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Dos nuevas extensiones de la función Zeta de Riemann

Posted by Albert Zotkin en febrero 7, 2014

La forma clásica de la función zeta de Riemann es

\displaystyle   \zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}

donde n son los sucesivos números naturales y s es una variable compleja. Podemos extender esa función zeta así,

\displaystyle   \zeta(s)=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{z_{k}^{s}}

donde z_{k} son sucesivos números complejos de parte real y parte imaginaria enteras positivas, contados según la pairing function de Cantor. Es decir, podemos asociar a cada par de números enteros positivos (n.m) un único número k, de forma que podemos siempre expresar k en función de n y m, o hallar n y m desde k,

\displaystyle     k=\frac{(n+ m)(n+ m + 1)}{2} + n + 1  \\ \\ \\   \displaystyle  n=k-\frac{\left\lfloor \frac{\sqrt{8k+1}-1}{2}\right\rfloor ^2+\left\lfloor \frac{\sqrt{8k+1}-1}{2}\right\rfloor }{2}+1 \\ \\ \\  m=-k+\frac{\left\lfloor \frac{\sqrt{8k+1}-1}{2}\right\rfloor ^2+3\left\lfloor \frac{\sqrt{8k+1}-1}{2}\right\rfloor }{2}

O sea, m será la parte real del número complejo z y n será la parte imaginaria. Con lo cual podemos escribir la función zeta extendida así,

\displaystyle     \boxed{\zeta(s)=\sum _{k=0}^{\infty } \frac{1}{\left [\left(\frac{\left \lfloor \frac{\sqrt{8 k +1}-1}{2}\right \rfloor ^2+3 \left \lfloor \frac{\sqrt{8 k +1}-1}{2}\right \rfloor }{2}-k\right)+ i\left(k-\frac{\left \lfloor \frac{\sqrt{8 k +1}-1}{2}\right\rfloor^2+\left \lfloor \frac{\sqrt{8 k +1}-1}{2}\right \rfloor}{2}+1\right)\right ]^s}}

Por otro, lado también podemos extender la función zeta de Riemann mediante su fasor,

\displaystyle     \boxed{\zeta(s)=\sum _{k=0}^{\infty } \frac{1}{|z_k|^s e^{i \theta s}}}

siempre que z_k sea un número entero definido mediamte una función de pairing. Es decir, z= m +in, donde m y n son enteros positivos que corren mediante función de pairing de Cantor. Y en el caso más partícular donde |z_k|=1, tendremos

\displaystyle     \zeta(s)=\sum _{k=0}^{\infty} e^{-i \theta s}

donde obviamente \theta sigue siendo función de los enteros positivos m y m, que a su vez son numerados mediante otro entero positivo k.

3 comentarios to “Dos nuevas extensiones de la función Zeta de Riemann”

  1. José said

    Saludos Estimado Albert, para usted cual sería el límite de:
    Lim x \to 3 de (x!-3!)/(x-3)

  2. pp said

    Gracias ALBERT, UN ABRAZO!

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