalmente con todos los números primos, la codificación binaria sería una sucesión infinita de 1’s. Así, el número del ejemplo anterior podrá ser codificado binariamente asi:

\displaystyle C(29\times 23\times 19\times 17\times 13\times 11) = 1111110000

Si al número anterior le substraemos, por ejemplo el divisor 17, tendremos como resultado este otro número

\displaystyle 29\times 23\times 19\times  13\times 11 = 1812239

y su codificación binaria sería:

\displaystyle C(29\times 23\times 19\times  13\times 11) = 1110110000

Es decir, los unos y los ceros de esa codificación binaria son los exponentes del producto de primos, en la secuencia principal:

\displaystyle 29^1\times 23^1\times 19^1\times 17^0 \times 13^1\times 11^1 \times 7^0  \times 5^0 \times 3^0 \times 2^0= 1812239

Así, hemos descubierto una función tal que a cada número entero del pasillo principal se le asigna un número binario que codifica a todos sus divisores primos.
Si estudiamos seriamente esta nueva función, que no podrás encontrar en ningún libro de matemáticas, ni en ninguna otra parte, porque es descubrimiento mio, llegamos a misteriosas relaciones que nos dan claves para acelerar los cálculos de los algoritmos de factorización. A esta función la llamaré Función Entérica Principal (FEP). Es decir, la FEP de 1812239 es 1110110000.

\displaystyle \text{FEP}(1812239)=1110110000

Igualmente, si pretendes ampliar el tema de los laberintos entéricos aquí propuestos, he de decir que no podrás encontrar mucho más porque es una invención mía, y por lo tanto lo mucho o lo poco que puedas encontrar es lo que yo haya escrito (o pueda escribir en el futuro) en este blog.

Saludos

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¿Es la Hipótesis de Riemann un problema indecidible?: empecemos con la Conjetura de Collatz

Posted by Albert Zotkin en diciembre 11, 2015

Quizás la dificultad en resolver la Hipótesis de Riemann tenga que ver con el hecho de que pueda ser un problema indecidible. Si esa hipótesis (o conjetura) es cierta o no, pero sabemos que es indecidible, entonces nunca tendremos una prueba matemática de ella.

Podemos divagar un poco sobre este tema y presentar una conjetura menos compleja (aparentemente) que la de Riemann. Se trata de la Conjetura de Collatz, o tambien conocida como el problema 3n+1. Aquí tenemos un video de Eduardo Sáenz de Cabezón que nos la explica muy sencillamente:

Para esta conjetura se define la siguiente iteración:
flow1

es decir, tenemos una función sobre los enteros positivos definida así:

\displaystyle f(n) = \begin{cases} \tfrac{n}{2}, & \mbox{si }n\mbox{ es par} \\ 3n+1, & \mbox{si }n\mbox{ es impar} \end{cases} (1)

Por ejemplo, para n=2781 tendriamos la siguiente sucesión, la cual terminaría en el 1:


2781➞8344➞4172➞2086➞1043➞3130➞1565➞4696➞2348➞1174➞587➞1762➞881➞2644
➞1322➞661➞1984➞992➞496➞248➞124➞62➞31➞94➞47➞142➞71➞214➞107➞322➞161
➞484➞242➞121➞364➞182➞91➞274➞137➞412➞206➞103➞310➞155➞466➞233➞700➞
350➞175➞526➞263➞790➞395➞1186➞593➞1780➞890➞445➞1336➞668➞334➞167➞
502➞251➞754➞377➞1132➞566➞283➞850➞425➞1276➞638➞319➞958➞479➞1438➞
719➞2158➞1079➞3238➞1619➞4858➞2429➞7288➞3644➞1822➞911➞2734➞1367➞
4102➞2051➞6154➞3077➞9232➞4616➞2308➞1154➞577➞1732➞866➞433➞1300➞
650➞325➞976➞488➞244➞122➞61➞184➞92➞46➞23➞70➞35➞106➞53➞160➞80➞
40➞20➞10➞5➞16➞8➞4➞2➞1

Se sabe ya que la conjetura de Collatz es un problema indecidible, es decir, no se puede probar matemáticamente. Pero eso no quiere decir que la conjetura sea falsa o cierta.

