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Ciencia en español -ʟᴀ ʀᴀᴢóɴ ᴇsᴛá ᴀʜí ғᴜᴇʀᴀ-

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Dos nuevas extensiones de la función Zeta de Riemann

Posted by Albert Zotkin en febrero 7, 2014

La forma clásica de la función zeta de Riemann es

\displaystyle  \zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}

donde n son los sucesivos números naturales y s es una variable compleja. Podemos extender esa función zeta así,

\displaystyle  \zeta(s)=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{z_{k}^{s}}

donde z_{k} son sucesivos números complejos de parte real y parte imaginaria enteras positivas, contados según la pairing function de Cantor. Es decir, podemos asociar a cada par de números enteros positivos (n.m) un único número k, de forma que podemos siempre expresar k en función de n y m, o hallar n y m desde k,

\displaystyle    k=\frac{(n+ m)(n+ m + 1)}{2} + n + 1  \\ \\ \\  \displaystyle  n=k-\frac{\left\lfloor \frac{\sqrt{8k+1}-1}{2}\right\rfloor ^2+\left\lfloor \frac{\sqrt{8k+1}-1}{2}\right\rfloor }{2}+1 \\ \\ \\  m=-k+\frac{\left\lfloor \frac{\sqrt{8k+1}-1}{2}\right\rfloor ^2+3\left\lfloor \frac{\sqrt{8k+1}-1}{2}\right\rfloor }{2}

O sea, m será la parte real del número complejo z y n será la parte imaginaria. Con lo cual podemos escribir la función zeta extendida así,

\displaystyle    \boxed{\zeta(s)=\sum _{k=0}^{\infty } \frac{1}{\left [\left(\frac{\left \lfloor \frac{\sqrt{8 k +1}-1}{2}\right \rfloor ^2+3 \left \lfloor \frac{\sqrt{8 k +1}-1}{2}\right \rfloor }{2}-k\right)+ i\left(k-\frac{\left \lfloor \frac{\sqrt{8 k +1}-1}{2}\right\rfloor^2+\left \lfloor \frac{\sqrt{8 k +1}-1}{2}\right \rfloor}{2}+1\right)\right ]^s}}

Por otro, lado también podemos extender la función zeta de Riemann mediante su fasor,

\displaystyle    \boxed{\zeta(s)=\sum _{k=0}^{\infty } \frac{1}{|z_k|^s e^{i \theta s}}}

siempre que z_k sea un número entero definido mediamte una función de pairing. Es decir, z= m +in, donde m y n son enteros positivos que corren mediante función de pairing de Cantor. Y en el caso más partícular donde |z_k|=1, tendremos

\displaystyle    \zeta(s)=\sum _{k=0}^{\infty} e^{-i \theta s}

donde obviamente \theta sigue siendo función de los enteros positivos m y m, que a su vez son numerados mediante otro entero positivo k.
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No es cierto que 1+2+3+4+5+…=-1/12

Posted by Albert Zotkin en enero 22, 2014

Se habla mucho últimamente de una curiosa suma: Dicen que la suma de todos los números enteros positivos (naturales) es igual a -1/12., y a eso le llaman regularización. Cualquier persona con un mínimo de sentido común sabe que la suma de todos los números enteros positivos es infinito, es decir, esa suma diverge. Ramanujan sabía eso, por eso supo ver más lejos que nadie y supo que cuando una regularización se basa en una divergencia no se pueden extraer conclusiones sólidas. Los que defienden el absurdo resultado

\displaystyle \sum_{n=1}^\infty n = 1+2+3+\dots =-\frac{1}{12} (1)

están representados por estos dos tios del siguiente video de youtube en el que pretenden convencernos de esa absurda suma mediante cálculos incorrectos. Toda la demostración que se puede ver en ese video se basa en la siguiente serie que diverge:

\displaystyle S_1= 1-1+1-1+1-1+... (2)

y nos quieren colar algo falso, a saber, que dicha suma S1 es igual a 1/2. ¿En qué se basan?. Veamos. Si empiezas a sumar términos de S1 emparejándolos desde el primer 1, se ve claramente que cada par se anula,

