TARDÍGRADOS

Ciencia en español -ʟᴀ ʀᴀᴢóɴ ᴇsᴛá ᴀʜí ғᴜᴇʀᴀ-

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Más allá del último Teorema de Fermat

Posted by Albert Zotkin en marzo 4, 2018

Hola amigo incondicional de Tardígrados. Anoche. como no podía conciliar el sueño, en lugar de contar ovejitas, me puse a calcular mentalmente ternas pitagóricas, y de ahí pasé a mayores evocando el último Teorema de Fermat. Afortunadamente me quedé dormido pronto, pero de todo eso surgieron algunas ideas extravagantes, que más se parecen a cabezonería que a otra cosa. Y me dije para mis adentros: “vale, vale, el último Teorema de Fermat es cierto, no es posible encontrar ternas de números enteros positivos (x, y, z) tal que se cumpla la relación:

\displaystyle    x^n + y^n = z^n  \, (1)
para todo n > 2. Pero, ¿y si nos emperramos en que esa relación se pueda cumplir para ciertas ternas de enteros positivos?. Es decir, queremos que “el último Teorema de Fermat sea falso“, entre comillas, por supuesto. Queremos ir mas allá. Pensemos por un momento en algo parecido a lo que queremos conseguir. Ese algo puede ser, por ejemplo, la raíz cuadrada de un número real negativo. Por mucho que nos empeñemos, la raíz cuadra de un número real negativo no es un número real, ni negativo ni positivo. Pero alguien se emperró y dijo hacia sus adentros, ¿cómo que no voy a ser capaz de calcular esto?:

\displaystyle    x = \sqrt{-25} (2)
Para poder resolver esa imposibilidad algebraica se inventaron los números complejos, y más concretamente el número imaginario i = (0, 1), del cual queremos que su cuadrado sea igual a -1. De esa forma tan artificial y forzada tendremos que, efectivamente:

\displaystyle    x = \sqrt{(-1)25 } =\sqrt{-1}\sqrt{25}= i\sqrt{25} \\ \\ i =\sqrt{-1} (3)
¿Hemos resuelto el problema?. No, pero hemos sabido encapsular el objeto conflictivo, aislarlo de la solución. Los números complejos, visto de esta forma tan extravagante, son como hacer limpieza y meter toda la basura debajo de la alfombra. En realidad, no hemos resuelto el problema de la raíz cuadrada de un numero negativo, simplemente hemos escondido el problema debajo de la alfombra. Pero, al hacer eso, nos hemos visto forzados a definir una nueva clase de números, los números complejos, de la que los números reales es simplemente un subconjunto. Así, con la ecuación (1), que define el teorema de Fermat, pasa algo muy parecido. Supongamos que queremos que exista una solución de ternas enteras para

\displaystyle   x^3 + y^3 = z^3  \, (4)
Sabemos que no será una solución real. Busquemos ternas de números que podrían servirnos. Y para ello nos basaremos en un método análogo al que utilizó Euclides para encontrar ternas Pitagóricas. Euclides encontró, para para cualquier par aleatorio de números enteros positivos, m y n, con m > n, que es posible definir una terna que cumpla el Teorema de Pitágoras, así;

\displaystyle  x=m^{2}-n^{2},\ \,y=2mn,\ \,z=m^{2}+n^{2} (5)
y la relación del Teorema de Pitágoras se cumplirá siempre si las ternas están definidas de esa forma, para cualquiera que sean los números aleatorios m y n:

\displaystyle  z^2=x^2+y^2 (6)
Hagamos ahora algo parecido para nuestras ternas de Fermat en la relación cúbica. Es decir, desde dos números aleatorios m y n, definamos nuestras ternas así:

\displaystyle  x=m^3-n^3,\ \,y=\sqrt[3]{2n^9+ 6m^6 n^3},\ \,z=m^3+n^3 (7)
Evidentemente, como el último Teorema de Fermat es cierto, no esperamos que nuestras ternas, definidas de esa forma, cumplan la relación cúbica (4). Pero, las vamos a presentar para a ver qué ocurre:

