TARDÍGRADOS

Ciencia en español

Función Digamma para una familia de fracciones continuas

Posted by Albert Zotkin en febrero 3, 2014

Consideremos la familia de fracciones continuas siguiente,

\displaystyle      F(n)=0+\cfrac{1+n}{1+\cfrac{2+n}{2+\cfrac{3+n}{3+\cfrac{4+n}{4+\cfrac{5+n}{\dots}}}}}  (1)

Realicemos un plot para los puntos (n, F(n)) con n entero positivo,

esta gráfica sugiera que F(n) es una función digamma. La función digamma es la derivada logarítmica de la función gamma, es decir,

\displaystyle      \psi(z) =\frac{d}{dz}\ln\Gamma(z)= \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}  (2)
La gráfica de la función digamma es:

digamma

pero, como la gráfica de F(n) parece una función digamma desplazada cuatro unidades hacia la derecha sobre el eje de abcisas, tendremos la conjetura:

\displaystyle      F(z)=\psi(z-4)  (3)

o más exactamente

\displaystyle      F(z)=\psi(P(z)-4)  (4)

donde P(z) es una función polinómica. Quizás:

\displaystyle      F(z)=\psi(z^2-4)  (5)

Saludos

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