TARDÍGRADOS

Ciencia en español

No es cierto que 1+2+3+4+5+…=-1/12

Posted by Albert Zotkin en enero 22, 2014

Se habla mucho últimamente de una curiosa suma: Dicen que la suma de todos los números enteros positivos (naturales) es igual a -1/12., y a eso le llaman regularización. Cualquier persona con un mínimo de sentido común sabe que la suma de todos los números enteros positivos es infinito, es decir, esa suma diverge. Ramanujan sabía eso, por eso supo ver más lejos que nadie y supo que cuando una regularización se basa en una divergencia no se pueden extraer conclusiones sólidas. Los que defienden el absurdo resultado

\displaystyle  \sum_{n=1}^\infty n = 1+2+3+\dots =-\frac{1}{12}  (1)

están representados por estos dos tios del siguiente video de youtube en el que pretenden convencernos de esa absurda suma mediante cálculos incorrectos.

Toda la demostración que se puede ver en ese video se basa en la siguiente serie que diverge:

\displaystyle  S_1= 1-1+1-1+1-1+...  (2)

y nos quieren colar algo falso, a saber, que dicha suma S1 es igual a 1/2. ¿En qué se basan?. Veamos. Si empiezas a sumar términos de S1 emparejándolos desde el primer 1, se ve claramente que cada par se anula,

\displaystyle  S_1= (1-1)+(1-1)+(1-1)+... =0  (3)

con lo cual la suma sería igual a cero. Pero si empiezas a emparejar desde el segundo término entonces la suma daría 1,

\displaystyle  S_1= 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)... =1  (4)
ese hecho dispar nos está diciendo que la serie S1 es divergente. De hecho, esa disparidad de resultados se usa muy a menudo para demostrar que una serie diverge. Pero, en este caso, puesto que en la mitad de los casos dispares obtenemos 1 y en la otra mitad obtenemos cero, no sé por qué regla de tres, afirman entonces que la suma debe ser regularizada a 1/2 = (0 + 1)/2. Es decir, es regularizada a la media aritmética del conjunto de sus sumas dispares. Después de hacer esa horrible cosa pasa lo que pasa: que podemos, por ejemplo, demostrar que los elefantes verdes voladores existen. Lo honesto en este caso es decir que la serie divergente S1 posee dos ramas, es decir dos valores finitos distintos. (1, 0).

Seguidamente en el video de arriba, Ed Copeland, que es quien nos está mostrando los cálculos sobre el papel, nos presenta la siguiente serie S2:

\displaystyle  S_2= 1-2+3-4+5-6+...  (5)
Ahora se trata de ver si esa serie S2 puede ser sumada, es decir, si podemos obtener algún número real finito que represente su suma. Lo primero que hacemos es multiplicar S2 por 2:

\displaystyle  2S_2= 1-2+3-4+5-6+... + \\   \mathrm{\hspace{1.42cm}} 1-2+3-4+5-6+...  (6)
pero, en lugar de empezar a sumar como se hace arriba, empecemos dejando el primer elemento (el 1) a la izquierda, es decir:

\displaystyle  2S_2= 1-2+3-4+5-6+... + \\   \mathrm{\hspace{2.3cm}} 1-2+3-4+5-6+...  (7)

con lo cual tenemos:

\displaystyle  2S_2= 1-1+1-1+1-1+... \\   (8)

es decir, tenemos

\displaystyle  2S_2=S_1 \\ \\  \mathrm{\hspace{0.28cm}} S_2=\frac{S_1}{2}  (9)

Esto quiere decir que la serie S2 puede ser expresada en función de la serie S1, y si afirmamos que el valor regularizado de la suma de S1 es 1/2, entonces el valor regularizado de la suma de S2 es:

\displaystyle   S_2=\frac{1}{4}  (10)

pero como S1 es divergente y posee dos ramas, en realidad S2 también diverge y posee también dos ramas:

\displaystyle  S_2=0 \\ \\   S_2=\frac{1}{2}  (11)
Seguidamente Ed Copeland nos presenta la serie:

\displaystyle  S= 1+2+3+4+5+6+7+ \dots   (12)
esta es la serie que supuestamente nos daría -1/12, el resultado que he puesto en el título de este post. Veamos cómo en realidad eso no es así. Restemos S2 de S:

\displaystyle  S-S_2= 1+2+3+4+5+6+7+ \dots \\ \\   \mathrm{\hspace{1.42cm}} -[1-2+3-4+5-6+\dots] =\\ \\   \mathrm{\hspace{2.1cm}}  0+4+0+8+0+12- \dots    (13)

es decir, tenemos que:

\displaystyle  S-S_2= 4[1+2+3+4+5+6+7+ \dots ] = 4S \\ \\   S= -\frac{S_2}{3}  (14)
o sea, podemos expresar S en función de S2, y como también podemos expresar S2 en función de S1, tenemos que si regularizamos la suma, hallamos el sorprendente ( y equívoco) resultado de

\displaystyle  S= -\frac{S_2}{3} = -\frac{S_1}{2 \times 3} = -\frac{1}{4 \times 3} =-\frac{1}{12}    (15)
pero, está claro que S diverge también, igual que S1, y por lo tanto, puesto que es S = -S1/6, tendremos también dos ramas:

\displaystyle  \boxed{S= 0 \; ; S=-\frac{1}{6}}  (16)
Es decir, la suma de todos los números enteros positivos no es -1/12, sino que diverge hacia infinito porque posee dos ramas, una hacia cero y la otra hacia hacia -1/6.

Saludos

12 comentarios to “No es cierto que 1+2+3+4+5+…=-1/12”

  1. Eugenio said

    Lo lamento pero no concuerdo contigo en todo. No me interesan los ejemplos previos, que solo marean al inexperto, solo el S= 1+2+3+4+5+6+7… ¿A que será igual? Pues = ? La respuesta querido Zotkin es precisamente ?, o infinito, porque una suma de números hasta el infinito es imposible en matemática, solo es de resultado abstracto, y si el infinito es abstracto pues el resultado será abstracto. Mejor dicho, el resultado es la nada, porque nunca dejarás de sumar, estarás sumando hasta el infinito, por lo que toda esa parafernalia de ecuaciones son burdos mareos.

    Saludos

    • Eugenio, dices que “una suma de números hasta el infinito es imposible en matemática”. No estoy de acuerdo, sí que es posible porque existe una propiedad de las sumas infinitas de números reales que se llama convergencia (divergencia). Es cierto que una suma de infinitos sumandos no termina nunca, pero eso sólo es cierto si el operador encargado de sumar términos tarda en hacerlo cierto tiempo finito. Si el operador suma opera a una velocidad infinita (las matemáticas son abstracción)) entonces la suma infinita es posible hacerla en un tiempo finito. Fíjate, por ejemplo en esta serie infinita (serie geométrica):

      \displaystyle S=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots \frac{1}{2^{n}}+\cdots

      esta serie converge hacia 1/2, que es un número real (finito). Lógicamente si un operador material (operador que tarda cierto tiempo finito en cada operación) tuviera que realizar esa suma no llegaría nunca al limite de 1/2, el resultado final, porque existen infinitos términos a sumar. Pero si el operador tarda por ejemplo \frac{1}{2^{n}} segundos en sumar el térrmino n, entonces esa suma si que puede ser realizada en tiempo finito.

      Saludos

  2. Eugenio said

    Gracias por tu esfuerzo Albert. Pero heurísticamente no puedo aceptarlo. Me estás diciendo que el infinito tiene un límite cuando no lo tiene. De ser así imagino que puedes decirme cuál es el numero “infinito”. Bueno ya lo dijiste: puede ser 0 o -1/6. Que yo sepa el único que conozco es el 8 acostado. Una suma eterna siempre dará valores distintos y si sumas a una velocidad infernal cuando arribes a un resultado y te detengas siempre habrá un número mayor que le sigue. Eso hablando en abstracto, el límite no existe. Ahora, si tenemos que definir el espacio, a lo mejor necesitamos reformular los conceptos sobre infinito y eterno. Quizá el infinito sea el lugar donde te detengas y nada más, porque no existe. Es como estar caminando eternamente sobre una esfera. Si caminaras eternamente la cantidad de pasos serán infinitos en un espacio finito, y el final práctico será detenerte y dedicarte cuanto antes a algo más interesante o gratificante antes de estar perdiendo el tiempo caminando.