\displaystyle  x^3+y^3= (m - n)^3+\left(\sqrt[3]{2n^3+ 6m^2 n}\right)^3 = \\ \\  =(m^3 - n^3)^3+ (2n^9+ 6m^6 n^3)^3 = m^9+3 m^6 n^3+3 m^3 n^6+n^9 = \\ \\   =(m^3+n^3)^3=z^3 (8)
Con lo cual hemos demostrado que el último Teorema de Fermat es ¡falso!. ¿Dónde está el error?. El error está en afirmar que, tal y como hemos definido y, desde los enteros positivos aleatorios m y n, debe ser obligatoriamente un entero positivo. De hecho para demostrar que el último Teorema de Fermat es cierto para el caso cúbico basta con demostrar que:

\displaystyle  y =\sqrt[3]{2n^9+ 6m^6 n^3}  (9)
no puede ser entero positivo si m y n lo son. Y eso se demuestra muy rápidamente:

\displaystyle  y^3 = 2n^9+ 6m^6 n^3 (10)
no puede ser un cubo porque el único sería:

\displaystyle  y^3 = n^9+ 6n^9  +  n^9 = 8 n^9 \\  y = 2n^3 (11)
que es una contradicción ya que originalmente m no puede ser igual a n. En general, para demostrar este teorema para todos los casos, basta con demostrar que el número y no puede ser entero si n y m son enteros. El caso general más simple sería:

\displaystyle  x= m-n ,\ \, z= m+n \\ \\  y = \sqrt[k]{(m+n)^k - (m-n)^k } (12)
y como sabemos que las siguientes expansiones son ciertas:

\displaystyle (m+n)^k = \sum_{j=0}^k {k \choose j} m^{k-j}n^j \\ \\ \\ (m-n)^k = \sum_{j=0}^k {k \choose -j} m^{k-j}n^j (13)

tendremos que:

\displaystyle  (m+n)^k -(m-n)^k = \sum_{j=1}^{k-1} {k \choose j} m^{k-j}n^{j} -\sum_{j=1}^{k-1} {k \choose -j} m^{k-j}n^{j} \\ \\ \\ (14)
Es decir, el número y, expresado desde los aleatorios enteros positivos m y n, sería:

\displaystyle  y = \sqrt[k]{\sum_{j=1}^{k-1} {k \choose j} m^{k-j}n^j-\sum_{j=1}^{k-1} {k \choose -j} m^{k-v}n^j} \\ \\ \\ (15)
Con lo cual para demostrar que es cierto el último Teorema de Fermat, basta con demostrar que, en esta última ecuación (14), si m y n son enteros positivos, entonces y no lo es, y eso debe ser cierto para todo k entero positivo.

El caso general algo menos simple que el anterior sería:

\displaystyle  x= m^k-n^k ,\ \, z^k= m^k+n^k \\ \\  y = \sqrt[k]{(m^k+n^k)^k - (m^k-n^k)^k } (16)
Pero, las expansiones son muy parecidas a las del caso anterior, sólo hay que elevar a k los dos factores que acompañan al binomial, porque es simplemente un vulgar cambio de variable:

\displaystyle y = \sqrt[k]{\sum_{j=1}^{k-1} {k \choose j} m^{k^2-j k}n^{v k} -\sum_{j=1}^{k-1} {k \choose -v} m^{k^2-j k}n^{j k} } (17)
Esa diferencia de sumatorios es fácil redcirla, ya que poseen sumandos iguales, pero en el segundo sumatorio hay alternancia de signos ±. Por lo tanto, los sumando en posiciones impares se suman duplicándose, y los de posiciones pares se restan, anulándose. Una forma elegante de expresar esa diferencia de sumatorios es esta:

\displaystyle y = \sqrt[k]{\sum_{j=1}^{k-1} {k \choose j} (1+e^{i \pi j}) m^{k^2-j k}n^{j k} }

(18)
El último Teorema de Fermat viene a decirnos que el único caso para el que el número y resulta ser entero, siendo los aleatorios enteros m y n, es cuando k = 2. Los casos para k >2, dan todos un número y que no es entero, es decir, le sobra o le falta siempre cierta cantidad para completar un hipercubo.

