TARDÍGRADOS

Ciencia en español

Una identidad natural

Posted by Albert Zotkin en febrero 21, 2013

Si intentamos imitar el método ideado por la creatividad de la mente de Ramanujan en el post anterior, lo cual es por supuesto, bastante dificil, podemos intentar algo como lo siguiente. Sea la fracción continua espejo:

\displaystyle  A=1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{\dots}{20}}{18}}{16}}{14}}{12}}{10}}{8}}{6}}{4}}{2}  (1)

Es decir:

\displaystyle  A=\left (1+\cfrac{1}{2\times 4} +\cfrac{1}{2 \times 4\times 6}+\cfrac{1}{2\times 4\times 6\times 8} + \dots \right ) =\sum _{n=0}^{\infty } \cfrac{1}{(2 n)!!}  (2)
donde, obviamente (2n)!! es el doble factorial de los números pares. Podemos comprobar que dicha fracción continua espejo converge hacia:

\displaystyle  A = \sqrt{e}  (3)
Ahora, por otro lado, consideremos la fracción continua siguiente:

\displaystyle  C=1+\cfrac{2}{3+\cfrac{4}{5+\cfrac{6}{7+\cfrac{8}{9+\cfrac{10}{11+\dots}}}}}  (4)
Podemos comprobar que dicha fracción continua converge hacia (esta se la debemos a Euler):

\displaystyle  C= \left (\sqrt{e} -1\right )^{-1}  (5)

Por lo tanto su recíproco B converge hacia

\displaystyle  B= \cfrac{1}{C}=\sqrt{e} -1  (6)

lo cual significa que:

\displaystyle  A-B = 1  (7)

es decir, tenemos la identidad:

\displaystyle  \cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{\dots}{20}}{18}}{16}}{14}}{12}}{10}}{8}}{6}}{4}}{2} \ = \  \cfrac{1}{1+\cfrac{2}{3+\cfrac{4}{5+\cfrac{6}{7+\cfrac{8}{9+\cfrac{10}{11+\dots}}}}}}  (8)

Otra identidad natural surge de la misma forma cuando consideramos la fracción continua espejo:

\displaystyle  D=1+\cfrac{3+\cfrac{5+\cfrac{7+\cfrac{9+\cfrac{11+\cfrac{\dots}{12}}{10}}{8}}{6}}{4}}{2}   (9)

La cual converge hacia D=2\sqrt{e}. Y de forma concisa podemos expresarlo así:

\displaystyle  D=\sum _{n=0}^{\infty } \cfrac{(2 n+1 )}{(2 n)!!} =2\sqrt{e}  (10)

Por lo tanto, junto a (5), tenemos

\displaystyle  \cfrac{D}{2} - \cfrac{1}{C} = 1  (11)

es decir:

\displaystyle  \cfrac{3+\cfrac{5+\cfrac{7+\cfrac{9+\cfrac{11+\cfrac{\dots}{12}}{10}}{8}}{6}}{4}}{4} = \cfrac{1}{1+\cfrac{2}{3+\cfrac{4}{5+\cfrac{6}{7+\cfrac{8}{9+\cfrac{10}{11+\cfrac{12}{\dots}}}}}}}    (12)

6 comentarios to “Una identidad natural”

  1. pepeman6 said

    Estimado Albert Zotkin , te envío un abrazo desde mexico , un joven admirador de tu trabajo, también para pedirte de gran favor tu ayuda, resulta que necesito quitar los ceros de una lista de numeros,que operacion o procedimiento matematico me pudiera ayudar,? en esencia lo que quiero es por ejemplo:

    Tengo la lista de numeros :12,3,0,4,5,0,7,8,0,5,0,9,0,0,5 entonces que matematica ocupo para que la lista quede sin ceros, es decir : 12,3,4,5,7,8,5,9,5

    Espero de gran favor su ayuda, muchas gracias gran genio!

    • Depende mucho del contexto en el que tengas la lista. Por ejemplo, en Mathematica puedes usar el algoritmo Deletecases. En otros contextos (lenguajes informáticos) puedes usar otros algoritmos o rutinas. Aquí te dejo una pequeña muestra de lo que puedes hacer con el programa Mathematica respecto al algoritmo DeleteCases:
      deletecases

  2. pepeman6 said

    Saludos Zotkin!,Primero que nada le brindo mi gratitud por su respuesta, en verdad se lo aprecio bastante, después de saludarle cordialmente paso a lo siguiente:

    Tengo unas fórmula con las que he estado trabajando en matematica, la fórmula me genera :