    Saludos

    • Eugenio, el infinito puede poseer un limite en algunos casos, no te confundas. Una cosa es sumar infinitos términos, y otra cosa es que el resultado de una suma sea infinito (diverja). Si como dices, “el infinito no tiene límite”, entonces no sería posible resolver las paradojas de Zenón, por ejemplo las paradojas del movimiento. Estudia estas paradojas a fondo y comprenderás mejor lo que intento explicarte.

      Saludos

  3. Prinúmero2357 said

    Disculpa, Eugenio es claramente una persona sin mucha formación. Por otro lado vos (Albert Zotkin) tenes una formación dispersa. Me parece probable que seas aspy (que seas autista tipo asperger/tengas síndrome de asperger) igual que yo. Se nota que sos muy inteligente. Tenes buenas ideas mezcladas con ideas “crank”, al igual que las tenía yo en la adolescencia. Soy estudiante de física. En cuanto a lo de las sumas, a lo que debería referirse el video es a los llamados “métodos de suma” (p. ej. suma de cèzaro o suma de ramanujan) que son exenciones de la función sumatoria que den lo mismo que la sumatoria donde la función sumatoria converge, pero tengan ademas convergencia en regiones del espacio de las sucesiones donde converja. En física, usualmente cuando aparecen sumas del estilo 1+2+3+… o 1+1+1+…, lo que se utiliza como método de suma es el valor de la función zeta de riemann en 0, -1, etc. La función zeta es la exención analítica de la sumatoria que es mencionada en mil y un lugares como la función zeta.

    Tema aparte: Te recomiendo leer la tesis de Richard Feynman. Aunque creas el chamuyo (la mentira) de que la R.E. es falsa, la belleza de la matemática que hay en esa tesis es enorme.

    Pd: yo te digo lo de tu condición de crank y de aspy no para ofenderte, si no porque pienso que es una pena que se pierda una mente de tu calibre en la estupidez de la pseudo-fìsica. Pregunta, ¿Estudias física en una universidad? En España se que las cosas no están muy bien, quizás te convenga venir a Argentina. Universidad gratuita (lo único malo: hay un ciclo básico en la UBA antes de poder entrar en la carrera) e incluso existe el IB en el que te pagan por estudiar y te dan educación del mas alto nivel en física (Hay que pasar un examen y después tenes que poder ir aprobando muchas materias por año a un ritmo muy agitado, pero está muy bueno todo eso).

    • Mira, Ulises, Iliado Odiseo, o como quieras que te llames. Estoy ya hasta los cojones de gente pretendidamente “bien formada, certera e informada” como tú, que lo único que aporta al debate es mierda y mala leche como la tuya. En lugar de refutar mis propuestas con claros datos científicos, me dedicas una serie de epítetos describiendo mis cualidades, actitudes y aptitudes. Si tienes algo que objetar al respecto de algún post mio, es conveniente que lo desarrolles correctamente y lo expongas claramente aqui para que lo discutamos, pero no me cierres el debate con tus “certeras” apreciaciones sobre mi persona y tus “amables” consejos de lo que yo debo hacer en la vida, porque por ahí no hay salida. Eugenio, no sé si es una persona con mucha formación, pero lo que Eugenio es capaz de hacer es lo que tú, al parecer, no eres muy capaz de hacer, tu sucinta exposición sobre la serie 1+2+3+… es confusa, incierta, y soy incapaz de comprender tu supuesta sapiencia cuando mencionas a Richard Feynman. Quizas el crank lo seas tú, a los cranks siempre se les llena la boca para hablar de Richard Feynman, o quizás sólo eres un simple troll que lo único que busca es insultar y distraer el debate. Eugenio es capaz de desarrollar correctamente sus alegaciones e ideas sobre un tema concreto y exponerlas correctamente para que puedan ser bien entendidas y debatidas, y eso significa que su formación es mejor que la tuya. Te descalificas a ti mismo con tu desafortunado comentario. Me aburre ya. No hay debate.

      Pd: En España las cosas están mejor que en Argentina, ¿de qué mierda me estás hablando?