\displaystyle k=2,\,y= 2 \sqrt{m^2 n^2} \\   k=3,\,y= \left(6 m^6 n^3+2 n^9\right)^{1/3} \\   k=4,\,y= \left(8 m^{12} n^4+8 m^4 n^{12}\right)^{1/4} \\   k=5,\,y=  \left(10 m^{20} n^5+20 m^{10} n^{15}+2 n^{25}\right)^{1/5} \\  k=6,\,y= \left(12 m^{30} n^6+40 m^{18} n^{18}+12 m^6 n^{30}\right)^{1/6} \\   k=7,\,y= \left(14 m^{42} n^7+70 m^{28} n^{21}+42 m^{14} n^{35}+2 n^{49}\right)^{1/7} \\  k=8,\,y= \left(16 m^{56} n^8+112 m^{40} n^{24}+112 m^{24} n^{40}+16 m^8 n^{56}\right)^{1/8} \\  k=9,\,y=  \left(18 m^{72} n^9+168 m^{54} n^{27}+252 m^{36} n^{45}+72 m^{18} n^{63}+2 n^{81}\right)^{1/9} \\  k=10,\,y=  \left(20 m^{90} n^{10}+240 m^{70} n^{30}+504 m^{50} n^{50}+240 m^{30} n^{70}+20 m^{10} n^{90}\right)^{1/10}

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Números casi enteros

Posted by Albert Zotkin en febrero 13, 2018

Hola amigo. Ayer se me ocurrió jugar un poco con los llamados números casi-enteros. Como su propio nombre indica, son números reales que son casi enteros, es decir, que a su parte decimal le sobra o le falta muy poco para ser cero. Por ejemplo el número de Ramanujan:

\displaystyle  e^{\pi {\sqrt {163}}}=262\,537\,412\,640\,768\,743.999\,999\,999\,999\,25\ldots  (1)
Es un casi-entero porque le falta muy poquito para ser 262537412640768744. El problema con esta clase de números reside en su definición, la cual no parece muy matemática. Decir que algo es casi blanco o casi negro, es decir poco, cuando la definición la basamos en el adverbio “casi”. ¿Hasta qué punto un número es casi-entero?. Si el corte lo pusiéramos en que la parte decimal debe empezar por más de veinte 9’s seguidos o por más de veinte 0’s, entonces el número de Ramanujan no sería un casi-entero. Por eso, para resolver ese problema, se me ocurre la siguiente definición: Definamos la sucesión de números casi-enteros Qk, de orden k, de la función F(n) de dominio natural, así:

\displaystyle   Q_k(F(n))=\{ q_n \}_{n\text{,}\,k\in N} (2)
sería una sucesión de números reales, para los que su parte decimal tendría una precisión de k 9’s seguidos, ó de k 0’s seguidos, si expresamos la sucesión en notación de base decimal. Por ejemplo, el número de Ramanujan no estaría en ninguna sucesión de casi-enteros de orden k = 13, ó superior, ya que posee sólo doce 9’s seguidos en sus primeras posiciones decimales. En cambio, sí estaría en una sucesión de orden k = 10, o de grados inferiores. Pongamos un ejemplo: Sea la función de dominio natural siguiente:

\displaystyle   F(n)= e^{\pi {\sqrt {n}}} (3)

y calculemos su sucesión de casi-enteros de grado k = 10:

\displaystyle   Q_{10}( e^{\pi {\sqrt {n}}})= \{q_{58},\,q_{163},\,q_{1467},\,\ldots\} (4)
No sé si esa sucesión es finita o infinita, pero lo que si es fácil de comprobar es que 1467 = 9 × 163, y que esos tres primeros números casi-enteros son exactamente estos:

\displaystyle   q_{58}=e^{\pi \sqrt{58} }= 24591257751.99999982221324\ldots\\ \\   q_{163}=e^{\pi \sqrt{163} }= 262537412640768743.9999999999992500725\dots\\ \\  q_{1467}=e^{\pi \sqrt{1467} }=18095625621654510801615355531263454706630064771074975.9999999901236\ldots
Propongo que el número casi-entero q1467 = 18095625621654510801615355531263454706630064771074975.9999999901…, sea llamado número de Alberti, porque 1467 fue el año en que el criptógrafo León Battista Alberti escribió el tratado De Componendis Cifris, donde describe un disco para encriptar alfabeto, que ahora llamamos disco de Alberti.

Si el grado k de la sucesión Q de casi-enteros lo hubieramos rebajado a k = 6, esa sucesión sería esta:

\displaystyle   Q_{6}( e^{\pi {\sqrt {n}}})=  q_{37},q_{58},\, q_{67},q_{163},\, q_{232},\, q_{719},\, q_{1467},\, q_{4075},\ldots (5)
Todo esto nos debe hacer reflexionar sobre el hecho de que, antes de ponerse a divagar sobre un asunto, es muy importante acotar con una buena definición de qué estamos hablando, y eso es especialmente importante en matemáticas.

