TARDÍGRADOS

Ciencia en español

Unificando gravedad y electromagnetismo

Posted by Albert Zotkin en febrero 5, 2014

Al contrario de lo que pudiera parecer, es sorprendentemente fácil unificar gravedad y electromagnetismo. Veamos cómo. Lo primero que debemos hacer es prestar atención al siguiente mecanismo con el que unificamos ambas fuerzas. Todo esto tiene mucho que ver con lo que llamamos inercia: Si se aplica una fuera F a una masa m en reposo durante el intervalo de tiempo t, y después se aplica una fuerza opuesta a la anterior, -F, durante el tiempo t’, se obtiene la velocidad intermedia vf, y la velocidad final vf’, tal que:

\displaystyle                      v_f  =   \frac{F}{m}\; t  \\ \\                  v_{f'} = v_f -   \frac{F}{m}\; t' \,\\ \\                  v_{f'} = \frac{F}{m}(t - t').  (1)
Este resultado es equivalente a aplicar una fuerza efectiva f a m durante el intervalo de tiempo T = t + t’, y como la aceleración media es

\displaystyle                      a = \frac{v_f'}{t + t'} =  \frac{F}{m}\left (\frac{t - t'}{t + t'}\right ),                  (2)

entonces, la fuerza efectiva es:

\displaystyle                       f = m\ a =  F\left (\frac{t - t'}{t + t'}\right ),                  (3)
por lo tanto, con cualquier par de fuerzas opuestas invariantes, F y -F, podemos conseguir cualquier fuerza efectiva f dentro del intervalo [-F, F] para todo intervalo de tiempo T.

t es el tiempo total durante el que la fuerza F ha estado actuando
t’ es el tiempo total durante el que la fuerza -F ha estado actuando
T = t + t’ es el tiempo total

Una vez que tenemos una fuerza efectiva, f, la podemos dividir en dos fuerzas opuestas f1 y f2, tal que

\displaystyle                     f_1 =  F\left (\frac{t}{T}\right ) \\ \\ \\                   f_2 = - F\left (\frac{t'}{T}\right ) = -F \left (1 - \frac{t}{T}\right ),\\ \\ \\                   f_2 = -F + f_1 \\ \\ \\                       f = f_1 + f_2 \\ \\ \\                     F = f_1 - f_2.                  (4)
Transformemos ahora este mecanismo en uno que sea estocástico. Esto significa que distribuiremos aleatoriamente copias de F y de -F a lo largo del intervalo de tiempo T, pero conservando la fuerza efectiva f como resultado neto. Asi pues, ahora tendremos que considerar probabilidades. La probabilidad p de que este mecanismo nos de el valor f1 es

\displaystyle                    p = \frac{t}{T},                  (5)

y la probabilidad de que este mecanismo nos de f2 es

\displaystyle                   q = \frac{t'}{T} = \left (1 - \frac{t}{T}\right ),                  (6)

y por supuesto

\displaystyle                   p + q = 1.                  (7)
En este mecanismo está prohibido que instancias de F y F actúen simultáneamente en el cuerpo, la superposición no está permitida (cuando F está actuando F no actúa, y viceversa).

Por lo tanto estamos ya preparados para unificar la gravedad con el electromagnetismo por medio de este mecanismo estocástico. Empecemos, por algo aparentemente simple, como es la interacción electrón-electrón.
Identifiquemos la fuerza f1 como la fuerza electrostática que uno de esos electrones ejerce sobre el otro a la distanca r,

\displaystyle                        f_1 = K_c \ \frac{e^2}{r^2}                  (8)

donde

K_c is la constante electrostática, y
e es la carga eléctrica del electrón.