      Adios

      • Prinúmero2357 said

        Perdón si no fui claro con lo de los métodos de suma.
        Método de suma de Césaro:
        Sea Sn la suma parcial de una serie entre el primer y el n-simo término de una suceción An, la suma de cézaro es el límite de (S1+…+Sn)/n.
        Es claro (podes demostrarlo vos, o puedo en otro mensaje darte la demostración) que si Sn converge entonces la suma de cézaro converge al mismo valor. Por otro lado, sucesiones que no convergen.
        Ejemplos:
        *An=(-1)^n (sucesión con serie no convergente). Sn =-(1+(-1)^n)/2 . Suma de cézaro=(límite de n ->+inf)(-1/2+suma(1+(-1)^n)/(2*n))=-1/2.
        *An=1/2^n (sucesión convergente, converge a 1). Sn = 1-1/2^(n+1). Suma de cézaro=(límite de n ->+inf)(1-(1-1/2^(n+1))/n)=1.

        Extensión analítica/continuación analítica:
        Si tenes una función analítica en una región del plano complejo y tenes otra función analítica en una región del plano complejo que contiene a la región en la que la otra función está definida, y en dicha región vale lo mismo que la función anterior. Se dice que la segunda función es la extensión analítica de la primer función.

        Ejemplo:
        *Función f(z)=z si y solo si z es real. La función g(z)=z si z es un numero real o su parte imaginaria es (en valor absoluto) menor que 1/2 es una extensión analítica de f(z) porque f(z)=g(z) para todo z real. (¿Quieres que pruebe que f y g son analíticas?)
        *Función f(z)=z/z definida en el plano complejo sin el {0}. g(z)=1 en todo el plano complejo. Vos podes comprobar que g es extensión analítica de f.

        • ¿Pero tú donde estudias matemáticas?. No es cèzaro sino Cesàro. Y el problema de la regularización de la serie 1+2+3+4+… no se resuelve con el método de suma de Cesàro, asi que busca otro que sea más apropiado. La serie S = 1 + 2 + 3 +… es divergente y no es sumable Cesàro. Eso quiere decir que no has entendido este post ni cómo en el video de youtube deducen la suma regularizada -1/12 para esa serie. Déjalo ya, no intentes darme lecciones de nada, ni consejos, que yo ya estoy de vuelta de todo.

          Saludos

  4. A Rivero said

    El articulo de la wikipedia sobre esta serie esta bastante completo
    http://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%E2%8B%AF

    En cuanto a lo que hace esta gente en el video, no esta tan mal, hay cierta heuristica establecida para las series divergentes, basicamente hay que controlar mucho la cuestion de la posicion de cada numero cuando se manipula, no se pueden quitar alegremente terminos “+0” porque son importantes en la definicion de algunos metodos de sumacion, vamos, cosas asi. Si no se rompen esas reglas no es dificil llegar a lo tonto a resultados que en realidad necesitan algo mas de rigor.

    Personalmente a mi me gusta el metodo de transformar la zeta de riemann en la eta de dirichlet, multiplicando por 1-2^(1-s), y luego sumando la alternante.

    • Si, todo es muy bonito, mira lo bonito que lo ponía el “difunto” John Baez en su papelillo zeta.pdf. Qué bonitas son las matemáticas, coño!

    • Guido Grandi (1641-1742) vió en la serie divergente 1-1+1-1+1-1+… la prueba definitiva de que el universo puede surgir espontáneamente de la nada, por que esa serie, si la agrupa telescópicamente y de forma adecuada, suma 0 ó suma 1 . De hecho hay que tener mucho cuidado con las series divergentes a la hora de agrupar términos , porque en concreto para esa serie de Grandi, se pueden agrupar de tal forma que converja hacia cualquier número arbitrariamente, no sólo 0, 1 ó 1/2. El hecho de que la serie S=1+2+3+4+5+… pueda ser regularizada a -1/12, obedece a la singular visión de Euler que vino a decirnos que paradójicamente los números reales negativos son a la vez más grandes que infinito y más pequeños que cero, y te lo demuestra matemáticamente. O sea, según ese criterio de Euler, la serie S=1+2+3+4+5+… =-1/12 indicaría que su suma converge más allá de iinfinito. Todo muy absurdo, la verdad.

  5. Diego Gabriel said

    Como decía Niels Henrik Abel: “las series divergentes son una invencion del diablo”

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