Y para terminar de jugar con el tema de los números casi-enteros, definiré ahora otra clase de números, que llamaré casi-enteros Cunningham. Los números casi-enteros Cunningham de base b van a ser números de la forma:

\displaystyle  \frac{\log(b^{n}\pm 1)}{\log(b)}= \log_b(b^{n}\pm 1) (6)
Donde, obviamente b^{n}\pm 1 es un número de Cunningham. Por ejemplo, la sucesión de casi-enteros Mersenne, son números casi-enteros Cunningham de base 2 de la forma:

\displaystyle  \frac{\log(2^{n} - 1)}{\log(2)} = \log_2(2^{n} - 1) (7)
Que es una forma de mapear los exponentes de esos números Mersenne. Por ejemplo, el número primo Mersenne M31 = 2305843009213693951, que fue descubierto por Euler en 1772, genera el casi-entero:

\displaystyle   Q_{31}=\log_2(2^{31} - 1) =30.99999999932819276991073646469478216 \ldots (8)
que, como vemos, se aproxima mucho al exponente 31. Y alguien se preguntará “ok, muy bien, y ¿qué utilidad tiene todo esto?“. La respuesta es fácil, “ninguna, en principio” 🙂 . Pero, si de lo que se trata es de hallar número primos Mersenne, los casi-enteros Cunningham, que he definido arriba, pueden tener mucho que decir, sobre todo si analizamos su partes fraccionales.

Podemos expresar elegantemente la parte fraccional, {Qp}, de un número casi-entero Mersenne Qp así:

\displaystyle  \{Q_p\}=\int_1^p \frac{dx}{2^x-1} (9)

porque es fácil ver que, efectivamente:

\displaystyle  \{Q_p\}=\int_1^p \frac{dx}{2^x-1} = \log_2(2^p - 1) -p+1 (10)

Saludos

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Infinitas formas de dividir un número primo

Posted by Albert Zotkin en enero 25, 2018

    Uno de los hechos más asombrosos de dividir un número entero por otro, es que a veces ocurre que ciertos números sólo son divisibles por sí mismos y por la unidad, y los llamamos números primos. Pero, nadie sabe cómo esos números primos se van distribuyendo a lo largo de la sucesión de los números naturales. Ese hecho nos deja perplejos, porque no somos capaces de encontrar ninguna fórmula eficaz ni algoritmo para generar el siguiente número primo. ¿Por que ocurre eso?. Eso ocurre porque nuestra aritmética estándar es sólo una entre infinitas aritméticas posibles. En este pequeño artículo voy a definir algunas de esas aritméticas, que se me han ocurrido, pero siempre teniendo en mente que pueden haber infinitas más, desde otros criterios y perspectivas. Cada aritmética genera su sucesión única de números primos. Empecemos pues:

    Todos sabemos, o deberíamos de saber, que cuando dividimos un número natural por otro, lo podemos interpretar como un método para saber cuántos grupos de cosas se pueden formar, tal que todos los grupos posean el mismo número de ellas. Esa aritmética es básicamente una cuadrícula. Cada columna ( o cada fila) de la cuadrícula es pues un grupo de cosas, y todas tienen el mismo número. Puede ocurrir que la ultima fila o la ultima columna no tenga completas ( llenas) todas sus celdas, eso nos indica que hay un resto distinto a cero en la operación de division. Ahora borremos de nuestra mente esa cuadrícula y exploremos otras posibles formas de dividir un número por otro. Supongamos que, al dividir un número p de manzanas por otro q, lo que queremos es formar q grupos de manzanas y que cada uno contenga un número distinto. En concreto, lo que queremos es que exista una diferencia de una manzana entre los sucesivos grupos, desde el más numeroso al menos.

