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El casco vikingo de Ramanujan

Posted by Albert Zotkin en febrero 21, 2013

Ramanujan nos ofreció esta preciosa obra de arte matemático, donde aparecen unidos los números e y \pi

\displaystyle \sqrt{\cfrac{e\pi}{2}}=\left (1+\cfrac{1}{3\times 5}  +\cfrac{1}{3 \times 5\times 7}+\cfrac{1}{3\times 5\times 7\times 9} + \dots \right ) + \cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{2}{1+\cfrac{3}{1+\cfrac{4}{1+\cfrac{5}{\dots}}}}}} (1)
Vemos que el primero de esos dos sumandos es en realidad una fracción continua espejo. Es decir:

\displaystyle 1\ +\ \cfrac{1}{3 \times 5}\ + \ \cfrac{1}{3 \times 5 \times 7}\ + \ \dots = 1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{\dots}{21}}{19}}{17}}{15}}{13}}{11}}{9}}{7}}{5}}{3} (2)
Esta curiosa configuración de fracciones continuas nos ofrece la apariencia de un “casco vikingo”, con un sumando expandiendose infinitamente hacia arriba y el otro expandiendose infinitamenete hacia abajo,

\displaystyle \sqrt{\cfrac{e\pi}{2}}=1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{\dots}{21}}{19}}{17}}{15}}{13}}{11}}{9}}{7}}{5}}{3}\ +\  \cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{2}{1+\cfrac{3}{1+\cfrac{4}{1+\cfrac{5}{\dots}}}}}} (3)
Veamos ahora más detenidamente cada uno de esos dos sumandos. El primer sumando, A, puede ser expresado de forma más sucinta así

\displaystyle A= 1\ +\ \cfrac{1}{3 \times 5}\ + \ \cfrac{1}{3 \times 5 \times 7}\ + \ \dots =\sum _{n=0}^{\infty } \cfrac{1}{(2 n +1)!!} (4)
donde, obviamente (2 n +1)!! es el doble factorial de los números impares. Es también obvio que ese sumando A converge, y su valor es:

\displaystyle A=\sum _{n=0}^{\infty } \cfrac{1}{(2 n +1)!!} = \sqrt{\frac{\pi  e}{2}}\  \text{erf}\left (\frac{1}{\sqrt{2}}\right) (5)

donde \text{erf} es la funcion error.

Veamos ahora el otro sumando B, que es como vemos, el recíproco de una fracción continua ordinaria, C, B=1/C. Dicha fracción continua C converge hacia el valor:

\displaystyle C=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{2}{1+\cfrac{3}{1+\cfrac{4}{1+\cfrac{5}{\dots}}}}} = \cfrac{1}{\sqrt{\frac{\pi  e}{2}}\ \text{erfc}\left (\cfrac{1}{\sqrt{2}}\right )} (6)

donde \text{erfc} es la función error complementaria. Por lo tanto, B converge hacia:

\displaystyle B=\cfrac{1}{C} =\sqrt{\frac{\pi  e}{2}}\ \text{erfc}\left (\cfrac{1}{\sqrt{2}}\right ) (7)

Ahora sólo nos queda demostrar que efectivamente,

\displaystyle \sqrt{\cfrac{e\pi}{2}}= A + B = \sqrt{\frac{\pi  e}{2}}\  \text{erf}\left (\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \ +  \ \sqrt{\frac{\pi  e}{2}}\ \text{erfc}\left (\cfrac{1}{\sqrt{2}}\right ) (8)

y dicha demostración es muy fácil, ya que

\displaystyle A + B = \sqrt{\frac{\pi  e}{2}} \left (  \text{erf}\left (\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \ +  \ \text{erfc}\left (\cfrac{1}{\sqrt{2}}\right ) \right ) =\\ \\ = \sqrt{\frac{\pi  e}{2}} \left (  \text{erf}\left (\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \ +  \ 1-\text{erf}\left (\cfrac{1}{\sqrt{2}}\right ) \right ) =\sqrt{\cfrac{e\pi}{2}} (9)

puesto que la función error complementaria se define precisamente como \text{erfc}(x) =1-\text{erf}(x). La mente creativa de Ramanujan ideó una simple suma para que la función de error erf se desvaneciese junto a su función de error complementaria, para que sólo quedase el factor \sqrt{\frac{e\pi}{2}}. Es más que evidente que Ramanujan conocía previamente el valor del sumando A y el valor de convergencia de la fracción continua C. Su mente creativa se dio cuenta de que el reciproco de C (B=1/C), al ser sumando a A eliminaba de un tiró las funciones erf y su complementaria erfc, quedando sólo el notable factor ya mencionado arriba.

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