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La función Gamma Γ (x) entra en juego: otra fórmula más que genera números primos

Posted by Albert Zotkin en febrero 26, 2013

La siguiente función, basada en el teorema de Wilson, la cual asigna la unidad si n es número primo y cero si no lo es

\displaystyle  F(n)=\left \lfloor \cos^2 \left ( \cfrac{(n-1)! +1}{n}\right ) \right \rfloor = \begin{cases}  1 & \small \text{si \textit{n}=1 \'o \textit{n} es primo} \\  0 & \small \text{en caso contrario}  \end{cases}  (1)
me abrió los ojos. En realidad, (n-1)! no es más que la función Gamma, \Gamma, Es decir:

\displaystyle  \Gamma(n) = (n-1)!  (2)
Con lo cual (1) también puede expresarse así:

\displaystyle  F(n)=\left \lfloor \cos^2 \left ( \cfrac{\Gamma (n) +1}{n}\right ) \right \rfloor = \begin{cases}  1 & \small \text{si \textit{n}=1 \'o \textit{n} es primo} \\  0 & \small \text{en caso contrario}  \end{cases}  (3)

Pero, la cosa no quedó ahí. Al final, observando un poquito, y haciendo algunas pruebas, pude construir esta otra función, que funciona para n\ge 5 :

\displaystyle  \boxed{Q(x)=\text{frac} \left (\cfrac{\Gamma(x)}{x} \right )\cfrac{x^2}{x-1}= \begin{cases}  x & \small \text{si \textit{x} es primo} \\  0 & \small \text{en caso contrario}  \end{cases}}  (4)
donde \text{frac} es la función parte fraccionaria. Esta función Q(x) tiene dos excepciones, en el intervalo 0<x<5:

\displaystyle  Q(1)=\infty,\ Q(4)=\frac{8}{3}  (5)

ya que los casos Q(2)=2 y Q(3)=3 sí cumplen la definición.

Parecería sorprendente que esta simple función Q(x), la cual mapea tan perfectamente los números primos, sea otra primicia mía, y por lo tanto no me queda otra opción que buscar referencias en la literatura de la historia de las matemáticas, para que nadie me pueda endosar a mi la autoría de tan trivial hallazgo.

Quien aún no esté del todo convencido de que Q(x) funciona puede usar el programa Mathematica, por ejemplo, para computar lo siguiente:

Teorema:
Para todo entero n > 0, con n ≠ 1 y n ≠ 4, si n no es primo, entonces Γ(n) es divisible por n. Lo cual implica que si n es primo, entonces Γ(n) no es divisible por n:

\displaystyle  \small \text{si \textit{n} no es primo, entonces}\\ \\ \Gamma (n) \equiv 0 \pmod n  (6)

2 comentarios to “La función Gamma Γ (x) entra en juego: otra fórmula más que genera números primos”

  1. CINTYA said

    DE WIKIPEDIA SE PUEDE VER QUE EFECTIVAMENTE EL TEOREMA DE ARRIBA ES CIERTO PORQUE ES LO MIS MO QUE…….

    El inverso del teorema de Wilson dice que para cualquier número compuesto n > 5,
    n divide a (n − 1)!.Se deja el caso n = 4, para el cual 3! no es divisible por 4 (es únicamente divisible por 2).En efecto, si q es un factor primo de n, de tal manera que n = qa, los números
    1, 2, …, n − 1 incluyendo a − 1 múltiplos de q. Por lo tanto, las potencias de q que dividen al factorial son al menos n/q − 1; y las potencias que dividen a n son a lo máximo log n/log q. La inecuación log n/log q ≤ n/q − 1 se cumple en general, excepto para el caso q = 2 y n = 4.

    y eso es porque el teorema es de la forma sí y sólo sí.

    PERO TENGO UNA DUDA, ESA FUNCIÓN F(n) y la Q(x) tienen algún nombre?, han sido estudiadas? se deduce su validez de algún lado?

    • Hola CINTYA, la función F(n) es conocida. Creo que la propuso C. P. Willans. Puedes consultar su paper On Formulae for the nth Prime Number , por lo tanto a F(n) la puedes llamar la fórmula Willans. Eric Weisstein hace referencia a esa fórmula en su página Prime Formulas. En cuanto a la función Q(x), no he encontrado referencias a ella en la literatura matemática, lo cual no significa que no las haya, así que puedes llamarla como quieras. Menos “fórmula Zotkin” puedes ponerle el nombre que más te guste🙂

      Saludos

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