Yo me he animado a crear una función tipo Collatz, que posee la siguiente forma:

\displaystyle h(n) = \begin{cases} 3n+1, & \mbox{si }n\mbox{ es par} \\ \tfrac{n+1}{2}, & \mbox{si }n\mbox{ es impar} \end{cases} (2)

Esta función tipo Collatz da, por ejemplo, para n=101:

101➞51➞26➞79➞40➞121➞61➞31➞16➞49➞25➞13➞7➞4

y para cualquier entero positivo siempre parece que tenemos que la sucesión termina en 4, no en 1 como la anterior. Pero, se trata de ver si la Hipótesis de Riemann es indecidible y qué relación tiene con la conjetura generalizada de Collatz. Lo primero que observamos en toda función de Collatz es que siempre entran en juegos los números pares e impares positivos. Y si nos fijamos, la sucesión de los números primos, nace precisamente de ir cribando los números pares y los números impares (y dentro de los impares se va cribando los múltiplos de 3, de 5, etc), como en la famosa Criba de Eratóstenes. Se me ocurre esta función de Collatz, donde los números primos tienen un papel central:

\displaystyle g(n) = \begin{cases} 3n+1, & \mbox{si }n\mbox{ es primo} \\ f(n), & \mbox{si }n\mbox{ no es primo} \end{cases} (3)
y donde f(n) es la función de Collatz que primero presenté (1). Esta función, así definida, parece que converge siempre hace el número 2, para cualquier n desde el que empecemos la sucesión. Por ejemplo, para n=2710, tendremos:

2710➞1355➞4066➞2033➞6100➞3050➞1525➞4576➞2288➞1144➞572➞286➞143➞430➞
215➞646➞323➞970➞485➞1456➞728➞364➞182➞91➞274➞137➞412➞206➞103➞
310➞155➞466➞233➞700➞350➞175➞526➞263➞790➞395➞1186➞593➞1780➞890➞
445➞1336➞668➞334➞167➞502➞251➞754➞377➞1132➞566➞283➞850➞425➞1276➞
638➞319➞958➞479➞1438➞719➞2158➞1079➞3238➞1619➞4858➞2429➞7288➞3644
➞1822➞911➞2734➞1367➞4102➞2051➞6154➞3077➞9232➞4616➞2308➞1154➞577➞
1732➞866➞433➞1300➞650➞325➞976➞488➞244➞122➞61➞184➞92➞46➞23➞70➞
35➞106➞53➞160➞80➞40➞20➞10➞5➞16➞8➞4➞2

o para n=3001, que es un número primo, tendremos la sucesión siguiente:

3001➞1624➞812➞406➞203➞610➞305➞916➞458➞229➞688➞344➞172➞86➞43➞130➞65➞
196➞98➞49➞148➞74➞37➞112➞56➞28➞14➞7➞22➞11➞34➞17➞52➞26➞13➞40➞
20➞10➞5➞16➞8➞4➞2

De igual forma que las anteriores funciones de Collatz, esta g(n), donde los números primos juegan un papel predominante, da lugar a otra conjetura que también es un problema indecidible, es decir, no se puede demostrar que para cualquier entero positivo n siempre se obtiene una sucesión que converge hacia el número 2. Puesto que la hipótesis de Riemann tiene mucho que ver con los números primos, parece evidente suponer que esta ultima conjetura de Collatz que he propuesto tenga algo que ver con la de Riemann. Y no resultaria una gran sorpresa el descubrimiento de que la propia Hipótesis de Riemann es simple y llanamente un problema indecidible.

Saludos

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