TARDÍGRADOS

Ciencia en español

El casco vikingo de Ramanujan

Posted by Albert Zotkin en febrero 21, 2013

Ramanujan nos ofreció esta preciosa obra de arte matemático, donde aparecen unidos los números e y \pi

\displaystyle  \sqrt{\cfrac{e\pi}{2}}=\left (1+\cfrac{1}{3\times 5}  +\cfrac{1}{3 \times 5\times 7}+\cfrac{1}{3\times 5\times 7\times 9} + \dots \right ) + \cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{2}{1+\cfrac{3}{1+\cfrac{4}{1+\cfrac{5}{\dots}}}}}}  (1)
Vemos que el primero de esos dos sumandos es en realidad una fracción continua espejo. Es decir:

\displaystyle  1\ +\ \cfrac{1}{3 \times 5}\ + \ \cfrac{1}{3 \times 5 \times 7}\ + \ \dots = 1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{\dots}{21}}{19}}{17}}{15}}{13}}{11}}{9}}{7}}{5}}{3}  (2)
Esta curiosa configuración de fracciones continuas nos ofrece la apariencia de un “casco vikingo”, con un sumando expandiendose infinitamente hacia arriba y el otro expandiendose infinitamenete hacia abajo,

\displaystyle  \sqrt{\cfrac{e\pi}{2}}=1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{\dots}{21}}{19}}{17}}{15}}{13}}{11}}{9}}{7}}{5}}{3}\ +\  \cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{2}{1+\cfrac{3}{1+\cfrac{4}{1+\cfrac{5}{\dots}}}}}}  (3)
Veamos ahora más detenidamente cada uno de esos dos sumandos. El primer sumando, A, puede ser expresado de forma más sucinta así

\displaystyle  A= 1\ +\ \cfrac{1}{3 \times 5}\ + \ \cfrac{1}{3 \times 5 \times 7}\ + \ \dots =\sum _{n=0}^{\infty } \cfrac{1}{(2 n +1)!!}  (4)
donde, obviamente (2 n +1)!! es el doble factorial de los números impares. Es también obvio que ese sumando A converge, y su valor es:

\displaystyle  A=\sum _{n=0}^{\infty } \cfrac{1}{(2 n +1)!!} = \sqrt{\frac{\pi  e}{2}}\  \text{erf}\left (\frac{1}{\sqrt{2}}\right)  (5)

donde \text{erf} es la funcion error.

Veamos ahora el otro sumando B, que es como vemos, el recíproco de una fracción continua ordinaria, C, B=1/C. Dicha fracción continua C converge hacia el valor:

\displaystyle  C=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{2}{1+\cfrac{3}{1+\cfrac{4}{1+\cfrac{5}{\dots}}}}} = \cfrac{1}{\sqrt{\frac{\pi  e}{2}}\ \text{erfc}\left (\cfrac{1}{\sqrt{2}}\right )}  (6)

donde \text{erfc} es la función error complementaria. Por lo tanto, B converge hacia:

\displaystyle  B=\cfrac{1}{C} =\sqrt{\frac{\pi  e}{2}}\ \text{erfc}\left (\cfrac{1}{\sqrt{2}}\right )  (7)

Ahora sólo nos queda demostrar que efectivamente,

\displaystyle  \sqrt{\cfrac{e\pi}{2}}= A + B = \sqrt{\frac{\pi  e}{2}}\  \text{erf}\left (\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \ +  \ \sqrt{\frac{\pi  e}{2}}\ \text{erfc}\left (\cfrac{1}{\sqrt{2}}\right )  (8)

y dicha demostración es muy fácil, ya que

\displaystyle  A + B = \sqrt{\frac{\pi  e}{2}} \left (  \text{erf}\left (\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \ +  \ \text{erfc}\left (\cfrac{1}{\sqrt{2}}\right ) \right ) =\\ \\  = \sqrt{\frac{\pi  e}{2}} \left (  \text{erf}\left (\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \ +  \ 1-\text{erf}\left (\cfrac{1}{\sqrt{2}}\right ) \right ) =\sqrt{\cfrac{e\pi}{2}}  (9)

puesto que la función error complementaria se define precisamente como \text{erfc}(x) =1-\text{erf}(x). La mente creativa de Ramanujan ideó una simple suma para que la función de error erf se desvaneciese junto a su función de error complementaria, para que sólo quedase el factor \sqrt{\frac{e\pi}{2}}. Es más que evidente que Ramanujan conocía previamente el valor del sumando A y el valor de convergencia de la fracción continua C. Su mente creativa se dio cuenta de que el reciproco de C (B=1/C), al ser sumando a A eliminaba de un tiró las funciones erf y su complementaria erfc, quedando sólo el notable factor ya mencionado arriba.

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