    {2, 3, 5, 0, 0, 0, 7, 0, 0, 0, 11, 0, 13, 0, 0, 0, 17, 0, 19, 0, 0, 0, 23, 0, \
    0, 0, 0, 0, 29, 0, 31, 0, 0, 0, 0, 0, 37, 0, 0, 0, 41, 0, 43, 0, 0, 0, 47, 0, \
    0, 0, 0, 0, 53, 0, 0, 0, 0, 0, 59, 0, 61, 0, 0, 0, 0, 0, 67, 0, 0, 0, 71, 0, \
    73, 0, 0, 0, 0, 0, 79, 0, 0, 0, 83, 0, 0, 0, 0, 0, 89, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \
    97, 0, 0, 0, 101, 0, 103, 0, 0, 0, 107, 0, 109, 0, 0, 0, 113, 0, 0, 0, 0, 0, \
    0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 127, 0, 0, 0, 131, 0, 0, 0, 0, 0, 137, 0, 139, 0, 0, \
    0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 149, 0, 151, 0, 0, 0, 0, 0, 157, 0, 0, 0, 0, 0, 163, 0, \
    0, 0, 167, 0, 0, 0, 0, 0, 173, 0, 0, 0, 0, 0, 179, 0, 181, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \
    0, 0, 0, 191, 0, 193, 0, 0, 0, 197, 0, 199, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \
    211, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 223, 0, 0, 0, 227, 0, 229, 0, 0, 0, \
    233, 0, 0, 0, 0, 0, 239, 0, 241, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 251, 0, 0, 0, 0, \
    0, 257, 0, 0, 0, 0, 0, 263, 0, 0, 0, 0, 0, 269, 0, 271, 0, 0, 0, 0, 0, 277, \
    0, 0, 0, 281, 0, 283, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 293, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \
    0, 0, 0, 0, 0, 307, 0, 0, 0, 311, 0, 313, 0, 0, 0, 317, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \
    0, 0, 0, 0, 0, 0, 331, 0, 0, 0, 0, 0, 337, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 347, 0, \
    349, 0, 0, 0, 353, 0, 0, 0, 0, 0, 359, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 367, 0, 0, 0, 0, \
    0, 373, 0, 0, 0, 0, 0, 379, 0, 0, 0, 383, 0, 0, 0, 0, 0, 389, 0, 0, 0, 0, 0, \
    0, 0, 397, 0, 0, 0, 401, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 409, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \
    419, 0, 421, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 431, 0, 433, 0, 0, 0, 0, 0, 439, 0, \
    0, 0, 443, 0, 0, 0, 0, 0, 449, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 457, 0, 0, 0, 461, 0, \
    463, 0, 0, 0, 467, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 479, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \
    487, 0, 0, 0, 491, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 499, 0, 0, 0, 503, 0, 0, 0, 0, 0, \
    509, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 521, 0, 523, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \
    0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 541, 0, 0, 0, 0, 0, 547, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \
    557, 0, 0, 0, 0, 0, 563, 0, 0, 0, 0, 0, 569, 0, 571, 0, 0, 0, 0, 0, 577, 0, \
    0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 587, 0, 0, 0, 0, 0, 593, 0, 0, 0, 0, 0, 599, 0, 601, \
    0, 0, 0, 0, 0, 607, 0, 0, 0, 0, 0, 613, 0, 0, 0, 617, 0, 619, 0, 0, 0, 0, 0, \
    0, 0, 0, 0, 0, 0, 631, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 641, 0, 643, 0, 0, 0, 647, \
    0, 0, 0, 0, 0, 653, 0, 0, 0, 0, 0, 659, 0, 661, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \
    0, 673, 0, 0, 0, 677, 0, 0, 0, 0, 0, 683, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 691, 0, 0, 0, \
    0, 0, 0, 0, 0, 0}

    Entonces como puede percatar los ceros son inecesarios para lo que pretendo buscar que es la obtención de los primos,
    por eso el contexto de mi pregunta era en relacion a que fórmula o algoritmo matemático me ayudaría a quitarle los ceros a esta lista generada por la formula, creo que su respuesta me satisface ya que al considerar que el algoritmo deletecases es un algoritmo matematico aprobado , o tiene usted otro camino?.

    Me despido, esperando su respuesta, le envio un abrazo y le felicito infinitamente por sus grandes contribuciones en la ciencias exactas, gracias!

    • Hola de nuevo Pepeman6. De la lista de números que has proporcionado, asumo que entre el 5 y el 7 deberia haber sólo un cero, no tres como has escrito, ya que entre 5 y 7 sólo existe un único número no primo, el 6, ok?. Por lo demás, es bastante loable que quieras descubrir una fórmula matemática para la sucesión de números primos. Veamos, tu caso. Si F(n) es tu función generadora de esa lista de números, la cual da F(n) = 0 si n no es primo, y F(n)=n si n es primo, podemos construir otra función G(n) a partir de la tuya, así, G(n) = F(n)/n, de modo que sea G(n)=0, si n no es primo, y G(n)=1, si n es primo. Una vez que tenemos G(n), nos podemos adentrar en conseguir la función P(n) que quitará los ceros de tu lista. Una función tal podría ser esta:

      \displaystyle   P(n)= 1+ \sum_{m=1}^{2^n} \left \lfloor \left \lfloor \cfrac{n}{\sum_{j=1}^{m} G(j)} \right \rfloor ^{\tfrac{1}{n}} \right \rfloor

      o expresada explicitamente con la función generadora F(n) de tu lista:

      \displaystyle   P(n)= 1+ \sum_{m=1}^{2^n} \left \lfloor \left \lfloor \cfrac{n}{\sum_{j=1}^{m} \frac{F(j)}{j}} \right \rfloor ^{\tfrac{1}{n}} \right \rfloor

      donde \lfloor x \rfloor es la función piso. De hecho, la función P(n) tal y como está definida quita los ceros a toda lista de números enteros positivos creada mediante cualquier función generadora F(n).

      Saludos

  3. pepeman6 said

    En cuanto termine un pequeño articulo sobre formula generadora de numeros primos con toda alegria se lo compartiré para que me de su punto de vista, sabe, finalmente pude encontrar una persona que transmita su sabiduria, el conocimiento ha de ser compartido , ese debe ser el principio bajo el cual se deberia regir la humanidad, le admiro bastante y siempre he estado pendiente de sus grandes contribuciones.Felicidades una vez mas zotkin,gracias gran genio!.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

 
A %d blogueros les gusta esto: