Ramanujan nos ofreció esta preciosa obra de arte matemático, donde aparecen unidos los números

y
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(1) |
Vemos que el primero de esos dos sumandos es en realidad una
fracción continua espejo. Es decir:
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Esta curiosa configuración de fracciones continuas nos ofrece la apariencia de un
“casco vikingo”, con un sumando expandiendose infinitamente hacia arriba y el otro expandiendose infinitamenete hacia abajo,
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Veamos ahora más detenidamente cada uno de esos dos sumandos. El primer sumando, A, puede ser expresado de forma más sucinta así
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donde, obviamente

es el
doble factorial de los números impares. Es también obvio que ese sumando A converge, y su valor es:
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donde
es la funcion error.
Veamos ahora el otro sumando B, que es como vemos, el recíproco de una fracción continua ordinaria, C,
. Dicha fracción continua C converge hacia el valor:
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donde
es la función error complementaria. Por lo tanto, B converge hacia:
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Ahora sólo nos queda demostrar que efectivamente,
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y dicha demostración es muy fácil, ya que
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puesto que la función error complementaria se define precisamente como
. La mente creativa de Ramanujan ideó una simple suma para que la función de error erf se desvaneciese junto a su función de error complementaria, para que sólo quedase el factor
. Es más que evidente que Ramanujan conocía previamente el valor del sumando A y el valor de convergencia de la fracción continua C. Su mente creativa se dio cuenta de que el reciproco de C (B=1/C), al ser sumando a A eliminaba de un tiró las funciones erf y su complementaria erfc, quedando sólo el notable factor ya mencionado arriba.
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