    Al aplicar ese criterio de división, aunque sería más apropiado hablar de distribución, entramos en el territorio de los números triangulares. Supongamos que tenemos 10 manzanas y queremos saber cuántos grupos podemos formar tal que exista esa diferencia de una unidad entre ellos al considerarlos sucesivamente. Rápidamente vemos que sólo se pueden formar 4 grupos:

    Con los números triangulares podemos definir operaciones de división y multiplicación que escapan ya de la estándar cuadriculada. Con los números triangulares, los distintos grupos que se pueden formar, con la operación de división, difieren en una unidad. En el caso del ejemplo, diremos que 10 manzanas son divisibles por 4, y el grupo más numeroso tiene precisamente 4 manzanas, y el menos numerosos tiene 1. En general, para los números triangulares tendremos que, cualquier número entero positivo p es divisible por otro q, si la siguiente igualdad se cumple:

    \displaystyle p =\frac{q(q+1)}{2}
    Y si obviamos la fórmula podemos indicar la división 10/4 de esta forma:

    \displaystyle  \frac{10}{4} = 4 ,\;\; \text{diff 1}
    que se leerá así: “10 divido por 4 igual a 4, diferencia 1“. El cociente de dividir 10 por 4 es también 4, es decir coincide con el divisor. La sucesión de los números triangulares es la siguiente,

    \displaystyle T_n=\{1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136,\dots\} \\ \\  T_n=\{1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4,1+2+3+4+5,\dots\} \\ \\  T_{n}=\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+\dotsb +n={\frac {n(n+1)}{2}}={n+1 \choose 2},
    Si Tn es el n-ésimo número triangular, entonces podemos decir que es divisible por n diff 1, y el cociente coincide siempre con su divisor:

    \displaystyle \frac{T_n}{n} = n ,\;\; \text{diff 1} \\ \\  T_n = n \times n = \;\; \text{diff 1}
    Veamos ahora qué otros números naturales, que no sean triangulares, son divisibles diff 1. Observamos que el primer número no triangular divisible diff 1 es el 5:

    5 es divisible por 2 diff 1, porque obtenemos dos grupos, uno de 3 manzanas y otro con 2, es decir:

    \displaystyle \frac{5}{2} = 3,\;\; \text{diff 1} \\ \\
    significa que el cociente 3 es el numero de manzanas en el grupo más numeroso, y vemos que 5 no es triangular porque el menor grupo no es la unidad. En seguida nos damos cuenta que los número no triangulares que son divisibles diff 1, son en realidad, fragmentos verticales de números triangulares
    En este caso, el menor número triangular que contiene al 5 es el 6, y el siguiente que lo contiene es el 10:

    El primer número primo diff 1 es el 2, el siguiente será el 4, y el siguiente el 8. Parecería fácil afirmar que todos los número pares que no sean triangulares serían primos diff 1, pero no, no es tan fácil, ya que existen números pares que no son triangulares, pero son divisibles diff 1. Por ejemplo:

    \displaystyle \frac{12}{3} = 5,\;\; \text{diff 1} \\ \\  \frac{18}{4} = 6,\;\; \text{diff 1} \\ \\
    En esta clase de divisiones (o distribuciones) en modo diff 1, el divisor siempre es menor o igual al cociente, nunca mayor. ¿Cómo podemos saber si un número es divisible diff 1. El primer test que ha de pasar el número es comprobar si es triangular:

    \displaystyle n={\frac {{\sqrt {8x+1}}-1}{2}}
    si en la formula de arriba, el número x, que es entero positivo, da como resultado el número n, y además vemos que es también un entero positivo, entonces x es triangular, y por lo tanto es divisible diff 1 por n. El siguiente test es para los número no triangulares. Decía yo antes, que los número no triangulares que son divisibles diff 1, son fragmentos de números triangulares. Eso expresado matemáticamente quiere decir que son la diferencia entre dos dos números triangulares. Por ejemplo, el 12 y 18, que no son triangulares, son divisibles diff 1, por que 12 = 15 – 3, donde 15 y 3 son triangulares. De igual forma 18 = 21 – 3, donde 21 y 3 son triangulares. Por lo tanto el test de divisibilidad diff 1, para los no triangulares, será ver que existen unos números x e y que son triangulares, con:

    \displaystyle y-x=p \\ \\
    con y > x, donde y es el menor número triangular conteniendo al número p. Si p es divisible por q diff 1, entonces

    \displaystyle q={\frac {{\sqrt {8(x+p)+1}}-1}{2}}
    q es el número de grupos que se pueden formar con p. El número de elemento del primer grupo (el más numeroso) será

    \displaystyle \frac{p}{q} = c_1,\;\; \text{diff 1} \\ \\
    y el número de elementos del grupo menos numeroso será:

    \displaystyle c_q=c_1 - q +1
    ¿Existen números primos diff 1?. Veamos. Construyamos una tabla de diferencias para números triangulares hasta el T10 = 55. Al hacer esto sabremos que números son triangulares y que otros son diferencias entre ellos. Por lo tantos, los que no estén en esa tabla deberán ser números primos diff 1.