Identifiquemos ahora f2 como la fuerza gravitacional clásica (Newtoniana) que un electrón ejerce sobre el otro a la distancia r

\displaystyle                        f_2 = -G \ \frac{m_e^2}{r^2}                  (9)

donde

G is la constante gravitacional, y
m_e es la masa del electrón

Así que, tenemos la fuerza efectiva:

\displaystyle                        f = f_1 + f_2  = K_c \ \frac{e^2}{r^2} - G \ \frac{m_e^2}{r^2}                  (10)

y la fuerza unificada:

\displaystyle                        f = f_1 - f_2  = K_c \ \frac{e^2}{r^2} + G \ \frac{m_e^2}{r^2}                  (11)

pero, ¿dónde está el intervalo T?. Este intervalo está definido en la distancia r,

\displaystyle                       T = \frac{r}{c}                  (12)

donde c es la velocidad de la luz en el vacio.

Por lo tanto, estamos considerando una interacción unificada a lo largo de T. Esto significa que deben existir fluctuaciones no locales del vacio. Las fuerzas F y -F están aleatoriamente distribuidas a lo largo de T, pero conservan sus probabilidades complementarias p y q. Despues de algunos sencillos pasos algebráicos tenemos:

\displaystyle                       p= \frac{t}{T}= \cfrac{1}{G\ \frac{m_e^2}{K_c\ e^2 }+1} \\ \\ \\                    q= \frac{t'}{T}= 1-\cfrac{1}{G\ \frac{m_e^2}{K_c\ e^2}+1}\\ \\ \\                    p= \cfrac{K_c\ e^2}{G\ m_e^2 \ + K_c\ e^2}\\ \\ \\                   q= 1-\cfrac{K_c\ e^2}{G\ m_e^2 \ + K_c\ e^2}\\ \\ \\                   q =\cfrac{G\ m_e^2}{G\ m_e^2 \ + K_c\ e^2}                  (13)
Si la fuerza unificada F actúa en el electrón A un instante, entonces la fuerza opuesta -F debe actuar simultáneamente sobre el electrón B, y viceversa. Por lo tanto, ambos electrones están entrelazados cuánticamente en el instante dt, y sus estados colapsan en el siguiente instante, produciendo las fuerzas correlacionadas F y -F. Despues de todo colapso, se produce un nuevo entrelazamiento con lo que el ciclo de interacciones se cierra

Esta unificación nos está diciendo que la carga eléctrica y la masa del electrón pueden ser predichas desde una “hipercarga” Ye. Si definimos la potencia S de la interacción electrón-electrón unificada como

\displaystyle                       S = 4\pi\ Y_e                  (14)

el campo unificado es entonces,

\displaystyle                       U_e = \frac{ Y_e}{r^2}                  (15)

que es la ley del inverso del cuadrado (gravedad Newtoniana, clásica).

Si identificamos Ue como

\displaystyle                       U_e = \frac{F}{Y_e} \\ \\                    U_e = \frac{K_c\ e^2+ G\ m_e^2}{Y_e\ r^2}                    (16)

entonces

\displaystyle                                       Y_e = \pm \sqrt{K_c\ e^2+ G\ m_e^2}                   (17)
donde la signatura \pm experimenta fluctuaciones, gobernada por las probabilidades p y q.

Por consiguiente, es trivial “predecir” e y m_e:

\displaystyle                                       e = Y_e \sqrt{\frac{p}{K_c}} \\ \\ \\                    m_e = Y_e \sqrt{\frac{q}{G}} \\ \\ \\                  (18)

ya que

\displaystyle                                       q =\cfrac{G\ m_e^2}{G\ m_e^2 \ + K_c\ e^2}\\ \\ \\                    p =\cfrac{K_c\ e^2}{G\ m_e^2 \ + K_c\ e^2}                  (19)

tenemos que

\displaystyle                                      a = \sqrt{p}                  (20)

es la amplitud de probabilidad del mecanismo estocástico que produce la fuerza F en un tiempo infinitesimal dt, a lo largo del intervalo de tiempo T = \frac{r}{ c}. Y

\displaystyle                                      b = \sqrt{q}                  (21)

es la amplitud de probabilidad del mecanismo estocástico que produce la fuerza -F.

Saludos

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