\displaystyle S_1= (1-1)+(1-1)+(1-1)+... =0 (3)

con lo cual la suma sería igual a cero. Pero si empiezas a emparejar desde el segundo término entonces la suma daría 1,

\displaystyle S_1= 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)... =1 (4)
ese hecho dispar nos está diciendo que la serie S1 es divergente. De hecho, esa disparidad de resultados se usa muy a menudo para demostrar que una serie diverge. Pero, en este caso, puesto que en la mitad de los casos dispares obtenemos 1 y en la otra mitad obtenemos cero, no sé por qué regla de tres, afirman entonces que la suma debe ser regularizada a 1/2 = (0 + 1)/2. Es decir, es regularizada a la media aritmética del conjunto de sus sumas dispares. Después de hacer esa horrible cosa pasa lo que pasa: que podemos, por ejemplo, demostrar que los elefantes verdes voladores existen. Lo honesto en este caso es decir que la serie divergente S1 posee dos ramas, es decir dos valores finitos distintos. (1, 0).

Seguidamente en el video de arriba, Ed Copeland, que es quien nos está mostrando los cálculos sobre el papel, nos presenta la siguiente serie S2:

\displaystyle S_2= 1-2+3-4+5-6+... (5)
Ahora se trata de ver si esa serie S2 puede ser sumada, es decir, si podemos obtener algún número real finito que represente su suma. Lo primero que hacemos es multiplicar S2 por 2:

\displaystyle 2S_2= 1-2+3-4+5-6+... + \\  \mathrm{\hspace{1.42cm}} 1-2+3-4+5-6+... (6)
pero, en lugar de empezar a sumar como se hace arriba, empecemos dejando el primer elemento (el 1) a la izquierda, es decir:

\displaystyle 2S_2= 1-2+3-4+5-6+... + \\  \mathrm{\hspace{2.3cm}} 1-2+3-4+5-6+... (7)

con lo cual tenemos:

\displaystyle 2S_2= 1-1+1-1+1-1+... \\  (8)

es decir, tenemos

\displaystyle 2S_2=S_1 \\ \\  \mathrm{\hspace{0.28cm}} S_2=\frac{S_1}{2} (9)

Esto quiere decir que la serie S2 puede ser expresada en función de la serie S1, y si afirmamos que el valor regularizado de la suma de S1 es 1/2, entonces el valor regularizado de la suma de S2 es:

\displaystyle  S_2=\frac{1}{4} (10)

pero como S1 es divergente y posee dos ramas, en realidad S2 también diverge y posee también dos ramas:

\displaystyle S_2=0 \\ \\   S_2=\frac{1}{2} (11)
Seguidamente Ed Copeland nos presenta la serie:

\displaystyle S= 1+2+3+4+5+6+7+ \dots  (12)
esta es la serie que supuestamente nos daría -1/12, el resultado que he puesto en el título de este post. Veamos cómo en realidad eso no es así. Restemos S2 de S:

\displaystyle S-S_2= 1+2+3+4+5+6+7+ \dots \\ \\  \mathrm{\hspace{1.42cm}} -[1-2+3-4+5-6+\dots] =\\ \\  \mathrm{\hspace{2.1cm}}  0+4+0+8+0+12- \dots (13)

es decir, tenemos que:

\displaystyle S-S_2= 4[1+2+3+4+5+6+7+ \dots ] = 4S \\ \\  S= -\frac{S_2}{3} (14)
o sea, podemos expresar S en función de S2, y como también podemos expresar S2 en función de S1, tenemos que si regularizamos la suma, hallamos el sorprendente ( y equívoco) resultado de

\displaystyle S= -\frac{S_2}{3} = -\frac{S_1}{2 \times 3} = -\frac{1}{4 \times 3} =-\frac{1}{12}   (15)
pero, está claro que S diverge también, igual que S1, y por lo tanto, puesto que es S = -S1/6, tendremos también dos ramas:

\displaystyle \boxed{S= 0 \; ; S=-\frac{1}{6}} (16)
Es decir, la suma de todos los números enteros positivos no es -1/12, sino que diverge hacia infinito porque posee dos ramas, una hacia cero y la otra hacia hacia -1/6.

Saludos

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