TARDÍGRADOS

Ciencia en español

Radicales anidados y un problema para Ramanujan: √₁₊₁√₂₊₂√₃₊₃√₄₊⋅⋅⋅

Posted by Albert Zotkin en agosto 4, 2015

Hoy voy a hablar de radicales anidados. No. no me refiero a radicales anidados en ningún partido político, como por ejemplo el Bolivariano trotskista de Podemos. En este caso me estoy refiriendo a un curioso objeto matemático:

Ramanujan propuso el siguiente problema en la revista Journal of Indian Mathematical Society, pero creo que no obtuvo mucho éxito en cuanto a las respuestas de los lectores,

\displaystyle   ?=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\sqrt{1+\dots}}}}}}

O sea, nadie supo la respuesta. Veamos cómo Ramanujan ofreció la solución algunos días después del frustrado problemita. Podemos ver que existe una función

\displaystyle    F(x,n)=\sqrt{n^2+x(F(x,n)+n)}

que al resolver tenemos

\displaystyle    F(x,n)^2=n^2+x(F(x,n)+n) \\ \\  F(x,n)= x+n

por lo que la solución es

\displaystyle    F(2,1) = 3

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