    Según esta tabla de diferencias, el primer número primo diff 1 es el 16, porque no aparece en ella. El segundo candidato a número primo Diff 1 es el 23. Y los siguientes serían 28, 29, 31, 32, 36, 37, 38, 41, 43, 46, 47, 48, 50, 51, 53. Es decir, tendríamos los primos diff 1 siguientes:

    \displaystyle \{16, 23, 28, 29, 31, 32, 36, 37, 38, 41, 43, 46, 47, 48, 50, 51, 53,\dots\}
    Las celdas de la tabla que he rellenado en color rojo, corresponden a diferencias entre núeros triangulares consecutivos, pero entonces no darían lugar a distribuir en 2 ó más grupos, por lo tanto esos números de la diagonal se desechan. ¿Por qué es el número 16 primo diff 1?. Intentemos formar dos grupos de objetos que sumen 16 pero exista una diferencia de una unidad entre ellos. No se puede porque 16 es número par. Si Formamos dos grupos de 8, y le quitamos 1 a uno de ellos y se lo sumamos al otro tendremos 2 de diferencia, pero estaos en modo diff 1. Por lo tanto, no se pueden formar 2 grupos porque 16 es par. Intentemos formar 3 grupos. Si el primer hrupos tiene 7 objetos, el segundo ha de tener 6, y el tercero 5, pero entonces 7 + 6 + 5 = 18 > 16, no suma 16. Probemos con 5 elementos para el primer grupo. tendremos 5 + 4 + 3 = 12 < 16, tampoco suma 16. Y para las restantes agrupaciones resultan números aún menores. Luego 16 es el primer número primo diff 1. ¿por qué es 23 un número candidato a ser primo diff 1?. En principio , vemos que no es número par, luego podemos formar dos grupos, uno con 11 elementos y el otro con 12. Pero, el número triangular que es divisible diff1 por 2, para dar 12 de cociente, es el 78, es decir, un número mayor al 55, que no lo tenemos tabulado. Por lo tanto, 23 no es primo diff 1, pero sus divisores diff1 dan cocientes mayores a 10, En resumen, 23 es divisible por 2 diff 1, y no tiene más divisores:

    \displaystyle  \frac{23}{2} = 12 ,\;\; \text{diff 1}
    Luego todos los números impares de la lista de candidatos a números primos diff 1, se nos caen de ella porque siempre es posible encontrar para cada uno de ellos un divisor para formar dos grupos de objetos. Luego, los números primos diff 1 han de ser todos pares. Los números impares son todos divisibles por 2 diff 1. Y nuestra lista de números primos diff 1 quedaría asi:

    \displaystyle \{16,  28, 32, 36, 38, 43, 46,  48, 50, \dots\}
    ¿Por qué es 50 un número primo diff 1?. El mínimo número triangular que lo contiene es el 55, que posee 10 grupos, con 10 elementos para el mas numeroso y 1 para el menos numeroso. Pero, no existe ningún número triangular para sustraer tal que dé 50. El que más se le aproxima es el triangular 6 que tiene 3 grupos, pero daría 55 – 6 = 49:

    Los números triangulares pertenecen a una clase de números llamados números poligonales, De esta forma podemos seguir nuestro método de división, y definir qué significa que un número sea divisible diff 2. Se trata de formar grupos que tengan dos unidades de diferencia entre consecutivos, Y así entramos directamente en el territorio de los números cuadrados. Estas divisiones también generan sus números primos, los llamados números primos diff 2. En general, los número poligonales son de la forma

    \displaystyle P(s,n) = \frac{n^2(s-2)-n(s-4)}{2}
    Donde s es el número de lados del polígono. Los números primos estándar, 2,3,5,7,11,…, pertenecen al criterio de divisibilidad diff 0, y teóricamente pertenecerian a la sucesión de números definidos por polígonos de 2 lados, pero eso geométricamente es imposible. Si aplicamos el valor s = 2, a la fórmula, tenemos:

    \displaystyle P(2,n) = \frac{n^2(2-2)-n(2-4)}{2} = \frac{2n}{2}=n
    que es la sucesión de los números naturales, como no podía ser de otra forma. Así, hemos visto, en este pequeño artículo, cómo es posible definir diferentes sucesiones de números primos según el criterio de divisibilidad que apliquemos. Todos los númros primos estándar 2,3,5,7,11,… son divisibles diff 1 excepto el 2, por que son impares. Se me olvidó decir que el número 2 es obviamente el primer número primo diff 1, porque aunque admite dos grupos, la diferencia de sus elementos no es la unidad, sino 0. Y como broche final, un pequeño ejercicio:

    Halla el número de divisores diff 1 del número primo Mersenne que descubrió Euler en 1772. Es decir, tenemos el número primo estándar, diff 0, siguiente:

    \displaystyle M_{31}= 2^{31}-1= 2147483647

    Saludos

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Los primeros treinta árboles Mersenne

Posted by Albert Zotkin en enero 20, 2018

Hola, único lector de Tardígrados. Gracias por seguirme. Hoy voy a ir a mi jardín y plantar los primeros treinta árboles Mersenne. Ya sabes que un número Mersenne m es un número entero positivo que posee la forma m = 2n -1, donde n es otro entero positivo. Y ahora, siguiendo el método, ideado por mí, para construir árboles (grafos en forma de árbol) de números primos correspondientes a sus factorizaciones unarias, dibujaré los primeros treinta. Es decir, dibujaré árboles para los números {3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767, 65535, 131071, 262143, 524287, 1048575, 2097151, 4194303, 8388607, 16777215, 33554431, 67108863, 134217727, 268435455, 536870911, 1073741823, 2147483647}. Esta lista escrita desde los exponentes sería asi:

\displaystyle \{ 2^2-1,\;2^3-1,\;2^4-1,\;2^5-1,\;2^6-1,\;2^7-1,\;2^81,\;2^91,\;2^{10}-1,\; \\  2^{11}-1,\;2^{12}-1,\;2^{13}-1,\;2^{14}-1,\;2^{15}-1,\;2^{16}-1,\; \\ 2^{17}-1,\;2^{18}-1,\;2^{19}-1,\;2^{20}-1,\;2^{21}-1,\;2^{22}-1,\; \\ 2^{23}-1,\;2^{24}-1,\;2^{25}-1,\;2^{26}-1,\;2^{27}-1,\;2^{28}-1,\; \\ 2^{29}-1,\;2^{30}-1,\;2^{31}-1 \}
Para aquellos números de esta lista que no sean primos, al dibujar su árbol, sugeriré una continuación hacia la cúspide para culminar con el correspodiente número primo:

He coloreado en verde las extensiones de los árboles que completan los números Mersenne que no son primos, sugiriendo una continuación hacia un número primo, el cual a su vez no tiene por que ser necesariamente Mersenne.

Las etiquetas numéricas de los nodos se pueden obviar (omitir), si el árbol es completo, es decir, si están todos los nodos de la factorización unaria, hasta llegar a los nodos terminales de la unidad. Por ejemplo, el último árbol que he dibujado, que representa el número Mersenne 2147483647, el cual es un número primo, sin las etiquetas numéricas sería así:

Saludos

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No es cierto que 1+2+3+4+5+…=-1/12

Posted by Albert Zotkin en enero 22, 2014

Se habla mucho últimamente de una curiosa suma: Dicen que la suma de todos los números enteros positivos (naturales) es igual a -1/12., y a eso le llaman regularización. Cualquier persona con un mínimo de sentido común sabe que la suma de todos los números enteros positivos es infinito, es decir, esa suma diverge. Ramanujan sabía eso, por eso supo ver más lejos que nadie y supo que cuando una regularización se basa en una divergencia no se pueden extraer conclusiones sólidas. Los que defienden el absurdo resultado

\displaystyle \sum_{n=1}^\infty n = 1+2+3+\dots =-\frac{1}{12} (1)

están representados por estos dos tios del siguiente video de youtube en el que pretenden convencernos de esa absurda suma mediante cálculos incorrectos. Toda la demostración que se puede ver en ese video se basa en la siguiente serie que diverge:

\displaystyle S_1= 1-1+1-1+1-1+... (2)

y nos quieren colar algo falso, a saber, que dicha suma S1 es igual a 1/2. ¿En qué se basan?. Veamos. Si empiezas a sumar términos de S1 emparejándolos desde el primer 1, se ve claramente que cada par se anula,

\displaystyle S_1= (1-1)+(1-1)+(1-1)+... =0 (3)

con lo cual la suma sería igual a cero. Pero si empiezas a emparejar desde el segundo término entonces la suma daría 1,

\displaystyle S_1= 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)... =1 (4)
ese hecho dispar nos está diciendo que la serie S1 es divergente. De hecho, esa disparidad de resultados se usa muy a menudo para demostrar que una serie diverge. Pero, en este caso, puesto que en la mitad de los casos dispares obtenemos 1 y en la otra mitad obtenemos cero, no sé por qué regla de tres, afirman entonces que la suma debe ser regularizada a 1/2 = (0 + 1)/2. Es decir, es regularizada a la media aritmética del conjunto de sus sumas dispares. Después de hacer esa horrible cosa pasa lo que pasa: que podemos, por ejemplo, demostrar que los elefantes verdes voladores existen. Lo honesto en este caso es decir que la serie divergente S1 posee dos ramas, es decir dos valores finitos distintos. (1, 0).

Seguidamente en el video de arriba, Ed Copeland, que es quien nos está mostrando los cálculos sobre el papel, nos presenta la siguiente serie S2:

\displaystyle S_2= 1-2+3-4+5-6+... (5)
Ahora se trata de ver si esa serie S2 puede ser sumada, es decir, si podemos obtener algún número real finito que represente su suma. Lo primero que hacemos es multiplicar S2 por 2:

\displaystyle 2S_2= 1-2+3-4+5-6+... + \\  \mathrm{\hspace{1.42cm}} 1-2+3-4+5-6+... (6)
pero, en lugar de empezar a sumar como se hace arriba, empecemos dejando el primer elemento (el 1) a la izquierda, es decir:

\displaystyle 2S_2= 1-2+3-4+5-6+... + \\  \mathrm{\hspace{2.3cm}} 1-2+3-4+5-6+... (7)

con lo cual tenemos:

\displaystyle 2S_2= 1-1+1-1+1-1+... \\  (8)

es decir, tenemos

\displaystyle 2S_2=S_1 \\ \\  \mathrm{\hspace{0.28cm}} S_2=\frac{S_1}{2} (9)

Esto quiere decir que la serie S2 puede ser expresada en función de la serie S1, y si afirmamos que el valor regularizado de la suma de S1 es 1/2, entonces el valor regularizado de la suma de S2 es:

\displaystyle  S_2=\frac{1}{4} (10)

pero como S1 es divergente y posee dos ramas, en realidad S2 también diverge y posee también dos ramas:

\displaystyle S_2=0 \\ \\   S_2=\frac{1}{2} (11)
Seguidamente Ed Copeland nos presenta la serie:

\displaystyle S= 1+2+3+4+5+6+7+ \dots  (12)
esta es la serie que supuestamente nos daría -1/12, el resultado que he puesto en el título de este post. Veamos cómo en realidad eso no es así. Restemos S2 de S:

\displaystyle S-S_2= 1+2+3+4+5+6+7+ \dots \\ \\  \mathrm{\hspace{1.42cm}} -[1-2+3-4+5-6+\dots] =\\ \\  \mathrm{\hspace{2.1cm}}  0+4+0+8+0+12- \dots (13)

es decir, tenemos que:

\displaystyle S-S_2= 4[1+2+3+4+5+6+7+ \dots ] = 4S \\ \\  S= -\frac{S_2}{3} (14)
o sea, podemos expresar S en función de S2, y como también podemos expresar S2 en función de S1, tenemos que si regularizamos la suma, hallamos el sorprendente ( y equívoco) resultado de

\displaystyle S= -\frac{S_2}{3} = -\frac{S_1}{2 \times 3} = -\frac{1}{4 \times 3} =-\frac{1}{12}   (15)
pero, está claro que S diverge también, igual que S1, y por lo tanto, puesto que es S = -S1/6, tendremos también dos ramas:

\displaystyle \boxed{S= 0 \; ; S=-\frac{1}{6}} (16)
Es decir, la suma de todos los números enteros positivos no es -1/12, sino que diverge hacia infinito porque posee dos ramas, una hacia cero y la otra hacia hacia -1/6.

Saludos

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